Us kvantitativne metode

1. Mališa Žižoviæ
Olivera Nikoliæ

2. UNIVERZITET SINGIDUNUM
Prof. dr Mališa Žižović
Prof. dr Olivera Nikolić
KVANTITATIVNE
METODE
Šesto izmenjeno i dopunjeno izdanje
Beograd, 2010.

3. KVANTITATIVNE METODE
Autori:
Prof. dr Mališa Žižović
Prof. dr Olivera Nikolić
Recenzent:
Prof. dr Dušan Adnađević
Izdavač:
UNIVERZITET SINGIDUNUM
Beograd, Danijelova 32
Za izdavača:
Prof. dr Milovan Stanišić
Tehnička obrada:
Novak Njeguš
Dizajn korica:
Aleksandar Mihajlović
Godina izdanja:
2010.
Tiraž:
1350 primeraka
Štampa:
Mladost Grup
Loznica
ISBN: 978-86-7912- 274-2

4. SADRŽAJ
Predgovor III
I - GLAVA
LINEARNA ALGEBRA
1. DETERMINANTE 2
1.1. DEFINICIJA DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA 2
1.2. O PARNIM I NEPARNIM PERMUTACIJAMA
PRIRODNIH BROJEVA 3
1.3. DETERMINANTE PROIZVOLJNOG REDA 5
1.4. OSOBINE DETERMINANATA 6
1.5. IZRAČUNAVANJE VREDNOSTI DETERMINANATA 7
1.5.1. Izračunavanje vrednosti determinanata drugog reda 7
1.5.2. Izračunavanje vrednosti determinanata trećeg reda 8
1.5.3. Razlaganje determinante po elementima
proizvoljne vrste (kolone) 9
2. MATRICE 12
2.1. DEFINICIJA MATRICE 12
2.2. NEKI POSEBNI OBLICI MATRICA 13
2.3. OSNOVNE OPERACIJE SA MATRICAMA 15
2.3.1 Jednakost matrica 15
2.3.2. Transponovana matrica 15
2.3.3. Sabiranje i oduzimanje matrica 16
2.3.4. Množenje matrice brojem 17
2.3.5 Množenje matrica 17
2.4. INVERZNA MATRICA 22
2.5. RANG MATRICE 24
3. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA 29
3.1. OSNOVNI POJMOVI 29
3.2. MATRIČNI OBLIK SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA 30
3.3. REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA 31
3.3.1. Matrično rešenje i Kramerove formule 31
3.3.2. Gausov algoritam 33
3.3.3. Kroneker - Kapelijev stav 37

5. II - GLAVA
FUNKCIJE
4. ELEMENTI MATEMATIČKE ANALIZE 44
4.1. MODUL REALNOG BROJA 44
4.2. NEKI PODSKUPOVI SKUPA REALNIH BROJEVA
I NEKE NJIHOVE OSOBINE 46
4.3. POJAM FUNKCIJE 50
4.3.1. Pojam funkcije jedne nezavisne promenljive 50
4.3.2. Grafik funkcije 54
5. NIZOVI 58
5.1. OSNOVNI POJMOVI 58
5.2. TAČKA NAGOMILAVANJA 59
5.3. GRANIČNA VREDNOST NIZA 60
5.4. KOŠIJEV OPŠTI KRITERIJUM KONVERGENCIJE 62
5.5. ARITIMETIČKE OPERACIJE SA NIZOVIMA 63
5.6. BESKONAČNO MALI I BESKONAČNO VELIKI NIZOVI 64
5.7. NEKI VAŽNIJI NIZOVI 65
6. REDOVI 68
6.1. POREDBENI KRITERIJUM 69
6.2. REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA 70
6.3. DELIMIČNO SUMIRANJE I ALTERNIRAJUĆI REDOVI 72
7. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE 75
7.1. ARITMETIČKE OPERACIJE SA GRANIČNIM 79
VREDNOSTIMA FUNKCIJA
7.2. BESKONAČNO MALE I BESKONAČNO VELIKE FUNKCIJE 79
7.3. NEKE OSNOVNE GRANIČNE VREDNOSTI 81
7.4. NEPREKIDNOST FUNKCIJA 83
7.4.1. Neprekidnost funkcije u tački 83
7.4.2. Tačke prekida funkcije 85
7.4.3. Neprekidnost funkcije na intervalu 86
7.5. GRANIČNA VREDNOST I NEPREKIDNOST 88
7.6. FUNKCIJA VIŠE PROMENLJIVIH 90

6. III - GLAVA
DIFERENCIJALNI RAČUN
8. DIFERENCIJALNI RAČUN 94
8.1. IZVOD FUNKCIJE 94
8.2. DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI 98
8.3. DIFERENCIJAL FUNKCIJE 104
8.4. NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA 107
8.5. IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE
NEZAVISNO PROMENLJIVE 122
8.6. PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA 127
8.7. EKONOMSKE FUNKCIJE 138
8.7.1. Funkcija tražnje 138
8.7.2. Funkcija ponude 140
8.7.3. Modeli tržišta 140
8.7.4. Funkcija troškova 142
8.7.5. Funkcija prihoda 144
8.7.6. Funkcija dobiti 145
8.7.7. Elastičnost ekonomskih funkcija 147
8.7.8. Elastičnost tražnje 148
IV - GLAVA
INTEGRALNI RAČUN
9. NEODREĐENI INTEGRAL 153
9.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL 153
9.2. TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA 156
9.3. OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE 157
9.4 INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA 165
9.5. INTEGRACIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA 168
9.6. INTEGRACIJA ALGEBARSKIH IRACIONALNOSTI 169
9.7. PRIMENA INEGRALNOG RAČUNA 170
10. određeni integral 172
10.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL 172
10.2. OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL 177
10.3. NESVOJSTVENI INTEGRAL 182
10.4. PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA 185

7. V - GLAVA
ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE
11. ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE 191
11.1. EKSPERIMENTI SA SLUČAJNIM
ISHODIMA - SLUČAJNI DOGAĐAJI 191
11.2. POJAM VEROVATNOĆE 194
11.3. USLOVNE VEROVATNOĆE - NEZAVISNOST 196
11.4. FORMULA TOTALNE VEROVATNOĆE I BAJESOVA FORMULA 199
11.5. SLUČAJNE PROMENLJIVE 203
11.5.1. Jednodimenzionalne slučajne promenljive 203
11.5.2. Višedimezionalne slučajne promenljive 204
11.5.3. Marginalne i slučajne raspodele 206
11.5.4. Nezavisnost slučajnih promenljivih 207
11.5.5. Numeričke karakteristike slučajnih promenljivih 209
11.5.6. Disperzija slučajno promenljive 211
11.5.7. Funkcija raspodele slučajne promenljive 213
11.5.8. Slučajne promenljive koje se najčešće koriste 216
11.5.9. Korelacija dve slučajne promenljive 216
11.5.10. Zakoni velikih brojeva.
Centralna granična vrednost 225
VI - GLAVA
ELEMENTI TEORIJE STATISTIKE
12. UVOD U STATISTIKU 227
12.1. STATISTIČKO POSMATRANJE, PRIKUPLJANJE
I PRIKAZIVANJE PODATAKA 228
12.2. O STATISTIČKIM SERIJAMA 229
12.3. STATISTIČKE TABELE, POLIGONI I HISTOGRAMI 230
12.4. MERE 232
12.4.1. Srednje vrednosti 232
12.4.2. Mere odstupanja i centralni momenti 241
12.4.3. Mere oblika 242
12.5. IZBOR SLUČAJNOG PROSTOG UZORKA 242
12.6. OCENE PARAMETARA 243
12.7. INTERVALI POVERENJA 243
12.8. TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA 248

8. 12.9. PIRSONOV χ 2
TEST 257
12.10. METOD NAJMANJIH KVADRATA 260
12.11. ODREĐIVANJE REGRESIONIH LINIJA POMOĆU UZORKA 264
VII - GLAVA
FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA
13. FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA 267
13.1. PROCENTNI RAČUN 267
13.2. PROMILNI RAČUN 270
13.3 PROST INTERESNI RAČUN 270
13.4. SREDNJI ROK PLAĆANJA 276
13.5. ESKONTOVANJE 277
13.6. JEDNAKOST EFEKATA 278
13.7. SLOŽENI INTERESNI RAČUN 279
13.8. ELEMENTI OSIGURANJA 302
13.9. OSIGURANJE KAPITALA UPLATOM MIZE 307
13.10. MEŠOVITO OSIGURANJE 312
13.11. OSIGURANJE VIŠEKRATNIM PREMIJAMA 313
LITERATURA 319

10. I - G L A V A
L I N E A R N A A L G E B R A
• DETERMINANTE
• POJAM MATRICE
• OPERACIJE SA MATRICAMA
• RANG MATRICE
• INVERZNA MATRICA
• SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA I METODE ZA NJIHOVO REŠAVANJE
• HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA
• MATRIČNI METOD
C I L J E V I U Č E N J A
Kada ovo poglavlje proučite znaćete:
1. šta su matrice,
2. definišete matrične operacije,
3. šta su determinante i kako se one izračunavaju,
4. da definišete i koristite inverzne matrice,
5. kako izgledaje sistemi linearnih jednačina,
6. rešavate sisteme lineanih jednačina različitim metodama.
- 1 -

11. 1. DETERMINANTE
1.1. DEFINICIJA DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA
Rešavajući sistem od dve linearne jednačine sa dve nepoznate
a11x1+a12x2=b1,
(1)
a21x1+a22x2=b2
nekom od poznatih metoda (recimo, metodom jednakih koeficijenata)
dolazimo do sledećeg rešenja
22 1 12 2
1
11 22 12 21
,
a h a h
x
a a a a
−
=
−
uz pretpostavku da je a11a22-a12a21≠0. Lako se uočava da su imenioci u ovim
razlomcima isti i da egzistenciju jedinstvenog rešenja određuje činjenica da li
je a11a22-a12a21≠0 ili ne. Zbog toga se ovaj broj zove determinanta. Pošto
sistem (1) ima dve jednačine sa dve nepoznate, ovu determinantu ćemo zvati
determinantom drugog reda. Dakle, možemo dati sledeću definiciju:
Definicija 1.
Broj D=a11a22-a12a21 se zapisuje u obliku sledeće šeme
=
11 12
21 22
a a
D
a a
i naziva se determinanta drugog reda.
Brojevi aij (i=1,2; j=1,2) se nazivaju elementima determinante. Poređani su
u dve vrste i dve kolone. Pri tome smo koristili za svaki element (isto kao i u
- 2 -

12. sistemu (1) za koeficijent uz nepoznatu) dva indeksa, pri čemu prvi indeks
označava vrstu u kojoj se element nalazi, a drugi indeks označava kolonu u
kojoj se element nalazi (kod sistema prvi indeks označava jednačinu u kojoj je
koeficijent, a drugi uz koju nepoznatu stoji koeficijent, dok slobodan član ima
jedan indeks - oznaku jednačine u kojoj je).
Do analognog zaključka se dolazi i kod rešavanja sistema
a11x1+a12x2+a13x3=b1,
a21x1+a22x2+a23x3=b2,
a31x1+a32x2+a33x3=b3.
i analogno dajemo definiciju determinante trećeg reda.
Definicija 2.
Broj
D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
zovemo determinantom trećeg reda i zapisujemo u sledećem obliku:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a a
=
1.2. O PARNIM I NEPARNIM PERMUTACIJAMA
PRIRODNIH BROJEVA
Posmatrajmo prvih n prirodnih brojeva 1,2,3,...,n. Njih možemo razmeštati
na razne načine.
Definicija 3.
Sve moguće razmeštaje ovih brojeva zovemo permutacijama.
- 3 -

13. Permutaciju (1,2,3,...,n) u kojoj su brojevi poređani po veličini zovemo
prirodnom ili osnovnom permutacijom.
Stav 1. Broj permutacija od n različitih elemenata je n!.
Dokaz: Dokazujemo matematičkom indukcijom.
Za n=1 tvrđenje je tačno, jer jedan element ima samo jedan razmeštaj i 1!=1.
Pretpostavimo da je tvrđenje tačno za n-1 brojeva, tj. da je broj njihovih
permutacija (n-1)!. Dokažimo da je tvrđenje tačno i za n brojeva. Postavimo
broj n na prvo mesto i napravimo sve moguće rasporede od preostalih n-1
brojeva - ima ih (n-1)! po pretpostavci. Postavimo sada n na drugo mesto, a
ostale brojeve rasporedimo na sve moguće načine na preostalih n-1 mesta,
opet imamo (n-1)! permutacija. Produžujući tako do zadnjeg n-tog mesta
dolazimo do zaključka da od n različitih brojeva (elemenata) imamo n(n-1)!=n!
permutacija.
Definicija 4.
U nekoj permutaciji brojeva, dva broja čine inverziju ako nisu u svom
prirodnom poretku, tj. ako veći broj stoji ispred manjeg broja.
Na primer, u permutaciji (3,1,2,4,5) imamo dve inverzije: 3 ispred 1 i 3
ispred 2.
Permutaciju zovemo parnom ako je ukupan broj inverzija paran broj (nulu
takođe ovde smatramo parnim brojem), a neparnom ako je ukupan broj
inverzija neparan broj.
Tako su (1,2,3), (2,3,1) i (3,1,2) parne permutacije, a (1,3,2), (2,1,3) i (3,2,1)
neparne permutacije.
Stav 2. Promena mesta dva elementa parnu permutaciju prevodi u neparnu i
obratno.
- 4 -

14. Dokaz: Dokaz izvodimo u dve etape:
(1) Posmatrajmo specijalan slučaj kada su u permutaciji (a1,a2,...,ak,ak+1,...,an)
zamenili mesta susedi ak i ak+1, tj. posmatramo novu permutaciju
(a1,a2,...,ak+1,ak,...,an). Pri takvoj promeni broj inverzija elemenata ak i ak+1 u
odnosu na ostale elemente permutacije isti je u oba slučaja. Pri tome može
biti ak>ak+1 pa će u novoj permutaciji broj inverzija biti smanjen za jedan, a ako
je ak<ak+1, onda će u novoj permutaciji broj inverzija biti povećan za jedan, što
dokazuje stav.
(2) Neka menjaju mesta elementi ak i am, pri čemu između njih u permutaciji
(a1,...,ak,...,am,...,an) ima s elemenata. Dokaz izvodimo tako što menjamo
mesto elementu ak, zamenjujući ga unapred sa susedima s+1 puta do
promene sa elementom am, a zatim menjamo mesto elementu am zamenom
sa susedima u obratnom smeru dok ne dođemo do mesta gde je bio element
ak, tj. s puta. U novoj permutaciji (a1,...,am,...,ak,...,an) smo tako imali ukupno
2s+1 promena parnosti, neparnosti, što dokazuje stav.
1.3. DETERMINANTE PROIZVOLJNOG REDA
Posmatrajući determinantu trećeg reda (a isto i drugog reda) primetimo
prvo da su svi sabirci, proizvodi tačno od po tri elementa uzeti iz svake vrste i
svake kolone po jedan, da prvi indeksi čine osnovnu permutaciju, a da drugi
indeksi za različite sabirke čine različite permutacije i da proizvoda ima tačno
onoliko koliko i permutacija od tri elementa, da proizvodi čiji drugi indeksi čine
parnu permutaciju ulaze u zbir sa znakom +, a ako čine neparnu permutaciju,
sa znakom -.
Ove zakonitosti ćemo uopštiti da bi definisali determinantu proizvoljnog
reda.
Definicija 5.
Determinanta n-tog reda je broj koji je predstavljen kvadratnom šemom od
n-vrsta i n-kolona i koji predstavlja zbir od n sabiraka koji su proizvodi od po
n elemenata uzetih tačno po jedan iz svake vrste i svake kolone. Sabirci čiji
drugi indeksi čine parnu permutaciju ulaze u zbir sa znakom +, a ako čine
neparnu permutaciju, sa znakom -, pri čemu prvi indeksi čine osnovnu
permutaciju.
- 5 -

15. Determinantu reda n zapisujemo u obliku sledeće šeme:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a . . . a
a . . . a
. . . . . . . . . . .
a a . . . a
a
a
D = ,
i to je broj koji se može i ovako zapisati
( ) ( )
( )
1
1 2
1
,...,
1 2
,...,
1 ,...,n
n
n
p k k
k k nk
k k
D a a a= −∑ ,
gde je
( )( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 ako je , ,..., neparna permutacija
, ,...,
2 ako je , ,..., parna permutacija
n
n
n
k k k
p k k k
k k k
⎧⎪
= ⎨
⎪⎩
1.4. OSOBINE DETERMINANATA
Determinante proizvoljnog reda imaju čitav niz zajedničkih osobina. Ovde
ćemo navesti najvažnije, a dokazati samo jednu radi ilustracije.
1) Vrednost determinante se ne menja kada vrste pređu u kolone, odnosno
kolone u vrste.
2) Ako u determinanti promene mesta dve vrste (kolone), determinanta
menja samo znak.
3) Vrednost determinante sa dvema jednakim vrstama (kolonama) je
jednaka nuli.
4) Ako svi elementi jedne vrste (kolone) sadrže zajednički množitelj, onda
je on činilac determinante.
5) Vrednost determinante sa dvema proporcionalnim vrstama (kolonama)
jednaka je nuli.
- 6 -

16. 6) Ako su svi elementi neke vrste (kolone) zbirovi od po n sabiraka, onda je
determinanta jednaka zbiru n determinanata u kojima su elementi
odgovarajućih vrsta (kolona) prvi, odnosno drugi, odnosno n-ti sabirci,
dok su elementi u ostalim vrstama (kolonama) isti kao u polaznoj
determinanti.
7) Vrednost determinante se ne menja ako jednoj vrsti (koloni) dodamo
odgovarajuće elemente neke druge vrste (kolone) pomnožene jednim
istim brojem.
Dokaz osobine 2: Neka su
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a . . . a
a . . . a
. . . . . . . . . . .
a a . . . a
a
a
D = i
11 12 1n
1 k2 kn
m1 m2 mn
n1 n2 nn
a . . . a
. . . . . . . . . . .
a . . . a
. . . . . . . . . . .
a a . . . a
. . . . . . . . . . .
a a . . . a
k
a
a
D = ,
gde je D1 determinanta nastala od determinante D promenom mesta k-toj i
m-toj vrsti (k<m). Po definiciji determinante imamo da je
( ) ( )
( )
1
1 2
1
,...,
1 2
,...,
1 ,...,n
n
n
p k k
k k nk
k k
D a a a= −∑ .
Ako u permutaciji (s1,...,sm,...,sk,...,sn) promene mesta sk i sm menja se parnost -
neparnost permutacije i tada je
( ) ( )( )
( )
1
1 2
1
,..., ,..., ,...,
1 2
,..., ,..., ,...,
1 ,...,m k n
n
m k n
p s s s s
s s ns
s s s s
D a a a= −∑
i posle promene mesta činiocima na k-tom i n-tom mestu (pri čemu se
proizvod ne menja), determinanta D postaje
- 7 -

17. ( ) ( )( )
( )
1
1
1
,..., ,..., ,...,
1
,..., ,..., ,...,
1 ... ... ...k m n
k m n
k m n
p s s s s
s ks ms ns
s s s s
D a a a a= − −∑
a ovaj zbir na desnoj strani je jednak determinanti D1, tj. važi D=D1.
1.5. IZRAČUNAVANJE VREDNOSTI DETERMINANATA
1.5.1. Izračunavanje vrednosti determinanata drugog reda
Prema definiciji 1 iz tačke 2.1. imamo da je
11 22 12 21a a a a= −
11 12
21 22
a a
a a
.
Prema tome, vrednost determinante drugog reda dobija se ako se od
proizvoda elemenata sa glavne dijagonale oduzme proizvod elemenata sa
sporedne dijagonale.
Primer 1: .
1 1
1 5 3 1 2
3 5
= ⋅ − ⋅ =
Primer 2:
( )2 2sin cosx
sin cos 1
-cosx sinx
x
x x= − − = .
- 8 -

18. 1.5.2. Izračunavanje vrednosti determinanata trećeg reda
Vrednost determinante trećeg reda može se izračunati pomoću Sarusovog
pravila. To se pravilo sastoji u tome što se kvadratnoj šemi dopišu s desne
strane prva i druga kolona, zatim se pomnože po tri elementa koji leže na istoj
dijagonali. Proizvod elemenata sa glavne (sporedne) dijagonale i njoj
paralelnih biće pozitivan (negativan). Algebarski zbir ovako dobijenih članova
daje vrednost determinante trećeg reda.
Primer 3:
= 1⋅4⋅8+2⋅5⋅3+3⋅1⋅6-3⋅4⋅3-6⋅5⋅1-8⋅1⋅2=-2.
Često se vrednost determinante trećeg reda izračunava kao algebarski zbir
proizvoda od po tri elementa uzeta po sledećoj šemi:
Znak + Znak -
Sa znakom + uzimaju se elementi koji leže na glavnoj dijagonali (a11a22a33) i
u temenima dva jednakokraka trougla čije su osnovice paralelne sa glavnom
dijagonalom. Sa znakom - uzimaju se elementi koji leže na sporednoj
dijagonali (a13a22a31) i u temenima dva jednakokraka trougla čije su osnovice
paralelne sporednoj dijagonali.
- 9 -

19. Primer 4:
1 3 5
1 2 4 1 2 6 3 4 3 1 1 5 5 2 3 1 4 1 1 3 6 1
3 1 6
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = .
1.5.3. Razlaganje determinante po elementima
proizvoljne vrste (kolone)
Ako iz determinante n-tog reda izostavimo i-tu vrstu i j-tu kolonu (u čijem
se preseku nalazi element aij) dobijamo novu determinantu reda n-1 koju
zovemo minorom polazne determinante i koja se označava sa Dij, a koja
odgovara elementu aij. Proizvod (-1)i+j
Dij označavamo sa Aij i zovemo
algebarskom dopunom elementa aij ili kofaktorom elementa aij. Bez dokaza
navodimo sledeću teoremu, važnu za izračunavanje vrednosti determinanata.
Stav 3. Determinanta n-tog reda je jednaka zbiru proizvoda elemenata pro-
izvoljne vrste (kolone) i njima odgovarajućih kofaktora.
Dakle, razvijena po elementima m-te vrste, determinanta D izgleda ovako:
D=
11 12 13 1n
21 22 23 2n
1 m2 m3 mn
1 n2 n3 nn
a a . . . a
a a . . . a
. . . . . . . . . . . . . .
a a . . .a
. . . . . . . . . . . . . .
a a . . . a
m
n
a
a
a
a
=am1Am1+am2Am2+...+amnAmn.
Ova teorema, poznata kao Laplasova teorema, omogućava izračunavanje
vrednosti determinante n-tog reda preko determinanata (n-1)-reda, a
koristeći se još i osobinama determinanata, izračunavanje vrednosti
determinante n-tog reda se može svesti na izračunavanje vrednosti samo
jedne determinante (n-1)-reda, što će biti objašnjeno na primeru:
- 10 -

20. Primer 5:
Izračunati
2 3 1 1
1 2 3 1
1 1 2 3
1 1 1 2
=D
Rešenje: Razvijajući prema Laplasovoj teoremi po elementima prve vrste
dobijamo:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 3 1 4
2 3 1 1 3 1 1 2 1 1 2 3
2 1 1 2 3 3 1 1 2 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2
1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1
+ + + +
= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −D
i računanje ove determinante smo sveli na računanje četiri determinante
trećeg reda. Rezultat posle računanja pomoću Sarusovog pravila
determinanata trećeg reda je
D=-1.
Primetimo da ako bi u prvoj vrsti neki element bio jednak nuli, tada tu
determinantu trećeg reda ne računamo (jer je 0⋅a=0). Dakle, ako koristimo
osobine determinanata u nekoj vrsti (koloni) dobijamo da su svi elementi
izuzev jednog nule, onda se računanje determinanata četvrtog reda svodi na
računanje jedne determinante trećeg reda. U ovom slučaju pomnožimo prvu
kolonu sa -1, pa dodajmo drugoj, dobijamo:
2 1 1 1
1 1 3 1
1 0 2 3
1 0 1 2
=D
- 11 -

21. U ovoj determinanti pomnožimo prvu vrstu sa -1 pa dodajmo drugoj vrsti,
tada je
2 1 1 1
1 1 3 1
1 0 2 3
1 0 1 2
=D
i razvijemo po elementima druge kolone:
( )
1 2
1 2 0
1 1 1 2 3 1
1 1 2
+
−
= ⋅ − = −D .
- 12 -

22. 2. MATRICE
2.1. DEFINICIJA MATRICE
Matrica tipa mxn je skup od m⋅n brojeva (i=1,2,3,...,m;
j=1,2,3,...,n) ili nekih drugih matematičkih veličina, raspoređenih u m vrsta i n
kolona u obliku pravougaone šeme (tablice) koju stavljamo u uglastu zagradu
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.....................
...
...
21
22221
1121
(1)
Brojevi (i=1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) matrice (1) su njeni elementi. Prvi
indeks (i) obeležava vrstu, a drugi (j) kolonu u kojoj se element nalazi.
U opštem slučaju elementi matrice mogu biti bilo koji matematički objekti:
realni brojevi, kompleksni brojevi, funkcije, vektori itd.
Samu matricu označavamo velikim slovima A, B, C,... Često ćemo, da bi
uprostili pisanje matrica, matricu (1) označavati kratko i na sledeći način
,ij m na⎡ ⎤⎣ ⎦
Horizontalni redovi se nazivaju vrste, a vertikalni kolone. Tako, na primer,
elementi
ai1 ai2 ai3 ... ain
matrice (1) čine njenu i-tu vrstu, a elementi
a1j
a2j
a3j
.
.
.
amj
njenu j-tu kolonu.
ija
ija
- 13 -

23. 2.2. NEKI POSEBNI OBLICI MATRICA
Broj vrsta (m) i broj kolona (n) u matrici može biti proizvoljan, pri čemu broj
vrsta može biti i manji i jednak i veći od broja kolona. Posebno važnu ulogu
imaju kvadratna matrica, zatim matrica-vrsta, matrica-kolona, dijagonalna i
jedinična matrica.
Definicija 1.
Ako je u matrici (1) broj vrsta jednak broju kolona (m=n), matrica je
kvadratna i to, kako se onda kaže, reda n. U kvadratnoj matrici
A= (2)
elementi a11 a22 a33 ... ann čine glavnu dijagonalu matrice, a elementi a1n a2(n-
1) ... an1 sporednu dijagonalu matrice.
Sa kvadratnom matricom (2) vezuje se determinanta čiji su elementi,
elementi kvadratne matrice A. Naziva se determinanta kvadratne matrice i
označava se detA, tj.
det A=
Ako je determinanta kvadratne matrice A različita od nule (detA )
matrica A je regularna, a ako je jednaka nuli, ona je singularna.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.....................
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.....................
...
...
21
22221
11211
0≠
- 14 -

24. Definicija 2.
Matrica-vrsta je matrica koja ima jednu vrstu (m=1), a proizvoljno kolona (n-
proizvoljno), tj. matrica oblika
[a1 a2 a3 ... an].
Definicija 3.
Matrica-kolona je matrica koja ima jednu kolonu (n=1), a proizvoljno vrsta
(m-proizvoljno), tj. matrica oblika
Definicija 4.
Matrica sa proizvoljnim brojem vrsta i kolona čiji su svi elementi nule naziva
se nula matrica.
U algebri matrica takva matrica ima ulogu nule i označava se sa 0.
Definicija 5.
Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van glavne dijagonale nule, zove se
dijagonalna matrica. Zapisuje se u obliku
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ma
a
a
a
.
.
3
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0000
.....
0000
0000
0000
33
22
11
nna
a
a
a
- 15 -

25. Definicija 6.
Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jedinice, tj.
matrica
naziva se jedinična matrica i obeležava se I ili E.
U slučaju ako je red jedinične matrice n obeležavaćemo sa In ili En. Jedinična
matrica pri množenju matrica ima u algebri matrica istu ulogu kao i obična
jedinica u algebri brojeva.
2.3 OSNOVNE OPERACIJE SA MATRICAMA
2.3.1 Jednakost matrica
Definicija 7.
Za dve matrice m,nijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ i p,qijB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ kažemo da su jednake kada su one
istog tipa (m=p, n=q) i kada imaju jednake odgovarajuće elemente.
Drugim rečima, ako su matrice ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ i ijB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ tipa mxn, one su jednake
ako i samo ako je:
aij=bij (i=1,2,...m; j=1,2,...n).
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
10000
.....
00100
00010
00001
- 16 -

26. 2.3.2. Transponovana matrica
Ako u matrici A vrste pređu u kolone, odnosno kolone u vrste, ne menjajući
pri tome redosled, dobija se transponovana matrica matrice A, koja se
označava A
T
. Prema tome, ako je
A= onda je A
T
=
2.3.3. Sabiranje i oduzimanje matrica
Definicija 8.
Pod zbirom dve matrice istog tipa mxn podrazumevamo matricu istog tipa
mxn čiji su elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrica koje se
sabiraju.
Drugim rečima, ako su matrice ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ i ijB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ tipa mxn, onda je
m,nij ijA B C a b⎡ ⎤+ = = +⎣ ⎦ .
Analogno definišemo zbir konačnog broja matrica istog tipa mxn.
Polazeći od definicije (1) nije teško pokazati da za sabiranje matrica važi
sledeći stav.
Stav 1.
Sabiranje matrica ima osobine:
A+B=B+A (komutativnost),
(A+B)+C=A+(B+C) (asocijativnost),
A+0=0+A=A.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.....................
...
...
21
22221
11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnnn
m
m
aaa
aaa
aaa
...
.....................
...
...
21
22212
12111
- 17 -

27. Razlika dve matrice definiše se analogno: A-B=[aij-bij] m,n gde su A i B
matrice tipa mxn.
Definicija 9.
Dve matrice A i B su istog tipa mxn čiji je zbir nula matrica, tj. kada je A+B=0
zovu se suprotne. Iz A+B=0 sledi da je aij+bij=0, tj. bij=-aij, što znači da su
elementi suprotnih matrica suprotni brojevi. Za matricu B čiji su svi elementi
suprotni elementima matrice A, pišemo
.ij nn ij nnB b a A⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2.3.4. Množenje matrice brojem
Definicija 10.
Proizvod matrice m,nijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ i broja k je matrica tipa mxn čiji su elementi
jednaki proizvodu odgovarajućih elemenata matrice A i broja k, tj.
m,n .ijA k k A ka⎡ ⎤⋅ = ⋅ = ⎣ ⎦
Za operaciju množenja matrice brojem važe zakoni množenja dati sledećim
stavom.
Stav 2. Operacija množenja matrice brojem ima osobine
s (kA)=(sk)A=k(sA),
k(A+B)=kA+kB,
(k+s)A=kA+sA
gde su k,s brojevi i A, B matrice istog tipa.
Takođe je očigledno da je
1.A=A,
A. 0=0 (nula matrica).
- 18 -

28. 2.3.5 Množenje matrica
Dve matrice m,nijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ i p,qijB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ se mogu pomnožiti jedna sa drugom
samo u slučaju kada je broj kolona prve matrice u proizvodu jednak broju
vrsta druge matrice u proizvodu.
Na taj način, za gore napisane matrice A,B proizvod AB možemo izračunati
samo u slučaju kada je n=p, a proizvod BA samo kada je q=m .
Definicija 11.
Proizvod AB matrica [ ] m,nikA a= i n,pkjB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ je matrica m,pijC c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , čiji su
elementi cij određeni sledećom formulom
( )
1 1 2 2
1
...
1,2,..., ; j=1,2,...,p .
n
ij ik kj i j i j in nj
k
c a b a b a b a b
i m
=
= = + + +
=
∑
Prema tome, obrazovanje elementa cij (element iz i-te vrste i j-te kolone
matrice C=AB) je dosta jednostavno: uočavaju se i-ta vrsta matrice A i j-ta
kolona matrice B:
1
2
1 i2 i3 3
... ...
... ......................
a a ... ... ...
................... ..........
... ...
j
j
i in j
nj
b
b
a a b
b
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
zatim se svaki element i-te vrste množi sa odgovarajućim elementom j-te
kolone i dobijeni proizvodi saberu. Pri tome su odgovarajući elementi
ai1 i b1j, ai2 i b2j,...,i ain i bnj .
Primetimo da matrica C=AB ima toliko vrsta koliko ih ima u prvom faktoru
(matrici A) i toliko kolona koliko ih ima u drugom faktoru (matrici B) proizvoda
AB:
Amxn⋅Bnxp=Cmxp
- 19 -

29. Primer 1:
Naći proizvod AB ako je
1 2 1 0
,
2 1 2 3
A
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 2
2 1
1 1
3 3
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Rešenje:
1 2
1 2 1 0 2 1
2 1 2 3 1 1
3 3
1 1+2 2+1 1+0 3 1 2+2 1+1 1+0 3
=
2 1+1 2+2 1+3 3 2 2+1 1+2 1+3 3
6 5
= .
15 16
AB
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤
⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Iz definicije proizvoda dve matrice proizilazi da za proizvod dve matrice
uopšte uzevši ne važi zakon komutativnosti, tj.
AB BA.
U stvari, kao prvo, može se desiti da proizvod AB ima smisla, a da je
proizvod BA nemoguće izračunati (broj kolona matrice A jednak je broju vrsta
matrice B, no broj kolona matrice B nije jednak broju vrsta matrice A); drugo, i
ako je moguće naći oba ta proizvoda, oni u opštem slučaju neće biti jednaki.
Definicija 12.
Za dve kvadratne matrice jednog te istog tipa čiji proizvod ne zavisi od
poretka činioca (AB=BA) kažemo da su komutativne.
≠
- 20 -

30. Ostale osobine množenja matrica iskazane su sledećim stavom koji
navodimo bez dokaza.
Stav 3. Množenje matrica ima sledeće osobine:
(1) (AB)C=A(BC)=ABC
(2) A(B+C)=AB+AC
(3) (A+B)C=AC+BC
(4) AI=IA=A.
Primer 2:
Za matrice
proizvod AB nema smisla; međutim proizvod BA možemo naći:
2 1 1 0 2 2+1 1 2 5
0 1+1 0 0 2+1 1 0 1 .
1 1+0 0 1 2+0 1 1 2
BA
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Primer 3:
Za matrice
2 -1
1 2 1
, B= 1 3 ,
3 1 2
0 1
A
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
moguća su oba proizvoda:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
01
10
12
Bi
10
21
A
- 21 -

31. ( )
( )
1 2 2 1 1 0 1 -1 2 3 1 1 4 6
7 23 2 1 1 2 0 3 -1 1 3 2 1
2 1 1 3 2 2-1 1 2 1-1 2 1 3
1 1+3 3 1 2+3 1 1 1+3 2
0 1+1 3 0 2+1 1 0 1+1 2
AB
BA
⎡ ⎤⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎢ ⎥
⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦
0
10 5 7 .
3 1 2
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Matrice AB i BA ne samo da nisu međusobno jednake, već su i različitih
tipova.
Primer 4:
Matrice
su komutativne, jer je
tj. AB=BA.
Primer 5:
Za dijagonalne matrice
A= , B=
je
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
72
63
B
41
32
A
,
3411
3312
47321722
46331623
,
3411
3312
74612431
73622332
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅+⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅+⋅
=
BA
AB
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0000
.....
0000
0000
0000
3
2
1
na
a
a
a
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0000
.....
0000
0000
0000
3
2
1
nb
b
b
b
- 22 -

32. AB=BA= .
Prema tome, dijagonalne matrice istog tipa (nxn) uvek su komutativne.
Njihov proizvod je dijagonalna matrica čiji su elementi jednaki proizvodu
dijagonalnih elemenata matrice koje se množe, i tipa je (nxn).
2.4. INVERZNE MATRICE
Definicija 13.
Inverzna matrica A-1 kvadratne matrice A je takva matrica koja pomnožena
sa A bilo sleva bilo zdesna daje jediničnu matricu I, tj.
AA-1= A-1A=I.
Iz definicije 13 sledi da je svaka kvadratna matrica komutativna sa svojom
inverznom matricom.
Sledeći - osnovni stav koji navodimo bez dokaza daje nam odgovor na
pitanje koje matrice imaju inverznu matricu, i daje jedan od načina formiranja
inverzne matrice.
Stav 4.
Svaka regularna matrica A ima jednoznačno određenu inverznu matricu A-1
čiji su elementi a'ik određeni formulom
( )' i=1,2,...,n; k=1,2,...,n ,
det
ki
ik
A
a
A
=
gde je kofaktor elementa a'ik determinante det A.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
b0000
.....
00b00
000b0
0000b
n
33
22
11
na
a
a
a
kiA
- 23 -

33. Prema tome, inverzna matrica kvadratne matrice A reda n je
11 21 31 1
12 22 32 21
1 2n 3n
A A ...
A A ...1 1
...........................det det
A A ...
n
n
n nn
A A
A A
A
A A
A A
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥= =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
A*
gde matricu
A*
nazivamo adjungovanom matricom matrice A.
Primer 6:
Data je matrica
1 2 4
3 5 2
4 6 6
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Ispitati da li data matrica ima inverznu matricu A-1
, i ako je ima naći je.
Rešenje:
Determinanta matrice A je jednaka -10. Prema tome, data matrica A je
regularna i prema stavu 4 ima inverznu matricu A-1
.
Nađimo kofaktore Aij elemenata determinante detA:
A11=18 A12=-10 A13=-2
A21=12 A22=-10 A23=2
A31=-16 A32=10 A33=-1
Na osnovu stava 4 imamo
- 24 -

34. 11 21 31 1
12 22 32 21
1 2n 3n
A A ...
A A ...1 1
...........................det det
A A ...
n
n
n nn
A A
A A
A
A A
A A
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥= =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Napomenimo da za bilo koji prirodan broj m važi
A-m=(A-1)m,
gde je A kvadratna matrica.
2.5. RANG MATRICE
Definicija 14.
Ako se u matrici A tipa mxn izostave p ( ) vrsta i q ( ) kolona, tako da
preostali elementi čine kvadratnu matricu tipa (m-pxn-q), onda se ta
kvadratna matrica naziva kvadratna submatrica matrice A, a njena
determinanta minor matrice A.
Definicija 15.
Matrica A ima rang r ako među njenim minorima postoji bar jedan r-redni
minor različit od nule, dok su svi minori višeg reda (ako ih ima) jednaki nuli.
Rang nula-matrice je 0.
Ako je r rang matrice A, to se označava rang A=r.
m≤ n≤
- 25 -

35. Primer 7:
Odrediti rang matrice
2 1 1 1 1
1 2 3 5 -1
.
1 -1 1 3 -2
4 -4 4 12 -8
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Rešenje:
Prvo, izračunajmo sve minore četvrtog reda date matrice A (u ovom slučaju
najvišeg reda). Pošto matrica A ima četiri vrste i pet kolona, to će ona imati
minora četvrtog reda, koji će se jedan od drugog razlikovati samo kolonama:
1
2 1 1 1
1 2 3 5
0,
1 -1 1 3
4 -4 4 12
D = = 2
2 1 1 1
1 2 3 -1
0,
1 -1 1 -2
4 -4 4 -8
D = =
3
2 1 1 1
1 2 5 -1
0,
1 -1 3 -2
4 -4 12 -8
D = = 4
2 1 1 1
1 3 5 -1
0,
1 1 3 -2
4 4 12 -8
D = = 5
1 1 1 1
2 3 5 -1
0.
-1 1 3 -2
-4 4 12 -8
D = =
Sve ove determinante jednake su nuli jer je u svakoj od njih četvrta vrsta
proporcionalna trećoj. Prema tome, rang matrice A nije četiri.
( ) 5
4321
23455
4
4
5 =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
==C
- 26 -

36. Ispitajmo sada, minore trećeg reda. Kako je
2 1 1
1 2 3 9 0,
1 -1 1
= ≠
dobija se rang A=3.
Broj minora različitog reda date matrice obično je vrlo veliki. Ako je m<n,
minora najvišeg reda m biće ( ), a ako je n<m, minora najvišeg reda n biće
( ). Zato određivanje ranga matrice oslanjajući se neposredno na
izračunavanje minora date matrice obično zahteva dosta računanja, pa se za
određivanje ranga matrice koriste i drugi metodi. Jedan od njih se bazira na
sledećem stavu koji bez dokaza navodimo.
Stav 5.
Rang matrice se ne menja ako se izvrše sledeće operacije:
(1) Razmena mesta dve vrste (kolone);
(2) Dodavanje elementima jedne vrste (kolone) elemenata neke druge vrste
(kolone), pošto su prethodno pomnoženi jednim brojem;
(3) Množenje elemenata jedne vrste (kolone) jednim brojem različitim od
nule;
(4) Sve vrste zamene kolonama.
Operacije pod 1-4 zovemo elementarnim transformacijama matrice.
Definicija 16.
Za dve matrice koje se mogu transformisati jedna u drugu konačnim brojem
elementarnih transformacija kaže se da su ekvivalentne.
Ako su dve matrice A i B ekvivalentne, to se označava A~B.
n
m
m
n
- 27 -

37. Stav 6.
Pri izostavljanju jedne vrste (kolone) neke matrice rang matrice se ne menja
ako i samo ako je dotična vrsta (kolona) linearna kombinacija nekih (ili svih)
preostalih vrsta (kolona). U protivnom slučaju rang matrice se smanjuje za
jedan.
Određivanje ranga matrice
(1) A=
pomoću elementarnih transformacija matrice se sastoji u tome da se pomoću
elementarnih transformacija data matrica (1) svede na ekvivalentnu matricu -
specijalnog oblika:
(2)
11 12 1 1
22 2 2
rr
b ... ...
0 b ... ...
.........................
0 0 ... b ...
r n
r n
rn
b b b
b b
B
b
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(r≤n)
u kojoj su svi "dijagonalni" elementi a11,a22,...,arr različiti od nule, a elementi
ispod "dijagonale" jednaki nuli. Dakle, rang matrice B je jednak broju r, a
kako je matrica B ekvivalentna sa matricom A, imamo da je
rang A=rangB=r.
Samo svođenje matrice A oblika (1) na specijalni oblik (2) vrši se
ustaljenim postupkom: Neka je matrica A oblika (1). Pre svega napomenimo
da ako se u procesu transformisanja matrice A pojavi vrsta koja je linearna
kombinacija nekih drugih vrsta, ili vrsta čiji su svi elementi jednaki nuli, onda
se ta vrsta na osnovu stava 6 može izostaviti. Na taj način, u svakoj preostaloj
vrsti postoji bar jedan element koji nije jednak nuli. Koristeći to nalazimo u
prvoj vrsti matrice A element a1j koji je različit od nule. Razmenom mesta (ako
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.....................
...
...
21
22221
11211
- 28 -

38. je j>1) prve i j-te kolone dovodimo taj element (a1j) na prvo mesto u prvoj
vrsti. Na taj način možemo pisati . Dodavanjem svakoj vrsti počevši od
druge, prvu vrstu pomnoženu sa odgovarajućim brojem (za i-tu vrstu on je
1
11
ia
a
− ) dobijamo matricu oblika
A1=
u kojoj su svi elementi prve kolone izuzev jednaki nuli. Sada, u drugoj vrsti
matrice A1 nalazimo element ,
2ka koji je različit od nule. Pomoću razmene
mesta kolona (ako je k>2) taj element ( ,
2ka ) dovodimo na drugo mesto u
drugoj vrsti; dodavanjem svakoj vrsti počevši od treće, drugu vrstu
pomnoženu sa odgovarajućim brojem, dobijamo matricu oblika
A2=
Produžujući postupak, dobijamo matricu oblika (2).
Primer 8:
Odrediti rang matrice
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
α4175-
7-05-13-
43253-
52331
A ~
011≠a
,
...
.........................
..
...
,
3
,
2
,
2
,
23
,
22
,
1131211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa0
aaa0
a.....aaa
11a
.
....
.........................
....
....
...
,,
3
,,
3
,,
33
,,
2
,
23
,
22
,
1131211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mnm
n
n
n
aa00
aa00
aaa0
a.....aaa
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
25-6-14-8-0
22-6-14-8-0
11-3-7-4-0
52331
α
- 29 -

39. (Elementima druge vrste dodati su elementi prve vrste pomnoženi sa -3;
elementima treće vrste dodati su elementi prve vrste pomnoženi sa -3;
elementima četvrte vrste dodati su elementi prve vrste pomnoženi sa -5). U
zadnjoj matrici treća vrsta je linearna kombinacija druge vrste te se može
izostaviti, pa dobijamo
A~
1 3 3 2 5
0 -4 -7 -3 -11
0 -8 -14 -6 -24
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥α⎣ ⎦
~
1 3 3 2 5
0 -4 -7 -3 -11
0 -8 -14 -6 -24
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥α⎣ ⎦
(Elementima treće vrste dodati su elementi druge vrste pomnoženi sa -2). Ako
u zadnjoj matrici peta i treća kolona razmene mesta dobijamo:
A~
1 3 3 2 5
0 -4 -7 -3 -11
0 0 0 0 -3
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥α⎣ ⎦
Rang poslednje matrice, a samim tim i date je 3, za , odnosno njen
rang je 2 za .
3≠α
3=α
- 30 -

40. 3. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA
3.1. OSNOVNI POJMOVI
Definicija 1.
Sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih x1,x2,...,xn čine
jednačine
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,
(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1+am2x2+...+amnxn=bm,
gde su aij,bi (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) dati brojevi, pri čemu se brojevi aij
nazivaju koeficijentima uz nepoznate, a bi slobodni članovi sistema
jednačina.
Definicija 2.
Rešenjem sistema linearnih jednačina (1) nazivamo vrednosti iz
uređene n-torke (c1, c2,...cn) za koje jednačine sistema prelaze u
identitete, posle zamene nepoznatih xi odgovarajućim vrednostima ci,
tj:
a11c1+a12c2+...+a1ncn≡b1,
a21c1+a22c2+...+a2ncn≡b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1c1+am2c2+...+amncn≡bm.
Definicija 3.
Za sistem (1) kaže se da je saglasan ako ima bar jedno rešenje; u
protivnom, sistem je nesaglasan.
Saglasan sistem je određen ako ima samo jedno rešenje, a neodređen
ako ima više od jednog rešenja.
- 31 -

41. Definicija 4.
Za dva sistema linearnih jednačina sa istim brojem nepoznatih kažemo
da su ekvivalentna ako je svako rešenje jednog sistema istovremeno
rešenje i drugog sistema i obratno (ili ako su istovremeno oba
nesaglasna).
3.2. MATRIČNI OBLIK SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
Sistem jednačina (1) može se pomoću matrica predstaviti u obliku
matrične jednačine
(2) AX=H,
gde je
A - matrica sistema, tj. matrica čiji su elementi koeficijenti uz nepoznate
x1, x2,..., xn:
11 12 1n
21 22 2n
1 m2 mn
a ... a
a ... a
........................
a ... am
a
a
A
a
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
,
X - matrica-kolona čiji su elementi nepoznate x1 ,x2,..., xn;
H - matrica-kolona čiji su elementi slobodni članovi b1, b2,..., bm;
1
2
.
.
.
n
x
x
X
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
,
1
2
.
.
.
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦n
b
b
H
b
Zaista, kako je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice X, to
možemo naći proizvod AX:
- 32 -

42. 11 1 12 2 1 n
21 1 22 2 2 n
1 1 2 2 n
x +a x . . . +a x
x +a x . . . +a x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x +a x . . . +a x
n
n
m m mn
a
a
AX
a
+⎡ ⎤
⎢ ⎥
+⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
+⎣ ⎦
Elementi dobijene matrice-kolone AX su leve strane jednačina
sistema (1), te se na osnovu definicije jednakosti dve matrice, sistem (1)
može napisati u obliku matrične jednačine (2).
3.3. REŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA
3.3.1. Matrično rešenje i Kramerove formule
Posmatrajmo sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,
(1) ...........................................
an1x1+an2x2+...+annxn=bn,
ili u matričnom obliku
(2) AX=H,
gde je matrica sistema A - kvadratna matrica reda n. Pretpostavimo da
je determinanta matrice A različita od nule, tj.
11 12 1n
21 22 2n
1 m2 mn
a ... a
a ... a
........................
a ... am
a
a
A
a
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Tada A ima inverznu matricu A-1
i množenjem obe strane jednačine (2)
sleva sa A-1
, dobijamo A-1
(AX)=A-1
H.
- 33 -

43. Kako je
A-1
(AX)=(A-1
A)X=IX=X
to je
X=A-1
H
i ovaj način rešavanja zovemo matrično rešenje sistema (1).
Takođe iz
X=A-1
H,
odnosno
1
2
.
.
.
n
x
x
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
1
det A
11 21 n1
12 22 n2
1 2n nn
A . . . A
A . . . A
.
.
.
A . . . An
A
A
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
.
.
.
n
b
b
b
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⋅ =⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
=
1
det A
11 1 21 2 n1
12 1 22 2 n2
1 1 2 2 ni
1 1 2 2 nn
. . . +A
. . . +A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . +A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . +A
n
n
i i n
n n n
A b A b b
A b A b b
A b A b b
A b A b b
+ +⎡ ⎤
⎢ ⎥+ +⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
+ +⎢⎣ ⎦
⎥
⎥
dobijamo
(3)
( )
( )
1 1 2 2
1
1
...
det
1
= i=1,2,...,n ,
detA
i i i ni n
n
i
ki k
k
x A b A b A b
A
D
A b
D=
= + + +
=∑
gde je D - determinanta matrice sistema (1) (naziva se i determinanta
sistema), a Di - determinanta dobijena iz determinante D kada se
koeficijenti a1i, a2i,..., ani uz nepoznatu xi (tj, i-ta kolona u determinanti D)
zamene slobodnim članovima b1, b2,..., bn.
- 34 -

44. Dobijene formule (3) nazivaju se Kramerove formule.
Ovim formulama iskazano je Kramerovo pravilo: Ako je determi-
nanta sistema (1) različita od nule, sistem je saglasan i ima jedinstveno
rešenje. Vrednost nepoznate je razlomak čiji je imenilac determinanta
sistema, a brojilac determinanta dobijena iz determinante sistema kada
se umesto koeficijenata uz nepoznatu stave slobodni članovi sistema.
Formula X=A-1
H predstavlja matrični oblik Kramerovih formula
.i
i
D
x
D
=
Pri izvođenju Kramerovih formula pretpostavili smo da je
determinanta sistema (D) različita od nule. Ako je D=0, tada nastupa
jedan od sledećih slučajeva:
(1)sistem je nesaglasan i nema rešenja,
(2)sistem je saglasan, ali neodređen (ima više od jednog rešenja).
3.3.2. Gausov algoritam
Neka je dat sistem jednačina
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,
(1) a31x1+a32x2+...+a3nxn=b3,
...........................................
am1x1+am2x2+...+amnxn=bm.
Tada sledeće transformacije prevode dati sistem u ekvivalentan i
nazivaju se elementarnim transformacijama:
• promena mesta dvema jednačinama u sistemu,
• množenje proizvoljne jednačine sistema brojem različitim od
nule i
• dodavanje levoj i desnoj strani proizvoljne jednačine sistema
odgovarajuće strane neke druge jednačine tog sistema pomno-
žene proizvoljnim brojem.
- 35 -

45. Dati sistem (1) posle konačnog broja primena elementarnih
transformacija (koraka) prevodimo u ekvivalentni sistem završne forme
koji možemo rešiti ili koji je kontradiktoran.
Prvi korak se sastoji u uočavanju jedne jednačine sistema u kojoj je
koeficijent uz nepoznatu x1 različit od nule. Pomoću te jednačine u
ostalim jednačinama eliminišemo nepoznatu x1. Bez umanjenja opštosti
možemo pretpostaviti da je a11≠0. Nepoznate x1 u drugoj jednačini se
oslobađamo množeći prvu jednačinu sa 21
11
a
a
− i dodajući je drugoj
jednačini. Na analogan način se oslobađamo nepoznate x1 i u ostalim
jednačinama. Posle ovog prvog koraka sistem je preveden u
ekvivalentan sistem sledećeg oblika:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a'22x2+...+a'2nxn=b'2,
(2) a'32x2+...+a'3nxn=b'3,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a'm2x2+...+a'mnxn=b'm.
Pri tome mogu nastati sledeći slučajevi:
1) Sistem (2), ekvivalentan sistem sistemu (1), je završne forme, pri
čemu je neka od jednačina sistema dobila oblik 0=b'k, gde je b'k≠0.
U tom slučaju je sistem (2), pa i sistem (1) kontradiktoran
(nemoguć).
2) Sistem (2), ekvivalentan sistem sistemu (1), je završne forme, pri
čemu su svi koeficijenti a'ij i slobodni članovi b'ij jednaki nuli. Tada
se sistem (2) sastoji iz jedne jednačine (prve u sistemu (2)). Ako su
u toj jednačini svi koeficijenti, osim a11, jednaki nuli, sistem ima
jedinstveno rešenje. U protivnom sistem je neodređen.
3) Sistem (2) ekvivalentan sistemu (1), nije završne forme, tj. u
preostalih (m-1) jednačina se ne pojavljuje kontradiktornost, niti
su svi koeficijenti a'ij i slobodni članovi bi (2≤i≤m, 2≤j≤n) jednaki
nuli. U ovom slučaju prelazimo na drugi korak.
- 36 -

46. Pre nego što pređemo na drugi korak napomenimo da, ako smo
zajedno sa nepoznatom x1 eliminisali još neku nepoznatu, kažemo da
imamo ekvivalentni sistem (2) sa skokom, a ako se pojavljuju sve
nepoznate (izuzevši x1) da imamo ekvivalentni sistem bez skoka.
U drugom koraku sistem (2) prevodimo u ekvivalentni sistem tako što
uočavamo jednu jednačinu sistema (2) (izuzimajući prvu) u kojoj se
pojavljuje prva sledeća nepoznata (posle x1) i primenjujemo postupak
kao u prvom koraku.
Na ovaj način, posle konačnog broja koraka (najviše (m-1)) dolazimo
do sistema završne forme koji se može rešiti. Pri tome se na mestu
zadnje jednačine u sistemu završne forme može pojaviti jednačina sa
jednom ili više nepoznatih.
Ako je jednačina sa jednom nepoznatom i pri tome u sistemu nije bilo
skokova, sistem ima jedinstveno rešenje koje dobijamo na sledeći način:
Rešimo poslednju jednačinu kao jednačinu sa jednom nepoznatom xn
pa se sa tim rešenjem vratimo u prethodnu jednačinu (koja ima dve
nepoznate xn,xn-1) i ona postaje jednačina sa jednom nepoznatom xn-1,
koju rešavamo po xn-1 i vraćamo se u prethodnu jednačinu koja sada
takođe postaje jednačina sa jednom nepoznatom. Ovaj postupak se
sprovodi do prve jednačine iz koje konačno dobijamo i rešenje za
nepoznatu x1.
Ako je poslednja jednačina sa više nepoznatih (na primer s), rešavanje
sistema se svodi na prethodni slučaj na taj način što se u zadnjoj
jednačini (kao i u celom sistemu) fiksira (s-1) nepoznata od onih s iz
zadnje jednačine, pa se zadnja jednačina svodi na jednu jednačinu sa
jednom nepoznatom.
Analogno se postupa i u slučaju kada imamo skok. U jednačini pre
skoka, kao i u ostalim jednačinama pre nje, fiksiraju se sve nepoznate
koje se ne pojavljuju u narednoj jednačini, izuzev jedne nepoznate, tako
da ova jednačina postaje jednačina sa jednom nepoznatom.
- 37 -

47. Jasno je da u oba zadnja slučaja sistem ima beskonačno mnogo
rešenja jer "fiksiranim" nepoznatima možemo davati beskonačno mnogo
različitih vrednosti, tj. one u rešenju sistema imaju ulogu parametra.
Primer 1:
Rešiti sistem linearnih jednačina
x1+x2+x3=3
x1+2x2+2x3=5
2x1+3x2+αx3=β
_____________________________________
Rešenje:
(A) Rešimo sistem matričnim metodom:
Sistem se može zapisati na sledeći način:
1
2
3
1 1 1 3
1 2 2 5 ,
2 3
x
x
x
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥α β⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
odnosno AX=B.
Za α≠3 1
2 -1 0
--4 -2 1
- -
-3 -3 -3
1 1 1
- - -
-3 -3 -3
A−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
α α⎢ ⎥=
⎢ ⎥α α α
⎢ ⎥
⎢ ⎥
α α α⎣ ⎦
i
1
2 2
3
8
3
X
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
α −β +⎢ ⎥=
⎢ ⎥α −
⎢ ⎥β −⎢ ⎥
α −⎣ ⎦
i
1
2
3
1
2 2
3
8
3
x
x
x
=
α −β +
=
α −
β −
=
α −
.
- 38 -

48. (B) Kramerovom metodom:
1 2 33, 3, 2 2, 8Δ = α − Δ = α − Δ = α −β + Δ = β −
i kako je i
i
x
Δ
=
Δ
to se dobijaju ista rešenja kao i (A).
(C) Gausovom metodom:
Ako prvu jednačinu u sistemu pomnožimo sa (-1) i dodamo drugoj,
odnosno prvu jednačinu pomnožimo sa (-2) i dodamo prvoj a prvu
prepišemo, dobijamo ekvivalentan sistem:
( )
1 2 3
2 3
2 3
3
x 2
x 2 6
x x x
x
x
+ + =
+ =
+ α − = β −
Ako drugu pomnožimo sa (-1) i dodamo trećoj, dobijamo ekvivalentan
sistem završne forme.
( )
1 2 3
2 3
2 3
3
x 2
x 2 6
x x x
x
x
+ + =
+ =
+ α − = β −
Mogu nastupiti sledeći slučajevi:
1) α≠3 tada je rešenje jedinstveno: iz treće dobijamo 3
8
3
x
β −
=
α −
, iz
druge dobijamo 2
8 2 2
2
3 3
x
β − α −β +
= − =
α − α −
i iz prve dobijamo
1
2 2 8 3 9 2 2 8 3
3 1.
3 3 3 3
x
α −β + β − α − − α +β − −β + α −
= − − = = =
α − α − α − α −
2) α=3 i β≠8 sistem je nemoguć.
- 39 -

49. 3) α=3 i β=8 sistem se svodi na
( )
1 2 3
2 3
3
3
x 2
3 8
x x x
x
x
+ + =
+ =
α − = β −
i fiksirajući x3=t imamo
x2=2-t
x1=1,
odnosno imamo beskonačno mnogo rešenja.
3.3.3. Kroneker-Kapelijev stav
Posmatrajmo sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,
(1) ...........................................
am1x1+am2x2+...+amnxn=bm.
Ovaj sistem se može napisati i u obliku
(2)
111 12 1
21 22 2 2
1 2
1 2
. . ..
. . . +
. . ..
. . ..
n
n
n
m m mmn
aa a b
a a a b
x x x
a a ba
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ + =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Neka je
11 12 1n
21 22 2n
1 m2 mn
a ... a
a ... a
........................
a ... am
a
a
A
a
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Matricu A nazivamo matricom sistema (1), a matricu B proširenom
matricom toga sistema.
- 40 -

50. Za rang matrice A i proširene matrice B sistema (1) važi sledeći stav.
Stav 1. Rang matrice A i rang proširene matrice B sistema (1)
međusobno su jednaki ako i samo ako je poslednja kolona matrice B
linearna kombinacija nekih (ili svih) kolona matrice A.
Sada ćemo formulisati teoreme o egzistenciji rešenja sistema (1).
Stav 2. - Kroneker-Kapelijev stav. Da bi sistem linearnih jednačina (1) bio
saglasan, potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema (1) bude jednak
rangu proširene matrice toga sistema (rangA=rangB).
Dokaz:
Pretpostavimo da je sistem (1) saglasan i da je x1=c1, x2=c2,..., xn=cn,
jedno od njegovih rešenja. Dokažimo da je rangA=rangB. Kako je, prema
pretpostavci, x1=c1, x2=c2,..., xn=cn jedno od rešenja sistema (1), to je
(3)
111 12 1
21 22 2 2
1 2
1 2
. . ..
... ,
. . ..
. . ..
n
n
n
m m mmn
aa a b
a a a b
c c c
a a ba
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ + + =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
tj. poslednja kolona proširene matrice B sistema (1) je linearna
kombinacija svih kolona matrice A, te je prema stavu 1
rangA=rangB.
Prema tome, dokazali smo da je uslov rangA=rangB potreban. Dokažimo
sada da je on i dovoljan, tj. da je sistem (1) saglasan ukoliko je
rangA=rangB. Pošto je rangA=rangB, to postoji minor, koji je bazični
minor kako matrice A, tako i matrice B. Dakle, poslednja kolona matrice
B je linearna kombinacija kolona bazične matrice, odnosno kolona
matrice A. To znači da postoje brojevi c1, c2,..., cn, takvi da je
- 41 -

51. (4)
111 12 1
21 22 2 2
1 2
1 2
. . ..
... .
. . ..
. . ..
n
n
n
m m mmn
aa a b
a a a b
c c c
a a ba
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+ + + =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Upoređujući jednačinu (4) sa jednačinom (2), zaključujemo da je c1, c2,...,
cn rešenje sistema (1). Prema tome, sistem (1) je saglasan.
Stav 3.
Ako je rang matrice saglasnog sistema jednak broju nepoznatih, sistem
ima jedinstveno rešenje.
Stav 4.
Ako je rang matrice saglasnog sistema manji od broja nepoznatih,
sistem ima beskonačno mnogo rešenja.
Primer 2:
Dat je sistem linearnih jednačina
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
4
x +2x 3 7
x +3x 4 2 10
2x +x 3
x x x x
x x
x x
x x
+ + + =
+ + =
+ + =
+ + α = β
Odrediti kada sistem ima jedinstveno rešenje, kada nema rešenje i kada
ima beskonačno mnogo rešenja.
- 42 -

52. Rešenje:
Najčešće se rang matrice i proširene matrice ispituju istovremeno:
1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1
1 2 1 3 7 0 1 0 2 3
1 3 4 2 10 0 2 3 1 6
2 1 3 0 -1 1 2 8
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
α β α − β −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 4
0 1 0 2 3
0 0 3 -3 0
0 0 1 5
1 1 1 1 4 1 1
0 1 0 2 3
0 0 -1 1 0
0 0 1 5
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
α β −⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
α β −⎣ ⎦
1 1 4
0 1 0 2 3
0 0 -1 1 0
0 0 0 1 5
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
α + β −⎣ ⎦
Dakle:
za α≠-1 sistem ima jedinstveno rešenje jer je r(A)=r(B)=4;
za α=-1 i β≠-5, r(A)=3 i r(B)=4 pa sistem nema rešenje;
za α=-1 i β=-5, r(A)=3 i r(B)=3 pa sistem ima beskonačno mnogo
rešenja.
Napomena:
Ovaj postupak je praktično isti kao Gausov postupak za rešavanje
sistema pa se dopisivanjem nepoznatih može naći i rešenje za sistem.
- 43 -

53. P I T A N J A Z A P O N A V L J A N J E
1. Šta je matrica?
2. Navesti vrste matrica.
3. Definisati matrične operacije.
4. Šta je detrminanta?
5. Defisati Sarusovo pravilo za izračunavanje determinanti.
6. Defisati Laplasovo pravilo za izračunavanje determinanti.
7. Nabrojati osnovne osobine determinanti.
8. Šta je rang matrice i kako se određuje?
9. Definisati inverznu matricu.
10. Šta je adjungovana matrica?
KLJUČNI POJMOVI
• MATRICA
• RANG MATRICE
• MINOR
• KOFAKTOR
• ADJUNGOVANA MATRICA
• INVERZNA MATRICA
• DETERMINANTA
• SARUSOVO PRAVILO
• LAPLASOVO PRAVILO
• RANG MATRICE
- 44 -

54. I I - G L A V A
F U N K C I J E
• FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE
• NIZ
• GRANIČNA VREDNOST
• NEPREKIDNOST
• FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH
C I L J E V I U Č E N J A
Kada ovo poglavlje proučite znaćete:
1. Šta su funkcije jedne i više promenljivih,
2. definišete osobine funkcija,
3. šta su inverzne i složene funkcije,
4. pojam niza,
5. pojam granične vredosti,
6. pojam neprekidosti.
4. ELEMENTI MATEMATIČKE ANALIZE
4.1. MODUL REALNOG BROJA
Definicija 1.
Modulom ili apsolutnom vrednošću realnog broja a nazivamo nenegativni
realni broj a jednak broju a ako je a ≥0, odnosno jednak broju -a ako je
a<0.
- 45 -

55. Neposredno iz definicije modula sledi da je za svako a∈R a a− = , odnosno
a a a− ≤ ≤ . Geometrijski, modul realnog broja predstavlja rastojanje tačke
koja odgovara tom broju na brojnoj pravoj do tačke koja odgovara broju nula.
Tako je 4 4 , 0 0− = = itd.
Sada možemo zaključiti da je nejednakost ,x < ε (ε >0) ekvivalentna sa
nejednakostima x−ε < < ε . Može se pokazati da je nejednakost x a− < ε
ekvivalentna sa nejednakostima a x a− ε < < + ε .
Za module realnih brojeva možemo iskazati nekoliko jednostavnih stavova.
Stav 1.
Modul zbira realnih brojeva nije veći od zbira modula sabiraka, tj.
a b a b+ ≤ + .
Dokaz:
Da bi dokazali da je a b a b+ ≤ + razlikujemo dva slučaja.
Prvi: 0a b+ ≥ . Tada je a b a b+ = + . Kako je a a≤ i b b≤ , to je i
a b a b+ ≤ + , pa je a b a b+ ≤ + .
Drugi: a+b<0. Tada je ( ) ( ) ( )a b a b a b a b+ = − + = − + − ≤ + . Jednakost važi ako
su a i b istog znaka.
Stav 2.
Modul razlike nije manji od razlike modula umanjenika i umanjioca.
Dokaz:
Ako je a-b=c, tada je a=b+c, pa je
a b c b a b= + ≤ + − .
Odavde je a b a b− ≥ − .
Takođe važi i nejednakost a b a b− ≤ − .
Stav 3.
Modul proizvoda jednak je proizvodu modula činilaca, tj. .ab a b= ⋅
- 46 -

56. Dokaz:
Ako je ab 0≥ , tada je a b a b⋅ = ⋅ .
Pri tome može biti 0, 0a b≥ ≥ ili 0, b 0.a ≤ ≤
U prvom slučaju je i b ba a= = , pa je jasno a b a b a b⋅ = ⋅ = ⋅ . U drugom
slučaju i ba a b= − = − , pa je jasno
( ) ( )a b a b a b a b⋅ = ⋅ = − ⋅ − = ⋅ .
Ako je 0a b⋅ < , tada može biti a<0, b<o ili a>0, b<0. Pri tome je
( )a b a b⋅ = − ⋅ .
U prvom slučaju je i ba a b= − = , a u drugom , i ba a b= = − pa je jasno
( )a b a b a b⋅ = − ⋅ = ⋅ u prvom, odnosno ( )a b a b a b⋅ = − = ⋅ u drugom
slučaju.
Stav 4.
( )b 0
aa
b b
= ≠ .
Dokaz:
Iz ( )b 0
a
a b
b
⎛ ⎞
= ⋅ ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
sleduje
a a
a b b
b b
⎛ ⎞
= ⋅ = ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
, odnosno
a a
b b
= .
Napomena:
Koristeći se matematičkom indukcijom i stavom 1, može se dokazati i
uopštenje stava 1:
1 2 1 2... ...n na a a a a a+ + + ≤ + +
- 47 -

57. 4.2. NEKI PODSKUPOVI SKUPA REALNIH BROJEVA
I NEKE NJIHOVE OSOBINE
Definicija 2.
Ako su ,a b R∈ , a<b, tada podskupove skupa realnih brojeva definisane na
sledeći način:
[ ] { }
( ] { }
[ ) { }
( ) { }
,
,
,
,
a b x a x b
a b x a x b
a b x a x b
a b x a x b
= ≤ ≤
= < ≤
= ≤ <
= < <
zovemo redom: zatvorenim intervalom (segmentom), poluotvorenim
intervalom s
,
leva, poluotvorenim intervalom s
,
desna, odnosno otvorenim
intervalom (intervalom).
Definicija 3.
Ako je a R∈ , tada podskupove realnih brojeva definisane na sledeći način:
( ) { }
( ) { }
[ ) { }
( ] { }
, i
- ,a , odnosno
, i
- ,a ,
a x x a
x x a
a x x a
x x a
+∞ = >
∞ = <
+∞ = ≥
∞ = ≤
zovemo redom: beskonačnim otvorenim intervalima, odnosno beskonačno
zatvo-renim intervalima.
Pored ovih oznaka često ćemo i za skup svih realnih brojeva upotrebljavati
oznaku ( ),−∞ +∞ .
U daljem tekstu napred pomenute intervale kratko ćemo zvati intervalima,
uvek kada je iz njihove oznake jasno o kom je intervalu reč.
Definicija 4.
Skup X⊆R nazivamo ograničenim odozgo, ako postoji realan broj b, takav da
je x b≤ za svako x X∈ . Za broj b kažemo da je gornje ograničenje skupa X.
- 48 -

58. Definicija 5.
Skup X R⊆ nazivamo ograničenim odozdo, ako postoji realan broj a, takav
da je a x≤ za svako x X∈ . Za broj a kažemo da je donje ograničenje skupa
X.
Definicija 6.
Skup ograničen odozdo i ograničen odozgo zovemo ograničenim.
Za skupove koji nisu ograničeni kažemo da su neograničeni. Napomenimo
da su skupovi ( ) ] ( ) [ ], ,( , , , , ,a a a b a b−∞ −∞ ograničeni odozgo, a da su skupovi
( ) [ ( ) [ ], , , ), , , ,a a a b a b−∞ +∞ ograničeni odozdo. Jasno, ograničeni skupovi su
( ) [ ], , , ),( ,a b a b a b za proizvoljne ,a b R∈ , a<b.
Definicija 7.
Za broj M X R∈ ⊂ kažemo da je najveći element skupa X ako za svako x
, x MX∈ ≤ . Analogno za broj m X R∈ ⊂ kažemo da je najmanji element
skupa X ako za svako , m xx X∈ ≤ .
Iz definicije 2 sledi da zatvoreni interval ima najveći i najmanji element; isto
tako je jasno da [ , )a b ima najmanji a ( ],a b najveći element. Da [ ),a b nema
najveći element (isto kao i (a,b)), a analogno i da ( ],a b odnosno (a,b) nemaju
najmanji element, sleduje neposredno iz sledećeg rasuđivanja: Pretpostavimo
da [ ),a b ima najveći element i da je to 0b . Jasno 0b b< po definiciji ovog
intervala. Neka je
2
ob b−
= ε .
Pri tome je
0
0
2 2 2
o
o
b b b b b b
b b b
− + +
+ε = + = < =
- 49 -

59. pa je i broj [ )0 ,b a b+ε∈ , što je suprotno pretpostavci da je 0b najveći element.
Odavde sledi zaključak da ograničeni skupovi realnih brojeva ne moraju imati
najveći niti najmanji element.
Definicija 8.
Broj M nazivamo supremumom skupa X R⊂ ako je
(I) za x Xx M≤ ∀ ∈
(II) 0 x X∀ε > ∃ ∈ takvo da je x M> − ε.
Ako takav konačan broj M postoji tada pišemo da je supX =M a ako ne
postoji pišemo po definiciji sup X= +∞ .
Definicija 9.
Broj m nazivamo infinumom skupa X R⊂ ako je
(I) za x Xx m≥ ∀ ∈
(II) 0 x X∀ε > ∃ ∈ takvo da je x<m+ε .
Ako takav konačan broj m postoji tada pišemo da je infX=m a ako ne postoji
pišemo po definiciji inf X = −∞ .
Bez dokaza navodimo sledeći stav.
Stav 5.
Svaki neprazan skup realnih brojeva ograničen odozgo ima konačan
supremum, a ograničen odozdo konačan infimum.
Napomenimo da iz definicija najvećeg, najmanjeg elementa i supremuma i
infimuma skupa sledi da ako skup ima najveći element onda ima supremum
jednak tom elementu (analogno za infimum i najmanji element). Obrnuto ne
mora važiti.
- 50 -

60. Stav 6.
Za proizvoljni neprazan podskup skupa realnih brojeva supremum i infimum su
jedinstveni.
Dokaz:
Pretpostavimo suprotno, tj. neka postoji X R⊂ takav da je supX=M1 i
supX=M2, gde je M1<M2. Označimo sa M2-M1= 0ε > . Kako je M2=supX sledi
da je za svako 2 2 1, i zax X x M M M∈ < ε = − postoji x Xε∈ tako da je
( )2 2 2 1 1x M M M M Mε > −ε = − − =
a ovo protivreči činjenici da je M1=supX . Analogno za infimum.
Napomena:
Očigledno je da su ovde neki pojmovi "ponovljeni" jer o njima je bilo reči u
poglavlju o uređenim skupovima jer je i (R,≤) uređen skup. Ponavljanje je
"namerno" zbog važnosti ovih pojmova u skupu realnih brojeva.
Od značaja je za dalja izlaganja upoznati se sa pojmom okoline neke tačke.
Definicija 10.
Proizvoljan skup U⊂ R zovemo okolinom tačke x0 ako postoji 0ε > , takvo da
je ( )0 0,x x U−ε +ε ⊆ .
Inače sam skup ( )0 0,x x U−ε +ε ⊆ , kao otvoreni interval, zvaćemo još i ε -
okolinom tačke x0 i označavati sa 0ε (x0).
Zaključimo ovo poglavlje sa sledećim stavom o zatvorenim intervalima:
Stav 7.
Sistem zatvorenih intervala [ ] [ ] [ ]1 1 2 2, , , ,... , ,...n na b a b a b takav da je
1 2 3 2 1... ... ...n na a a a b b b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ sadrži tačno jedan broj u skupovima
sistema, ako se za svako 0ε > može naći interval ,p pa b⎡ ⎤⎣ ⎦ koji pripada
sistemu takav da je p pa b− < ε .
- 51 -

61. Dokaz:
Očigledno je da svi zatvoreni intervali imaju zajedničkih tačaka.
Pretpostavimo da postoje dve tačke ,x y R∈ x<y, takve da je za svako n
n na x y b≤ ≤ ≤ odnosno y-x< n nb a− .
Neka je y-x= 0ε > . Po pretpostavci teoreme, imamo da postoji p N∈ takvo da
je p pb a− <ε =y-x, a to je u kontradikciji sa prethodnim zaključkom da je za
svako n y-x< n nb a− . Dakle, sistem zatvorenih intervala koji zadovoljavaju
uslove teoreme sadrži samo jednu tačku.
4.3. POJAM FUNKCIJE
4.3.1. Pojam funkcije jedne nezavisne promenljive
Definicija 11.
Neka su X i Y neprazni podskupovi skupa R i neka je f proizvoljni zakon koji
svakom elementu x skupa X pridružuje tačno jedan element y iz skupa Y,
koji ćemo označiti sa y=f(x). Tada kažemo da je na skupu X definisana
funkcija y=f(x) sa vrednostima u skupu Y. Pri tome y zovemo vrednošću
funkcije, slikom, ili zavisno promen-ljivom, a x argumentom, originalom ili
nezavisnom promenljivom. Sam skup X zovemo domen ili oblast
definisanosti funkcije a skup Y antidomen ili oblast vrednosti funkcije f(x).
Nije teško videti da se ova definicija poklapa sa definicijom funkcije u
algebarskom smislu (vidi preslikavanje).
Funkcije kod kojih su domen i antidomen podskupovi skupa realnih brojeva
zovu se realne funkcije realne promenljive (sa kojima ovde isključivo radimo).
Zbog ovoga, funkcije će nam najčešće biti zadane formulama (analitičkim
izrazima) y=f(x) (odnosno y=y(x), y=F(x), y= ( )xφ ...) bez ukazivanja na oblast
definisanosti i na oblast vrednosti funkcije.
Pod oblašću definisanosti funkcije y=f(x) podrazumevamo skup tačaka x za
koji izraz f(x) ima smisla (jasno, u skupu realnih brojeva).
- 52 -

62. Tako, na primer, funkcija 2
9y x= − ima oblast definisanosti D=[ ]3,3− , a skup
vrednosti, skup [ ]0,3 . Funkcija
2
1
y
x
=
−
ima oblast definisanosti D=
) (( ) { },1 1, 1R−∞ ∪ +∞ = , jer izraz
2
1x −
za x=1 nema smisla. Analogno, funkcija
2
2
ln
1
x
y
x
−
=
−
ima oblast definisanosti ( ) ( )1,1 2,− ∪ +∞ jer izraz 2
2
ln
1
x
x
−
−
ima
smisla jedino za 2
2
0
1
x
x
−
>
−
.
Ako su date funkcije u=g(x) i y=f(u), onda može biti definisana funkcija
y=f(g(x)) koju ćemo zvati složenom funkcijom ovih dveju funkcija.
Tako, na primer, funkcija 2
9y x= − je složena funkcija od funkcija y=
2
i u 9-xu = .
Primetimo isto tako da funkcija ( )y f x= može biti složena i od tri i više
funkcija. Na primer, funkcija 3 2
sin cosy x= je složena funkcija od funkcija
23
sin , u , v z , z cosxy u v= = = = .
U navedenim primerima y je definisano eksplicitno kao funkcija od x, tj.
jednačinom y=f(x). Primetimo da y kao funkcija od x može biti zadana i
implicitno, tj. jednačinom F(x,y)=0.
Razjasnimo kada jednačina F(x,y)=0 definiše funkciju y=f(x). Neka je X skup
vrednosti takvih, da za svako 0x X∈ jednačina F( 0x ,y)=0 ima po y bar jedno
rešenje koje je realno. Sada svakom elementu pridružimo realan broj y(x)
(tačno jedan) takav da je F(x,y(x))=0. Na ovaj način smo jednačinom F(x,y)=0
zadali na skupu X, kao oblasti definisanosti, funkciju y=y(x). Jasno je da se
najčešće jednačinom F(x,y)=0 može implicitno zadati više funkcija y=y(x). Tako,
na primer, jednačinom 2 2 2
0x y R+ − = mogu biti definisane i ove dve funkcije
2 2 2 2
i y -y R x R x= − = − (kao i druge).
Ako je zadata funkcija y=f(x) takva da je definisana na nekom skupu X, a
antidomenom Y i ako je pri tome svako y∈Y slika tačno jednog elementa iz
skupa X, tada možemo na skupu Y definisati funkciju koja proizvoljnom
elementu y∈Y, pridružuje x X∈ takav da je y=f(x). Ovako definisana funkcija
- 53 -

63. na skupu Y označava se sa x=f 1−
(y) i zove se inverzna funcija funkcije y=f(x).
Pri tome je jasno da važi f 1−
(f(x))=x za x X∀ ∈ i ( )( )1
f f y y−
= za y Y∀ ∈ .
Napominjemo da se za inverznu funkciju funkcije y=f(x) najčešće upotrebljava
oznaka f 1−
(x), jer je uobičajeno da se sa x označava nezavisna promenljiva a sa
y zavisna promenljiva. Tako, na primer, funkcija 2
y x= za x>0 ima ispunjene
prethodne uslove: jer preslikavanje x=[ ) [ )0, u y 0,+∞ = + ∞ i svako y Y∈ je
slika tačno jednog elementa iz skupa X. Inverzna funkcija funkcije y= 2
x je
funkcija x= y (odnosno y x= ).
Funkcija y=f(x) može biti zadata i na sledeći način. Neka su date funkcije
( ) ( )i x= ty t= ψ ϕ definisane na istom skupu T i neka su im antidomeni Y i X.
Neka funkcija x= ( )tφ ima inverznu funkciju ( )1
t x−
= φ . Za funkciju y=f(x), koja
ima za domen skup X a za antidomen skup Y, a koja se dobija kao složena
funkcija funkcije ( )y t= ψ i ( )1
t x−
= φ , tj. y=f(x)= ( )( )1
x−
ψ φ , kažemo da je
zadata parametarski jednačinama ( )y t= ψ i x= ( )tφ . Tako je, na primer,
funkcija 2
1y x= − zadata parametarski jednačinama y=sin t, x=cos t t [ ],o∈ π .
Zaista, funkcija x=cost ima inverznu funkciju na ovom intervalu t=arccosx, pa
je
y=sin(arccosx)= ( ) ( )
22 2
1 cos arccos 1 cos arccos 1x x x− = − = −
Na kraju, napomenimo da se funkcije u primenama mogu zadavati
tabelarno (na konačnim skupovima), grafički (u skladu narednog odeljka), u
obliku programa na računaru itd, jer nije uvek moguće svakoj funkcionalnoj
zavisnosti pridružiti analitički izraz u praksi.
Primetimo da je ovde, u prethodnom tekstu, bio specijalno istaknut domen
funkcije, ali je isto tako značajan antidomen za definisanje raznih osobina
funkcija. Na primer, za funkciju y=f(x) kažemo da je ograničena ako joj je
antidomen (kao skup ograničen) analogno ograničena odozgo i odozdo.
- 54 -

64. Navešćemo i još neke značajne osobine funkcija.
(1) MONOTONE FUNKCIJE
Definicija 12.
Za funkciju y=f(x) definisanu u nekom skupu E kažemo da je rastuća
(opadajuća) ako je za (∀x1,x2∈E) x1<x2
f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).
Rastuće i opadajuće funkcije zovemo zajedničkim imenom monotone
funkcije.
Definicija 13.
Za funkciju y=f(x) definisanu u nekom skupu E kažemo da je neopadajuća
(nerastuća) ako je za (∀x1,x2∈E) x1<x2
f(x1)≤f(x2) (f(x1)≥f(x2)).
Nerastuće i neopadajuće funkcije ćemo zvati slabo monotonim funkcijama.
Jasno je da je svaka monotona funkcija slabo monotona, dok obrnuto ne
mora važiti.
Intervale u kojima slabo monotona funkcija ima konstantnu vrednost
zovemo intervalima konstantnosti.
Jasno je da monotone funkcije nemaju intervale konstantnosti.
Primer 1:
Funkcija y=ex
je rastuća funkcija u celoj oblasti definisanosti.
Primer 2:
Funkcija y=e-x
je opadajuća funkcija u celoj oblasti definisanosti.
Primer 3:
Funkcija y=[x] ([x] je celobrojna vrednost od x) je neopadajuća funkcija
u celoj oblasti definisanosti.
- 55 -

65. (2)PARNE I NEPARNE FUNKCIJE
Definicija 14.
Za funkciju y=f(x) definisanu na skupu D kažemo da je parna (neparna) ako iz
x∈D sleduje -x∈D i f(-x)=f(x) (f(-x)=-f(x)) za svako x iz oblasti definisanosti.
Iz definicije je jasno da oblast definisanosti funkcije koja je parna (neparna)
mora biti deo x ose simetričan u odnosu na koordinatni početak.
Primer 4: Funkcija
2
2
1
x
y
x
=
−
je parna a funkcija
2
2
1
x
y
x
=
−
je neparna funkcija.
(3)PERIODIČNE FUNKCIJE
Definicija 15.
Funkciju y=f(x) definisanu na skupu D nazivamo periodičnom ako postoji
realan broj T≠0, takav da za svako x∈D sleduje x ± T∈D i f(x)=f(x ± T).
Najmanji od svih pozitivnih brojeva T koji zadovoljavaju prethodnu
definiciju naziva se osnovna perioda funkcije i označava se sa ω.
Iz definicije sledi da ako x pripada oblasti definisanosti funkcije f(x), a ω je
osnovna perioda funkcije f(x), onda i svaki od brojeva x k± ω (k=0,1,2,3,...)
pripada oblasti definisanosti funkcije f(x) i pri tome je
f(x)=f( x k± ω) (k=0, ± 1, ± 2,...)
što se može dokazati matematičkom indukcijom.
Primer 5:
Trigonometrijske funkcije sinx i cosx su periodične sa osnovnom periodom
ω=2π a funkcije tgx i ctgx su takođe periodične sa osnovnom periodom ω=π .
- 56 -

66. 4.3.2. Grafik funkcije
Definicija 16.
Grafikom funkcije y=f(x), u Dekartovom koordinatnom sistemu, u ravni,
zovemo skup tačaka u ravni M(x,f(x)).
Primer 6:
Grafik funkcije zadate tabelom
x 1 2 3 4 5
y 2 4 0 2 1
je prikazan na slici 1.
Slika 1.
Dakle, grafik ove funkcije je skup tačaka G={M1,M2,M3,M4,M5}. Tako, na
primer, tačka M2(2,4) pripada grafiku date funkcije jer je y(2)=4.
- 57 -

67. Primer 7:
Grafik funkcije 2
16y x= − je polukrug iznad x-ose (sl. 2).
Slika 2.
Primer 8:
Grafik funkcije y x= je prikazan na slici 3.
Primer 9:
Grafik funkcije
0 x 0
1 x 0
y
<⎧
= ⎨
≥⎩
je prikazan na slici 4.
Slika 3. Slika 4.
Primer 10:
Grafik funkcije ( )
1 x 0
sgn 0 x 0
1 x 0
f x x
>⎧
⎪
= = =⎨
⎪− <⎩
je dat na slici 5.
- 58 -

68. Slika 5.
Napomena 1:
Postoje funkcije kojima je nemoguće nacrtati grafik. Primer takve funkcije je
Dirišleova funkcija
0 x racionalno
( )
1 x iracionalno
D x
⎧
= ⎨
⎩
Napomena 2:
Ako je data funkcija y=f(x) i njen grafik, onda je grafik funkcije y=f-1
(x) koja je
inverzna datoj funkciji simetričan u odnosu na pravu y=x, što sledi iz činjenice
da inverzna funkcija x=f-1
(y) ima isti grafik kao i funkcija y=f(x) a zamena
promenljivih dovodi do pomenute simetrije.
Napomena 3:
Iz definicije parne funkcije proizilazi da je njen grafik simetričan u odnosu na y-
osu a iz definicije neparne funkcije da je njen grafik simetričan u odnosu na
koordinatni početak što se vidi, na primer, iz grafika funkcija
2
2
1
x
y
x
=
−
(sl. 6),
2
2
1
x
y
x
=
−
(sl. 7).
Slika 6. Slika 7.
xx
yy
00
y= y=
x2 x
x2-1 x2-1
- 59 -

69. Napomena 4:
Iz definicije periodične funkcije proizilazi da je njen grafik "dovoljno" nacrtati u
jednom intervalu [ ]; x+x ω gde je ω njena osnovna perioda. Ceo grafik će činiti
beskonačno mnogo grafika kongruentnih sa nacrtanim, a koji se nalaze u
intervalima [ ]; x+x ω gde je k ceo broj. Tako, na primer, grafik funkcije
[ ]y x x= − koja je periodična sa osnovnom periodom 1ω = na intervalu [ ]0,1 je
deo prave y=x za [ ]0,1x∈ i y=0 xa x=1. Ceo grafik posmatrane funkcije je dat
na sl. 8.
Slika 8
[x] - celobrojna vrednost od x
npr. [1,2]=1
[0,2]=0
[-0,2]=-1
Napomena 5:
Do sada smo funkcije predstavljali grafički u Dekartovom pravouglom
koordinatnom sistemu. To je moguće učiniti i u drugim koordinatnim
sistemima na potpuno isti način kako je to urađeno u prethodnom slučaju.
- 60 -

70. 5. NIZOVI
5.1. OSNOVNI POJMOVI
Definicija 1.
Pod nizom podrazumevamo preslikavanje definisano na skupu prirodnih
brojeva
( )( 1,2,...)nx f n n= =
Skup vrednosti pri tome može biti: Skup realnih brojeva (te nizove zovemo
realni nizovi), skup kompleksnih brojeva (kompleksni nizovi), skup funkcija
(funkcionalni nizovi) itd.
Ovde ćemo razmatrati isključivo realne nizove.
Vrednosti funkcije f(n)=xn za svako n N∈ se zovu elementima ili članovima
niza a broj n se naziva indeksom elementa nx .
Niz ćemo označavati na jedan od sledećih načina:
, n 1,2,...,nx = ili sa ( nx ),
(na primer
1 2 3
, , ,...
1 2 3 4
n
n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, ( ) ( )cos 1,1, 1,1,,...nπ = − − ).
Element xn niza (xn) se zove opšti član niza.
Primetimo da se elementi niza ne moraju razlikovati po veličini. Tako na
primer kod niza ( ) 1 3 2 4cos x ... 1 a x ... 1n x xπ = = = − = = = .
Ako je zadat proizvoljni niz (xn) od njega možemo na beskonačno mnogo
načina formirati novi niz
( ) ( )1 2
, ,...kn n nx x x=
gde indeksi kn uzimaju vrednosti u skupu prirodnih brojeva i pri tome je
n1<n2<...<nk...
Niz (xnk
) zovemo podnizom niza (xn) .
Niz (xn) nazivamo monotono rastućim (opadajućim) ako je za svako
( )1 1n N n n n nx x x x+ +∈ < > .
- 61 -

71. Niz (xn) nazivamo monotono neopadajućim (nerastućim) ako je za svako
( )1 1n N n n n nx x x x+ +∈ ≤ ≥ .
Niz (xn) nazivamo ograničenim odozgo (odozdo) ako postoji realan broj M (m),
takav da je za svako ( )n N n nx M x m∈ ≤ ≥ .
Niz (xn) nazivamo ograničenim ako je on ograničen odozgo i odozdo.
5.2. TAČKA NAGOMILAVANJA
Definicija 2.
Za broj a kažemo da je tačka nagomilavanja niza (xn), ako se u proizvoljnoj
okolini toga broja nalazi beskonačno mnogo elemenata niza.
Sa prethodnom definicijom je ekvivalentna sledeća:
Definicija 3.
Broj a je tačka nagomilavanja niza (xn) ako za proizvoljno 0ε > postoji podniz
(xnk
) datog niza takav da svi elementi datog podniza imaju osobinu
knx a− < ε .
Primer 1:
Niz sa opštim članom ( ) sin
2
n
n
x
π
= ima tri tačke nagomilavanja 1,0 i -1, jer je
x2=x4=...=x2n=...=0,
x1= x5 =...x4n-3=...=1,
x3=x7=...=x4n-1=...=-1 ( n N∈ ).
- 62 -

72. Primer 2:
Niz sa opštim članom ( )
1
nx
n
= ima 0 kao tačku nagomilavanja jer za ma koje
0ε > , postoji prirodan broj no takav da je
0
1
n
< ε , pa onda počevši od (xn) svi
članovi niza sa većim indeksom (tj. njih beskonačno mnogo) pripadaju okolini
( )0 0ε
.
Iz ovih primera zaključujemo da niz može imati više tačaka nagomilavanja
(1) kao i to da tačka nagomilavanja ne mora biti i član niza (2).
Isto tako postoje nizovi koji nemaju tačaka nagomilavanja (na primer nizovi
sa opštim članom xn=3n
ili xn =n).
Nije teško primetiti da su oba niza koje smo naveli kao primere niza koji
nemaju tačku nagomilavanja bili neograničeni. Za ograničene nizove važi
poznati "Vajerštrasov stav" koji navodimo bez dokaza.
Stav 1.
Ograničeni niz ima bar jednu tačku nagomilavanja.
5.3. GRANIČNA VREDNOST NIZA
Definicija 4.
Broj a nazivamo graničnom vrednošću ili limesom niza (xn) ako se u
proizvoljnoj okolini tačke a nalaze skoro svi članovi niza.
Pod iskazom "skoro svi članovi niza" podrazumevamo izuzimanje
eventualno njih konačno mnogo. Ova definicija može da se iskaže i na sledeći
ekvivalentan način:
- 63 -

73. Definicija 5.
Broj a nazivamo graničnom vrednošću ili limesom niza (xn) ako za svako 0ε >
postoji ( )0
n Nε ∈ tako da je nx a− < ε za svako ( )0
,n N n n∈ > ε .
Činjenicu da je broj a granična vrednost niza (xn) označavamo na sledeći
način:
lim xn =a ili xn →a (n→∞).
n→∞
Nizovi koji imaju graničnu vrednost zovu se konvergentni, a nizovi koji
nemaju graničnu vrednost zovu se divergentni.
Primer 3:
Niz sa opštim članom
1
n
n
x
n
+
= ima graničnu vrednost 1.
Rešenje:
Zaista, za proizvoljno 0ε > , ako uzmemo da je 0
1
n >
ε
, n0∈N dobijamo za
svako 0n N, n n∈ > :
Analogno kao u prethodnom primeru imamo da je
1
lim 0
n n→∞
= .
Navedimo sada neke najvažnije stavove o konvergentnim nizovima.
Stav 2.
Ako je niz konvergentan onda je on ograničen.
Stav 3.
Konvergentan niz ima jedinstvenu graničnu vrednost.
- 64 -

74. Dokaz:
Pretpostavimo da niz (xn) ima dve granične vrednosti, tj. neka je
lim i lim , b a .n n
n n
x a x b
→∞ →∞
= = >
Neka je
2
b a−
= ε. Tada imamo da postoji 1n N∈ takav da za svako
1, n nn N∈ > , je zadovoljena nejednakost
2
n
b a
x a
−
− < ε = .
Isto tako postoji 2n N∈ takav da za svako 2, n nn N∈ > je zadovoljena
nejednakost
2
n
b a
x b
−
− < ε = .
Očigledno je da za svako { }1 2, n max n ,nn N∈ > važe obe napred pomenute
relacije:
a-ε<xn<a+ε i b-ε<xn<b+ε .
Kako je i b-
2 2 2
b a a b a b
a a
− + +
+ ε = + = ε = to dobijamo da je
2
n n
a b
x x
+
< < , što je nemoguće.
Isto tako je nemoguće da bude a>b, i mora biti a=b.
Posledica:
Ako je niz konvergentan onda je njegova granična vrednost jedina tačka
nagomilavanja.
Napomena:
Obratno tvr|enje da je niz sa jednom tačkom nagomilavanja konvergentan
važi samo za ograničene nizove dok postoje neograničeni nizovi koji imaju
jednu tačku nagomilavanja a koji nisu konvergentni. Takav je na primer niz sa
opštim članom ( )1
n
nx n −
= odnosno niz (1,2,
1 1
,4, ,...,
3 5
) koji ima nulu kao jedinu
tačku nagomilavanja, ali je divergentan.
Stav 4.
Svaki monotoni rastući (opadajući) niz ogranićen odozgo (odozdo) je
konvergentan.
- 65 -

75. Stav 5.
Ako su dati nizovi (xn), ( yn) i ( zn) takvi da je za svako n N∈
xn ≤ yn ≤ zn,
tada ako je lim limn n
n n
x z a
→∞ →∞
= = onda je i niz (yn) konvergentan i
lim n
n
y a
→∞
= .
5.4. KOŠIJEV OPŠTI KRITERIJUM KONVERGENCIJE
Ako je niz (xn) konvergentan i ima graničnu vrednost a, onda za proizvoljno
0ε > postoji ( )0
n Nε ∈ tako da je za 0, nn n N> ∈
/ 2.nx a− < ε
Ako su n i m prirodni brojevi tada je, kada su oni veći od 0n ,
/ 2 i / 2n mx a x a− < ε − < ε
pa je i
( ) ( )
2 2
n m n m n mx x x a x a x a x a
ε ε
− = − − − ≤ − + − = + = ε ,
odnosno važi tvr|enje:
Ako je niz (xn) konvergentan onda on zadovoljava "Košijev uslov": Za svako
0ε > postoji ( )0
n Nε ∈ takav da za svako 0, , ,n m N n m n∈ > je zadovoljena
nejednakost: n mx x− < ε .
Može se pokazati da važi i obratno tvr|enje (koje ovde navodimo bez
dokaza):
Ako niz (xn) zadovoljava Košijev uslov onda je konvergentan, tj. postoji broj
a takav da je lim n
n
x a
→∞
= .
- 66 -

76. Ako sada spojimo prethodna dva tvr|enja dobijamo stav poznat kao
Košijev opšti kriterijum konvergencije:
Niz (xn) je konvergentan ako i samo ako za svako 0ε > postoji ( )0
n Nε ∈
takav da je
n p nx x+ − < ε ,
za svako 0,n N n n∈ > i svako p N∈ .
5.5. ARITIMETIČKE OPERACIJE SA NIZOVIMA
Neka su (xn) i (yn) dva niza. Nazovimo nizove (xn+yn), (xn-yn) i (xn⋅yn) zbirom,
razlikom i proizvodom nizova (xn) i (yn). Ako je yn≠0 za svako n N∈ , tada niz
n
n
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
zovemo količnikom nizova (xn) i (yn).
Za konvergentne nizove (xn) i (yn) prirodno je postaviti pitanje šta je sa
njihovim zbirom, razlikom, proizvodom i količnikom.
Odgovor na pitanje koje je postavljeno daje sledeći stav.
Stav 6.
Ako je lim n
n
x a
→∞
= i lim n
n
y b
→∞
= onda je :
(1) ( )lim lim limn n n n
n n n
x y x y a b
→∞ →∞ →∞
± = ± = ±
(2) lim lim limn n n n
n n n
x y x y a b
→∞ →∞ →∞
⋅ = ⋅ = ⋅
(3) →∞
→∞
→∞
= =
n
n n
n
n n
n
lim xx a
lim
y lim y b
(yn≠0 i b≠0).
- 67 -

77. Primetimo da se može dogoditi da postoji granična vrednost zbira, razlike,
proizvoda i količika dvaju nizova ali tada ne moraju postojati granične
vrednosti samih tih nizova. Na primer, nizovi sa opštim članom xn=yn=n su
divergentni, a niz sa opštim članom xn-yn=0 je konvergentan, ili nizovi sa
opštim članovima nsin i y cos
2 2
n
n n
x
π π
= = su divergentni, a niz sa opštim
članom sin cos 0
2 2
n n
n n
x y
π π
= = je konvergentan.
5.6. BESKONAČNO MALI I BESKONAČNO VELIKI NIZOVI
Za niz (xn) kažemo da je beskonačno mali (nula niz) ako je on konvergentan
i ako je lim 0n
n
x
→∞
= .
Nije teško videti da važi sledeći stav:
Stav 7.
Niz (xn) ima graničnu vrednost a ako i samo ako postoji nula niz αn takav da je
xn=a+αn.
Za niz (xn) kažemo da je beskonačno veliki ako za svako M>0, postoji
n0(M)∈N takav da je za svako n∈N, n>n0 .nx M>
U tom slučaju pišemo da je nlim ili x kad n .n
n
x
→∞
= ∞ → ∞ → ∞
Ako je dat beskonačno veliki niz (xn) i ako je počevši od nekog prirodnog
broja n0, xn stalno (I) pozitivno, odnosno (II) negativno onda ćemo pisati
(I) lim n
n
x
→∞
= +∞ ,
odnosno (II) lim .n
n
x
→∞
= −∞
Bez dokaza navodimo sledeća svojstva.
- 68 -

78. Stav 8.
Ako je niz (xn) ograničen a niz (yn), yn≠0, beskonačno veliki
onda je niz n
n
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
beskonačno mali.
Stav 9.
Ako je apsolutna vrednost niza (xn) ograničena odozdo pozitivnim brojem, a
(yn) je nula niz čiji su elementi različiti od nule, onda je n
n
x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
beskonačno veliki
niz.
5.7. NEKI VAŽNIJI NIZOVI
(1) Niz sa opštim članom xn=qn
, 0<q<1, je konvergentan i pri tome je
lim 0.n
n
q
→∞
=
Zaista kako je 0<q<1 to je qn+1
<qn
, pa je niz monotono opadajući, a kako je i
qn
>0 za svako n∈N to je on i ograničen pa postoji granična vrednost ovog niza.
Neka je lim .n
n
q A
→∞
= Jasno je da pri tome mora biti i 1
lim n
n
q A+
→∞
= , odnosno
lim n
n
q q A
→∞
= ili qA=A, odakle je (kako je q≠1) A=0.
Napomenimo da se može pokazati da je lim 0 za q 1.n
n
q
→∞
= <
(2) Niz sa opštim članom xn=qn
, 1,q > je beskonačno veliki niz.
Sledi iz prethodnog primera i iz stava 9.
(3) Niz sa opštim članom Sn=a+aq+aq2
+...+aqn
zove se geometrijska progresija.
Opšti član ovoga niza se može zapisati i na drugi način:
( ) ( )
1
1 1
n
1
jer je
1
S ... ... .
n
n
n n n
n
q
S a
q
qS a aq aq aq a aq
+
+ +
−
= ⋅
−
− = + + − + + = −
- 69 -

79. Sada na osnovu prethodnih primera sledi da je u slučaju 0<q<1, ovaj niz
konvergentan i
lim
1
n
n
a
S
q→∞
=
−
a u slučaju 1q > ovaj niz beskonačno veliki.
(4) Broj e .
Ovde ćemo dokazati da niz sa opštim članom
1
1
n
nx
n
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
konvergira. U tom cilju ćemo pokazati da je ovaj niz monotono rastući i
ogranićen odozgo.
Da bismo pokazali da je niz ograničen odozgo primenimo na izraz
1
1
n
n
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
binomni obrazac:
2
1 1 1 1 1
1 1 ... ...
1 2
n
k n
n n n n
k nn n n n n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
+ = + + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 ... 1 1 ... 11 1 1 1
1 ... ...
2! ! !k n
n n n n n k n n n n
n
n n k n n n
− − − + − − +
= + + + + + + =
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1
2! ! !
k n
n k n n n n n
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + + − − + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Kako je
1 2 n-1
1 1, 1- 1,..., 1- 1
n nn
− < < < to je
1 1 1
2 ...
2! 3! !
nx
n
< + + + + a kako je
k!=1⋅2...k≥2k-1
to je 1
1 1
! 2k
k −
< pa je
- 70 -

80. 1 1 1
2 ...
2! 3! !
nx
n
< + + + +
Da bismo pokazali da je niz (xn) monotono rastući posmatrajmo xn i xn+1
razvijene po binomnom obrascu:
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1
2! ! !
n
k n
x
n k n n n n n
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + + − − + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1 1 ... 1 .
2! 1 ! 1 1 ! 1 1! 1 1
n
k n n
x
n k n n n n n n n n
+
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + + − − + + − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ako uporedimo ova dva izraza primećujemo da je
2 2
1 1 1 1
1 1
2! 2! 1
...
1 1 1 1 1 1
1 ... 1 1 ... 1
! ! 1 1
n n
n n
n n n n n n
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− < −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − < − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
jer je
1
i i
n n
>
+
odnosno
1
1
i
n n
>
+
, i uz to u drugom razvoju imamo jedan
sabirak više (koji je, kao i svi, pozitivan) pa je
xn<xn+1.
Dakle, niz (xn) je konvergentan i njegovu graničnu vrednost ćemo oznaćiti sa e,
tj.
1
lim 1 .
n
e
n
⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Broj e je iracionalan i njegova vrednost je e=2,7182818284...
Ovaj broj ima veliki značaj u matematici jer je on prirodna osnova za
logaritme.
- 71 -

81. 6. REDOVI
Definicija 1.
Neka je dat niz (an), sa ( )p q
q
k
k p
a
=
≤∑ . Označimo sumu ap+ap+1+...+aq. Nizu
(an) pridružimo niz (Sn) definisan sa
1
.
n
n k
k
S a
=
= ∑ Za niz (sn) uzimamo i sledeću
oznaku a1+a2+a3+... ili skraćeno
(1)
1
.n
n
a
∞
=
∑
Simbol (1) se zove beskonačni red ili red i najčešće će biti još kraća oznaka
.na∑
Brojeve sn zovemo delimičnim sumama ovoga reda.
Ako niz (sn) konvergira ka S reći ćemo da red (1) konvergira i pisaćemo
1
.n
n
a s
∞
=
=∑
Broj S se zove zbir reda, mada je on uistinu granična vrednost niza
delimičnih suma i nije dobijen sabiranjem.
Ako niz (sn) divergira, za red se kaže da je divergentan.
Košijev kriterijum za konvergenciju nizova može biti preformulisan u sledeći
oblik za redove:
Teorema 1.
Red na∑ konvergira ako i samo ako za svako ε>0 postoji prirodan broj N
takav da je
m
k
k n
a
=
≤ ε∑
za svako m,n, m≥n≥N.
Specijalno, stavljajući m=n dobijamo na ≤ ε , n≥N, odnosno važi:
- 72 -

82. Teorema 2.
Ako red na∑ konvergira, onda je lim 0.n
n
a
→∞
=
Uslov an→0 jeste potreban uslov, ali nije i dovoljan za konvergenciju reda
na∑ .
Tako, na primer, red
1
1
n n
∞
=
∑
divergira, iako ispunjava dati uslov. (Divergencija ovog reda će biti pokazana
nešto kasnije.)
Teorema o konvergenciji monotonih nizova može biti primenjena na
sledećoj teoremi za redove.
Teorema 3.
Red sa nenegativnim članovima konvergira ako i samo ako je njegov niz
delimičnih suma ograničen.
6.1. POREDBENI KRITERIJUM
Teorema 4.
(a) Ako je 0za n Nn na c≤ ∀ ≥ , gde je N0 neki određeni ceo broj,
onda ako red nc∑ konvergira, konvergira i red na∑ .
(b) Ako je 0o za n Nn na d≥ ≥ ∀ ≥ i ako red nd∑ divergira,
onda divergira i red na∑ .
Dokaz:
(a)
Neka je ε>0 i tada zbog konvergencije reda nc∑ po Košijevom kriterijumu
postoji N≥N0 takav da je za svako m≥n≥N
.
m
k
k n
c
=
≤ ε∑
- 73 -

83. Sada je očigledno
m m m
k k k
k n k n k n
a a c
= = =
≤ ≤ ≤ ε∑ ∑ ∑
i (a) važi.
(b)
Ako bi na∑ bio konvergentan red, morao bi i nd∑ biti prema (a), a to je
nemoguće po pretpostavci teoreme.
6.2. REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA
Najjednostavniji redovi sa pozitivnim članovima su geometrijski redovi za
koje važi sledeći:
Stav 1.
Za n
n=0
1
0 1 red x a za x 1
1
x
x
∞
≤ < = ≥
−
∑ red divergira.
Dokaz:
Za x≠1 imamo
1
0
1
1
nn
k
n
k
x
S x
x
+
=
−
= =
−
∑ . Stavljajući n → ∞ dobijamo tvrđenje
teoreme za x≠1. Za x=1 red 1+1+... očigledno divergira.
U mnogim slučajevima članovi reda su monotono opadajući. Sledeća
Košijeva teorema ima veliki značaj u teoriji redova.
Teorema 5.
Neka je 1 2 3 ... 0.a a a≥ ≥ ≥ ≥ Tada red
1
n
n
a
∞
=
∑ konvergira ako i samo ako red
1 2 4 82
0
2 2 4 8 ...k
k
k
a a a a a
∞
=
= + + + +∑
konvergira.
- 74 -

84. Dokaz:
Prema teoremi 3 dovoljno je pokazati da su nizovi parcijalnih suma ova dva
reda ograničeni. Neka je
1 2
1 2 2
...
2 ... 2 .k
n n
k
k
s a a a
t a a a
= + + +
= + + +
Za ( ) ( ) ( )1
1
n 1 2 3 4 5 6 7 2 2 1
2 , s ... ...k k
k
n a a a a a a a a a +
+
−
< ≤ + + + + + + + + + + ≤
1 2 4 2
2 4 ... 2 .k
k
ka a a a t≤ + + + + =
Dakle, sn≤tk.
Za n>2k
mi imamo
( ) ( ) ( )1n 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2
... ...k ks a a a a a a a a a a−
+
≥ + + + + + + + + + + + ≥
1
1 2 4 8 2
1 1
2 4 ... 2 .
2 2
k
k
ka a a a a t−
≥ + + + + + =
Dakle, 2sn≥tk.
Odavde zaključujemo da su tk i sn zajedno ili ograničeni ili neograničeni, pa
svaki od njih konvergira ako i samo ako konvergira drugi.
Primer 1:
1
p
n
∑ konvergira za p>1, a divergira za p≤1.
Rešenje:
Za p≤0 divergencija reda sledi iz činjenice da opšti član ne teži nuli. Za p>0 naš
red ima monotono opadajuće članove, pa možemo primeniti prethodnu
teoremu, odakle dobijamo da naš red
1
1
p
n n
∞
=
∑ konvergira ako i samo ako
konvergira red ( )1
0 0
1
2 2
2
p kk
kp
k k
∞ ∞
−
= =
=∑ ∑ koji je geometrijski i konvergira jedino u
slučaju 1
2 1p
x−
= < , odnosno 1-p<0, odnosno p>1.
- 75 -

85. 6.3. DELIMIČNO SUMIRANJE I ALTERNIRAJUĆI REDOVI
Teorema 6.
Neka su (an) i (bn) nizovi. Označimo sa
0
, n 0
n
n k
k
A a
=
= ≥∑ i A-1=0. Tada ako je
0 p q≤ ≤ važi
(∗) ( )
1
1 1
q q
n n n n n q q p p
n p n p
a b A b b A b A b
−
+ −
= =
= − + −∑ ∑ .
Dokaz: Iz
( )
1
1 1 1
1
q q q q q q
n n n n n n n n n n n n n
n p n p n p n p n p n p
a b A A b A b A b A b A b
−
− − +
= = = = = = −
= − = − = −∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ,
odakle je jasno da važi (∗).
Formula (∗) je poznata pod nazivom " formula delimičnog sumiranja" i
korisno se primenjuje u proučavanju redova oblika n na b∑ , naročito kada je
niz (bn) monoton.
Teorema 7.
Neka je:
(a) Niz delimičnih suma An reda n na b∑ ograničen
(b) b0 ≥ b1 ≥ b2 ≥ ...
(c) lim 0n
n
b
→+∞
=
Tada red n na b∑ konvergira.
Dokaz:
Izaberimo M takvo da je nA M≤ za svako n. Za proizvoljno ε>0 postoji N
takvo da je
2
Nb
M
ε
≤ (zbog lim 0n
n
b
→+∞
= ). Za N≤ p≤ q imamo
( ) ( )
1 1
1 1 1
p=2Mb 2 .
q q q
n n n n n q q p p n n q p
n p n p n p
N
a b A b b A b A b M b b b b
Mb
− −
+ − +
= = =
= − + − ≤ − + + =
≤ = ε
∑ ∑ ∑
- 76 -

86. (Prva nejednakost u nizu je moguća jer je bn-bn+1≥0.)
Teorema 8.
Neka je:
(a) 1 2 3 ...C C C≥ ≥ ≥
(b) C2m-1C2m<0, m∈N
(c) lim 0n
n
C
→+∞
=
Tada red nC∑ konvergira.
Dokaz:
Primenom teoreme 2, stavljajući an=(-1)n+1
, bn= nC .
Napomena:
Red sa osobinom (b) zove se alternirajući red. Ova teorema poznata je kao
Lajbnicov kriterijum za konvergenciju alternirajućih redova.
Definicija 2.
Red ∑ na je apsolutno konvergentan ako red ∑ na konvergira.
Teorema 9.
Ako red na∑ konvergira apsolutno, onda on konvergira.
Dokaz:
Izlazi iz nejednakosti
m m
n n
k n k n
a a
= =
≤∑ ∑
i Košijevog kriterijuma.
Za redove sa pozitivnim članovima apsolutna konvergencija je isto što i
konvergencija.
U slučaju da red na∑ konvergira a red na∑ divergira, kažemo da red
na∑ neapsolutno konvergira.
- 77 -

87. Primer neapsolutno konvergentnog reda je red
( )1
n
n
−
∑
jer red
1
n
∑ divergira a dati red po Lajbnicovom kriterijumu konvergira.
Definicija 3.
Neka je (kn), n=1,2,... niz u kome se svaki pozitivan broj pojavljuje tačno
jednom (dakle, (kn) je bijektivna funkcija N→N). Stavljajući
= nn ka © a (n=1,2,...)
kažemo da je red Σ an' preuređenje reda Σ an.
Ako posmatramo nizove parcijalnih suma reda na∑ i njegovog
preuređenja na∑ i ako su to nizovi (Sn) i (Sn'), očigledno je da su to različiti
nizovi u opštem slučaju.
Postavlja se pitanje kada red i njegovo preuređenje imaju istu sumu.
Odgovor na ovo pitanje je dat sledećim stavom:
Stav 2.
Red
1
n
n
a
∞
=
∑ i njegovo proizvoljno preuređenje
1
'n
n
a
∞
=
∑ imaju isti zbir ako red
1
n
n
a
∞
=
∑ konvergira.
Napomenimo ovde da ako red
1
n
n
a
∞
=
∑ ne konvergira apsolutno, tada
možemo za unapred zadati broj izabrati preuređenje da zbir novog reda bude
baš taj zadati broj.
- 78 -

88. 7. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE
Definicija 1.
Za funkciju y=f(x), definisanu u nekoj okolini tačke a, (osim možda u
samoj tački a), kažemo da ima graničnu vrednost b ako za proizvoljnu
okolinu tačke b postoji okolina tačke a koja se (sa eventualnim
izuzetkom tačke a) preslikava u pomenutu okolinu tačke b funkcijom f.
Navedimo sada i drugu ekvivalentnu definiciju granične vrednosti
odnosno limesa funkcije:
Definicija 2.
Za funkciju y=f(x), definisanu u nekoj okolini tačke a (osim možda u
samoj tački a), kažemo da u tački a ima graničnu vrednost b, ako za
svako ε>0 postoji δ(ε)>0, takav da za svako x koje zadovoljava
nejednakosti 0 x a< − < δ je zadovoljena nejednakost ( ) .f x b− < ε
Činjenicu da je b granična vrednost funkcije f u tački a zapisujemo na
sledeći način:
( ) ( ) ( )ili f x x a .lim
→
= → →
x a
f x b b
Navedimo i treću definiciju granične vrednosti funkcije:
Definicija 3.
Za funkciju y=f(x), definisanu u nekoj okolini tačke a (osim možda u
samoj tački a), kažemo da ima graničnu vrednost b, ako i samo ako za
svaki niz (xn) čiji elementi su raličiti od a, a pripadaju okolini tačke a u
kojoj je funkcija definisana i koji konvergira ka tački a, niz (f(xn)) je
konvergentan i pri tome je
( ) ( ) ( )ili f x x a .lim
→
= → →
x a
f x b b
- 79 -

89. Sada ćemo dokazati da je ova definicija ekvivalentna sa prethodnom.
Pretpostavimo da funkcija y=f(x) u tački a ima graničnu vrednost b. Tada,
prema drugoj definiciji za proizvoljno ε>0 postoji δ(ε)>0, tako da je za
svako x koje zadovoljava nejednakost 0 x a< − < δ ispunjena
nejednakost ( ) .f x b− < ε Neka je (xn) niz čiji su članovi različiti od a i
koji konvergira ka a, tada za dato δ>0 postoji n0∈N takvo da je za svako
n>n0 zadovoljena nejednakost 0 .nx a< − < δ No tada prema
prethodnom mora biti i ( ) .f x b− < ε pa je niz (f(xn)) konvergentan i
njegova granična vrednost je b. Obratno, ako funkcija nema graničnu
vrednost b u tački a, tada postoji neko ε0>0 takvo da za svako δ>0 među
brojevima koji zadovoljavaju nejednakost 0 .nx a< − < δ postoji bar
jedan broj xδ
takav da je ( ) ,nf x b− < ε
Možemo izabrati da je
1
n=1,2,...
n
δ =
i tada za svaki od tih brojeva izaberemo tačku xn=xδ
takvu da je
( )n
1
0 xnx a a
n
< − < ≠ i da je pri tome ( ) ( )0 n=1,2,...nf x b− ≥ ε
Odavde je jasno da ( )nkad n i da f x kad n ,nx a b→ → ∞ → → ∞ pa
funkcija f(x) nema graničnu vrednost b kad x a→ ni po trećoj definiciji.
Sa ovim je ekvivalentnost u potpunosti dokazana.
Napomenimo da za definiciju granične vrednosti funkcije y=f(x) u
tački a nije bitno da li je funkcija u tački a definisana ili ne. Isto tako kada
je funkcija definisana u tački a za graničnu vrednost funkcije u toj tački
nije bitna vrednost funkcije u toj tački.
Za sledeće definicije graničnih vrednosti funkcije (leva i desna
granična vrednost u konačnoj tački, kao i granična vrednost u
beskonačnoj tački) ne dajemo i ekvivalentne definicije pomoću nizova
mada je jasno da se iste mogu dati.
- 80 -

90. Definicija 4.
Za funkciju y=f(x) definisanu na nekom intervalu (a1,a), a1<a, kažemo
da ima u tački a levu graničnu vrednost b, ako za svako ε>0 postoji
δ(ε)>0 takav da za svako x koje zadovoljava nejednakosti a-δ<x<a važi
nejednakost ( ) .f x b− < ε
U ovom slučaju pišemo
( )0
lim
x a
f x b
→ −
=
ako je a≠0, odnosno
( )0
lim
x
f x b
→ −
=
ako je a=0.
Definicija 5.
Za funkciju y=f(x) definisanu na nekom intervalu (a,a2), a<a2 kažemo
da u tački a ima desnu graničnu vrednost b, ako za svako ε>0 postoji
δ(ε)>0 takvo da za svako x koje zadovoljava nejednakosti
a<x<a+δ
važi nejednakost
( ) .− < εf x b
U ovom slučaju pišemo
( )0
lim
x a
f x b
→ +
=
ako je a≠0, odnosno
( )0
lim
x
f x b
→ +
=
ako je a=0 .
Nije teško zaključiti da, ako funkcija ima graničnu vrednost, onda ona
ima i levu i desnu graničnu vrednost, a da obratno važi jedino u slučaju
kada funkcija ima i levu i desnu graničnu vrednost i kada su one
međusobno jednake.
- 81 -

91. Postoje funkcije koje u nekoj tački imaju i levu i desnu graničnu
vrednost ali ne i graničnu vrednost. Takva je recimo funkcija y=sgnx kod
koje je
0 x 0-
lim sgn 1, lim sgn 1,
x
x x
→ + →
= = −
dok
0
limsgn
x
x
→
ne postoji.
U prethodno datim definicijama pretpostavili smo da je a konačan
broj. Ako je odnosno a=-a = +∞ ∞ onda imamo sledeće definicije:
Definicija 6.
Za funkciju f(x) definisanu u nekom intervalu ( ),a +∞ kažemo da ima
graničnu vrednost b kada x "teži" ka +∞ , ako za svako ε>0 postoji
M(ε)>a, takav da za svako x koje zadovoljava nejednakost x>M, imamo
da je ( ) .f x b− < ε Ovu činjenicu označavamo na sledeći način
( ) ( ) .
x→+∞
= → → ∞lim f x b ili f x b, x +
Na potpuno analogan, dualan način se definiše granična vrednost
funkcije kada x "teži" ka −∞ .
Napomena 1:
( ) ( )lim ili f x , x + .
x
f x b b
→+∞
= → → ∞
se čita na sledeći način: limes od f(x) je jednak b, kada x teži ka a
(odnosno: limes od f(x) je jednak b kada x teži a+0; limes od f(x) je
jednak b kada x teži a-0). Primetimo da u prvom slučaju a može biti
kako konačno tako i −∞ , odnosno −∞ .
Teorema 1.
Funkcija y=f(x) u nekoj tački a iz oblasti definisanosti ima najviše jednu
graničnu vrednost.
- 82 -

92. Stav 1.
Ako funkcija y=f(x) ima konačnu graničnu vrednost u tački a, onda je ona
ograničena u nekoj okolini te tačke.
Stav 2.
Ako funkcija y=f(x) ima pozitivnu (negativnu) graničnu vrednost u nekoj
tački a, onda postoji okolina te tačke u kojoj je funkcija pozitivna
(negativna) (jasno je da je iz te okoline izuzeta možda tačka a).
Stav 3. Ako funkcije u(x) i v(x) imaju granične vrednosti u tački a, i ako
postoji okolina 0(a) tačke a, takva da je za svako x∈0(a) (x≠a) ispunjena
nejednakost
u(x)≤ v(x),
tada je
( ) ( )→ →
≤
x a x a
limu x lim v x .
Stav 4.
Ako funkcije u(x) i w(x) imaju istu graničnu vrednost u tački a, i ako su u
nekoj okolini 0(a) tačke a ispunjene nejednakosti
u(x)≤ v(x)≤ w(x)
za svako x∈0(a) (x≠a), tada postoji granična vrednost funkcije v(x) i pri
tome je
( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
u x v x w x
→ → →
= = .
- 83 -