2. Leis de Kirchhoff
Lei dos Nós
O somatório de todas as correntes que entram e saem de um nó é nulo.
Nó em um circuito elétrico é qualquer ponto/junção por onde flui uma corrente elétrica.
Esta lei expressa a continuidade do fluxo de cargas elétricas!
I1 − I2 + I3 = 0
Lei das Malhas
O somatório de todas as quedas ou elevações de tensões em uma malha é nulo.
Malha ou laço em um circuito elétrico é qualquer caminho fechado por onde flui uma corrente.
Esta lei expressa a conservação de energia!
V1 + V2 + V3 = 0
4. como:
(R 1 + R 3 ) R3
∆= = R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3
R3 (R 2 + R 3 )
V1 R3
∆1 = = V1 (R 2 + R 3 ) − V2 R 3
V2 (R 2 + R 3 )
(R 1 + R 3 ) V1
∆2 = = V2 (R 1 + R 3 ) − V1 R 3
R3 V2
portanto:
∆1 V1 (R 2 + R 3 ) − V2 R 3 ∆2 V2 (R 1 + R 3 ) − V1 R 3
I1 = = I2 = =
∆ R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 ∆ R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3
V1R 2 + V2 R1
I3 =
R1R 2 + R1R 3 + R 2 R 3
5. LINEARIDADE
Um elemento linear é aquele elemento passivo que apresenta uma
relação tensão-corrente linear.
Um circuito linear é aquele circuito composto inteiramente de
fontes independentes, fontes dependentes lineares e elementos
lineares.
Entendemos como fonte dependente linear toda a fonte
dependente cuja magnitude seja uma função linear de alguma
quantidade mensurável no circuito considerado. Se o parâmetro
de controle for externo, esta fonte constituíra uma variável
independente.
Exemplo: .... um resistor, onde V = R.I (Lei de Ohm)
6. SUPERPOSIÇÃO
A corrente em qualquer elemento linear, ou a tensão através de
qualquer elemento linear, de um circuito linear, é a soma das
correntes ou tensões produzidas separadamente por cada fonte
de energia (fonte de corrente ou tensão).
EXEMPLO: Considerando o circuito anterior, vamos novamente determinar as correntes.
1o Passo: Substituindo V2 por um curto circuito!
I 11 = V1 (R 1 + R 2 //R 3 )
I 12 = [R 3 (R 2 + R 3 )]⋅ I 11
I 13 = [R 2 (R 2 + R 3 )]⋅ I 11
R 2R 3
onde: R 2 //R 3 =
R2 + R3
7. 2o Passo: Substituindo V1 por um curto circuito!
I 22 = V2 (R 2 + R 1 //R 3 )
I 21 = [R 3 (R 1 + R 3 )]⋅ I 22
I 23 = [R 1 (R 1 + R 3 )]⋅ I 22
R 1R 3
onde: R 1 //R 3 =
R1 + R 3
3o Passo: Aplicando a superposição!
I1 = I11 − I21 I2 = I22 − I12 I3 = I13 + I23
8. TEOREMA DE THEVENIN
Qualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuito
que pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão
e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalente
composto por uma fonte de tensão, com tensão igual a do
circuito em aberto, em serie com uma resistência de valor igual
a resistência equivalente medida no circuito original.
EXEMPLO: Considerando o circuito original, vamos determinar a corrente I3.
via Thevenin
Rede de 2 terminais Circuito equivalente
9. 1o Passo: Calculando VTh!
VTh = V2 + R 2 I 'R2
V1 − R 1I 'R1 − R 2 I 'R2 − V2 = 0
com I 'R1 = I 'R2 = I '
V1 − V2
V1 − V2 = (R 1 + R 2 ) ⋅ I ' '
⇒ I =
R1 + R 2
⇒ VTh = V2 + R 2 ⋅ V1 − V2 ⇒ VTh =
V2 R 1 + V1 R 2
R1 + R 2 R1 + R 2
2o Passo: Calculando RTh!
R 1R 2
R Th = R 1 //R 2 =
R1 + R 2
10. 3o Passo: Calculando I3!
V Th − R Th I 3 − R 3 I 3 = 0
⎡ R 1R 2 ⎤ V R + V1 R 2
⎢ + R3 ⎥ ⋅ I3 = 2 1
⎣ R1 + R 2 ⎦ R1 + R 2
⎡ R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 ⎤ V R + V1 R 2
⎢ ⎥ ⋅ I3 = 2 1
⎣ R1 + R 2 ⎦ R1 + R 2
V2 R 1 + V1 R 2
⇒ I3 =
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3
Que constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!
11. TEOREMA DE NORTON
Qualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuito
que pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão
e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalente
composto por uma fonte de corrente, com corrente igual a
corrente de curto circuito, em paralelo com uma resistência de
valor igual a resistência equivalente medida no circuito original.
EXEMPLO: Considerando o circuito original, vamos novamente determinar a corrente I3.
via Norton
Rede de 2 terminais Circuito equivalente
12. 1o Passo: Calculando VN!
V1 V2
IN = I + I
'
R1
'
R2 = +
R1 R 2
V1R 2 + V2 R1
⇒ IN =
R 1R 2
2o Passo: Calculando RN!
R 1R 2
R N = R 1 //R 2 =
R1 + R 2
13. 3o Passo: Calculando I3!
RN
I3 = IN
RN + R3
⎡ ⎛ R 1R 2 ⎞ ⎤
⎢ ⎜ ⎟ ⎥
I3 = ⎢ ⎝ R1 + R 2 ⎠ ⎥ ⋅ ⎛ V1R 2 + V2 R1 ⎞
⎢ ⎛ R 1R 2 ⎞ ⎥ ⎜
⎝ R 1R 2
⎟
⎠
⎢⎜ ⎟ + R3 ⎥
⎢⎝
⎣ R1 + R 2 ⎠ ⎥
⎦
V2 R 1 + V1 R 2
⇒ I3 =
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3
Que também constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!
14. EQUIVALÊNCIA ENTRE THEVENIN E NORTON
Via as definições de VTh, RTh, IN e RN, é possível constatar facilmente a intima relação
entre ambos os teoremas, onde:
VTh
R Th = R N = R e IN =
R
15. TEOREMA DE MILLMAN
Um conjunto de N fontes de tensão, Vn (n=1,2,3, ...., N),
associadas em paralelo, cada qual com uma resistência interna
Rn, pode ser representado por uma única fonte de tensão V em
serie com um resistor R, tal que:
N
∑V n Rn
1
N
1
V= n =1
1R
= ∑
R n =1 R n
→
16. Demonstrando este teorema via indução, temos:
(i) Já que N = 1 é obviamente valido, vamos demonstrar o caso N = 2!
Determinando o circuito equivalente Thevenin, temos:
R 1R 2 V1 R 2 + V2 R 1
R Th = =R e VTh = =V
R1 + R 2 R1 + R 2
⎛ V1 R 2 + V2 R 1 ⎞ ⎛ 1 R 1 R 2 ⎞ V1 R 1 + V2 R 2
⇒V=⎜
⎜ R +R ⎟⋅⎜
⎟ ⎜1 R R ⎟ = ⎟ 1R
√ OK!
⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠
(ii) Supondo que para N = M o teorema é valido .....
M
∑V n Rn
1
M
1
⇒ V= n =1
1R R
= ∑
n =1
Rn
17. (iii) Vamos mostrar que para N = M+1 o teorema também é valido .....
⇒ ⇒
Aplicando novamente o teorema de Thevenin, temos:
−1
RR M +1 ⎛ M +1 1 ⎞ VR M +1 + VM +1 R
R Th =
R + R M +1
=⎜
⎜ ∑
⎝ n =1 R n
⎟
⎟
⎠
= R' e VTh =
R + R M +1
= V'
⎛ VR M +1 + VM +1 R ⎞ ⎛ 1 RR M +1 ⎞ V R + VM +1 R M +1
⎜
⇒ V' = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 1 RR
⎟ ⎜ ⎟=
⎟
⎝ R + R M +1 ⎠ ⎝ M +1 ⎠ 1 R'
M +1
∑V Rn
√
n
⇒ V' = n =1 OK!
1 R'
18. DUAL DO TEOREMA DE MILLMAN
Um conjunto de N fontes de tensão, In (n=1,2,3, ...., N),
associadas em serie, cada qual com uma resistência interna Rn,
pode ser representado por uma única fonte de corrente I em
paralelo com um resistor R, tal que:
N
∑I R n n N
I= n =1
R
R= ∑R
n =1
n
.... via o teorema de Thevenin ....
Vn = In.Rn n∈{1, 2, .... N}
N N
+ + .... +
⇒ V=
∑I
n =1
n ⋅ Rn R= ∑R
n =1
n
e via o teorema de Norton obtemos o
resultado final, tal como anunciado.
19. TEOREMA DE MILLER
O teorema de Miller estabelece que, analisando o circuito abaixo (esq.), obteremos:
Analisando o circuito original, temos:
V = R.I - Vy = R.I − a.V ⇒ V.(1 + a) = R.I
⇒ V/I = RM com RM = R/(1 + a)
ou seja:
“A resistência aparente de circuito, olhado sob o ponto de vista da fonte V, é (1 + a)
vezes menor que o valor do elemento resistivo realmente presente.”
- Este é o chamado Efeito Miller -
20. MÁXIMA TRANFERENCIA DE POTÊNCIA
A máxima potência é transferida de uma fonte quando a resistência
de carga, RL, é igual a resistência interna, Ri, da fonte.
V V.R L
I= VRL =
Ri + RL (R i + R L ) 2
RL
⇒ PRL = I.VRL =V . 2
Ri + RL
dPRL V2 ⎡ 2R L ⎤
= ⋅ 1−
2 ⎢ ⎥=0 quando RL = Ri
dR L ( R i + R L ) ⎣ R i + R L ⎦
d 2 PRL V2 ⎡ 6 4⎤
2
= 3 ⋅⎢ − ⎥ < 0 ⇒ RL = Ri é de fato um máximo!
dR L R L =R i
R i ⎣ 16 8 ⎦
No presente caso, teremos ainda: PRL = V2/4.Ri e Pfonte = V2/2.Ri
Portanto o rendimento será η = PRL/Pfonte = 50%
21. Transformação Y ↔ ∆
R A (R B + R C )
R 12 = R1 + R 3 =
R A + RB + RC
R C (R A + R B )
R 13 = R 1 + R 2 =
R A + RB + RC
R B (R A + R C )
R 23 = R2 + R3 =
R A + RB + RC
R ARC R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1
R1 = RA =
R A + RB + RC R2
RBRC R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1
∆→Y R2 = Y→∆ RB =
R A + RB + RC R1
R ARB R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1
R3 = RC =
R A + RB + RC R3
22. Referencias bibliográficas
• Analise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt e Jack E. Kemmerly, editora
McGraw-Hill do Brasil (1973).
• Circuitos Elétricos, Robert A. Bartkowiak, Makron Books do Brasil, Brasil (1999).
• Analise de Circuitos Elétricos, Victor da Fonte Dias, Instituto Superior Técnico - IFR,
disponível em http://www.estg.ipleiria.pt/~lneves/ce_eic/capa.htm, Portugal (1996/97).
