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PRML復々習レーン #2 2012/06/17 アフィン云々の部分で誤りがありました。お詫びして訂正致します。
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1.
. .
指数型分布族とかの周辺 marugari PRML 復々習レーン 2012/06/17 marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 1 / 16
2.
. 参考文献 . Monte Carlo Statistical
Methods Robert, C. and Casella, G. (2010) 最尤推定 is 最適化 ベイズ推定 is 積分 ベイジアンに宗旨替えしたくなる 良書. . marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 2 / 16
3.
混合ガウス分布 間欠泉のデータ
噴出の持続時間が長いと次回までの間隔も長く なる. 噴出の時間が短いと次回までの間隔も短くなる. . 2 つのガウス分布を使えば精度よくフィ . ットできる. marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 3 / 16
4.
. 混合ガウス分布 . {πi }1≤i≤K が確率の公理を満たすとする.
このとき, ∑ K f (x) = πi ϕ(x|µi , Σi ), i=1 を混合ガウス分布という. {πi }1≤i≤K は混合係数, ϕ(x|µi , Σi ) は混合要素と呼ばれる. . marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 4 / 16
5.
p(k) を k
番目の混合要素に対する事前確率とすれば, ∑ K f (x) = ϕ(x|µi , Σi )p(i). i=1 事後分布 p(k|x) は負担率と呼ばれ p(k|x) ∝ ϕ(x|µk , Σk )p(k), となる. marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 5 / 16
6.
. パラメータ推定 . 対数尤度関数は
∑ N ∑ K log πi ϕ(x|µi , Σi ). j=1 i=1 関数が複雑なので, 繰り返し的な最適化手法または . アルゴリズムを用いる. EM だいたい至る所で 0 を取る分布を外れ値に割り当てる ことで尤度関数をいくらでも大きくできる. 目的関数 にも工夫が必要. marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 6 / 16
7.
marugari (PRML 復々習レーン)
指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 7 / 16
8.
指数型分布族 . 指数型分布族 . 確率分布 p で
{ } p(x|η) = h(x)g(η) exp η ⊤ u(x) , という関数形を持つものを指数型分布族と呼ぶ. . marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 8 / 16
9.
. 指数型分布族の例 . ポアソン分布
正規分布 テキストで分布関数が書き下されるようなものは殆ど このクラスに属している. . . 指数型分布族でない例 . 混合ガウス分布 切断正規分布 まともには解けないので何らかの工夫が必要. . marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 9 / 16
10.
marugari (PRML 復々習レーン)
指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 10 / 16
11.
最尤推定と十分統計量 指数分布族の確率分布について最尤推定を考える. 適 当にサンプリングされた標本が得られているとき, 最 適化の
1 階条件は ∫ { } ∇g(η) h(x) exp η ⊤ u(x) dx ∫ { } + g(η) h(x) exp η ⊤ u(x) u(x)dx = 0. これを変形すれば ∇g(η) − = E [u(X)] . g(η) marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 11 / 16
12.
. 尤度関数 . 独立同分布のデータ {xi }1≤i≤N
が得られたとき, 尤度 関数は p ({xi }1≤i≤N ) {N } {⟨ N ⟩} ∏ ∑ = h(xi ) g(η)N exp u(xi ), η . i=1 i=1 対数をとると ⟨ ⟩ ∑ N ∑ N N log g(η) + u(xi ), η + log h(xi ). . i=1 i=1 marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 12 / 16
13.
. 訂正: 尤度関数自体はアフィンじゃなかったです . 対数尤度関数は 基準化の係数
g(η) η についてアフィンな関数 の和になっている. しかも計算量はサンプル数に対して線形にしか増加し ない. . marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 13 / 16
14.
. 尤度最大化 . 対数尤度最大化の 1 階条件は
1 ∑ N −∇ log g(η) = u(xi ). N i=1 ∑N つまり最尤パラメータを求めるには i=1 u(xi ) だけ ∑N で良い. この i=1 u(xi ) を十分統計量と呼ぶ. アフィン関数の微分には η が現れないので表現が非常 に簡単になっている. . marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 14 / 16
15.
. ベルヌーイ分布の場合 . 確率変数は独立という設定なので, 成功の順番を記録 する必要はない. 成功回数だけでパラメータを推定で きる. . . 正規分布の場合 . 正規分布は平均と分散で特徴付けられるので,
1 次と 2 次のモーメントを保持しておけば良い. . marugari (PRML 復々習レーン) 指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 15 / 16
16.
おわり marugari (PRML 復々習レーン)
指数型分布族とかの周辺 2012/06/17 16 / 16
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