1. 確率過程と戯れる
Tokyo webmining #36, May 2014
Unconference
Masakazu Sano / 佐野正和 / @Masa_S3
Fringe81 inc.
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2. 自己紹介
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•@Masa_S3/ 佐野正和
•Fringe81株式会社(ネット広告の会社)でデータアナリ
ストを担当(分析・ロジック設計から簡単な実装まで)
•バックグラウンドは素粒子物理学
•最近Qiitaで分析技術ネタの連載を開始しました。
やってみよう分析！シリーズ

3. 悩み
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•広告データはカオスの塊。
•でも配信状態を最適化しなければならない。
•変数の確率的な動きをとらえるのに四苦八苦。
•動的に逐次最適化するにはどうしたらいいだろうか。
•広告配信によって何が起きているのかもっと知りたい！

4. アイデア
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•金融工学つかえないかな？（ずーっと、もやもやしている）
•証券価格の動きやポートフォリオを分析。広告に似ている。
•例えばブラックショールズ方程式はdS/S =μdt + η を満たす確率変
数Sのダイナミクスから導出。
•ブラックショールショールズ方程式は経路積分を使っても導出でき
ることが知られている。
•経路積分を応用できれば確率制御の可能性広がりそう。
•より一般的な確率ダイナミクスに対する経路積分表示が導けたら、
ダイナミクスを表す確率分布が得られる。そしたら、分散とか平均と
かの期待値計算できる。これ使って動的に最適化できそう。

5. 経路積分(Path integral)
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•素粒子物理学で誕生
•Richard Feynman(ノーベル賞学者)が発明(1948)。
•確率変数と戯れる便利ツール。
•現代素粒子物理学では必要不可欠。
wikipediaの定義によって様々な確率過程の分布が定まる

6. 議論しましょう
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•難しそうですがアイデアベースで、できるだけ易し
い進行に努めます。
•前半：経路積分と確率過程についてミニレク
チャー（イメージ重視）
•後半：経路積分を使ったらこんなことできそう等、
アイデアベースで実務への応用可能性を意見交
換したいです。

7. 補助資料
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8. なぜ経路積分
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確率過程を決めれば、ほぼ自動的に対応する確率分布が1
つ定まる(少なくとも形式的に定義可能)。トップダウンで議論
可能。
複雑な相互作用を含んだ形で自然に確率分布が定まる。
対象の全体理解・最適化に応用可能か？
原理的には、変数間の複雑な相互作用効果を含んだ期待
値、分散を計算できる。
ポートフォリオ最適化に応用可能か？
ユーザフローの予測に応用可能か？
精度向上？
素粒子物理学で蓄積された計算技術を活用できる。
格子モデル、数値計算、摂動論、超対称性。。。

9. 経路積分
• 経路積分は素粒子の状態変化の実現確率を表す。
• マクロの世界（ニュートン力学）では運動は決まった軌道を描く。
• ミクロの世界(量子力学)で電子などの素粒子は移動軌道を確定できない。
• 例えば電子が位置A→位置Bへ移動を考えた場合、通りうる軌道は無数に
あり、軌道毎に実現確率が与えられる。その中で最も確率の高い軌道が実
現される。小さい確率で別の軌道が実現されることもありうる。
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マクロ ミクロ
実現確率：低
実現確率：低
実現確率：高この軌道のみ起こる

10. 経路積分
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時間
座標
1つのパスの実現確率

11. 経路積分
11
時間
座標
あらゆる経路の寄与を含めた実現確率

12. 経路積分
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時間
座標
この部分を最大化する
最も起こりうる経路が求まる

13. 経路積分
• 例を考えてみましょう。
• 正規分布
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時間
座標
確率が最大化される経路

14. 経路積分の応用アイデアの模索
• 実用上は確率変数が互いに相互作用を持つと考えるほうが自然。
• たとえばimpressionとsearchの増減率を記述できないだろうか？
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時間
Impressionの増減率
Searchの増減率

15. 経路積分の応用アイデアの模索2
• ウェブ上のユーザ行動モデリングに使えないか？
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例えば、i番目の媒体でI={imp, click, search, CV}したユニークユーザ数の増加率
離散時間
？？

16. 補助資料2
(参考文献も参照)
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17. 経路積分
17

18. 経路積分
実現の可能性が最も高い経路：最尤法との関連
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19. 経路積分
確率過程と経路積分
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＝1

20. 応用事例
• ブラック・ショールズ方程式
• 経路積分を使うと簡単に計算できる(実用的)
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原資産価格

21. 参考文献
• G. Parisi and N. Sourlas, Supersymmetric Field Theories and
Stochastic Differential Equations, Nucl.Phys. B206 (1982) 321
• Yu Nakayama, Gravity Dual for Reggeon Field Theory and Non-
linear Quantum Finance , Int.J.Mod.Phys.A24:6197-6222,2009
• J. Dash, Quantitative finance and risk management : a
physicist’s approach, World Scientific Pub., 2004.
• J. Dash, Path Integrals and Options, Part I, CNRS Preprint
CPT88/PE.2206. , 1988
• J. Dash, Path Integrals and Options, Part II, CNRS Preprint
CPT89/PE.2333., 1989
• VADIM LINETSKY, The Path Integral Approach to Financial
Modeling and Options Pricing, Computational Economics, 11
(1998) pp. 129-163.
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