Köklü ifadeler

2. Karesi 25 olan sayılar:
(-5)2=25 ve 52=25
Tanım:
a∈R+ olsun. Karesi a sayısına eşit olan iki sayıdan pozitif
olanına, a’nın pozitif kare kökü, negatif olanına da, a’nın ne-
gatif kare kökü denir.
a’nın pozitif karekökü a a’nın negatif karekökü − a

3. Örnekler:
1. 16’nın ; Pozitif kare kökü ⇒ 16 = 4
Negatif kare kökü ⇒ − 16 = − 4
2. 100 ≠ ± 10 ⇒ Çünkü, 100 ,+10 demektir.
3. X2=100 ⇒ x=± 10 ifadesi dogrudur,

4. Dikkat!!!
∀ x∈R için, x 2 =x
2 2
x≥0 ise, x = x x< 0 ise, x = -x
|x| = x |x| = -x
x2 = |x| x2 = |x|

5. Örnekler:
1. X< 0 ve y> 0 ise, x2 + y2 ifadesi neye eşittir?
Çözüm:
x< 0 olduğundan, x 2 = |x| = -x
Y> 0 olduğundan, y = |y| = y
2
x 2 + y 2 = |x|+|y| = -x + y

6. 2. -2< x< 0 ise, ( x + 2) 2 + x2 ifadesinin değerini bulunuz?
Çözüm:
( x + 2) 2 = x + 2 x>-2 için x + 2 >0 ⇒ x + 2 = x + 2
x2 = x x< 0 için x = -x
( x + 2) 2 + x 2 = x + 2 + x = x + 2 -x = 2

7. 3. a,b,c ∈ R ve a<b<c ( a − b) 2 + ( c − b) 2 ifadesinin eşitini
bulunuz?
Çözüm:
( a − b ) 2 = | a-b | ⇒ a-b< 0 olduğundan; | a-b | = -(a-b)
( c − b) 2 = | c-b | ⇒ c-b> 0 olduğundan; | c-b |= c-b
( a − b) 2 + ( c − b) 2 = -(a-b)+c-b = -a+b+c-b
= -a+c = c-a

8. 4. a < 0 < b olmak üzere, α 2 − 2αb + b 2 ifadesi neye
eşittir?
Çözüm:
α 2 − 2αb + b 2 = (a − b )
2
= ( a − b)
ve
a-b < 0 olduğundan;
( a − b) = -a+b = b-a

9. Kare köklü iki terimin çarpımı:
a ≥0 , b ≥0 ve a,b ∈ R olmak üzere,
a. b = a.b

10. Örnekler:
1. 3. 12 = 3.12 = 36 = 62 = 6 = 6
5 4 5 4
2. .
2 5
= .
2 5
= 2
3. 9.25 = 9. 25 = 3.5 = 15
4. a,b,c ∈R+ için, a 2 .b 4 .c 6 = a 2 b 4 c6
= a2 (b 2 ) 2 (c 3 ) 2 = a . b2 . c3

11. Kare köklü iki terimin bölümü:
a ≥0 , b > 0 ve a,b ∈ R olmak üzere,
a a
=
b b

12. Örnekler:
12 12
1.
3
=
3
= 4 = 2
2. a< 0, b> 0 ve a,b ∈R olmak üzere:
a 4 .b a 4 .b a2 a2 a
= = = =
a .b
2 3
a 2 .b 3 b 2
b 2
b
a< 0 ⇒ a = -a − a
=
b> 0 ⇒ b = b b

13. n∈Z olmak üzere;
Kare köklü terimin n. kuvveti
( a) n
= an

14. Benzer kareköklü terimlerle
Benzer kareköklü terimlerle
toplama ve çıkarma işlemleri
toplama ve çıkarma işlemleri
Reel sayılardaki dağılma ve
toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri
Yardımı ile yapılır

15. Örnekler:
1. a b + c b − b b = ( a + c − b ) b
2. 6 2 + 2 3 − 2 + 5 3 = 2 (6-1) + 3 ( 2 + 5)
= 5 2 + 7 3

16. 3. 175 + 27 − 48 =
25.3 + 9.3 - 16.3
5 3+ 3 3 - 4 3
(5+3-4) 3 = 4 3

17. PAYDANIN RASYONEL YAPILMASI
Payda tek terimli ise:
Paydadaki ifade kendisiyle çarpılarak kökten kurtarılır.
a a b a b
= =
b b b b
( b)

18. ÖRNEK: ÖRNEK:
3 3 7 3 7 2 2 5 10
= = = =
7 7 7 7 5 5 5 5
( 7) ( 5)
ÖRNEK:
2 2 3 2 3
= =2 3 =
3 3 3 3 3 3.3 9
( 3)

19. Payda veya şeklinde ise:
Payda a + b veya a + b şeklinde ise:
Pay ve payda paydanın eşleniği ile çarpılır.
c c a −c b c a −c b
= =
a+ b ( a− b )( a + b) a-b
( a− b )
c c a +c b c a+c b
= =
a− b ( a− b )( a + b) a-b
( a+ b )

20. ÖRNEK:
2 −1
3
−
2 2
3 −1
İşleminin sonucu nedir ?
ÇÖZÜM:
3 2 2 3 ( 2 +1 ) −
2 2 ( 3 +1 )
2 −1
−
3 −1
=
( 2 −1 )( 2 +1 ) ( 3 −1 )( 3 +1 )
( 2 +1 )( 3 +1 )
=
6+ 3 2 6+ 2
−
( )
2 −1 3 −1
= 6+ 3− 6− 2
= 3− 2

21. ÖRNEK:
5 −2
2
−
10
5 İşleminin sonucu nedir?
Önce paydalar rasyonel yapılır.
ÇÖZÜM:
2 10 2 ( 5 +2 ) −
10 5
5 −2
−
5
=
( 5 −2 )( 5 +2 ) 5 5
( 5 +2 ) ( 5) 2 5 + 4 10 5
= −
5 −4 5
= 2 5 +4 −2 5
=4