Apostila de cálculo destinada aos estudantes de ciências exatas. O material aqui postado serve como apoio, e não como fonte exclusiva. Pesquise, leia, interprete!

1. Recife, 2009
Cálculo I
Cláudia Dezotti
Bruno Lopes
Volume 3

2. Universidade Federal Rural de Pernambuco
Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade
Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros
Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho
Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire
Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena
Coordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos
Produção Gráfica e Editorial
Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Italo Amorim, Arlinda Torres e Heitor Barbosa
Revisão Ortográfica: Marcelo Melo
Ilustrações: Claudia Dezotti e Bruno Lopes
Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos

3. Sumário
Capítulo 5 - A Integral.......................................................................................4
5.1 Introdução............................................................................................4
5.2 Primitivas..............................................................................................4
5.3 O Conceito de Integral.........................................................................7
5.4 Propriedades da Integral....................................................................10
5.5 A Integral como Área.......................................................................... 11
5.6 Teorema Fundamental do Cálculo......................................................14
Capítulo 6 - Métodos de Integração..............................................................20
6.1 Introdução..........................................................................................20
6.2 Integração por Substituição................................................................20
6.3 Integração por Partes.........................................................................26

4. 4
Cálculo I
Capítulo 5 - A Integral
5.1 Introdução
Neste volume 3 do Livro de Cálculo I estaremos iniciando o estudo
de Integrais. Partiremos da histórica necessidade de se calcular áreas
de figuras não planas até chegar à definição formal de Integral.
De início, iremos abordar um conteúdo de grande importância para
o estudo de Integrais: As Primitivas.
Também neste volume estudaremos a Integral Definida, o Cálculo
de Integrais através do Teorema Fundamental do Cálculo.
Atividade de Pesquisa
Agora já estamos trabalhando com Integrais. O domínio das regras
de derivação e até mesmo a noção de Limite de uma Função são
essenciais para um maior entendimento sobre Integrais.
A sugestão de Atividade de Pesquisa para o terceiro Volume de
Cálculo I é uma revisão e reestudo dos Volumes que até o momento
disponibilizamos em nosso Ambiente de Aprendizagem.
5.2 Primitivas
Nos volumes 1 e 2 do Livro de Cálculo I estudamos alguns
problemas do tipo: Dada uma função , determinar a sua derivada
. Para resolver esse tipo de problema recorremos à definição de
derivadas ou às regras de derivação já estudadas.
Agora considere o problema inverso: Dada uma derivada ,
determinar a função correspondente. Outra forma de enunciar esse
problema é:
Dada uma função f, queremos encontrar uma função tal que
.
Observe:

5. 5
Cálculo I
Se . Queremos determinar uma função onde
, ou seja, qual é a função que possui derivada igual
a .
A função que procuramos é , pois ao se determinar a
derivada de obtermos . Observe que .
De acordo com a definição a seguir, é uma primitiva de .
Definição: Uma função é chamada primitiva de outra função
se .
Outras primitivas (Tabela 1):
é primitiva de ,
é a primitiva de
é a primitiva de
é a primitiva de
é a primitiva de
Tabela 1
Na verdade, uma função que tem primitiva , possui uma
infinidade de primitivas. Essas primitivas são do tipo , onde
é uma constante. Isso se deve ao fato de que a derivada de uma
constante é sempre zero. Voltemos ao exemplo inicial para esclarecer
esse fato:
Vimos que f(x) = 3x² possui como primitiva a função F(x) = x³, mas
a função F1
(x) = x³ + 1 também é uma primitiva para f(x) = 3x², pois
F1
‘(x) = f(x) = 3x².
Outra primitiva para f(x) = 3x² é , ou ainda
, ..., , onde é uma constante.
Vejamos mais alguns exemplos:
1. Determinar as primitivas das funções dadas a baixo:
a.
b.
c.
d.

6. 6
Cálculo I
e.
f.
g.
Solução:
a. (essa é a forma mais geral de se escrever a
primitiva de )
b. (Para funções polinomiais, na variável , por
exemplo, para obter a sua primitiva sempre adicionamos uma
unidade ao expoente de .
c.
d. . Como fizemos:
Para esse exemplo mais uma vez acrescentamos uma unidade
ao expoente, ficando . Sabemos, pela regra da cadeia,
que a derivada de é . . Para
obter devemos agora multiplicar por (o fator
é necessário para se cancelar o expoente que “cai” ao se
determinar a derivada) obtendo assim a primitiva desejada.
e. Sabemos que pode ser escrito como . Somando
uma unidade aos expoentes, ficamos com . Observe
que a derivada de é ou ainda .
A primitiva que procuramos é .
f. A expressão é equivalente a , ou ainda .
Adicionando uma unidade ao expoente, . A primitiva será
g. Primeiro devemos desenvolver o produto. Fazendo essa
operação, encontramos . A primitiva será
.
De uma forma geral, podemos determinar a primitiva de uma
potência utilizando a regra descrita a seguir:
Seja um número racional, tal que . A primitiva de é
, onde é uma constante.

7. 7
Cálculo I
Atividade de Estudo
1. Encontre a primitiva mais geral de cada função dada:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Determine as primitivas das funções dadas a seguir:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
5.3 O Conceito de Integral
No Volume 1 do Livro de Cálculo I vimos que o conceito de
Derivadas está ligado ao problema de traçar a tangente a uma curva
dada. Já o conceito de Integral está diretamente ligado ao problema
de determinar a área de uma figura plana qualquer.
Durante o Ensino Fundamental, Médio e até mesmo no período
de capacitação, aprendemos em Geometria a calcular a área de
figuras planas cujos contornos são segmentos de retas, por exemplo,
triângulos e retângulos.
Imagine agora o problema de calcular a área A da região abaixo
do gráfico da função (função com domínio no intervalo
fechado e com imagem nos reais).
Observe a Figura 1:

8. 8
Cálculo I
Figura 1
O que iremos descrever agora é um processo para determinar a
área “A” situada sob o gráfico da função destacada na
Figura 1.
1. Dividimos o intervalo em subintervalos iguais. Cada
subintervalo tem comprimento . Em cada um desses
subintervalos, vamos escolher pontos quaisquer: no primeiro,
no segundo, no terceiro,... Dessa maneira termos n
retângulos, todos com base e altura , com
(Figura 2):
Figura 2
2. A Figura 2 ilustra esses retângulos para . Observe que
para um número maior de retângulos, mais nos aproximamos
da real área sob a curva da função dada. Observe a Figura 3:

9. 9
Cálculo I
Figura 3
3. A soma das áreas dos retângulos, que representaremos por, é
dada por:
Na Figura 2:
Na Figura 3:
4. Para “ “ retângulos, a soma S é representada por:
5. A medida que cresce acima de qualquer número dado, os
valores de S se aproximam de um valor limite e esse valor
limite é o que devemos definir como sendo a área delimitada
pelo gráfico de , pelas retas e pelo eixo dos
(Figura 4):

10. 10
Cálculo I
Figura 4
6. A área assim definida no item 5 é chamada a
, e indicaremos com o símbolo:
7. Os números e são chamados de .
8. Por definição:
Pontos importantes:
(quando os limites de integração são iguais é
natural definir a integral como sendo zero).
Podemos escrever ou . A variável que aparece
sob o sinal de integração pode ser , ou qualquer outro
símbolo.
5.4 Propriedades da Integral
Destacaremos aqui as propriedades da integral. Embora sendo
simples, as propriedades são muito importantes e o seu conhecimento
ajudará em várias situações em relação ao cálculo de integrais:
1. Sendo e funções integráveis no intervalo , então o
mesmo é verdade para e:

11. 11
Cálculo I
2. Sendo uma função integrável no intervalo e uma
constante, então o mesmo é verdade para e :
3. Sendo uma função integrável nos intervalos e , então
ela é integrável em e:
Seguem alguns exemplos que ilustram a aplicação das
propriedades:
1.
2.
3.
4.
5.5 A Integral como Área
Até o momento fizemos a interpretação da integral como área para
funções estritamente positivas . Numa situação mais geral, uma
função pode ser positiva num intervalo e negativa em outro
intervalo , conforme a Figura 5:
Figura 5
Pela propriedade estudada no item 5.4 (3ª propriedade), podemos
calcular a área destacada na Figura 5 separando a integral em duas
partes, como segue:

12. 12
Cálculo I
Em geral, a integração f em um intervalo [a, b] é representada pela
soma das áreas da figura delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo 0x e
pelas retas x = a e x = b.
Vejamos alguns exemplos de cálculo de áreas a partir de
integrais:
1.
Temos nesse exemplo uma função constante, definida
em no intervalo . Na Figura 6 temos a representação da
integral no gráfico:
Figura 6
Observamos, a partir da Figura 6, que a integral a
representa a área de um quadrado do lado 1. Dessa forma,
.
2.
Para esse segundo exemplo temos que e que o
intervalo de integração é . A representação da função f no
intervalo mencionado mostramos na Figura 7:
Figura 7

13. 13
Cálculo I
Temos, agora, um triângulo com a base de comprimento 1 e de
altura 2, portanto, a integral a
3.
A Figura 8 ilustra o gráfico da função no intervalo :
Figura 8
Você, Cursista, pode observar que para a função no intervalo
temos um trapézio de base maior medindo 5, base menor
medindo 1 e altura 4. Dessa forma, a integral a
(Usamos aqui a fórmula para o cálculo da área de um trapézio)
4.
A função a ser estudada nessa integral é no
intervalo . Na Figura 9 temos a representação do gráfico
de :
Figura 9
Mais uma vez temos destacado um trapézio de base maior 4, base
menor 1 e altura 1, então a integral a

14. 14
Cálculo I
Atividade de Estudo
1. Calcule as integrais indicadas abaixo. Faça gráficos e indique,
em cada caso, a área que a integral representa:
a.
b.
c.
d.
5.6 Teorema Fundamental do Cálculo
Quando estudamos derivadas, iniciamos com a definição a partir
do limite e todo o cálculo de derivadas era feito baseando-se na
definição. Percebemos que esse meio de se determinar uma derivada
não era prático e logo, a partir da definição, conseguimos fazer uso de
uma série de regras de derivação o que tornou mais simples o cálculo
de derivadas.
O mesmo acontece com a integral que tem sua definição como
um limite de uma soma (a soma de Riemann). Embora, fazer uso
da definição não seja uma forma prática de se calcular uma integral,
ela permitirá que nós possamos estabelecer as regras de integração
através do chamado Teorema Fundamental do Cálculo.
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma relação entre
as operações de derivação e integração e, por esse motivo, torna-se
a chave de todo Cálculo Diferencial e Integral.
Formalmente, o Teorema Fundamental do Cálculo diz:
Considere uma função contínua de valores reais definida em um
intervalo fechado .
Se for a função definida para em por
Então, , para todo em .

15. 15
Cálculo I
Considere uma função contínua de valores reais definida em um
intervalo fechado .
Se F é uma função tal que: , para todo em
Então,
Para deixar mais claro o que o Teorema Fundamental do Calculo
enuncia, escreveremos:
A integral de f, de a até b, é a diferença F(b) - F(a) entre os valores
de uma primitiva qualquer de f, nos pontos b e a, respectivamente.
Representaremos a diferença por , ou ainda:
Algumas integrais resolvidas utilizando o Teorema Fundamental do
Cálculo são mostradas a seguir:
1.
Se , a sua primitiva é .
Então:
2.
Tomando , temos que a sua primitiva é .
Dessa forma:
3.
Se , a sua primitiva é .
4.
Nesse exemplo, temos que e a sua primitiva .
Assim: .

16. 16
Cálculo I
5.
Tomando é a sua
primitiva. A integral procurada é:
6.
Se , a sua primitiva é .
Então a integral que procuramos é:
7. Queremos calcular a área da figura compreendida entre a
parábola e a reta .
Primeiro devemos encontrar os pontos onde as duas curvas
se interceptam. Para determinar esses pontos, basta fazer a
igualdade entre as duas funções:
Esses pontos são as raízes da equação : e
. Observe no gráfico (Figura 10):

17. 17
Cálculo I
Figura 10
Portanto, a área procurada é dada por:
8. Observado o gráfico da Figura 11, vamos determinar a área
compreendida entre a função e
Figura 11
Os pontos onde as curvas se interceptam em e em .A
área compreendida entre as curvas e é calculada
através da integral:

18. 18
Cálculo I
Atividade de Estudo
1. Calcule:
a.
b.
c.
d.
e.
2. Calcule as integrais indicadas abaixo:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3. Calcule as integrais definidas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
4. Calcule a área sob o gráfico de no intervalo
.
5. Calcule a área sob o gráfico de entre e .
a.
b.

19. 19
Cálculo I
c.
d.

20. 20
Cálculo I
Capítulo 6 - Métodos de
Integração
6.1 Introdução
Neste Capítulo 6 do Livro de Cálculo I estaremos iniciando o
estudo os métodos de integração. Procuramos ilustrar os métodos
de integração através de vários exemplos. Estudaremos o método de
integração por substituição e o método de integração por partes. Ao
final dos exemplos de cada método você, Cursista, encontrará uma
série de exercícios para praticar.
6.2 Integração por Substituição
Este método também é conhecido por “Mudança de Variáveis”.
Mas por que usar métodos de integração?
Neste Volume do Livro de Cálculo I foram mostradas as integrais
de funções elementares, como: funções polinomiais ,
funções racionais , funções trigonométricas ,
função exponencial e também a função logarítmica.
O método de integração por substituição procura transformar uma
integral dada em uma função elementar, mais fácil de ser calculada.
Os exemplos a seguir serão todos resolvidos pelo método da
substituição. A ideia de fazer uma substituição para tornar o integrando
mais simples e assim calcular a sua integral. Os primeiros exemplos
são de integrais indefinidas e em seguida mostraremos o método para
integrais definidas
Exemplos:
1.
Observe que a primitiva da função não é fácil de ser
encontrada. Vamos então fazer a seguinte substituição:
(1)
Derivado em relação a variável , temos:

21. 21
Cálculo I
(2)
Agora vamos substituir (1) e (2) na integral . Assim:
A primitiva de é . Como no início fizemos ,
então:
2.
Para esse segundo exemplo vamos fazer a seguinte
substituição:
(1)
Fazendo a derivação de em relação a variável , teremos:
(2)
Isolando o na expressão (2):
(3)
Vamos, então, substituir (1) e (2) na integral :
A primitiva de é . Dessa forma:
Mas como :
3.
Para esse exemplo, vamos fazer a seguinte substituição;
(1)
Derivando em relação a :

22. 22
Cálculo I
(2)
Ao isolar na expressão (2):
(3)
O próximo passo é fazer as substituições de (1) e (3) na integral
:
A primitiva de é :
A nossa substituição foi , assim:
4.
Se fizermos:
(1)
A derivada de em relação a :
(2)
Pois a derivada de é .
Substituindo (1) e (2) na integral :
A primitiva de é e a integral
Como :
5.
Iremos fazer a seguinte substituição:
(1)

23. 23
Cálculo I
A derivada de em relação a variada :
(2)
Ao isolar na expressão (2):
(3)
Na integral vamos substituir as expressões (1) e
(3):
A primitiva de é:
Já sabemos que , logo:
Os próximos exemplos são em integrais definidas, ou seja,
aquelas onde especificamos o intervalo de integração.
6.
A substituição que vamos fazer é:
(1)
A derivada de em relação a variável :
(2)
Isolando da igualdade (2):
(3)
Um ponto muito importante para o método de integração por
substituição para integrais definidas é o intervalo de integração.
Ao fazermos mudança de variável, também estamos mudando
o intervalo de integração.
A integral possui intervalo de interação
, ou seja, temos variando entre 0 e 1. Quando mudamos a
variável de integração de para através da expressão :
(1)
Também devemos ficar atentos ao novo intervalo de

24. 24
Cálculo I
integração:
Para , teremos ;
Para , teremos .
Dessa forma, a integral passa a ser
(substituindo (1) e (3)):
Como já vimos no exemplo 5, a primitiva de ) é:
Assim:
Na resolução acima usamos o Teorema Fundamental do
Cálculo.
7.
A substituição para essa integral é:
(1)
E a derivada de em relação a :
(2)
O intervalo de integração, usando a igualdade (1), passa a ser:
Para , teremos , e
Para , teremos .
Substituindo as expressões (1) e (2) na integral
e observando o novo intervalo de integração, ficamos com:
8.
Tomando (1) e fazendo a derivação de em relação
a variável , temos:
(2)

25. 25
Cálculo I
De onde vem:
(3)
O intervalo de integração que era de zero a um, agora, com a
mudança de variável, passará a ser:
Para e
Para
Ao substituir (1) e (3) na integral dada e fazendo a mudança no
intervalo de integração, temos:
Como a primitiva de é :
Atividade de Estudo
1. Calcule as integrais indefinidas dadas nos itens a baixo:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.

26. 26
Cálculo I
k.
2. Calcule as integrais definidas propostas a seguir:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
6.3 Integração por Partes
Da regra de derivação do produto de funções e ,
sabemos que (1).
Integrando os dois membros da igualdade (1), teremos:
(2)
Ou ainda:
(3)
Esta é a formula de integração por partes, que nos permite
transformar a integração do produto na integração do produto .
Normalmente usamos uma versão mais simplificada da igualdade (3):
(4)
Vejamos alguns exemplos onde o método de integração por parte
é usado:
1.
Usando a igualdade , vamos determinar
que:
, logo ;
, logo . (note que é uma primitiva de )
Fazendo as devidas substituições em ,
ficamos com:

27. 27
Cálculo I
2.
Tomando:
, teremos ,
, teremos , pois a primitiva de é .
Ao substituir esses termos na integral em
, ficamos com:
3.
Pela igualdade (4):
Vamos chamar:
e assim e,
, logo .
Observe, caro(a) Cursista, que a integral tem como
solução parcial uma soma onde uma das parcelas é outra
integral:
Esta última integral também é calculada pelo método de
integração por partes. Vejamos:
Fazendo:

28. 28
Cálculo I
e,
. Dessa forma, partindo de :
Com esse exemplo nós mostramos que em uma mesma integral
é possível usar o método de integração por partes sempre que
necessário.
Atividade de Estudo
1. Calcule as integrais propostas usando o método de integração
por partes:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.