2.  Vektor : Besaran fisik yang memiliki besar
dan arah
Contoh:
kecepatan, percepatan, gaya, momentum, m
edan magnet, medan listrik
 Skalar : Besaran fisik yang hanya memiliki
besar saja (tidak memiliki arah)
Contoh:
waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa

3. Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya
tertentu. (Arah garis menunjukkan arah vektor
dan panjang garis menunjukkan besar vektor)
Vektor dinyatakan dgn huruf ū, u, u (bold), atau
u (italic).
Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke
B, maka ditulis dengan lambang u = AB
Notasi u dibaca “vektor u”

4. • Vektor sebagai pasangan bilangan
u = (a,b) atau u = (a,b,c)
• Vektor sebagai kombinasi vektor satuan i, j, k
u = ai + bj atau u = ai + bj + ck
• Panjang vektor u (norma dari v) ditentukan
oleh rumus:
u
2
a
2
b atau u
2
a
2
b
c
2

5. Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka
 u + v = (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
 u – v = (a,b) + (-c,-d) = (a - c, b - d)
Contoh:
u = (3,-2) dan v = (-2,3)
u + v = (1,1)
u – v = (5,-5)
Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3

6. Misalkan u = (a,b), k dan l adalah sembarang
skalar maka:
 ku = (ka,kb)
 (k+l)u = ku + lu
Contoh
• u = (-4,2)  -3u = (12,-6)
Catatan: Operasi ini juga berlaku untuk vektor di R3

7. Vektor satuan adalah sebuah vektor yang
didefinisikan sebagai satu satuan vektor.
Jika digunakan sistem koordinat Cartesian
(koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dan
sumbu y dan sumbu z.
Vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektor
satuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu z
adalah k.
Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya
adalah satu satuan

9. Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:
u∙v = ||u|| ||v|| cos
Dimana:
||u|| = panjang vektor u
||v|| = panjang vektor v
= sudut antara vektor u dan v

10. Misalkan : u = (a,b) dan v = (c,d) maka:
||u × v|| = ||u|| ||v|| sin
Dimana:
||u|| = panjang vektor u
||v|| = panjang vektor v
= sudut antara vektor u dan v

11. Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3).
u v u1v1 u2v2 u3v3
Contoh:
Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
tentukanlah u∙v !
Solusi: u v u1v1 u2v2 u3v3
( 1)(2) (3)( 4) ( 2)(1)
2 ( 12) ( 2) 16

12. Misalkan: u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) maka:
u v
i
j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
u2 u3
u1 u3
i
j
v2 v3
v1 v3
u1 u2
k
v1 v2
Contoh:
Jika diketahui u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
tentukanlah u×v !

13. u = (-1,3,-2) dan v = (2,-4,1)
u v
i
1
2
j
3
4
3
4
k
2
1
2
i
1
1
2
3(1) ( 2)( 4) i
2
j
1
1
2
( 1)(1) ( 2)(2) j
(3 8)i ( 1 4) j (4 6)k
5i 3 j 2k
3
k
4
( 1)( 4) 3(2) k

14. Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :
cos
Contoh
Tentukan ( ) sudut antara vektor u dan v jika:
u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)
Solusi
u v
(2, 1 ) (1 ,2)
,1 ,1
u
(2)(1 ( 1 ) (1
)
)(1
)(2)
2 1 2 3
cos
u v
u v
3
6 6
1
2
22
v
2
2
1 1
60o
u v
u v
2
( 12 1
)
22
6
6

15. Jika u dan v adalah vektor tak nol maka :
(i)
(ii)
lancip jika dan hanya jika u v 0
tumpul jika dan hanya jika u v 0
(iii)
=
2
jika dan hanya jika u v 0
Contoh
Tentukan apakah u dan v membentuk sudut
lancip, tumpul, atau ortogonal
u = (7, 3, 5) dan v = (-8, 4, 2)

16. Solusi
u v
(7)( 8) (3)(4) (5)(2)
56 12 10
34
0
Jadi, u dan v membentuk sudut tumpul

17. 1. Misalkan u = (1,2,3), v = (2,-3,1), dan w = (3,2,-1).
Carilah komponen-komponen dari:
a. 2u+3v
b. 7v – 3w
c. 2v – (u + w)
2. Hitunglah panjang (norma) vektor v jika:
a. v = (3,4)
b. v = (-8,7,4)
3. Misalkan u = (1,-3,2), v = (1,1,0), dan w = (2,2,-4). Tentukanlah:
a. u v
b.
c.
u v
1
w
w

18. 4. Tentukanlah u v dan u v dan cos ( sudut antara u dan v)
jika diketahui:
a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2)
b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2)
c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)
5. Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul,
atau ortogonal jika diketahui:
a. u = (1,-3,7) dan v = (8,-2,-2)
b. u = (4,1,6) dan v = (-3,0,2)
c. u = (-3,1,2) dan v = (4,2,-5)

19. Vektor di R2
• u = (a,b) , v = (c,d)
1) u + v = (a+c, b+d)
2) u - v = (a-c, b-d)
3) Norma (besar) vektor u
u
a2 b2
4) Perkalian Titik (dot
product)
5) Perkalian Silang (cros
Product)
Vektor di R3