Triangular Bézier Patch

Universidade Federal de Alagoas - UFAL - Campus A. C. Simões - Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 - Instituto de Matemática (IM)
Triangular Bézier Patch :: Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier :: Computação Gráﬁca Avançada (CGA) :: May 16, 2012
Triangular Bézier Patch
Uma Breve Introdução às Curvas e ao Retalho Triangular de Bézier
Michel Alves dos Santos
Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. Simões
Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970
Docente Responsável: Prof. Dr. Dimas Martinez
{michel.mas}@gmail.com
16 de Maio de 2012
Michel Alves dos Santos: Bacharelando em Ciência da Computação Instituto de Matemática - Bloco 12 - Campus A. C. Simões - UFAL

Introdução
Curvas e Retalhos Triangulares
Nesta apresentação iremos fazer uma breve introdução às Curvas de
Bézier e ao Retalho Triangular, porém antes faz-se necessário uma
pequena discussão sobre métodos Interpolativos e Aproximativos.

Interpolação X Aproximação
Métodos de Interpolação e Aproximação

Interpolação X Aproximação
Métodos de Interpolação e Aproximação
É natural querermos modelar uma curva suave que passe por um
determinado conjunto de pontos fornecido.
Se a curva desejada é polinomial, chamamos o método de obtenção de tal
curva de interpolação polinomial.
Entretanto, o resultado nem sempre é o esperado (oscilações).
Dessa maneira, é mais comum querermos curvas que ‘passem perto’ dos
pontos fornecidos, isto é, com certas aproximações.
Um excelente método para obtenção de curvas suaves faz uso do
algoritmo criado por Paul de Faget de Casteljau e uso da formalização
feita por Pierre Bézier - As Curvas de Bézier.

Introduzindo as Curvas de Bézier
O que são as Curvas de Bézier?
Curva de Bézier é uma curva polinomial expressa como a interpolação
linear entre pontos representativos usualmente chamados de pontos de
controle. O conjunto formado por esses pontos é denonimado polígono de
controle da curva. Foram desenvolvidas como resultado do Algoritmo de
De Casteljau em 1957 e formalizadas na década de 60.

O Algoritmo de De Casteljau
O Que é o Algoritmo de De Casteljau?
O Algoritmo de De Casteljau é um método recursivo para calcular
polinômios na forma de Bernstein ou da Curva de Bézier.
É amplamente usado, com algumas modiﬁcações, como o mais robusto e
numericamente estável método para calculo de polinomiais.

O Algoritmo de De Casteljau - Caso Linear
Curva de Bézier Linear
Suponha que queiramos aproximar uma curva polinomial entre dois pontos
P0 e P1 fornecidos.
A solução natural é um segmento de reta que passa por P0 e P1 cuja
parametrização mais comum é dada por P(t) = (1 − t) ∗ P0 + t ∗ P1.
Podemos pensar em P(t) como uma média ponderada entre P0 e P1.
Observe que os polinômios (1 − t) e t somam 1 para qualquer valor de t.
Esses polinômios são chamados de funções de mistura (blending functions)

O Algoritmo de De Casteljau - Caso Linear
Curva de Bézier Linear
P(t) =
1
i=0
ti
(1 − t)1−i
Pi
P(t) = (1 − t)P0 + tP1, t ∈ [0, 1]

O Algoritmo de De Casteljau - Caso Quadrático
Curva de Bézier Quadrática
Para generalizar a idéia para três pontos P0, P1 e P2 consideramos
primeiramente os segmentos de reta P0P1 e P1P2
P01(t) = (1 − t)P0 + tP1
P12(t) = (1 − t)P1 + tP2
Podemos agora realizar uma interpolação entre P01(t) e P12(t).
P02(t) = (1 − t)P01(t) + tP12(t)
P02(t) = (1 − t)2
P0 + 2t(1 − t)P1 + t2
P2

P(t) =
2
i=0
2
i
ti
(1 − t)2−i
Pi
P(t) = (1 − t)2
P0 + 2t(1 − t)P1 + t2
P2
P(t) = (P0 − 2P1 + P2)t2
+ (−2P0 + 2P1)t + P0, t ∈ [0, 1]

O Algoritmo de De Casteljau - Caso Cúbico
Curva de Bézier Cúbica
A curva quadrática obtida pode ser entendida como a ‘mistura’ dos
pontos P0, P1 e P2 por intermédio de três funções quadráticas:
B02(t) = (1 − t)2
B12(t) = 2t(1 − t)
B22(t) = t2
Aplicando mais uma vez a idéia podemos deﬁnir uma cúbica por 4 pontos:
P02(t) = (1 − t)2
P0 + 2t(1 − t)P1 + t2
P2
P12(t) = (1 − t)2
P1 + 2t(1 − t)P2 + t2
P3
P03(t) = (1 − t)P02(t) + tP12(t)
P03(t) = (1 − t)3
P0 + 3t(1 − t)2
P1 + 3t2
(1 − t)P2 + t3
P3

P(t) =
3
i=0
3
i
ti
(1 − t)3−i
Pi
P(t) = (1 − t)3
P0 + 3t(1 − t)2
P1 + 3t2
(1 − t)P2 + t3
P3
P(t) = (−P0 + 3P1 − 3P2 + P3)t3
+ (3P0 − 6P1 + 3P2)t2
+(−3P0 + 3P1)t + P0, t ∈ [0, 1]

Novamente temos uma curva dada pela soma de 4 funções de mistura
(agora cúbicas), cada uma multiplicada por um dos 4 pontos
B03(t) = (1 − t)3
B13(t) = 3t(1 − t)2
B23(t) = 3t2
(1 − t)
B33(t) = t3
Em geral, uma curva de grau n pode ser construída da seguinte forma:
Pin(t) =
n
i=0
Bin(t)Pi

O Algoritmo de De Casteljau - Casos
Curvas de Bézier Lineares, Quadráticas e
Cúbicas
Linear
P(t) = (1 − t)P0 + tP1, t ∈ [0, 1]
Quadrática
P(t) = (1 − t)2
P0 + 2t(1 − t)P1 + t2
P2, t ∈ [0, 1]
Cúbica
P(t) = (1 − t)3
P0 + 3t(1 − t)2
P1 + 3t2
(1 − t)P2 + t3
P3, t ∈ [0, 1]

O Algoritmo de De Casteljau - Generalização
Curvas de Bézier
Uma curva de Bézier de grau n deﬁnida por n + 1 pontos de controle é
expressa como:
P(t) =
n
i=0
Bi,n(t)Pi
Onde
Bi,n(t) =
n
i
ti
(1 − t)n−i
, t ∈ [0, 1]

Curvas de Bézier e Polinômios de Bernstein
Observações
As curvas construídas pelo algoritmo de De Casteljau são conhecidas
como curvas de Bézier e as funções de mistura são chamadas de base
Bézier ou polinômios de Bernstein.
Observamos que os polinômios de Bernstein de grau n têm como forma
geral Bin(t) = Ci ti
(1 − t)n−i
Se escrevermos as constantes Ci para os diversos polinômios, teremos:
1o grau: 1 1
2o grau: 1 2 1
3o grau: 1 3 3 1
4o grau: 1 4 6 4 1

Curvas de Bézier e Polinômios de Bernstein
Observações
Vemos que o padrão de formação corresponde ao Triângulo de Pascal e
portanto, podemos escrever:
Bi,n(t) =
n
i
ti
(1 − t)n−i
, t ∈ [0, 1]

Propriedades das Curvas de Bézier
Algumas Propriedades
O grau da curva (do polinômio) é dado pelo número de pontos do
polígono de controle menos 1
A curva de Bézier está contida no fecho convexo do polígono de controle
(Os polinômios de Bernstein somam 1 para qualquer t).
A curva interpola o primeiro e último ponto do polígono de controle.
As tangentes à curva em P0 e Pn têm a direção dos segmentos de reta
P0P1 e Pn−1Pn , respectivamente.
De posse das noções introdutórias a respeito das Curvas de Bézier iremos
agora falar sobre o Retalho Triangular de Bézier.

Retalho Triangular de Bézier
Deﬁnição
O Retalho Triangular de Bézier é um tipo de retalho (unidade de
representação de surperfícies mais elaboradas) onde o domínio são
triângulos obtidos pelo algoritmo de De Casteljau.
O controle agora é feito por uma estrutura em formato triangular
geralmente chamada de Control Net.

Retalho Triangular de Bézier - Control Net
Rede ou Malha de Controle

Retalho Triangular de Bézier - Control Net
Rede ou Malha de Controle - Propriedades
Denotando cada ponto da Control Net por bijk , teremos que: i + j + k = n.
O número de vértices será dado por: Nv = (1/2)(n + 1)(n + 2).
Depois de apresentadas as propriedades da malha de controle faz-se necessário o
uso de uma outra ferramenta antes da apresentação do algoritmo de De Casteljau
para retalhos triangulares: as coordenadas baricêntricas!

Coordenadas Baricêntricas
Coordenadas Baricêntricas em um Triângulo
Considerando um triângulo de vértices a, b e c e um quarto ponto p sempre é
possível escrever p como uma combinação baricêntrica de a, b e c:
p = ua + vb + wc
Onde
u + v + w = 1 e t = (u, v, w)

De Casteljau Para Retalhos Triangulares
O algoritmo de De Casteljau
Dada uma lista triangular de pontos bi ∈ 3, |i| = n e um ponto em 2 com
coordenadas baricêntricas t, teremos:
br
i (t) = ubr−1
i+e1(t) + vbr−1
i+e2(t) + wbr−1
i+e3(t)
Onde
r = 1, ..., n e |i| = n − r
Os vetores e1, e2 e e3 representam a base canônica.

Polinômio de Bernstein
Deﬁnição do Polinômio de Berstein
No caso dos retalhos triangulares o polinômio Bn
i de Bernstein é deﬁnido da
seguinte maneira:
Bn
i =
n
i
ui
vj
wk
=
n!
i!j!k!
ui
vj
wk
; |i| = n.
Os pontos intermediários br
i serão expressos da seguinte forma:
br
i (t) =
|j|=r
bi+j Br
j (t); |i| = n − r.

Exemplo de Refinamento de Retalhos Triangulares
Exemplo de Refinamento de Retalhos Triangulares
Exemplo de Sucessivos Refinamentos em um Retalho Triangular de Bézier.

Exemplo de Junção de Retalhos Triangulares
Breve Exemplo de Junção de Retalhos Triangulares
Junção de Retalhos Triangulares de Bézier na composição de um objeto.

Exemplo de Uso do Retalho Triangular de Bézier
Utah Teapot Construído com Retalhos Triangulares
À esquerda, rede de controle para o modelo Utah Teapot, constituída de 64
Retalhos Triangulares de Bézier (todos de grau 6). A direita, modelo
correspondente usando Ray Tracing.
Fonte: Triangular Bézier Clipping, S. H. Martin Roth, Patrick Diezi,
Markus H. Gross. Techinical Report, 2000, Paciﬁc Graphics.

Exemplo de Uso do Retalho Triangular de Bézier
Utah Teapot Construído com Retalhos Triangulares
À esquerda, rede de controle para o modelo Utah Teapot evidenciando
detalhamento da tampa. A direita, modelo correspondente usando Ray Tracing.

FIM!

Agradecimentos
Grato Pela Atenção!
Michel Alves dos Santos - michel.mas@gmail.com

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