Sesión 4 del Taller de Geogebra, desarrollado con estudiantes de Licenciatura en Educación Matemática y computación, en la Universidad de Santiago de Chile (Prof. Rafael Miranda Molina). Más información en el post original: http://www.geometriadinamica.cl/2012/12/taller-de-geogebra-lemc-usach/

1. Taller Geogebra
Sesión 4: Construcciones 3D
El propósito de esta actividad, es crear construcciones
que permitan simular puntos en el espacio, en Geogebra;
y a partir de ellos construir poliedros.
Esta guía se basa en los applets de Genevieve Tulloue (http://gtulloue.free.fr/Cabri3D/). La
idea general, responde a los Ángulos de Euler, que nos van a permitir simular el entorno
3D en Geogebra.
1. Construye los controles
Necesitamos tres deslizadores
r: Número de 0 a 5 (es una escala)
α: Un ángulo de giro
β: Otro ángulo de giro
2. Construye los vectores unitarios
Construye los puntos Ux, Uy, Uz, definidos por:
U_x= (r sin(β), -r cos(β) sin(α))
U_y= (r cos(β), r sin(β) sin(α))
U_z= (0, r cos(α))
Y desde el origen traza los vectores hacia estos puntos
Ahora al modificar los deslizadores, los vectores
se comportarán como si fueran los que guían los ejes X-Y-Z
Prof: Rafael Miranda Molina
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2. 3. Construye puntos por traslación
Para construir el punto (2,3,1), traslada O:
• 2 veces respecto a x
• 3 veces respecto a y
• una vez respecto a z.
Ponderando los vectores puedes simplificarlo con la fórmula: Q=traslada [O, 2u+3v+w]
¿Qué relación tienen los siguientes dos grupos de puntos con Q?
traslada [O, 2u] traslada [O, 3v] traslada [O, w]
traslada [O, 2u+3v] traslada [O, 2u+w] traslada [O, 3v+w]
4. Construye circunferencias
Define el lugar geométrico de Q, respecto a α ó β
Este lugar geométrico es una elipse, pero
“simula” una circunferencia en el espacio.
5. Representa un punto al espacio
Dado P, podemos acceder a sus coordenadas con las
fórmulas: x(P) e y(P)
Representar P en el espacio, corresponde a trasladarlo x(P)
sobre el eje X, e y(P) sobre el eje Y.
Construye P’=traslada[O, x(P) u + y(P) v ]
Al mover P en el plano, P’ se moverá de la misma forma en el espacio.
Como P es 2D, P’ se mueve sobre el plano XY.
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3. 6. Secuencias en el espacio
Extendiendo la idea anterior a secuencias, podemos
representar grupos de puntos del plano en el
espacio, en el plano XY.
En general cualquier secuencia que genere varios
puntos puede implementarse en el espacio
(simulado de Geogebra).
Ejemplo 1: Dodecaedro en el plano XY
Los vértices de un dodecaedro regular pueden generarse por la secuencia:
Secuencia[rota[P,i*π/6],i,0,11]
Representar un punto en el espacio consiste en trasladar el origen del espacio
simulado, según sus coordenadas, es decir: traslada[O, x(P) u + y(P) v ]
Combinando ambas ideas, si buscamos representar los puntos de la secuencia 1 en
el espacio (sobre el plano XY) tenemos:
Secuencia[traslada[O, x(rota[P,i*π/6]) u + y(rota[P,i*π/6]) v ],i,0,11]
Incluso, encerrando las secuencia anterior en el comando “polígono” obtenemos
el dodecaedro:
Polígono[Secuencia[traslada[O, x(rota[P,i*π/6]) u + y(rota[P,i*π/6]) v ],i,0,11]]
Ejercicios de construcción propuestos
1. Cubo de arista 3 7. Un cilindro circular recto
2. Caja de 3x4x6 8. Un cono circular recto (considera
3. Tetraedro regular varias circunferencias en el
4. Prisma de base hexagonal espacio)
5. Dodecaedro 9. Un plano de altura variable, que
6. Un plano que corte al tetraedro corte al cono
(cuya altura se controle con un
deslizador)
Para profundizar: Modelado dinámico en 3D (Raúl Manuel Falcón Ganfornina)
Prof: Rafael Miranda Molina
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