Троугао, странице, углови, однос страница и углова

1. Троугао

2. Троугаона линија је затворена изломљена
линија одређена са три неколинеарне тачке.
Троугао је геометријски објекат кога чине
троугаона линија и њена унутрашњост.
А
C
B
Основни елементи троугла су:
- темена троугла
- странице троугла
- углови троугла

3. Странице троугла су дужи које чине троугаону
линију - дужи АB, BC и CA. Обично странице
троугла обележавамо на следећи начин:
АB=c (наспрам темена C)
BC=a (наспрам темена А)
CA=b (наспрам темена B)
c
b a
А
C
B

4. Темена троугла су крајње тачке страница
троугла - тачке А, B и C.
Троугао чија су темена тачке А, B и C
обележавамо са ΔАBC.
c
b a
А
C
B

5. α
γ
β
β
Унутрашњи углови троугла су конвексни
углови CAB, ABC и BCA.
Обично углове троугла обележавамо на
следећи начин:
c
b a
А
C
B
CAB=
ABC=
BCA=
α
γ

6. β
Углови и належу на страницу c.
c
b a
А
C
B
α
γ
α
β
Угao је захваћен страницама b и c.
α

7. Врсте троуглова у
зависности од
једнакости страница

8. Троугао чије су две странице једнаке назива се
једнакокраки троугао. Једнаке странице
називају се краци троугла, а трећа страница је
основица тог троугла. Теме наспрам
основице неког једнакокраког троугла назива
се врх.
крак крак
основица
a
b b
B C
A
врх

9. aА B
C
Троугао чије су све три странице једнаке
назива се једнакостранични троугао.
aa

10. cА B
C
Троугао који нема једнаке странице назива се
неједнакостранични или разнострани троугао.
ab

11. cА B
C
ab
a
b b
B C
A
aА B
C
aaједнакокраки
једнакостранични
неједнакостранични
О=а+2b
О=3а
О=а+b+c
Формула за израчунавање обима троугла
зависи од врсте троугла.

12. Пример 2: Израчунај обим једнакостраничног
троугла чија је страница 2,3cm.
Решење: O=3•2,3=9,6cm
Пример 3: Израчунај обим троугла чије су
дужине страница 2,1cm, 3,5cm и 3cm.
Решење: O=2,1+3,5+3=8,6cm
Пример 1: Израчунај обим једнакокраког
троугла чија је основица 2,3cm и крак 1,5cm.
Решење: O=2,3+2•1,5=5,3cm

13. Углови троугла

14. Теорема: Збир унутрашњих углова било ког
троугла једнак је 180°.
Доказ: Нека је дат ΔABC. Показаћемо да је
α+β+γ=180º.
Нека права p пролази кроз тачку C
тако да је ABllp.
Продужимо странице AC и BC
преко темена C.
А B
βα
γ
1γ
1β 1α p
C

15. Теорема: Збир углова било ког троугла
једнак је 180°.
Тада је:
α=α1 (углови са паралелним крацима)
β=β1 (углови са паралелним крацима)
γ=γ1 (унакрсни углови).
Из једнакости
α1+β1+γ1=180º
добијамо
α+β+γ=180º.
А B
βα
γ
1γ
1β 1α p
C

16. Пример 1: Одреди трећи угао троугла ΔАBC
ако је α=11º и γ=115º.
Решење: β=180º-(α+γ)=180º-126º=54º
Пример 2: Да ли је могуће да сви углови
троугла буду већи од 60º?
Решење: Није могуће, јер ако би сви углови
троугла били већи од 60º, тада би њихов збир
био већи од 180º, а то није могуће, јер збир
углова ма ког троугла мора бити једнак 180º
Слично долазимо до закључка да троугао
може имати највише један прав угао, или
највише један туп угао.

17. Врсте троуглова
у зависности од
величине углова

18. А B
C
Троугаоје оштроугли ако су сва три његова
угла оштра.
оштри углови

19. А
B
C
Троугао је правоугли ако је један његов угао
прав.
Страница правоуглог троугла која се налази
наспрам правог угла назива се хипотенуза, а
странице које су наспрам оштрих углова
називају се катете.
оштри углови
•
катета
к
а
т
е
т
а
хипотенуза
Уобичајено је да
теме правог угла
обележавамо
словом C.
α+β=90º

20. А B
C
Троугаоје тупоугли ако је један његов угао
туп.
оштри углови
туп
угао

21. Пример 2: Један оштар угао правоуглог
троугла је 54º. Колики је други оштар угао
овог троугла?
Решење: α=90º-β=90º-54º=46º
Пример 1: Да ли је ΔABC оштроугли,
правоугли или тупоугли ако је α=17º и β=73º?
Решење: γ=180º-(α+β)=180º-90º=90º, па је овај
троугао правоугли.

22. Спољашњи углови
троугла

23. А
C
B
Спољашњи угао троугла је угао упоредан
унутрашњем углу троугла.
α1α β
1β
1γ
γ

1801 =+αα

1801 =+ ββ

1801 =+γγ
Углови α1, β1 и γ1 су спољашњи углови ΔАBC
који су упоредни редом угловима α, β и γ.

24. Из претходних веза добијамо:
γβαα +=−= 
1801
γαββ +=−= 
1801
βαγγ +=−= 
1801
Закључак:
Спољашњи угао троугла једнак је збиру два
њему несуседна унутрашња угла тог
троугла.
Важи и следеће:
Спољашњи угао троугла већи је од
било ког њему несуседног унутрашњег
угла тог троугла.

25. Израчунајмо сада збир спољашњих углова
троугла:
( ) ( ) ( )βαγαγβγβα +++++=++ 111
( )γβα ++⋅= 2

1802⋅=
Закључак:
Збир спољашњих углова произвољног
троугла једнак је 360º.

360=

26. Пример 1: Израчунај све унутрашње и
спољашње углове ΔABC ако је α1=98º и γ=73º?
Решење:

8298180180 1 =−=−= αα

107731801801 =−=−= γγ
( ) 
25155180180 =−=+−= γαβ

155251801801 =−=−= ββ

27. Односи страница и
углова троугла

28. Некa је s оса симетрије дужи AB и C
произвољна тачка праве s. Можемо да
закључимо следеће:
* Слика дужи AC је дуж BC, па је
AC = BC.
Дакле, ΔАBC је једнакокрак.
* Слика дужи AS је дуж BS, па је
АS=BS.
* Слика ACS је BCS, па је
ACS = BCS.
* Слика CAS је CBS, па је
CAS = CBS.
A
C
B
s
S

29. Једнакокраки троугао ΔАBC, где је AC = BC,
има следеће особине:
A
C
B
s
S
Углови на основици једнакокраког троугла
су једнаки.
Симетрала основице једнакокраког
троугла уједно је и симетрала
угла при врху троугла.
ACS= BCS
βα =

30. А
B
C
Троугао је једнакокрако-правоугли ако је
једнакокраки и има један прав угао.
• 45º
45º
Како је троугао правоугли, збир оштрих углова
је 90º. Троугао је и једнакокраки, па су
његови оштри углови једнаки, односно


45
2
90
=== βα

31. Пример 1: Одреди углове једнакокраког
троугла ако је угао при врху једнак 30º.
Решење:
A
C
B
( ) 
752:1502:30180 ==−=α
α α
γ
Пример 2: Одреди углове
једнакокраког троугла ако је један
од углова на основици једнак 62º.
Решење:

56622180 =⋅−=γ

32. Ако уочену особину једнакокраких троуглова
применимо на једнакостранични троугао
закључићемо следеће...
А B
C
Сви углови једнакостраничног троугла су
једнаки 60º.
60º60º
60º
Одавде закључујемо да су сви
спољашњи углови једнакостраничног
троугла једнаки по 120º.

33. AC=BC⇒ BAC= ABC
A
C
B
Закључили смо да су углови на основици
једнакокраког троугла међусобно једнаки.
Дакле:
Наспрам једнаких страница неког
троугла налазе се једнаки углови.
А какви су углови наспрам
различитих страница?

34. A
C
B
Нека је ΔАBC такав да је CB>CA. Тада на
страници AB постоји тачка D таква да је CA=CD.
Тада је ΔАCD једнакокрак, па је CAD= CDA.
Како је CDA спољашњи за ΔBCD, добијамо
да је CDA> CBD, па је CAD> CBD,
односно α>β.
Дакле, у ΔABC имамо
а>b ⇒ α>β.
α β
D
аb

35. A B
Претходно разматрање доводи нас до следећег
закључка:
Наспрам веће странице троугла налази се
већи угао.
Наспрам мање странице налази се мањи
угао.
α β
аb
а>b ⇒ α>β

36. A B
Важи и супротно:
Наспрам једнаких углова троугла налазе се
једнаке странице.
Наспрам већег угла троугла налази се већа
страница.
Наспрам мањег угла троугла налази се мања
страница. C

37. Зато је код правоуглог троугла највећа
страница хипотенуза, а код тупоуглог троугла
највећа је она страница која је наспрам тупог
угла.
Пример 3: Поређај по величини углове ΔABC
ако је β=100º, а=15cm и c=27cm.
Решење: β>γ>α
Пример 4: Поређај по величини углове и
странице ΔABC чија је хипотенуза c и β=30º.
Решење: γ=90º⇒α=90º-30º=60º.
⇒γ>α>β
⇒c>a>b.

38. Основне неједнакости за
странице троугла

39. За странице било ког троугла важи следеће
тврђење:
Теорема: Свака страница троугла мања је од
збира друге две странице, a већа од њихове
разлике.
C
BA
lb-cl<a<b+c
lc-al<b<c+a
la-bl<c<a+b

40. Одредимо на p(A,B) тачку D тако да је D-A-B.
Троугао DAC је једнакокраки, тј. CDA= ACD.
Како је ACD< BCD, то је и CDA< BCD.
Дакле, у ΔBCD важи а<b+c. Слично би се могло
показати да је b<a+c и c<a+b.
Даље, ако је а≤b из а<b+c следи b-a<c,
a ако је а>b из а<b+c следи а-b<c.
Дакле, свакако је
la-bl<c<a+b.
Показаћемо да ово тврђење важи. Нека је дат
произвољан ΔABC, показаћемо да је a<b+c.
C
BAD
а
b
b c

41. Пример 1: Нека су а, b и c странице ΔABC.
Решење: Ако је а=5cm и b=6cm, онда је
1cm<c<11cm.
Пример 2: Свака страница неког троугла мања
је од половине обима тог троугла. Доказати.
Решење: Како је а<b+c, онда је
a+a < a+b+c, тј.
2•а < О, па је
а < О
2

42. Презентацију израдила Мирјана Митић,Презентацију израдила Мирјана Митић,
наставник математикенаставник математике
Хвала на пажњи!Хвала на пажњи!