慶應義塾大学SFC大学院授業「デザインセオリー」第10回の講義資料です

1. Design Theory
第10回 2012 6/20
村松 充
政策・メディア研究科 後期博士課程3年目
X-Design Program 山中デザイン研究室

2. Lecture Theme
CAXD -Computer Aided X-Design-
■3DCG基礎
ー3次元表現のための数学基礎
■滑らかな形の科学
ー3D CAD による形状表現
■自然、物理学と形
■コンピューターによるX-Design
ー動きのデザイン、シミュレーション
ーアルゴリズムによる形状生成

3. Lecture Theme
CAXD -Computer Aided X-Design-
■3DCG基礎
ー3次元表現のための数学基礎
■滑らかな形の科学
ー3D CAD による形状表現
■自然、物理学と形
■コンピューターによるX-Design
ー動きのデザイン、シミュレーション
ーアルゴリズムによる形状生成

4. Lecture 3
CADによる曲線表現
CADにおいて、滑らかな曲線を描くために用いられる
曲線の表現形式を学ぶ

5. Computer Aided Design
Bezier Curve
Adobe Illustrator等で用いられている曲線表現
n次のBezier曲線は以下の式で表される
(制御点は、P0, P1... Pn)

6. Computer Aided Design
Bezier Curve
３次のベジェ曲線の式を展開すると
tでまとめると

7. Computer Aided Design
Bezier Curve
３次のベジェ曲線をtについて整理すると

8. Computer Aided Design
Bezier Curve
微分する(A,B,C,Dは定数とみなせる)
一階微分
二階微分

9. Computer Aided Design
Bezier Curve
３次のベジェ曲線
３次のベジェ曲線は、曲線上すべての点で曲率
が連続している。(G2連続である)
n次のベジェ曲線
n次のベジェ曲線は、曲線上すべての点でG(n-1)
連続になる。
(展開するとtのn次方程式になる)

10. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線で複雑な曲線を表現するには？

11. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線で複雑な曲線を表現するには？
方法１：次数を上げる

12. Computer Aided Design
Bezier Curve
次数を上げる
http://www.openprocessing.org/sketch/64329

13. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線で複雑な曲線を表現するには？
方法２：複数の曲線で表現する

14. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線で複雑な曲線を表現するには？
方法２：複数の曲線で表現する
ベジェ曲線を複数連続した場合
接続部分の連続性はどうなるか？

15. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線の接続 -3次のBezier曲線同士の接続-
PA1
PA2
PA0
PB0 PA3
PA3 = PB0
であれば、位置連続(C0連続)
(曲線は接続されている) PB2
PB1
PB3

16. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線の接続 -3次のBezier曲線同士の接続-
接線連続で接続する条件
Ba(1)と Bb(0) での接線(微分)が等しければ、
２曲線は接線連続になる。

17. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線の接続 -3次のBezier曲線同士の接続-
接線連続で接続する条件

18. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線の接続 -3次のBezier曲線同士の接続-
接線連続で接続する条件
PA3 - PA2
PA2からPA3へのベクトル PA0からPA1へのベクトル
ベクトルの大きさが等しい場合C0連続
ベクトルの向きのみが等しい場合G0連続
PB1 - PB0

19. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線の接続連続性の確認
http://www.openprocessing.org/sketch/64334

20. Computer Aided Design
Bezier Curve
３次のベジェ曲線の接続
曲率連続で接続する条件
Ba(1)と Bb(0) での曲率(二階微分)が等しければ、
２曲線は曲率連続になる。

21. Computer Aided Design
Bezier Curve
３次のベジェ曲線の接続
曲率連続で接続する条件

22. Computer Aided Design
Bezier Curve
３次のベジェ曲線の接続
曲率連続で接続する条件

23. Computer Aided Design
Bezier Curve
３次のベジェ曲線の接続
曲率連続で接続する条件
PB1 - PB0
PA3 - PA2
PB2 - PB1
PA1 - PA2

24. Computer Aided Design
Bezier Curve
ベジェ曲線の曲率連続性の確認
http://www.openprocessing.org/sketch/64335

25. Computer Aided Design
Bezier Curve
３次のベジェ曲線の接続
３次のベジェ曲線を接線連続性を確保したうえで
曲率連続で接続しようとすると
制御点操作の自由度が低くなり
自由な曲線を描くことが出来ない。

26. Computer Aided Design
B-Spline
B-スプライン曲線
ベジェ曲線よりも曲線同士の接続の連続性
の確保がしやすい曲線の表現方法

27. Computer Aided Design
B-Spline
B-スプライン曲線

28. Computer Aided Design
B-Spline
B-スプライン曲線
式を展開してみましょう。
m:ノットの数 6つ
n:次数 2次
ノットベクトル
t = [0,1,2,3,4,5]

29. Computer Aided Design
B-Spline
B-スプライン曲線
m:ノットの数 6つ
n:次数 2次
t = [0,1,2,3,4,5]

30. Computer Aided Design m:ノットの数 6つ
B-Spline n:次数 2次
B-スプライン曲線 制御点の数 3つ
t = [0,1,2,3,4,5]

31. Computer Aided Design t = [0,1,2,3,4,5]
B-Spline ノットは1ずつ単純増加
t - ti
ti+1 - ti bi,0
t - ti
bi,1
ti+2 - ti ti+2 - t bi+1,0
ti+2 - ti+1
bi,2
t - ti+1
ti+2 - ti+1 bi+1,0
ti+3 - t
bi+1,1
ti+3 - ti+1 ti+3 - t
bi+2,0
ti+3 - ti+2

32. Computer Aided Design
B-Spline
t - ti bi,0
t - ti
bi,1
2
ti+2 - t bi+1,0
bi,2
t - ti+1 bi+1,0
ti+3 - t
bi+1,1
2
ti+3 - t bi+2,0

33. Computer Aided Design
B-Spline
i=0のとき
t b0,0
t
bi,1
2
2-t b1,0
b0,2
t - 1 b1,0
3-t
bi+1,1
2
3 - t b2,0

34. Computer Aided Design
B-Spline
i=0 0 t<1のとき t2
t b0,0
t 2
bi,1
2
2-t b1,0
b0,2
t - 1 b1,0
3-t
bi+1,1
2
3 - t b2,0

35. Computer Aided Design
B-Spline
i=0 1 t<2のとき
t b0,0
t
bi,1
2
2-t b1,0
2
3
b0,2 -t + 3t - 2
t - 1 b1,0
3-t
bi+1,1
2
3 - t b2,0

36. Computer Aided Design
B-Spline
i=0 2 t<3のとき
t b0,0
t
bi,1
2
2-t b1,0
b0,2
t - 1 b1,0
3-t
bi+1,1 t 2 - 6t + 9
2
3 - t b2,0 2

37. Computer Aided Design
B-Spline
i=0 のとき

38. Computer Aided Design
B-Spline
i=0 のとき
1
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

39. Computer Aided Design
B-Spline
i=0,...,2 のとき
t = [0,1,2,3,4,5]
1
0.75
P0 P1 P2
0.5 * *
*
0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

40. Computer Aided Design
B-Spline
制御点3点の2次B-splineをプログラムで確認
http://www.openprocessing.org/sketch/64341

41. Computer Aided Design m:ノットの数 7つ
B-Spline n:次数 2次
制御点を増やしてみる 制御点の数 4つ
t = [0,1,2,3,4,5,6]

42. Computer Aided Design
B-Spline
i=0,...,3 のとき
t = [0,1,2,3,4,5,6]
1
0.75
P0 P1 P2 P3
0.5
0.25
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6

43. Computer Aided Design
B-Spline
制御点4点の2次B-splineをプログラムで確認
http://www.openprocessing.org/sketch/64342

44. Computer Aided Design
Bezier
ちなみに、2次のベジェ曲線は
1
P0 P2 P4
0.75
0.5
P1 P3
0.25
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25
-0.25

45. Computer Aided Design
Cubic B-Spline
3次のB-スプライン曲線を考えてみる

46. t - ti
ti+1 - ti bi,0
Computer Aided Design t - ti
bi,1
ti+2 - ti ti+2 - t bi+1,0
Cubic B-Spline ti+2 - ti+1
t - ti
bi,2
ti+3 - t
t - ti+1
ti+2 - ti+1
bi+1,0
ti+3 - t
bi+1,1
ti+3 - ti+1 ti+3 - t
ti+3 - ti+2
bi+2,0
bi,3
t - ti
ti+2 - ti bi+1,0
t - ti+1
bi+1,1
ti+3 - ti+1 ti+3 - t bi+2,0
ti+3 - ti+2
ti+4 - t bi+1,2
ti+4 - ti+1
t - ti+2
ti+3 - ti+2
bi+2,0
ti+4 - t
bi+2,1
ti+4 - ti+2 ti+4 - t
ti+4 - ti+3
bi+3,0

47. Computer Aided Design
Cubic B-Spline
i=0 のとき

48. Computer Aided Design
Cubic B-Spline
1
0.75
0.5
0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

49. Computer Aided Design
Cubic B-Spline t = [0,1,2,3,4,5,6,7]
1
0.75
P0 P1 P2 P3
0.5
0.25
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

50. Computer Aided Design
Cubic B-Spline t = [0,1,2,3,4,5,6,7,8]
1
P0 P1 P2 P3 P4
0.75
0.5
0.25
0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 5.6 6.4 7.2 8

51. Computer Aided Design
Cubic Bezier
1
P3 P6
0.75
P0
0.5
P1 P2 P4 P5
0.25
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

52. Computer Aided Design
B-Spline
n次(n=1∼6)のB-Splineをプログラムで確認
http://www.openprocessing.org/sketch/64344

53. Computer Aided Design
B-Spline
n次のB-splineは、セグメントの接続点(ノット)で
Cn-1連続性を持つ
3次以上のB-splineを用いれば、曲率連続の自由曲線
を描くことが出来る

54. Computer Aided Design
B-Spline
しかし、B-splineは制御点を通らないため扱いにくい
端点を指定出来た方がCADにおいて扱いやすい

55. Computer Aided Design
B-Spline
非一様Bスプライン曲線
ノットベクトルを非一様に増加する値にし、
ノットを多重化させる事で制御点から始まる曲線や
制御点を通る曲線、制御点で折れる線等の指定を
可能にした曲線の表現形式

56. Computer Aided Design
B-Spline
非一様Bスプライン曲線
n次のB-Splineの場合、n+1個ノットを重ねれば
セグメントの端点を制御点に一致させることが出来る
2次の場合、t=[0,0,0,1,2,3,4,5,5,5]など。
3次の場合、t=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]など。

57. Computer Aided Design
B-Spline
n次(n=1∼6)の始点と終点にノットを重ねた
非一様なB-Splineをプログラムで確認
http://www.openprocessing.org/sketch/64345

58. Computer Aided Design
B-Spline
CADソフトウェア上で曲線の連続性を確認

59. Computer Aided Design
B-Spline
両端を多重ノットにした１セグメントのBスプライン曲線と
ベジェ曲線の比較
http://www.openprocessing.org/sketch/64347

60. Computer Aided Design
B-Spline
両端を多重ノットにした１セグメントのBスプライン曲線は、
同じ次数のベジェ曲線と等しい
ex) ノットベクトル＝[0,0,0,0,1,2,3,3,3,3]の３次B-Spline
は、3次Bezier曲線と等しい

61. Computer Aided Design
B-Spline
多重ノットにした端点は最初の制御点と一致するが、
その点において他のB-Spline曲線と接続しても連続性は
保証されない。(Bezierと同様)
連続性を保って接続したい場合は注意が必要

62. Computer Aided Design
NURBS
非一様有理Bスプライン曲線(NURBS)

63. Computer Aided Design
NURBS
非一様有理Bスプライン曲線(NURBS)
各制御点に重みを与えて、制御点毎に影響の強さを変える
→１制御点レベルでの細かい調整が可能になる

64. Computer Aided Design
NURBS
非一様有理Bスプライン曲線(NURBS)
* *
*

65. Computer Aided Design
NURBS
非一様有理Bスプライン曲線(NURBS)
有理曲線ではないベジェ曲線、B-Splineでは厳密な
円弧を描画することが出来ない
円弧等の円錐曲線を数学的に正しく描画するために
有理曲線が使われる

66. Computer Aided Design
NURBS
NURBSをプログラムで確認
http://www.openprocessing.org/sketch/64350