1. Ao terminar o estudo deste texto o aluno deverá ser capaz de:
1. Aplicar a taxa de variação como um meio para encontrar o valor da velocidade e
da aceleração de um corpo;
2. Usar as técnicas de derivação e a tabela de derivadas;
3. Utilizar a regra da cadeia para calcular a derivada de funções compostas.
A derivada
1. Introdução
Nesse texto estudaremos ‗A Deirvada‘.O objetivo deste estudo é entender sua origem, seu
conceito e sua aplicação nas diversas áreas de conhecimento. Para começar precisamos
entender a relação existente entre taxa de variação e derivada.
O estudo do movimento de uma partícula feito pelos físicos é uma oportunidade para
observarmos a relação citada à cima. Por esse motivo, vamos iniciar nosso estudo por esta
área de conhecimento, mais precisamente pela cinemática. Trabalhar com situações problema
será a estratégia usada para conceituar movimento, velocidade, aceleração , taxa de variação
e derivada.
O que é taxa de variação? Onde se utiliza este conceito?
Qual é a relação existente entre velocidade, aceleração e taxa de variação?
Porque ao se falar de derivada se fala de taxa de variação?
Estas serão as balizas do texto abaixo.
2. Velocidade, Aceleração e Taxa de Variação.
Vamos supor que um automóvel se desloca em uma rodovia. Ele partiu às 6 horas da manhã
do km 35 e que tenha chegado a seu destino, km 275, às 10 horas do mesmo dia. ‘
O intervalo de tempo ( ∆𝑡) é obtido pela diferença entre o instante
considerado (t1) e o instante inicial (t0). O intervalo de tempo é representado ∆t: lê − se delta t
por: ∆t = t1 – t0.Considerando que o automóvel saiu as 6 horas da manhã e
chegou as 10, temos: ∆𝑡 = 4.
O deslocamento (∆𝑠) é adiferença entre duas posições ocupadas pelo mesmo móvel durante o
intervalo de tempo que vai do instante t 0ao instante t + ∆ t = t1. O
deslocamento é representado assim. Em física, a letra delta
∆s = s 𝑡 + ∆𝑡 – s 𝑡 maiúscula ∆ significa
Desse modo o deslocamento pode ser entendido como a variação da 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚çã𝐨
posição de um móvel. Analisando os dados acima concluímos que a
variação de espaço do automóvel foi de 240 km.

2. A relação entre o deslocamento de um corpo e o tempo gasto na realização do movimento é
chamada velocidade. A análise da velocidade se divide em dois principais tópicos: Velocidade
Média e Velocidade Instantânea. Vejamos cada uma.
A velocidade média (Vm) é a razão entre o deslocamento de um móvel e o intervalo de tempo
que ele leva para realizar esse deslocamento. A velocidade é representada por:
∆s s 𝑡 + ∆𝑡 – s 𝑡
Vm = = .
∆t ∆t
Qual é a velocidade média do automóvel?
Vm = 60 km/h.
O conceito de taxa de variação
Vamos entender esse resultado. Com base nas grandezas média é importante no estudo de
deslocamento (240 km) eo intervalo de tempo (4h), uma função, pois exprime a
calculamos a taxa de variação média da velocidade ou a ‗rapidez com que uma função
velocidade média de 60 km/h. Isso quer dizer que, se o cresce num dado intervalo.
automóvel conseguisse manter uma velocidade constante
percorreria em 1hora 60 km.
.
Exemplo 1: suponha que o movimento de um objeto seja dado pela função s= f t = 2t2 – 1,
sendo s em metros e t em segundos. Calcule a velocidade média entre t = 2 e t + ∆t = 5.
Resolução
s(5) – s(2) (2(5)2 – 1) – (2 (2)2 – 1) 42
vm = = = = 14 m/s
5−2 5 −2 3
Quando o velocímetrode um automóvel aponta para o número 60, quem está no automóvel
entende que, naquele instante, o carro está se movimentando a velocidade de 60 km/h. Após
algum tempo, o velocímetro indica 100, significa que, nesse instante, a velocidade é de 100
km/h.No percurso de um móvel, a velocidade pode mudar a cada instante. A velocidade média
estará sempre entre a maior e a menor velocidade instantânea do percurso.A velocidade
marcada em cada instante no velocímetro do automóvel é chamada de velocidade
instantânea.
Imagine que o velocímetro de um carro de corrida tivesse registrado os seguintes valores de
velocidade instantânea a cada segundo:
Tabela 2
Tempo (s) Velocidade (m/s)
0 0
1 7
2 14
3 21
4 28
5 35
A tabela mostra que a velocidade do carro não se mantém constante durante o período
considerado; ela aumenta a cada segundo. Esse aumento de velocidade é uniforme, uma vez
que é de 7 metros a cada segundo. Quando a velocidade de um móvel varia, aumentando ou

3. diminuindo, considera-se que o móvel passou por aceleração. Pode-se descrever a aceleração
assim:
∆v v −v 0
A t = =t
∆t 1 −t 0
Em que:
 a é a aceleração,
 t1 é o tempo final,
 t 0 é o tempo inicial,
 v1 é a velocidade no tempo t1,
 v0 é a velocidade no tempo t0,
 ∆v é variação da velocidade,
 ∆t é a variação do tempo.
Utilizando a fórmula de aceleração, podemos obter o valor da aceleração média em cada
intervalo de tempo. Assim:
Tabela 3
t0 t1 ∆t = t1 - t0 v0 v1 ∆v = v1 - v0 ∆v/∆t
0 1 1 0 7 7 7
1 2 1 7 14 7 7
2 3 1 14 21 7 7
2 5 3 14 35 21 7
0 5 5 0 35 35 7
Se dividirmos a variação de velocidade (∆v) pelo intervalo de tempo, obtemos o valor da
aceleração (a), a = 7 m/s. Durante 5 segundos após a largada a aceleração permanece
constante, são7m/s.
3. Taxa de variação e derivada
Uma partícula move-se em obediência a função horária s = t 2,válida no SI.Vamos determinar
sua velocidade instantânea no intervalo 2 ≤ t ≤ 3, mantendo t1fixo e t + ∆t cada vez menor.
Tabela 4
t1 t2 ∆t ∆s ∆s/∆t
2 3 1 3 5
2 2,5 0,5 2,25 4,5
2 2,1 0,1 0,41 4,1
2 2,01 0,01 0,0401 4,01
2 2,001 0,001 0,004001 4,001

4. Analisando a tabela acima se percebe que quando os valores de t2se aproximam de t1,ouseja ,
quando ∆t tende a zero (∆t→0) a taxa de variação∆s/∆t tende a 4 m/s, como indicam os
cálculos feitos.
A velocidade escalar instantânea V, em certo instante t, é o limite para o qual tende a taxa de
variação ∆ s/ ∆ t, calculado entre t e t + ∆ t, quando t + ∆ ttende a t, ou seja, quando
∆𝑡 tende 0 ∆t → 0 .
∆s s 𝑡 + ∆𝑡 – s 𝑡
v = lim∆t→0 = lim∆t→ 0
∆t ∆t
∆s
A este limite lim∆t→0 ∆t , que é o limite de uma taxa de variação quando ∆t→0, chamamos de
derivada da função espaçoem relação ao tempo,indicada por v(t), quando este limite existe e
é finito, isto é, resulta um número real.
De maneira análoga a velocidade escalar instantânea, concluiremos que:
A aceleração escalar instantânea a, em certo instante t, é o limite para o qual tende a taxa de
variação ∆s/∆t, calculado entre t e t + ∆t, quando t + ∆t tende a t, ou seja, quando ∆t→0. Então:
∆v v t + ∆t − v t
a t = lim∆t→0 = lim
∆t ∆t→0 ∆t
Exemplo 3 A função horária do espaço para o movimento de um ponto material é: s = 2t 2 – 1
(SI).
Determine:
a) a função horária da velocidade escala instantânea;
b) a velocidade escalar no instante 2 s.
Resolução:
a) Em um instante genérico t, temos s = 2t 2 – 1
Em um instante t2 ( maior que t1), temos s‘ = 2(t + ∆t)2 – 1
A velocidade escalar instantânea entre t e t + ∆t é:
∆s 2(t+ ∆t)2 – 1 – ( 2 t 2 – 1) 2t 2 + 4t.∆t+ ∆t 2 − 1 − 2t²+1 4t.∆t +(∆t)²
vm =lim∆t → 0 ∆t = lim = lim = lim =
∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t
∆t 4t + ∆t
lim = lim 4t +∆t
∆t → 0 ∆t ∆t → 0
Aplicando o limite:
vm = 4t + 0
Obtemos a velocidade escalar v em um instante t qualquer:
vm‘ = 4t
Observe que ao aplicar o limite surgiu/ derivou uma nova função. O termo ―derivada ― é usado
porque a função vm‘ deriva, tem sua origem, da função vm por meio de um limite.
b) Fazendo t = 2 s na expressão vm‘ = 4t, temos:
vm‘ = 4( 2 ) ⟹v = 8 m/s
A velocidade no instante t = 2 é de 8 m/s.

5. 4. A Derivada de uma função num ponto
A derivada de uma função f x no ponto x1, indicada por f‘ x1 , ( lê-se f linha de x, no ponto x1),
é definida pelo limite
f ( x 1 + ∆x) –f ( x 1 )
f′(x1 ) = lim∆x→o , quando este limite existe.
∆x
Também podemos escrever
f ( x 2 ) –f ( x 1 )
f′(x1 ) = limx 2 − x 1 .
x2 − x1
O termo ―derivada ― é usado porque a função f‘ deriva da função f por meio de um limite.
4. 1.Função Derivada
Seja f x uma função derivável em todo x de um intervalo ]a,b[. A função que associa
a todo x o número f‘ x recebe o nome de função derivada de f x no ]a,b[ e será indicada por
𝑑𝑦 𝑑f
uma das notações: f‘ x , 𝑑𝑥 , 𝑑x ou y‘.
Podemos obter a função derivada da seguinte forma:
∆y f ( x + ∆x) –f ( x )
y‘ = f‘ x = lim∆x→ 0 ∆x = lim∆x→ 0 ∆x
Obter a derivada de uma função através da definição é muitas vezes um processo complexo,
por isso vamos estudar algumas regras de derivação. Se quiser saber mais sobre derivadas
pode consultar os livros citados na bibliografia.
4.2.Regras de Derivação
Para que não precisemos calcular derivadas pela definição, vamos resumir em uma tabela as
derivadas de algumas funçõesque nos ajudarão no processo de derivação.
4.2.1. Tabela de derivadas
FUNÇÃO DERIVADA
1) y = k( k 𝜖 ℝ) y‘ = 0
2) y = ax + b a, b ϵ ℝ y‘ = a
3) y = xn n ϵ ℝ y‘ = nxn - 1
4) y = kg x k ϵ ℚ y‘ = kg‘ x
5) y =ex y‘ = 𝑒 x
6) y = ax a 𝜖 ℝ∗ a ≠ 1
+, y‘ = a 𝑥 . ln a
1
7) y =ln x x ϵ ℝ, x > 0 y‘ = x
1
8) y = log a x x, a ϵ ℝ, x > 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 y‘ = x.ln a
9) y = sen x x ϵ ℝ y‘ = cos x
10) y = cos x y‘ = - sem x
11) y = tg x x ≠
π
+ kπ, k ϵ ℤ y‘ = sec2 x
2
12) y = cotg x x ≠ kπ, k ϵ ℤ y‘ = - cossec2 x

6. π y‘ = sec x.tg x
13) y = sec x x ≠ + kπ, k ϵ ℤ
2
π y‘ = - cossec x . cotg x
14) y = cossec x x ≠ + kπ, k ϵ ℤ
2
1
15) y = arcsen x x < 1 y‘ =
1 − x2
1
16) y = arccos x x < 1 y‘ = -
1 − x2
1
17) y = arctg x x ϵ ℝ y‘ = 1 + x 2
4.2.2.Regras de derivação
1) y = u ± v y‘ = u‘ ±v‘ SOMA
2) y = uv y‘ = u‘v + uv‘ PRODUTO
u u′v – uv′
3) y = v y‘ = QUOCIENTE
v2
4) y = g u , onde u = f x y‘ = g‘ u . u‘ COMPOSTA
4.2.3. Demonstração de algumas regras de derivação
1) Derivada da função constante
Se y = k, então y‘ = 0, onde k é constante real.
Exemplos:
a) y = 5 ⟹ y‘ = 0
b) y = 7 ⟹y‘ = 0
2) Derivada da soma das funções:
Se y = u + v, então y‘ = u‘ + v‘.
Exemplos:
1
a) y = x4 + 3x3 + ln x - cos x + 5 ⟹y‘ = 4x3 + 9x2 + x + sen x
1 1 1 1 −1 −2
1 −1 1 1 1 1 1
x3 − 1 = 2 x 2 + 3 x 3 = 2
3
b)y = x + x = x 2 + x 3 ⟹y‘ = 2 x 2 + + 3
3 x 3 x2
3) Derivada do produto de funções:
Se y = u . v, então y‘= u‘v + uv‘.
Exemplos:
a) y = x x 3 + x
Temos:
1
u = x ⟹ u‘ = 2 x
3
v = x + x ⟹ v‘ = 3x2 + 1
Logo:
1
y‘ = 2 x 3 + x + x 3x 2 + 1
x
x 3 + x + 2x 3x 2 + 1
y‘ = 2 x
x 3 + x + 6x 3 + 2x
y‘ = 2 x

7. 7x 3 + 3x
y‘ = 2 x
4) Derivada do quociente de funções
u u′v – uv′
Se y = v , então y‘ = .
v2
Exemplos:
4x
a) y = x − 1
Temos:
u = 4x ⟹ u‘ = 4
v = x – 1 ⟹ v‘ = 1
Logo:
4 x − 1 – 4x 1
y‘ = x−1 2
4x −4 – 4x
y‘ = x−1 2
4
y‘ = x−1 2
5) Derivada da função composta ( Regra da Cadeia)
Se y = g u e u = f x , então y‘ = g‘ u . u‘.
Exemplo:
a) y = x 2 + 7x + 3 7
Temos:
u = x2 + 7x + 3 ⟹ u‘ = 2x + 7
g u = u7⇒g‘ u = 7 u6
Logo:
y‘ = 7 u6 . 2x + 7
y‘ = 7 x 2 + 7x + 3 6 . 2x + 7
Bibliografia
Anton, Howard.Cálculo. 8ª ed.- Porto Alegre: Bookman, 2007.
Leithold, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, volume 1. -3ª ed .-São Paulo: Harbra.1994.
Silva, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula.-2. Ed. renov. –São Paulo : FTD, 2005.
Batschelet, Edward. Introdução à matemática para biocientistas.-São Paulo: Ed. Da Unirsidade
de São Paulo,1978.
Ávila, Geraldo Severo de Souza. Várias faces da matemática: tópicos para licenciatura e leitura
geral.-2. Ed.—São Paulo: Blucher, 2010
Silva, Sebastião Medeiros. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências
contábeis. -2,Ed. –Sã0 Paulo : Atlas, 1985.

8. Ao terminar o estudo deste texto o aluno deverá ser capaz de:
4. Identificar a integral como operação inversa da derivada;
5. compostas.
INTEGRAIS
1. Antiderivada
Dada uma função g(x), se existir uma função f(x) cuja derivada f’(x) = g(x), dizemos que f(x) é
antiderivada de g(x).
Exemplo 1.
x5 5x 4
A função f(x) = é a antiderivada de g(x) = x 4 , pois f’(x) = = x 4 = g(x).
5 5
A derivada de uma função constante é zero, por isso funções que têm como única diferença uma
constante possuem derivadas iguais.
Exemplo 2.
Observe a derivada das funções abaixo:
a) f(x) = x 4 + 2 ⟹ f’(x) = 4x3
b) f(x) = x4 ⟹ f’(x) = 4x3
c) f(x) = x4 – 1 ⟹ f’(x) = 4x3
Ao derivar as funções do exemplo 2 obtemos sempre a mesma resposta, f’(x) = 4x3. As funções f(x) são
chamadas funções primitivas e a diferença entre elas é uma constante, neste caso 0, 2 e -, cuja derivada é
zero. Como consequência a antiderivada de g(x) = 4x3 é a função f(x) = x4 + C, onde C é uma constante
real, pois ao procurar a função primitiva é impossível determinar com exatidão a constante.
A função f(x) + C é chamada de antiderivada, função primitiva ou integral indefinida de g(x) = f’(x) e é
indicada por:
g x dx = f(x) + C ( lê- se: a integral de g(x) em relação a x é igual a f(x) mais uma constante.)
Na expressão integral indefinida o termo indefinida se refere ao fato do resultado da antiderivação ser
uma função “genérica”. O sinal ʃ é denominado sinal de integração, a função f(x) é denominada
integrando e a constante C é denominada constante de integração.
Exemplo 3.
1
a) dx = ln x + C
x
b) sen x dx = cos x + C
Se f x + C ′ = f’(x) e f ′ (x) dx = f(x) + C, então a derivada e a integral indefinida são operações
inversas.
Definição: Uma função f(x) é chamada primitiva da função g(x) em um intervalo I, se para todo x 𝜖 I,
temos f’(x) = g(x).
2. Integrais Imediatas
As integrais que provêm diretamente das fórmulas de derivação são chamadas de integrais imediatas.
Fórmula de Derivada Fórmula de Integração Equivalente
1. x ′ = 1 1 dx = dx = x + C, C 𝜖 ℝ

9. 2. ax ′ = a a dx = ax + C, C 𝜖 ℝ
′ xn + 1
xn + 1
3. = x 𝑛 , n ≠ -1 x n dx = + C, C 𝜖 ℝ
n +1 n +1
′ 1 1
4. ln x =x dx = ln x + C, C 𝜖 ℝ
x
ax ′ ax
5. =a𝑥 ax dx = ln a + C, C 𝜖 ℝ
ln a
x ′
6. e =e𝑥 e 𝑥 = e 𝑥 + C, C 𝜖 ℝ
7. sen x ′ = cos x cos x dx = sen x + C, C 𝜖 ℝ
8. cos x ′ = - sen x sen x dx = - cos x + C, C 𝜖 ℝ
9. tg x ′ = sec2 x sec 2 x dx = tg x + C, C 𝜖 ℝ
′
10. cotg x = - cossec2 x cossec 2 x dx = - cotg x + C, C 𝜖 ℝ
11. sec x ′ = sec x . tg x sec x . tg x dx = sec x + C, C 𝜖 ℝ
12. cossec x ′ = - cossec x . cotg x cossec x . cotg x dx = - cossec x + C, C 𝜖 ℝ
1 1
13. arcotg x ′ = 1+ x 2 = arcotg x + C, C 𝜖 ℝ
1+ x 2
1 1
14. arcsen x ′ = dx = arcosen x + C, C 𝜖 ℝ
1− x 2 1− x 2
1 1
15. arccos x ′ = - − = arcos x + C,
1− x 2 1− x 2
2.1.Propriedades das Integrais Imediatas
1. f x ± g(x) dx = f x dx ± g(x) dx A integral da soma ou diferença é a soma ou
diferença das integrais.
2. kf(x) dx = k f(x) dx A constante multiplicativa pode ser retirada do
integrando.
Demonstração das propriedades 1 e 2
x3 2 x2 x3
a) x 2 – 2x + ex dx = x 2 dx – 2x dx + ex dx = – + ex + C = − x2 + ex + C
3 2 3
1 1 1 4x 3 1
b) 4x 2 − sen x dx = 4x 2 dx - sen x dx = 4 x 2 dx - 2 sen x dx = + 2 cos x + C
2 2 3
2.2. Integração por substituição
Observe a integral indefinida:
x 2 − 1 . 2x dx
Note que nesta função 2x é a derivada de x2 -1, assim, pode-se escrever:
u = x2 – 1 ⟹ du = 2x dx e
1
2
x 2 − 1 . 2x dx = u du = u2 du = 3 . x2 − 1 3 +C

10. Esse método de integração é chamado de Método de Substituição ou Mudança de variável. O método
exige a identificação de uma função u = f(x) e a derivada du = f’(x) dx. Então:
g f x . f ′ x dx = g(u) du = h(u) + C,
admitindo que se conheça g(u) du.
3. Integral Definida
Definição: Dada uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a,b]. A integral definida de f(x),
de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
b
a
f(x) dx,
onde: a é o limite inferior de integração; b é o limite superior de integração e g(x) é o integrando.
O teorema fundamental do cálculo nos permite relacionar as operações de derivação e integração. Com
isso podemos calcular facilmente o valor da integral definida.
Teorema. Se f é contínua sobre [a,b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo, então
b
a
f(x) dx = F(b) – F(a)
Exemplo 4
Calcular:
1 2 x3 13 03 1
a) 0
x dx = │1 =
0 - =3
3 3 0
Propriedades da integral definida
a a
1) a
f x dx = 0, pois a
f x dx = F(x)│a = F(a) – F(a) = 0.
a
b a a
2) a
f x dx = - b
f x dx, pois b
f x dx = F(a) – F(b).
b b
3) a
kf x dx = k a
f x dx, como nas integrais indefinidas.
b c b
4) a
f x dx = a
f x dx + c
f x dx, a ≤ x ≤ b.
4.O problema da Área
Desde os tempos mais antigos os matemáticos procuraram determinar a área de uma figura plana. A área
é a medida que indica o tamanho da região encerrada pela figura. Deduziram fórmulas para o cálculo da
área de polígonos como os quadrados, retângulos, triângulos e trapézios, mas encontraram dificuldade
para o cálculo da área de regiões com contornos curvilíneos.
4.1.Cálculo de Áreas
Newton e Gollfried Leibniz descobriram uma relação fundamental entre áreas e derivadas, na segunda
metade do século XVII. Eles mostraram que se f é uma função contínua não-negativa no intervalo [a,b] a
se A(x) denota a área sob o gráfico de f acima do intervalo [a,b], então
A’(x) = f(x) .
A fórmula A’(x) = f(x) relaciona a função área A com a função f que delimita a região. O cálculo da área
da região será feito por integração. Assim,
b
A = a f(x) dx = F(b) – F(a)
Se o cursista quiser saber um pouco mais sobre o assunto pode consultar as obras relacionadas na
bibliografia.

11. Exemplo 5
Encontre a área A(x) entre o Gráfico de f(x) = -x+2, o intervalo [0,2] e o eixo x.
2 x2 22 02
A= 0
x − 2 dx = − + 2x│2 = -
0 + 2.2 - − + 2.0 = -2 + 4 = 2 u.a.
2 2 2
Exemplo 6
Encontre a área A(x) entre a os gráficos y = x² e y = 2 – x.
Neste caso ao escrever a integral coloque a função que está por cima menos a que está em baixo. Olhe no
eixo x o intervalo de integração, ou seja, onde começa e onde termina a área.
1
A= −2
2 − x − x² dx =
x2 x3
2x │1 2 -
− │1 2 -
− │1 =
−2
2 3
1 7 53
6+ + = u.a.
2 3 6
Bibliografia
Anton, Howard.Cálculo. 8ª ed.- Porto Alegre: Bookman, 2007.
Leithold, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, volume 1. -3ª ed .-São Paulo: Harbra.1994.
Silva, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula.-2. Ed. renov. –São Paulo : FTD, 2005.
Batschelet, Edward. Introdução à matemática para biocientistas.-São Paulo: Ed. Da Unirsidade
de São Paulo,1978.
Ávila, Geraldo Severo de Souza. Várias faces da matemática: tópicos para licenciatura e leitura
geral.-2. Ed.—São Paulo: Blucher, 2010
Silva, Sebastião Medeiros. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências
contábeis. -2,Ed. –Sã0 Paulo : Atlas, 1985.
Cunha, Félix da. Matemática aplicada. – São Paulo: Atlas, 1990.
Flemming, Diva Marília. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração /Diva . – 5ª ed.- São
Paulo: Markon, 1992.

12. No final deste capítulo o aluno deverá ser capaz de:
 Interpretar situações que envolvem o emprego do conceito de probabilidade
para resolvê-las.
 Calcular a probabilidade de ocorrer um evento em um espaço amostral.
INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE
1.Introdução
Quando um dado é lançado, não é possível afirmar qual será o número escrito na face
superior. Esse fato é chamado de experimento aleatório, (ou casual), pois mesmo que seja
repetido muitas vezes e em condições semelhantes o resultado será sempre imprevisível.
Em nosso cotidiano nos deparamos com diversas situações em que o resultado não pode ser
previsto com certeza. O lançamento de uma moeda e observar a face voltada para cima, o
sorteio do concurso da mega-sena, a retirada de uma carta de um baralho comum e observar o
seu naipe, retirar uma bola de uma urna contendo 5 bolas brancas e 4 vermelhas e observar
sua cor são experimentos cujo resultado e imprevisível. As chances de ocorrer um determinado
resultado em um experimento dessa natureza e o objeto de estudo da teoria das
probabilidades. A probabilidade é um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa
modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
2.Conceito de probabilidade
Considere o jogo de um dado honesto de seis faces numeradas de 1 a 6 e leitura da
face voltada para cima.
Este é um experimento casual. No conjunto {1,2,3,4,5,6} estão relacionados todos os
resultados possíveis. O conjunto de todos os resultados possíveis formam o espaço amostral,
representado pela letra S, S={1,2,3,4,5,6}, são seis os elementos desse espaço amostral, ou
seja, o número de resultados possíveis é 6, n(S)=6.
Vamos supor que após ser lançado a face do dado voltada para cima seja 5, este número e um
subconjunto do espaço amostral S, é uma parte dos possíveis resultados, é um evento. Evento

13. é qualquer subconjunto do espaço amostral S. O conjunto S={1,2,3,4,5,6} é chamado de
evento certo, pois sempre ocorre. O conjunto vazio é também um evento de S, é chamado de
evento impossível, pois nunca ocorre, n(Ø)=O.
Na experiência de lançar o dado e obter como resposta um número ímpar temos o subconjunto
I={1,3,5}⊂ S, n(I)=3 representa o número de resultados favoráveis a probabilidade de ocorrer
um número ímpar durante o lançamento de um dado de seis faces. Temos então três
resultados favoráveis de seis resultados possíveis.
nº de resultados favor áveis
Probabilidade de ocorrer nº ímpar = nº de resultados poss íveis
Simbolicamente,
n(I) 3 1
P(I) = n(S) = 6 = 2 = 0,5 = 50%
A probabilidade que ocorra o evento número ímpar (P(I)), do espaço amostral S é a razão entre
o número de casos favoráveis, n(I)=3, e o número de casos possíveis n(S)=6.
Definição:A probabilidade de ocorrer o evento E, representado por P(E), de um espaço
amostral S, com S ≠ ∅, é o quociente entre o número de elementos do evento E e do espaço
amostral S.
n(E)
P(E) =
n(S)
Exercícios resolvidos
R1.Ao retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas. Qual é a probabilidade de se obter
uma carta de espada?
Solução
a) O espaço amostral é o conjunto S formado por todas as cartas do baralho e
N(S)=52
b) O evento ―carta de espada‖ e o conjunto E formado pelas cartas: az de espada, dois de
espada, três de espada, ..., valete de espada, dama de espada e rei de espada.
c) O número de elementos dos eventos ―carta de espada‖ é n(E)=13
d) A probabilidade do evento ―carta de espada‖ é 25% pois,

14. n(𝐸) 13 1
P(E) = = 52 = 4 = 0,25 = 25%
n(S)
R2.Numa urna, há nove bolas, duas azuis, quatro brancas e três pretas. Qual é a probabilidade
de ela ser azul?
Solução
a) O espaço amostral é o conjunto S formada por todas as bolas e n(S)=9
b) O evento ―bola azul‖ é o conjunto A formado pelas bolas azuis
c) O número de elementos do evento ―bola azul‖ é n(A)=2
d) A probabilidade do evento ―bola azul‖ é 22,2%, pois
𝑛 (A) 2
P(A) = = 9 = 0,222 = 22,2%
𝑛 (𝑆)
3.Consequências da definição
Seja E um evento e S o espaço amostral finito, não vazio, deum experimento aleatório, tem:
0 n (E) n(S)
0 ≤ n(E) ≤ n(S) ⟹ n(S) ≤ ≤ n(S) ⟹ 0≤ P(E) ≤ 1
n(S)
Se E é um evento impossível, então: P(E)=O.
Se E é um evento certo, então: P(E) = 1.
4. Eventos complementares
Em uma urna com 18 bolinhas numeradas de 1 a 18, retira – se ao acaso uma bolinha. Nessa
situação, sabe-se que o espaço amostral S desse experimento tem n(S) = 18. Considere o
evento A: ‗ a bola sorteada é ´mpar‘, com n(A) = 9, e o evento B: ‗ a bola sorteada é par‘, com
n(B) = 9. A probabilidade dos eventos A e B é dada por:
n(A) 9
P(A) = = 18 = 0,5 = 50%
n(S)
n(B) 9
P(B) = = 18 = 0,5 = 50%
n(S)

15. A reunião dos eventos A e B implica em um evento certo, cuja probabilidade é igual a 1 (
100%).
P(A) + P(B) = 1
P(B) = 1 – P(A)
Dizemos que o evento B é complementar do evento A, B = Ā, quando B ∩ A = ∅ e a soma de
suas probabilidades é igual a 1.
5.União de eventos
De uma urna com 18 bolinhas numeradas de 1 a 18, retira – se ao acaso uma bolinha. Qual é a
probabilidade de essa bolinha ter um numero divisível por 2 ou por 3?
Nesse experimento o conjunto {1,2,3,...18} é o espaço amostral, S = {1,2,3,... 18} é o numero
de elementos de S é 18, n(S) = 18. O grupo {2,4,6,8,10,12,14,16,18} formam o conjunto dos
números divisíveis por 2. Esse grupo faz parte de S e constitui o evento A, A =
{2,4,6,8,10,12,14,16,18}, e n(A) = 9. O conjunto B e formado pelos números divisíveis por 3, B
= {3,6,9,12,15,18}, que também faz parte de S, e n(B) = 9. A retirada de elementos do conjunto
A ou do conjunto B significa retirar elementos do mesmo espaço amostral, há a união desses
acontecimentos, representada por AUB( Le – se A união com B). Observe que os números
6,12,e 18 são componentes simultâneos de A e B, portanto, formam o evento A ∩ B (Le – se A
interseção com B) e o seu numero de elementos é 3, n(A∩B) = 3. É possível representar em
um diagrama de Venn a situação descrita anteriormente

16. Da teoria dos conjuntos, temos que n(AUB) =n(A) + n(B) – n(A∩B).
Vamos dividir os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade de AUB,
P(AUB).
n(AUB) n(A) n(B) n(A ∩ B).
= + −
n(S) n(S) n(S) n(S)
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Então:
n(A) 9
P(A) = n(S) = 18
n(B) 5
P(B) = =
n(S) 18
n(A∩B). 3
P(A∩B) = = 18
n(S)
Logo:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
9 5 3
P(AUB) = 18 + 18 -18
11
P(AUB) = = 0,61 = 61%
18
A probabilidade de essa bolinha ter um número divisível por 2 ou por 3 é de 61%.

17. 6. Eventos mutuamente exclusivos
De uma urna com 18 bolinhas numeradas de 1 a 18, retira ao acaso uma bolinha. Qual a
probabilidade do número ser 2 ou 5?
Nessa situação, temos:
a)O espaço amostral S = {1,2,3,...,18} e o numero de elementos do espaço amostral é n(S) =
18
b) O evento ―numero 2‖ é o conjunto A = {2} e n(A) = 1
c) O evento ―numero 5‖ é o conjunto B = {5} e n(B) = 1
d) Esquematicamente, temos
e) Os eventos A e B não possuem elementos em comum, por isso são chamados de eventos
mutuamente exclusivos, pois A∩B = Ø e n(A∩B) = O
f) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então
P(AUB) = P(A) + P(B)
1 1
P(AUB) = 18 + 18
2
P(DUC) = 18 = 0,11 = 11%
A probabilidade de o número ser o 2 ou 5 é de 11%

18. 7.Probabilidade condicional
Qual é a probabilidade de se obter um rei ao retirar uma carta de um baralho comum com 52
cartas, sabendo-se que a carta é de espada?
As 52 cartas compõem o espaça amostral S e n(S) = 52. Nessa situação sabe-se que a carta
retirada é de espada, são 13 as cartas de naipe espada num baralho comum. O evento B (
carta de espada ) tem n(B) = 13. O conjunto {rei de espada, rei de ouro, rei de paus, e rei de
copas} forma o evento A ( ocorrer um rei ) e seu número de elementos é 4, n(A)=4. A carta ‗rei
de espada‘ é comum aos eventos A e B, é a interseção destes conjuntos (A∩B) e n(A∩B)= 1.
Vamos denominar de A/B A ocorrência do evento A, dado que o evento B já tenha ocorrido.
Temos,
n(A∩B)
n(A/B) = n(B)
Dividindo os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade de A/B, P(A/B).
n(A∩B)
n(A/B) n(S)
= n(B)
n(S)
n(S)
P(A∩B)
P(A/B) = P(B)
Na situação acima, P(A/B) é a probabilidade de se obter um rei dado que ocorreu a ‗carta de
espada‘. Então,
1
P(A∩B) 52 1
P(A/B) = = 13 = 13 =0,076 = 7,6%
P(B)
52
Portanto, a probabilidade de obter um rei sabendo que a carta retirada é de espada é de
aproximadamente 7,6%.

19. Dizemos que A e B são eventos dependentes, pois a ocorrência de um depende da prévia
ocorrência do outro.
P(A∩B)
P(A/B) = , com P(B)> 0
P(B)
ou
P(A∩B) = P(B) P(A/B)
7.1.Interseção de dois eventos
Numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas dessa urna, uma
após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de obter um número par e um múltiplo de 5?
O espaço amostral desse experimento é o conjunto S = { 1, 2, 3,...,20}.
O evento A é formado pelos números pares, A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,20} e n(A) = 10.
4
O evento B é formado pelos números múltiplos de 5, B ={ 5, 10, 15, 20}, n(B) = 4 e P(B) = 20 .
Como não houve devolução das bolinhas na urna a retirada da primeira bolinha influencia na
retirada da segunda. Na segunda retirada haverá somente 19 bolinhas na urna.
10 10
A probabilidade de ocorrer um número par tendo ocorrido um múltiplo de 5 é de , P(A/B) = 19 .
19
O evento um número par e um múltiplo de 5 é o conjunto A
∩B = { 10, 20}, n(A∩B) = 2.
Então,
P(A∩B) = P(A/B) P(B)
10 4 10
P(A∩B) = 19 . 20 = 95 = 0,1 = 10%

20. 7.2.Eventos independentes
Uma moeda honesta é lançada duas vezes, qual a probabilidade de se obter cara nos dois
lançamentos?
Representando cara por ‗c‘ e coroa por ‗k‘, temos o espaço amostral S={(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)} e
n(S) = 4.
O evento A (sair cara no primeiro lançamento) é constituído por {(c,c),(c,k)} e n(A) = 2, logo:
n(A) 2 1
P(A) = n(S) 4 = 2.
n(B)
O evento B ( sair cara no segundo lançamento ) é B = ={(c,c),(k,c)} e n(B) = 2, logo: P(B) = n(S)
2 1
= = .
4 2
Os eventos A e B ocorrem simultaneamente no mesmo espaço amostral S e pode ser
representado por A∩B = { (c,c) }, onde n(A∩B) = 1.
A ocorrência do evento A não interfere na ocorrência do evento B. Por isso, dizemos que esses
são eventos independentes.
Se,
P(A∩B) = P(B) P(A/B) (I)
A ocorrência do evento A não interfere na ocorrência do evento B, por isso,
P(A/B) = P(A) (II)
Substituindo (II) em (I), obtemos:
P(A∩B) = P(B) P(A) (III)
Portanto,
1 1 1
P(A∩B) = P(B) P(A) = 2 .2 = 4 = 25%

21. Exercício resolvido
R.3.Uma família planejou ter 3 filhos. Qual é a probabilidade de que a família tenha pelo menos
dois meninos e pelo menos um de cada sexo?
Solução
m:masculino; f: feminino.
S = { mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff} e n(S) = 8
Evento A: pelo menos dois meninos.
4 1
A = { mmf, mfm, fmm, mmm} , n(A) = 4 e P(A) = 8 = 2.
Evento B: pelo menos um de cada sexo.
6 3
B = { mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm }, n(B) = 6 e P(B) = 8 = 4.
O evento A∩B: pelo menos dois meninos e pelo menos um de cada sexo.
A∩B = { mmf, mfm, fmm }, n(A∩B) = 3.
O fato de ocorrer o evento A não interfere na ocorrência do evento B. Portanto,
1 3 3
P(A∩B) = P(A) P(B) = 2 . 4 = 8 = 0,37 ≅ 37%

22. No final deste capítulo o aluno deverá ser capaz de:
 Reconhecer um número complexo e identificar fatos que promoveram
a formalização do número e do conjunto.
 Realizar as principais operações com números complexos.
NÚMEROS COMPLEXOS
1.Números Complexos
Para o estudo dos números complexos vamos considerar algumas situações que esclarecem a
necessidade deste novo número e formalizam o conjunto complexo ( ℂ ). Vamos começar pelo estudo
da equação do 2º grau sua resolução é estudada no 9º ano do ensino fundamental. Nessa fase já se
estudou o conjunto dos números reais (ℝ).
2. Equação do 2º grau
Consideremos a resolução de uma equação do 2º grau x2 + 2x +2=0.
Sendo uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, será resolvida pela fórmula
−𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐
𝑥= .
2𝑎
Analisando o valor do discriminante ∆ = b2 - 4ac, temos três resultados possíveis:
 b2 - 4ac > 0, um número positivo e a equação tem duas raízes reais e diferentes.
 b2 - 4ac = 0, zero e a equação tem duas raízes iguais reais.
 b2 - 4ac < 0, um número negativo, neste caso, a equação não tem raízes reais.
Ao resolvermos a equação x2 + 2x + 2 = 0, obtemos:
−2± −4
∆=-4 e 𝑥 = ,
2
o número - 4 nos leva a conclusão que está equação não possui raízes reais. Essa conclusão, no entanto,
vai além de um ponto final e nos permite um primeiro questionamento:
- Essa equação possui pelo menos uma raiz?
Por definição a raiz de uma equação é um número que quando colocado no lugar da variável faz com
que o resultado de suas operações seja igual a zero.
Vejamos uma solução.
O número -4 é um número inteiro e pode ser escrito como multiplicação entre dois números inteiros,
observe: -4 = (4)(-1) e voltando a −4, escreveremos −4 = 4 (−1) = 4 −1 = 2 −1. Empregando
o resultado encontrado na equação anterior,
−2 ± 2 −1
𝑥=
2𝑎
então,

23. 𝑥 ′ = −1 + −1
𝑥′′ = −1 − −1
O próximo passo é verificar se 𝑥′ = −1 + −1 é raiz de x2 + 2x + 2 =0. Assim,
X2 + 2x + 2 =0
(-1 + −1)2 + 2( -1 + −1) + 2 = 0
+1 - −1 - −1 -2 + 2 −1 + 2 = 0
0=0
Desse modo, verificamos que x’ é uma raiz da equação segundo a definição, porém essa raiz não é um
número real, pois a raiz de um número negativo não está definido em ℝ.
Voltando a verificação, observe que tratamos −1 como número, ou seja, utilizamos todas as
propriedades dos números reais para operar com a raiz de um número negativo.
−1. −1 = −1 (−1) = (−1)2 = -1,
-2 −1 + 2 −1 =0,
(-1).( −1) = - −1,
- −1 - −1 = -2 −1; valemos-nos das leis formais que regem os números reais para operar com o
símbolo −1. Diante desta possibilidade vamos buscar na história os recursos necessários para
formalizar a existência do número −1.
3. O número complexo ou número imaginário
Durante o século XV a interpretação de raiz quadrada de um número negativo era um grande obstáculo
para os matemáticos da época. Raffaele Bombeli em seu tratado Tratado de Álgebra, publicado em
Bolongna ( 1572), foi um dos primeiros que expôs uma teoria sobra as raízes quadradas de números
negativos. Para Bombeli elas representavam um novo ente algébrico.
Utilizando de o procedimento de substituição, conseguiremos provar que −1 é um número.
Comecemos com −1 = i e i2 = -1. A resposta da equação será x’ = -1 + i e x’’ = -1 – i, dois números de
forma geral a + bi, onde a e b são números reais, de agora em diante será chamado de número
complexo e representado pela letra z, z = a + bi.
Vamos aqui fazer uma reflexão.
Por que o número a + bi é chamado complexo?
Se consultarmos um dicionário o termo complexo é definido como algo composto por partes,
constituído por muitos elementos.
O número complexo z = a + bi é formado por três elementos: a é chamado de parte real, b de parte
imaginário e i é unidade imaginária,a ele está associado o par ordenado ( a,b ). O par ordenado pode
ser representado em um plano chamado plano complexo ou plano de Argand-gauss.
Os números reais são considerados números complexos, pois se b = 0 teremos z = a, que chamado de
parte real de um número complexo.

24. A cada número complexo z corresponde um único ponto P de abscissas Re(z) e de ordenada Im(z) do
plano. O eixo das abscissas é chamado eixo real, e o das ordenadas de eixo imaginário. O ponto P que
corresponde a um número complexo z é chamado de imagem ou afixo de z.
Entre os números complexos não é possível estabelecer uma ordem de maior ou menor valor como
acontece no conjunto dos números reais, só é possível indicar se são iguais ou diferentes.
Um número complexo z = a + bi é denominado: imaginário puro quando a = 0, exemplo z = 0 + 4i e real
quando b = 0, exemplo z = 3 + 0i.
Dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di serão considerados iguais, se e somente se, suas partes
reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais. Então, z1 = z2 ⟺ a = c e b = d.
A adição entre z1 e z2 é a soma do número complexo ( a + c ) + ( b + d ) i e na multiplicação entre z1 e z2 o
produto ( ac – bd ) + ( ad + bd ) i.
Exemplo 1.
a) ( 3 + 4i ) + ( 1 – 2i ) = 4 + 2i
b) ( 3 + 4i ) – ( 1 – 2i ) = 2 + 6i
c) ( 3 + 4i )( 1 – 2i ) = 11 + 10i
O complexo conjugado é definido por 𝑧 = a – bi e na representação geométrica ele aparece como
simétrico a z em relação ao eixo real. O conjugado possui 3 propriedades:
I) O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados.
II) O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados.
III) O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo.
Considerando-se os complexos z1= a + bi e z2= c + di, para dividir números complexos, multiplicamos
dividendo e divisor pelo conjugado do divisor, o que transforma o divisor em um número real.
Exemplo 2.
3 + 4i 3 + 4i 1 + 2i 3 + 6i + 4i − 16 − 13 + 10i −13
= . 1 + 2i = = = + 2i
1 – 2i 1 – 2i 1 +4 5 5
As potências de i se repetem depois de i4. Observe:
i0 = 1, por definição
i1 = i, por definição
i2 = -1
i3 = i2 . i =( -1 ) . i = - i
i4 = i2 . i2 = ( -1 ) ( -1 ) = 1
i5 = i4 . i = 1 . i = i
i6 = i4 . i2 = 1 . –1 = - 1
i7 = i4 . i3 = 1 . – i = - i
i8 = i4 . i4 = 1 . 1 = 1
A potência de i n, sendo n elemento do conjunto dos números inteiros , é obtido dividindo o
expoente n por 4 e considerando o resto da divisão como o novo expoente de i.
Exemplo 3.
Calcular i38.
Solução: Efetuando a divisão de 38 por 4 teremos resto 2. Então, i 38 = i2 = -1.

25. 4. Forma trigonométrica de um número complexo
A distância entre a origem 0 e o um ponto P é chamado de módulo de um número complexo,
simbolizado por 𝑧 ou 𝜌, onde 𝑧 = 𝜌= 𝑎2 + 𝑏2 .
Entre o semi-eixo real positivo e o vetor OP, girando no sentindo anti-horário, a partir desse
semi-eixo, forma um ângulo não nulo e de medida 𝜃 ( 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋). Esse ângulo é chamado
de argumento de um número complexo, indicado pro arg(z).
b a
O argumento do número complexo é determinado através das relações: sen𝜃 = ρ e cos 𝜃 = ρ .
Das relações anteriores derivam as relações: a = 𝜌 sen 𝜃 e b = 𝜌 cos 𝜃, e, portanto, podemos
escrever,
Z = a + bi
z = 𝜌 cos 𝜃 + 𝑖 𝜌 sen 𝜃
z = 𝜌 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + i 𝑠𝑒𝑛 𝜃 )
que é denominada forma trigonométrica ou forma polar do número complexo z.
Não se define argumento para z =0 e a condição 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 garante que cada complexo z
corresponda um único argumento 𝜃 . As medidas 𝜌 e 𝜃 são chamadas de coordenadas
polares do número complexo
Exemplo 4.
Obtemos a forma trigonométrica de do número complexo z = - 2 + 2i, fazendo:
𝜌= 𝑎2 + 𝑏2
𝜌= (2)2 + (2)2
𝜌= 8
𝜌=2 2
𝑏 2 2
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = = =
𝜌 2 2 2 3π
𝜃 = 135° ou 𝜃 =
𝑎 −2 − 2 4
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = = =
𝜌 2 2 2
3π 3π
Forma trigonométrica: z: 2 2 − 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛
4 4
Para elevar um número complexo z, não nulo, ao expoente natural n (n ≥ 2), escreve-se o
número na forma trigonométrica, com o módulo 𝜌 elevado ao expoente n e o argumento 𝜃
multiplicado pelo expoente n, ou seja:
𝑧 𝑛 = 𝜌 𝑛 . [cos (n.𝜃) + i . sem (n.𝜃)]
A igualdade acima foi demonstrada pelo matemático francês Abrahan De Moivre ( 1667- 1754)
e é conhecida como a Primeira Fórmula de Moivre.

26. Exemplo 5.
Considerando o número complexo do exemplo 4, calcular 𝑧 4 .
Solução: primeiro escrevendo o número z = -2 + 2i na forma trigonométrica, temos, z: 2 2
3π 3π
− 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 .
4 4
3π 3π
Então, 𝑧 4 : (2 2 )4 − 𝑐𝑜𝑠 4 . + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 4 .
4 4
𝑧 4 : 64 − 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 3𝜋 , 3𝜋 equivale a uma volta e meia, ou seja, os valores do seno e do
cosseno de 3𝜋 é igual ao de 𝜋. Logo,
𝑧 4 : 64 – (−1) + 𝑖 0
𝑧 4 : 64
Bibliografia
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Silva, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula.-2. Ed. renov. –São Paulo: FTD, 2005.
Paiva, Manoel. Matemática. - 1. Ed.- São Paulo: Moderna, 2009.
Ávila, Geraldo Severo de Souza. Variáveis complexas e aplicações. -3. ed.- Rio de Janeiro:
LTC, 2000.