Lezing over de onzekerheidsrelatie en entropische zwaartekracht voor de masterclass Quantum Universe 2012-2013.

1. Van Heisenberg naar
Entropische Zwaartekracht
Marcel Vonk
Masterclass Quantum Universe
17 januari 2013

2. Lezing Erik Verlinde:
2/107

3. Lezing Erik Verlinde:
F x T S
Entropische kracht
3/107

4. Lezing Erik Verlinde:
F x T S
 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c
Compton- Minimale Unruh-
golflengte entropietoename temperatuur
4/107

5. Lezing Erik Verlinde:
F x T S
 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c
F ma
5/107

6. Vandaag:
1) Meer over entropie, entropische
krachten en de onzekerheidsrelatie
F x T S S 2 kB
2) Wat betekent deze afleiding?
6/107

7. Inhoud
1. Entropie
2. Entropische krachten
3. Entropie op quantumschaal: de
onzekerheidsrelatie
4. Van entropische kracht naar de
wetten van Newton.
7/107

8. 1. Entropie

9. Entropie
Het begrip entropie zegt iets over hoe
waarschijnlijk en willekeurig bepaalde
natuurkundige toestanden zijn.
9/107

10. Entropie
Entropie kent twee heel verschillende
definities:
1) Een statistische
2) Een thermodynamische
We beginnen met de statistische
definitie. 10/107

11. Entropie
Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.
11/107

12. Entropie
Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.
12/107

13. Entropie
Welke configuratie is waarschijnlijker?
(1) (2)
13/107

14. Entropie
Antwoord 1: beide configuraties zijn
even waarschijnlijk!
(1) (2)
14/107

15. Entropie
De microscopische toestand
…is even waarschijnlijk als de
microscopische toestand
15/107

16. Entropie
Antwoord 2: configuratie (2) is veel
waarschijnlijker!
…
16/107

17. Entropie
De macroscopische toestand
2:2
…is veel waarschijnlijker dan de
macroscopische toestand
4:0
17/107

18. Entropie
Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.
4:0
18/107

19. Entropie
Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.
2:2
… 19/107

20. Entropie
Bij de macrotoestand 3:1 horen
bijvoorbeeld 16 microtoestanden:
…en bij 2:2 horen er 36.
20/107

21. Entropie
We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!
21/107

22. Entropie
We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!
meest waarschijnlijke
uitkomst
22/107

23. Entropie
Dit wordt nog veel extremer als we
grotere systemen beschouwen:
meest waarschijnlijke
uitkomst
23/107

24. Entropie
Het aantal microtoestanden per
macrotoestand is vaak gigantisch:
290221898034278978720212488115162781261285921681
585875907636440223079481193218327138795984664929
829737740145115100023594381414400 microtoestanden
24/107

25. Entropie
De entropie van een macrotoestand
wordt mede daarom gedefinieerd als
de logaritme van het aantal
microtoestanden.
25/107

26. Entropie
Een belangrijke eigenschap van
entropie is dat die in grote systemen
altijd toeneemt.
26/107

27. Entropie
Ook dit is een puur statistische
eigenschap, er is dus geen
mysterieuze “kracht” aan het werk.
27/107

28. Entropie
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:
28/107

29. Entropie
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:
d S
0
dt
29/107

30. Entropie
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:
d S
0
dt
Tweede Hoofdwet van
de thermodynamica
30/107

31. Entropie
Overigens had Clausius nog niet het
statistische beeld van entropie dat wij
nu hebben.
31/107

32. Entropie
Entropie kent twee heel verschillende
definities:
1) Een statistische
2) Een thermodynamische
Wat is de thermodynamische
definitie? 32/107

33. Entropie
Een fysisch systeem zoals een gas
heeft twee soorten energie:
• Energie die kan worden omgezet
in arbeid
• Energie die “niet beschikbaar is”
33/107

34. Entropie
De verhouding tussen beschikbare
energie en (absolute) temperatuur
bleek constant.
Clausius noemde deze verhouding,
gemeten in J/K, de entropie.
34/107

35. Entropie
Ludwig Boltzmann liet in 1877 zien
dat de twee definities van entropie
hetzelfde zijn.
35/107

36. Entropie
Belangrijk detail:
• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.
36/107

37. Entropie
Belangrijk detail:
• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.
S k B ln W
37/107

38. Entropie
kB heet de constante van Boltzmann:
kB = 1,3806488 x 10-23 J/K
S k B ln W
38/107

39. 2. Entropische krachten

40. Entropische krachten
We hebben gezien dat entropie tot
allerlei dynamische effecten kan
leiden. Deze effecten kunnen zelfs de
vorm van krachten aannemen.
Voorbeeld: een elastiekje.
40/107

41. Entropische krachten
Rubber bestaat uit polymeren:
41/107

42. Entropische krachten
Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:
42/107

43. Entropische krachten
Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:
evenwichtslengte
43/107

44. Entropische krachten
Als het polymeer zich in een
warmtebad bevindt (bijvoorbeeld de
lucht) zal het zijn evenwichtslengte
opzoeken.
Kracht!
44/107

45. Entropische krachten
Een entropische kracht kan arbeid
(W) verrichten.
Ter herinnering:
W F x
45/107

46. Entropische krachten
Arbeid is een toename of afname van
energie; bij een entropische kracht
komt die energie uit de “beschikbare
energie” T·S.
W T S
46/107

47. Entropische krachten
W T S W F x
Gelijkstellen geeft de formule voor
een entropische kracht:
F x T S
47/107

48. Lezing Erik Verlinde:
F x T S
 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c
F ma
48/107

49. 3. Entropie op quantumschaal

50. Entropie op quantumschaal
Levert het begrip entropie geen
probleem op als het aantal
microtoestanden oneindig is?
S k B ln W
50/107

51. Entropie op quantumschaal
Oplossing in de klassieke
natuurkunde: kies een
“basistoestand” als referentie
51/107

52. Entropie op quantumschaal
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
52/107

53. Entropie op quantumschaal
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
S k B ln W
53/107

54. Entropie op quantumschaal
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
S k B ln W
Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):
54/107

55. Entropie op quantumschaal
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
S k B ln W
Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):
Sb Sa k B ln 2
55/107

56. Entropie op quantumschaal
In de klassieke natuurkunde zijn
entropieverschillen dus wel goed
gedefinieerd.
In het algemeen zijn we alleen in
zulke verschillen geïnteresseerd!
d S
0 F x T S
dt
56/107

57. Entropie op quantumschaal
In de quantumfysica blijkt het wel
vaak zo te zijn dat we toestanden
kunnen tellen.
57/107

58. Entropie op quantumschaal
Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.
58/107

59. Entropie op quantumschaal
Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.
59/107

60. Entropie op quantumschaal
Voeg een tweede auto toe:
60/107

61. Entropie op quantumschaal
Voeg een tweede auto toe:
61/107

62. Entropie op quantumschaal
Voeg een tweede auto toe:
62/107

63. Entropie op quantumschaal
Voeg een derde auto toe:
63/107

64. Entropie op quantumschaal
De faseruimte is een
configuratieruimte waarin we de
posities en impulsen (snelheden)
aangeven.
Voorbeeld:
Harmonische oscillator
64/107

65. Entropie op quantumschaal
Harmonische oscillator:
65/107

66. Entropie op quantumschaal
Harmonische oscillator:
66/107

67. Entropie op quantumschaal
Harmonische oscillator:
67/107

68. Entropie op quantumschaal
De faseruimte is opgebouwd uit
fasebanen.
68/107

69. Entropie op quantumschaal
In de klassieke mechanica kan zo’n
baan willekeurig (continu) gekozen
worden. In de quantummechanica zijn
de banen discreet.
69/107

70. Entropie op quantumschaal
Een macroscopische toestand
bepaalt een (bewegend) volume in de
faseruimte.
70/107

71. Entropie op quantumschaal
We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.
71/107

72. Entropie op quantumschaal
We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.
72/107

73. Entropie op quantumschaal
Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?
73/107

74. Entropie op quantumschaal
Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?

x p
2
74/107

75. Entropie op quantumschaal
Coclusie: het aantal toestanden in
een bepaald stuk faseruimte is
eenvoudigweg het volume, uitgedrukt
in “Planckcellen”.
75/107

76. Entropie op quantumschaal
Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
zo’n volume niet verandert.
76/107

77. Entropie op quantumschaal
Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
zo’n volume niet verandert.
77/107

78. Entropie op quantumschaal
Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.
S k B ln W
78/107

79. Entropie op quantumschaal
Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.
S kB
79/107

80. Entropie op quantumschaal
Zie dit als het “toevoegen van 1 bit”
om de nieuwe microtoestanden te
kunnen tellen.
S kB
80/107

81. Entropie op quantumschaal
De berekening van Erik Verlinde laat
zien dat de evenredigheidsconstante
gelijk is aan 2π.
S 2 kB
81/107

82. Entropie op quantumschaal
De factor 2π is overigens nog niet
heel goed begrepen…
??
S 2 kB
…maar blijkt wel in alle drie de
berekeningen hetzelfde te zijn!
82/107

83. Lezing Erik Verlinde:
F x T S
 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c
F ma
83/107

84. 4. Entropische krachten en de
wetten van Newton

85. Zwaartekracht en entropie
Zwaartekracht begrijpen we op grote
schaal heel goed…
85/107

86. Zwaartekracht en entropie
…maar op quantumschaal kost het
veel moeite de kracht als een
fundamentele kracht te beschrijven.
86/107

87. Entropie op quantumschaal
Het idee van Erik Verlinde: moeten
we zwaartekracht misschien zien als
een entropische kracht?
87/107

88. Entropie op quantumschaal
Inspiratie: het idee van holografie.
88/107

89. Entropie op quantumschaal
Juan Maldacena (1998):
• D-dimensionale theorie
met zwaartekracht
=
• (D-1)-dimensionale theorie
zonder zwaartekracht
89/107

90. Entropie op quantumschaal
De informatie over een volume in de
ruimtetijd kunnen we “schrijven” op
het oppervlak!
90/107

91. Entropie op quantumschaal
Ruimte, tijd en dus zwaartekracht
hebben dus in deze holografische
beschrijving heel veel te maken met
entropie!
91/107

92. Entropie op quantumschaal
Kunnen we zwaartekracht zien als de
bijbehorende entropische kracht?
92/107

93. Entropie op quantumschaal
Consistency-check: dan moeten…
F x T S F ma
…dus in elk geval equivalent zijn.
93/107

94. Entropie op quantumschaal
F x T S
Wat vullen we in voor T, Δx en ΔS?
94/107

95. Entropie op quantumschaal
F x T S
 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c
Compton-golflengte: verplaats het
deeltje van buiten naar binnen het
holografische scherm. 95/107

96. Entropie op quantumschaal
F x T S
 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c
Bijbehorende minimale entropie-
toename (als we de 2π aannemen).
96/107

97. Entropie op quantumschaal
F x T S
 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c
Unruh-temperatuur: temperatuur die
een versnelde waarnemer ervaart.
97/107

98. Entropie op quantumschaal
F x T S
 a
x S 2 kB T
mc 2 kB c
F ma
98/107

99. Entropie op quantumschaal
Let op:
• Het idee lijkt dus consistent, maar
deze afleiding zegt nog weinig over
zwaartekracht.
• De vorm van de vergelijkingen
werkt, maar de 2π vullen we nog met
de hand in.
99/107

100. Entropie op quantumschaal
Het mooie is echter dat we nu met
dezelfde technieken en dezelfde 2π
ook de zwaartekrachtswetten van
Newton en Einstein kunnen afleiden!
G m1 m 2
F 2
r
100/107

101. Entropie op quantumschaal
Het mooie is echter dat we nu met
dezelfde technieken en dezelfde 2π
ook de zwaartekrachtswetten van
Newton en Einstein kunnen afleiden!
1
8 G
R 2
g R 4
T
c
101/107

102. Entropie op quantumschaal
Kortom: het idee van Erik Verlinde
helpt ons te begrijpen waarom de
zwaartekracht werkt zoals ze werkt,
en waarom die kracht zo verschillend
is van de andere natuurkrachten.
102/107

103. Entropie op quantumschaal
Kan met het idee ook iets nieuws
verklaard worden?
103/107

104. Entropie op quantumschaal
Kan met het idee ook iets nieuws
verklaard worden?
104/107

105. Entropie op quantumschaal
…maar dat is een onderwerp voor
een toekomstige masterclass.
105/107

106. Entropie op quantumschaal
…maar dat is een onderwerp voor
een toekomstige masterclass.
(en op www.quantumuniverse.nl)
106/107

107. Vragen?