Docentencursus relativiteitstheorie, derde hoorcollege

1. Docentencursus
relativiteitstheorie
Derde college
Marcel Vonk
14 oktober 2013

2. 2/100
Inhoud 3e hoorcollege
1. Hoofdpunten eerste twee colleges
2. Lorentztransformaties
3. De ladderparadox
4. De tweelingparadox
5. Algemene relativiteit
6. Experimenteel bewijs

3. 1. Hoofdpunten eerste twee
colleges

4. 4/100
Eerste hoorcollege
De ruimtetijd, bestaande uit alle
gebeurtenissen, vormt één
geheel. Elke inertiële waar-
nemer verdeelt dit geheel op
zijn eigen manier in ruimte en
tijd.

5. 5/100
Eerste hoorcollege
Het eindresultaat: in Einsteins
wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:
Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!

6. 6/100
Tweede hoorcollege
We zagen in een animatie waar de
ruimtetijdlijnen van een bewegende
waarnemer zich bevinden:

7. 7/100
Tweede hoorcollege
De ruimte- en tijdlijnen van een
referentiekader dat met snelheid
v beweegt, staan een afstand
√(1-β2) uit elkaar. (β=v/c)

8. 8/100
Tweede hoorcollege
Aan de hand van een lichtklok zagen
we dat een bewegende klok
langzamer loopt dan diezelfde klok in
stilstand: tijdsdilatatie.

9. 9/100
Tweede hoorcollege
Een klok die in rust met
tijdsintervallen Δt tikt, tikt als hij
met een snelheid v beweegt, met
grotere tijdsintervallen Δt’ = γ Δt.

10. 10/100
Tweede hoorcollege
De evenredigheidsfactor is de
Lorentzfactor:
met β=v/c. Deze factor komt in de
relativiteitstheorie veel voor.
2
1
1





11. 11/100
Tweede hoorcollege
Verder zagen we dat bewegende
voorwerpen korter zijn dan ze in
stilstand zijn: Lorentzcontractie.

12. 12/100
Tweede hoorcollege
Een intuïtieve manier om de
Lorentzcontractie af te leiden, is aan
de hand van muonen uit de hoge
atmosfeer die ondanks hun korte
vervaltijd het aardoppervlak bereiken.

13. 13/100
Tweede hoorcollege
We kunnen dit resultaat op twee
manieren begrijpen.
1) Tijdsdilatatie: doordat we het muon
zo snel zien bewegen, lijkt zijn “klok”
veel langzamer te lopen. De vervaltijd
lijkt voor ons dus γ maal zo lang.

14. 14/100
Tweede hoorcollege
We kunnen dit resultaat op twee
manieren begrijpen.
2) Lorentzcontractie: voor het muon
zelf is zijn vervaltijd gewoon 2,2 μs.
De op hem af komende atmosfeer lijkt
echter veel dunner.

15. 15/100
Tweede hoorcollege
Een meetlat die in rust een lengte
L heeft, heeft als hij met een
snelheid v beweegt een kortere
lengte L’ = L/γ.

16. 2. Lorentztransformaties

17. 17/100
Lorentztransformaties
We hebben nu ook kwantitatief gezien
wat de effecten van de relativiteits-
theorie op ruimte en tijd zijn.
Lorentzcontractie tijdsdilatatie

18. 18/100
Lorentztransformaties
Aangezien we weten hoe de ruimte-
en tijdlijnen van de bewegende
waarnemer lopen, kunnen we natuur-
lijk ook willekeurige coördinaten van
gebeurtenissen in elkaar omrekenen.

19. 19/100
Lorentztransformaties
Deze Lorentztransformaties behoren
niet tot de exameneisen, maar het kan
voor de docent nuttig zijn ze toch te
kennen:
)('
)('
txx
xtt





20. 20/100
Lorentztransformaties
• De transformaties zijn in deze
eenvoudige vorm geldig als we als
eenheden seconden en licht-
seconden gebruiken.
)('
)('
txx
xtt





21. 21/100
Lorentztransformaties
• Als we meters en seconden
gebruiken verschijnt een aantal
extra factoren c.
)('
)('
txx
xtt





22. 22/100
Lorentztransformaties
• Als we meters en seconden
gebruiken verschijnt een aantal
extra factoren c.
)('
)/(' 2
tvxx
cxvtt





23. 23/100
Lorentztransformaties
• Een voordeel van deze vorm is dat
we voor lage snelheden de Galileï-
transformaties terug zien.
)('
)/(' 2
tvxx
cxvtt




BORD

24. 24/100
Lorentztransformaties
• Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie
zijn twee speciale gevallen van
deze vergelijking.
)('
)('
txx
xtt




BORD

25. 25/100
Lorentztransformaties
Een veel voorkomende verwarring: als
ruimte en tijd zo symmetrisch
voorkomen…
Hoe kan het dan dat tijd oprekt en
ruimte krimpt?
)('
)('
txx
xtt





26. 26/100
Lorentztransformaties
Het antwoord zien we het duidelijkst in
een plaatje:
AB geeft de lengtecontractie weer, AC
de tijdsdilatatie.

27. 27/100
Lorentztransformaties
Om AD te meten zouden we een
nogal vreemd experiment moeten
verzinnen, waarin de bewegende
waarnemer als zijn klok tikt ook iets op
een andere plaats laat gebeuren.

28. 28/100
Lorentztransformaties
Dit experiment zou het “tijds-
equivalent” van het meten van
Lorentzcontractie zijn.

29. 29/100
Lorentztransformaties
Willekeurige ruimtetijdcoördina-
ten kunnen we omrekenen met
)('
)('
txx
xtt





30. 3. De ladderparadox

31. 31/100
De ladderparadox
Om tijdsdilatatie en Lorentzcontractie
beter te begrijpen zullen we twee
bekende paradoxen bekijken.
De eerste is de zogenaamde ladder-
paradox.

32. 32/100
De ladderparadox
“Iemand rent met een ladder, die
precies in een schuur past, met
enorme snelheid de schuur in. Past de
ladder nog altijd in de schuur?”

33. 33/100
De ladderparadox

34. 34/100
De ladderparadox
• Vanuit de rennende waarnemer
gezien wordt de schuur korter, en
past de ladder dus niet.
• Vanuit de stilstaande waarnemer
gezien wordt de ladder korter, en
past de ladder dus ruim.
Hoe kan dit?

35. 35/100
De ladderparadox
Dat er geen tegenspraak is, zien we
als we het ruimtetijddiagram bekijken.

36. 36/100
De ladderparadox
• Om te bepalen of de ladder past,
moeten we tegelijkertijd de positie
van zijn begin- en eindpunt meten.

37. 37/100
De ladderparadox
• Maar... Elke waarnemer heeft zijn
eigen notie van gelijktijdigheid!

38. 38/100
De ladderparadox
• Het “passen” van de ladder is dus
niet iets wat waarnemeronaf-
hankelijk gedefinieerd kan worden.

39. 39/100
De ladderparadox
• De bewegende waarnemer meet
bijvoorbeeld AC, en ziet dat de
ladder inderdaad niet past.

40. 40/100
De ladderparadox
• De stilstaande waarnemer meet
bijvoorbeeld AB, en ziet dat de
ladder inderdaad wel past.

41. 41/100
De ladderparadox
Toch lijkt er nog iets vreemds aan de
hand: wat gebeurt er als de
stilstaande waarnemer, zodra de
ladder in de schuur is, snel de deuren
sluit?

42. 42/100
De ladderparadox
Ook deze vraag kunnen we beant-
woorden met een ruimtetijddiagram:

43. 43/100
De ladderparadox
• De stilstaande waarnemer ziet bij
gebeurtenis (A) de achterkant van
de ladder de schuur in vliegen, en
sluit de deuren.

44. 44/100
De ladderparadox
• Bij (B) botst vervolgens de voorkant
van de ladder tegen de dichte
voordeur van de schuur.

45. 45/100
De ladderparadox
• Voor de meebewegende waarne-
mer is deze gebeurtenis gelijktijdig
met (C) – voor hem is de achter-
kant van de ladder nog buiten.

46. 46/100
De ladderparadox
• De meebewegende waarnemer ziet
de ladder dus samengeperst
worden tot bij (A) ook de achterkant
de schuur in vliegt.

47. 47/100
De ladderparadox
• Kunnen we geen ladder maken die
“oneindig stijf” en dus niet samen te
persen is?

48. 48/100
De ladderparadox
• Nee: de schokgolf van de botsing rechts
beweegt met hooguit de lichtsnelheid
door de ladder heen – het duurt dus
even voor de achterkant “weet” dat de
voorkant stilstaat!

49. 49/100
De ladderparadox
• Uiteindelijk bereikt de schokgolf
natuurlijk de voorkant van de ladder
wel, en zal de ladder in stukken uit
elkaar spatten.

50. 4. De tweelingparadox

51. 51/100
De tweelingparadox
Een tweede paradox geeft meer
inzicht in de tijdsdilatatie: de
tweelingparadox.

52. 52/100
De tweelingparadox
“Ronald reist met een enorme snelheid
naar een ver sterrenstelsel, keert daar
om en reist met dezelfde snelheid
weer terug. Is Ronald bij terugkomst
jonger dan Frank, of andersom?

53. 53/100
De tweelingparadox
• Frank ziet Ronald steeds met grote
snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds
klok langzamer lopen, dus Ronald
zou jonger moeten zijn.
• Ronald ziet Frank steeds met grote
snelheid bewegen. Hij ziet Franks
klok langzamer lopen, dus Frank
zou jonger moeten zijn.

54. 54/100
De tweelingparadox
De situatie lijkt volkomen symme-
trisch, maar is dat niet!
We hebben het tot nu toe alleen over
bewegingen met constante snelheid
gehad, maar hier is meer aan de
hand: Ronald keert namelijk om, en
verandert zijn snelheid.

55. 55/100
De tweelingparadox
Hoewel “snelheid relatief is” (we
kunnen niet definiëren wie beweegt en
wie stilstaat) is verandering van
snelheid dat niet!
We kunnen zonder problemen
ontdekken wie er van snelheid
verandert en wie niet.

56. 56/100
De tweelingparadox
Frank verandert niet van snelheid, dus
zijn waarnemingen zouden juist
moeten zijn. Ronald moet bij thuis-
komst jonger zijn. Hoe kunnen we dit
uit Ronalds perspectief begrijpen?

57. 57/100
De tweelingparadox
Wederom helpt een ruimtetijddiagram
om de oplossing te begrijpen.

58. 58/100
De tweelingparadox
• De steile groene lijn is een tijdlijn
van Ronald op de heenreis. De
vlakke groene lijn is een van zijn
ruimtelijnen.

59. 59/100
De tweelingparadox
• Deze ruimtelijn gaat door de
gebeurtenis “Ronald keert om”. De
onderste rode stip (op Franks
wereldlijn) is dus voor Ronald
hiermee gelijktijdig.

60. 60/100
De tweelingparadox
• De steile blauwe lijn is een tijdlijn
van Ronald op de terugreis. De
vlakke blauwe lijn is een van zijn
ruimtelijnen.

61. 61/100
De tweelingparadox
• Deze ruimtelijn gaat ook door de
gebeurtenis “Ronald keert om”. De
bovenste rode stip (op Franks
wereldlijn) is dus voor Ronald
hiermee gelijktijdig.

62. 62/100
De tweelingparadox
• Kortom: zodra Ronald omkeert
“slaat hij een stuk van Franks
geschiedenis over”. Dit is de reden
dat Frank voor hem bij terugkomst
ouder is.

63. 63/100
De tweelingparadox
• Opmerking (1). Als Ronald vertraagt
en weer versnelt in plaats van
abrupt omkeert, zal zijn ruimtelijn
snel “over de missende
geschiedenis heen zwiepen”.

64. 64/100
De tweelingparadox
• Opmerking (2a). Ronald krijgt de
“gemiste” geschiedenis van Frank
wel te zien: het licht daarvan
beweegt immers naar hem toe.

65. 65/100
De tweelingparadox
• Opmerking (2b). Alleen als Ronald
corrigeert voor de lichtsnelheid
merkt hij dus dat hij een stuk
geschiedenis overslaat.

66. 66/100
De tweelingparadox
• Opmerking (3). Hoewel de
verandering van snelheid hier een
centrale rol speelt hoeven we niets
te weten over versnelling of de
algemene relativiteitstheorie!

67. 5. De algemene
relativiteitstheorie

68. 68/100
Algemene relativiteit
Tot nu toe hebben we het alleen
gehad over waarnemers die eenparig
(met constante snelheid) bewegen.
Maar hoe ervaart een versnelde
waarnemer de ruimtetijd?

69. 69/100
Algemene relativiteit
Het kostte Einstein 10 jaar om de
relativiteitstheorie uit te breiden tot
versnelde waarnemers.
Verrassenderwijs speelt de zwaarte-
kracht daarbij een centrale rol!

70. 70/100
Algemene relativiteit
Centraal in Einsteins redenering staat
het equivalentieprincipe.
Net als bij het relativiteitsbeginsel viel
het Einstein op dat twee ogenschijnlijk
verschillende situaties dezelfde
waarnemingen opleveren.

71. 71/100
Algemene relativiteit
Bekijk een waarnemer in een
stilstaande lift op aarde.

72. 72/100
Algemene relativiteit
In het zwaartekrachtsveld van de
aarde ziet deze waarnemer objecten
met de valversnelling (9,8 m/s2)
omlaag vallen.
Deze valversnelling is voor objecten
van elke massa hetzelfde!

73. 73/100
Algemene relativiteit
Overigens voelen we de “druk” van de
zwaartekracht pas als iets (bijvoor-
beeld de liftbodem) de valversnelling
tegenwerkt.

74. 74/100
Algemene relativiteit
Een waarnemer in een versnelde lift in
de ruimte neemt hetzelfde waar!

75. 75/100
Algemene relativiteit
Einsteins conclusie: zwaartekracht is
experimenteel niet van versnelling te
onderscheiden.
De aanname dat dit algemeen geldig
is, heet het equivalentieprincipe.

76. 76/100
Algemene relativiteit
De kleine lettertjes: de aarde heeft een
radieel zwaartekrachtsveld.
Om de situaties echt identiek te maken
moeten we een parallel zwaartekracht-
veld gebruiken.

77. 77/100
Algemene relativiteit
Wat heeft het equivalentieprincipe voor
gevolgen voor de ruimtetijd?
Laten we weer eens kijken naar het
gedrag van licht. In Newtons wereld-
beeld heeft licht geen massa, en on-
dervindt het dus geen zwaartekracht.

78. 78/100
Algemene relativiteit
Een foton valt een versnellende lift in
de ruimte binnen.

79. 79/100
Algemene relativiteit
Voor de waarnemer in de lift lijkt het
foton een paraboolbaan te beschrijven.

80. 80/100
Algemene relativiteit
De stilstaande waarnemer op aarde
zou dus eenzelfde baan moeten zien.

81. 81/100
Algemene relativiteit
• Onder de invloed van de zwaarte-
kracht beweegt alles in gekromde
banen.
• De kromming van de baan hangt
niet af van eigenschappen van het
voorwerp zoals zijn massa.
De kromming door de zwaarte-
kracht lijkt dus een eigenschap
te zijn van de ruimtetijd zelf!

82. 82/100
Algemene relativiteit
Einstein ontdekte dat het inderdaad
mogelijk is om de zwaartekracht te
beschrijven als een kromming van de
ruimtetijd.

83. 83/100
Algemene relativiteit
In een zwak zwaartekrachtsveld (zoals
op de aarde) reproduceert zijn theorie
nauwkeurig de zwaartekrachtswet van
Newton.

84. 84/100
Algemene relativiteit
Zwaartekracht is dus niets anders dan
een versnelling die ontstaat door de
kromming van de ruimtetijd.
Let op: zwaartekracht is versnelling,
maar niet alle versnelling komt door de
zwaartekracht!

85. 85/100
Algemene relativiteit
Zwaartekracht is niet van
versnelling te onderscheiden.
Zwaartekrachtsversnelling is
niets anders dan gekromde
ruimtetijd.

86. 6. Experimenteel bewijs van de
relativiteitstheorie

87. 87/100
Experimenteel bewijs
Een drietal experimenten zijn we al
eerder tegengekomen:
1) Experimenten zoals dat van
Michelson en Morley tonen aan dat
de lichtsnelheid waarnemeronaf-
hankelijk is.

88. 88/100
Experimenteel bewijs
Een drietal experimenten zijn we al
eerder tegengekomen:
2) Hafele en Keating stuurden in 1971
atoomklokken mee met interconti-
nentale vliegtuigen, en controleer-
den zo de tijdsdilatatie.

89. 89/100
Experimenteel bewijs
Een drietal experimenten zijn we al
eerder tegengekomen:
3) Dat muonen hoog uit de damkring
de aarde bereiken is een test voor
tijdsdilatatie en Lorentzcontractie.

90. 90/100
Experimenteel bewijs
Een eerste test voor het gekromd zijn
van de ruimtetijd werd in 1919
uitgevoerd door Arthur Eddington.

91. 91/100
Experimenteel bewijs
Hij reisde naar Afrika om een totale
zonsverduistering waar te nemen.

92. 92/100
Experimenteel bewijs
Door het afbuigen van licht in een
zwaartekrachtsveld zien we bij zo’n
verduistering sterren op een andere
plaats aan de hemel staan.

93. 93/100
Experimenteel bewijs
Eddington vond de juiste afbuiging.
Tegenwoordig zien we hetzelde effect
op nog veel spectaculairder wijze:
gravitatielenzen.

94. 94/100
Experimenteel bewijs
Een ander bewijs voor de kromming
van de ruimtetijd zien we aan de baan
van de planeet Mercurius. Deze baan
vertoont periheliumprecessie.

95. 95/100
Experimenteel bewijs
Dit effect was al in 1859 opgemerkt
door Urbain Le Verrier. Het kon niet
verklaard worden door de invloed van
andere planeten of de vorm van de
zon.

96. 96/100
Experimenteel bewijs
De relativiteitstheorie gaf wel de juiste
“voorspelling” voor de grootte van de
precessie.

97. 97/100
Experimenteel bewijs
Tenslotte: om GPS te laten werken
moet rekening worden gehouden met
de kromming van de ruimtetijd.

98. 98/100
Experimenteel bewijs
Zie voor nog meer voorbeelden
bijvoorbeeld de lijsten op Wikipedia.

99. Volgende keer…

100. 100/100
Volgende keer…
• E=mc2 en de lichtsnelheid
• Zwarte gaten
• Verzoeknummers?