Lezing voor de slotbijeenkomst van de UvA-masterclass "The Quantum Universe" voor 5- en 6-VWO'ers. Mede bedoeld als voorbereiding op een lezing over entropische zwaartekracht van Erik Verlinde, later op de dag.

1. Van Heisenberg naar
Quantumzwaartekracht
Marcel Vonk
Masterclass Quantum Universe
27 november 2013

2. Inhoud
1. Entropie
2. Entropie op quantumschaal: de
onzekerheidsrelatie.
3. Entropie en zwaartekracht:
zwarte gaten.
2/96

3. 1. Entropie

4. Entropie
Het begrip entropie zegt iets over hoe
waarschijnlijk en willekeurig bepaalde
natuurkundige toestanden zijn.
4/96

5. Entropie
Entropie kent twee heel verschillende
definities:
1) Een statistische
2) Een thermodynamische
We beginnen met de statistische
definitie.
5/96

6. Entropie
Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.
6/96

7. Entropie
Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.
7/96

8. Entropie
Welke configuratie is waarschijnlijker?
(1)
(2)
8/96

9. Entropie
Antwoord 1: beide configuraties zijn
even waarschijnlijk!
(1)
(2)
9/96

10. Entropie
De microscopische toestand
…is even waarschijnlijk als de
microscopische toestand
10/96

11. Entropie
Antwoord 2: configuratie (2) is veel
waarschijnlijker!
…
11/96

12. Entropie
De macroscopische toestand
2:2
…is veel waarschijnlijker dan de
macroscopische toestand
4:0
12/96

13. Entropie
Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.
4:0
13/96

14. Entropie
Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.
2:2
…
14/96

15. Entropie
Bij de macrotoestand 3:1 horen
bijvoorbeeld 16 microtoestanden:
…en bij 2:2 horen er 36.
15/96

16. Entropie
We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!
16/96

17. Entropie
We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!
meest waarschijnlijke
uitkomst
17/96

18. Entropie
Dit wordt nog veel extremer als we
grotere systemen beschouwen:
meest waarschijnlijke
uitkomst
18/96

19. Entropie
Het aantal microtoestanden per
macrotoestand is vaak gigantisch:
290221898034278978720212488115162781261285921681
585875907636440223079481193218327138795984664929
829737740145115100023594381414400 microtoestanden
19/96

20. Entropie
De entropie van een macrotoestand
wordt mede daarom gedefinieerd als
de logaritme van het aantal
microtoestanden.
20/96

21. Entropie
Een belangrijke eigenschap van
entropie is dat die in grote systemen
altijd toeneemt.
21/96

22. Entropie
Ook dit is een puur statistische
eigenschap, er is dus geen
mysterieuze “kracht” aan het werk.
22/96

23. Entropie
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:
23/96

24. Entropie
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:
dS
dt
0
24/96

25. Entropie
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:
dS
dt
0
Tweede Hoofdwet van
de thermodynamica
25/96

26. Entropie
Overigens had Clausius nog niet het
statistische beeld van entropie dat wij
nu hebben.
26/96

27. Entropie
Entropie kent twee heel verschillende
definities:
1) Een statistische
2) Een thermodynamische
Wat is de thermodynamische
definitie?
27/96

28. Entropie
Een fysisch systeem zoals een gas
heeft twee soorten energie:
• Energie die kan worden omgezet
in arbeid
• Energie die “niet beschikbaar is”
28/96

29. Entropie
De verhouding tussen beschikbare
energie en (absolute) temperatuur
bleek constant.
Clausius noemde deze verhouding,
gemeten in J/K, de entropie.
29/96

30. Entropie
Ludwig Boltzmann liet in 1877 zien
dat de twee definities van entropie
hetzelfde zijn.
30/96

31. Entropie
Belangrijk detail:
• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.
31/96

32. Entropie
Belangrijk detail:
• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.
S k B ln W
32/96

33. Entropie
kB heet de constante van Boltzmann:
kB = 1,3806488 x 10-23 J/K
S k B ln W
33/96

34. Entropie
We hebben gezien dat entropie tot
allerlei dynamische effecten kan
leiden. Deze effecten kunnen zelfs de
vorm van krachten aannemen.
Voorbeeld: een elastiekje.
34/96

35. Entropie
Rubber bestaat uit polymeren:
35/96

36. Entropie
Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:
36/96

37. Entropie
Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:
evenwichtslengte
37/96

38. Entropie
Als het polymeer zich in een
warmtebad bevindt (bijvoorbeeld de
lucht) zal het zijn evenwichtslengte
opzoeken.
Kracht!
38/96

39. Entropie
Eén van de vragen die Erik Verlinde
in zijn onderzoek probeert te
beantwoorden is: kunnen we de
zwaartekracht ook zien als een
entropische kracht?
Meer daarover om 15:00
39/96

40. 2. Entropie op quantumschaal

41. Entropie op quantumschaal
Levert het begrip entropie geen
probleem op als het aantal
microtoestanden oneindig is?
S k B ln W
41/96

42. Entropie op quantumschaal
Oplossing in de klassieke
natuurkunde: kies een
“basistoestand” als referentie
42/96

43. Entropie op quantumschaal
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
43/96

44. Entropie op quantumschaal
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
S k B ln W
44/96

45. Entropie op quantumschaal
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
S k B ln W
Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):
45/96

46. Entropie op quantumschaal
Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
S k B ln W
Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):
Sb Sa k B ln 2
46/96

47. Entropie op quantumschaal
In de klassieke natuurkunde zijn
entropieverschillen dus wel goed
gedefinieerd.
In het algemeen zijn we alleen in
zulke verschillen geïnteresseerd!
dS
dt
0
47/96

48. Entropie op quantumschaal
In de quantumfysica blijkt het wel
vaak zo te zijn dat we toestanden
kunnen tellen.
48/96

49. Entropie op quantumschaal
Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.
49/96

50. Entropie op quantumschaal
Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.
50/96

51. Entropie op quantumschaal
Voeg een tweede auto toe:
51/96

52. Entropie op quantumschaal
Voeg een tweede auto toe:
52/96

53. Entropie op quantumschaal
Voeg een tweede auto toe:
53/96

54. Entropie op quantumschaal
Voeg een derde auto toe:
54/96

55. Entropie op quantumschaal
De faseruimte is een
configuratieruimte waarin we de
posities en impulsen (snelheden)
aangeven.
Voorbeeld:
Harmonische oscillator
55/96

56. Entropie op quantumschaal
Harmonische oscillator:
56/96

57. Entropie op quantumschaal
Harmonische oscillator:
57/96

58. Entropie op quantumschaal
Harmonische oscillator:
58/96

59. Entropie op quantumschaal
De faseruimte is opgebouwd uit
fasebanen.
59/96

60. Entropie op quantumschaal
In de klassieke mechanica kan zo’n
baan willekeurig (continu) gekozen
worden. In de quantummechanica zijn
de banen discreet.
60/96

61. Entropie op quantumschaal
Een macroscopische toestand
bepaalt een (bewegend) volume in de
faseruimte.
61/96

62. Entropie op quantumschaal
We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.
62/96

63. Entropie op quantumschaal
We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.
63/96

64. Entropie op quantumschaal
Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?
64/96

65. Entropie op quantumschaal
Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?

x p
2
65/96

66. Entropie op quantumschaal
Coclusie: het aantal toestanden in
een bepaald stuk faseruimte is
eenvoudigweg het volume, uitgedrukt
in “Planckcellen”.
66/96

67. Entropie op quantumschaal
Dit idee (iets anders geformuleerd)
staat bekend als BohrSommerfeldquantisatie.
67/96

68. Entropie op quantumschaal
Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
volume in de faseruimte niet verandert.
68/96

69. Entropie op quantumschaal
Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
volume in de faseruimte niet verandert.
69/96

70. Entropie op quantumschaal
Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.
S k B ln W
70/96

71. Entropie op quantumschaal
Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.
S
kB
71/96

72. Entropie op quantumschaal
Zie dit als het “toevoegen van 1 bit”
om de nieuwe microtoestanden te
kunnen tellen.
S
kB
72/96

73. Entropie op quantumschaal
Deze “minimale toename van
informatie” speelt een belangrijke rol
in het werk van Erik Verlinde (15:00).
S 2 kB
73/96

74. 3. Entropie en zwaartekracht:
zwarte gaten

75. Entropie en zwaartekracht
Zwaartekracht begrijpen we op grote
schaal heel goed…
75/96

76. Entropie en zwaartekracht
…maar op quantumschaal kost het
veel moeite de kracht als een
fundamentele kracht te beschrijven.
76/96

77. Entropie en zwaartekracht
De beste aanwijzingen voor de
oplossing van dit probleem vinden we
in zwarte gaten.
77/96

78. Entropie en zwaartekracht
Een zwart gat is een gebied met een
horizon waarbinnen de zwaartekracht
zo sterk is dat zelfs het licht niet kan
ontsnappen.
78/96

79. Entropie en zwaartekracht
Het (direct) waarnemen van zwarte
gaten valt niet mee, maar we kunnen
er wel goed aan rekenen.
79/96

80. Entropie en zwaartekracht
Stephen Hawking liet in zo’n
berekening zien dat zwarte gaten toch
straling kunnen uitzenden.
Schetsmatig ziet dat er zo uit:
80/96

81. Entropie en zwaartekracht
We zien hier heel duidelijk dat zowel
de zwaartekracht als de quantummechanica een rol spelen – voor een
goed begrip hebben we dus een
theorie van quantumzwaartekracht
nodig!
81/96

82. Entropie en zwaartekracht
Als een zwart gat straling uitzendt,
heeft het dus ook een temperatuur…
82/96

83. Entropie en zwaartekracht
Met andere woorden: een zwart gat is
een thermodynamisch systeem. We
verwachten daarom dat een zwart gat
ook een entropie heeft.
83/96

84. Entropie en zwaartekracht
Samen met Jacob Bekenstein
rekende Stephen Hawking deze
entropie uit. Ze vonden een
verrassend eenvoudig antwoord:
3
S
c A
4G 
84/96

85. Entropie en zwaartekracht
3
S
c A
4G 
G, c en ħ geven aan dat we werken
met begrippen uit de quantumzwaartekracht. Ze doen weinig meer
dan de eenheden kloppend maken.
85/96

86. Entropie en zwaartekracht
De echte inhoud van de formule blijkt
als we eenheden kiezen waarin al
deze constanten 1 zijn:
S
A
4
De entropie van een zwart gat is
evenredig met het oppervlak!
86/96

87. Entropie en zwaartekracht
Het lijkt dus alsof alle informatie over
een zwart gat “op de horizon
geschreven kan worden”.
87/96

88. Entropie en zwaartekracht
Een belangrijke uitdaging voor elke
theorie van quantumzwaartekracht is
om de Bekenstein-Hawkingentropie te
verklaren.
?
Dat valt niet mee, want hoe zien de
microscopische toestanden van een
zwart gat eruit?
88/96

89. Entropie en zwaartekracht
De snaartheorie heeft op dit gebied
twee successen geboekt.
Ten eerste is er het holografisch
principe.
89/96

90. Entropie en zwaartekracht
Juan Maldacena (1998):
• D-dimensionale theorie
met zwaartekracht
=
• (D-1)-dimensionale theorie
zonder zwaartekracht
90/96

91. Entropie en zwaartekracht
Dit lijkt een goede hint te zijn naar het
antwoord op de vraag waarom de
entropie van een zwart gat groeit als
het oppervlak.
S
A
4
91/96

92. Entropie en zwaartekracht
Andrew Strominger en Cumrun Vafa
behaalden in 1996 het tweede succes
door als eerste precies uit te rekenen
hoeveel snaartoestanden een
bepaald zwart gat beschrijven.
92/96

93. Entropie en zwaartekracht
Hun berekening werkt maar voor een
heel beperkte klasse van zwarte
gaten, maar komt wel op precies het
juiste resultaat uit!
93/96

94. Entropie en zwaartekracht
De grote vraag is: hoe nu verder?
Eén van de nieuwe ideeën is
afkomstig van Erik Verlinde: hij stelt
de lessen uit de holografie centraal,
en probeert de (quantum-)
zwaartekracht te begrijpen vanuit
entropie.
94/96

95. Entropie en zwaartekracht
Veel meer over zijn ideeën hoor je in
de lezing van 15:00 vanmiddag.
95/96

96. Vragen?