1. Van de Oerknal naar het leven
(natuurkundedeel)
Vierde college
Marcel Vonk
10 februari 2014
2. Praktische mededelingen
• Uitwerkingen werkcollege-opgaven
op blackboard.
• Oefententamens op blackboard.
• Vergeet niet je filmopdrachtgroepjes aan te melden. (4-5
studenten, details op blackboard.)
2/55
4. The story so far…
Speciale relativiteit: ruimte en tijd
worden één geheel.
Algemene relativiteit: zwaartekracht is
de kromming van de ruimtetijd.
4/55
5. The story so far…
Kosmologie: de studie van de
ruimtetijd van de oerknal tot nu.
Kosmologisch principe: het heelal is
homogeen en isotroop.
k=+1
k=-1
k=0
5/55
6. The story so far…
De twee belangrijke variabelen die de
evolutie van het heelal bepalen, zijn
de schaalfactor a(t) en de energiedichtheid ρ(t).
k=+1
k=-1
k=0
6/55
7. The story so far…
In meebewegende coördinaten hebben
twee sterrenstelsels een vaste afstand:
Δx
In het fysische, uitdijende heelal
hebben ze een veranderlijke afstand
r = a(t) Δx.
7/55
8. The story so far…
De fysische snelheid waarmee de
stelsels uit elkaar bewegen is
v
dr
dt
Hr
met
H
1 da
a dt
H is de Hubble-parameter.
(“Hubble-constante”)
8/55
9. The story so far..
Het is van cruciaal belang waaruit het
heelal bestaat!
stof
(t )
1
a (t )3
straling
(t )
1
a (t ) 4
9/55
12. De schaalfactor van het heelal
Volgende stap: we willen twee
vergelijkingen vinden die iets over a(t)
en ρ(t) zeggen.
• Continuïteitsvergelijking
• Friedmannvergelijking
12/55
14. Friedmannvergelijking
H
2
8 G
3
k c2
a2
De afleiding gebruikt lastige algemene
relativiteitstheorie. Voor de
interpretatie: schrijf de vergelijking als
da
dt
2
8 G
3
a2
k c2
BORD
14/55
20. De schaalfactor van het heelal
Met wat rekenwerk (zie syllabus)
vinden we uit de Friedmannvergelijking
en de continuïteitsvergelijking ook:
1 d 2a
a d t2
4 G
(
3
3P)
• Hangt niet van k af.
• Beschrijft de versnelling van de
uitdijing
20/55
21. De schaalfactor van het heelal
1 d 2a
a d t2
4 G
(
3
3P)
• Uitdijing van het heelal vertraagt
• (Tenzij er materie met negatieve
druk bestaat… Zie later!)
• Druk draagt bij aan het vertragen!
(want druk zorgt voor energie=massa)
21/55
23. Ons eigen heelal
Genoeg algemeenheden… Hoe ziet dit
alles in ons eigen heelal eruit?
• Open? Gesloten? Vlak?
• Is de uitdijing inderdaad vertraagd?
• Hoe gedraagt a(t) zich?
23/55
25. Ons eigen heelal
k c2
a2H 2
8 G
3H 2
1
Vergelijken van ρ met de kritieke
dichtheid
crit
3H 2
8 G
bepaalt het teken van k!
25/55
26. Ons eigen heelal
Waarnemingen aan zichtbare materie:
De dichtheid lijkt zo’n 4% van de
kritieke dichtheid.
Open heelal (k<1)?
26/55
27. Ons eigen heelal
Uit metingen aan de achtergrondstraling kunnen we ook de dichtheid
bepalen.
De dichtheid lijkt dan vrijwel gelijk aan
de kritieke dichtheid!
27/55
Vlak heelal (k=0)?
28. Ons eigen heelal
Dit roept allerlei vragen op:
• Waarom zien we 96% van de
materie niet?
• Een vlak heelal is instabiel. Waarom
is het heelal nu nog zo enorm vlak?
28/55
29. Ons eigen heelal
• Waarom zien we 96%
van de materie niet?
• Donkere energie / donkere materie
• Een vlak heelal is instabiel. Waarom
is het heelal nu nog zo enorm vlak?
• Inflatie
Meer hierover in het laatste college!
29/55
31. Ons eigen heelal
H
2
8 G
3
Neem nu aan dat de schaalfactor als
een macht groeit:
a tq
We kunnen dan voor zowel stof als
straling de gevolgen berekenen.
31/55
34. Ons eigen heelal
• Voor straling gaat ρ als 1/a4
• Voor stof gaat ρ als 1/a3
Gevolg: in het vroege heelal
domineerde de straling; nu het stof.
Uit H=2/(3t) volgt tnu=2/(3Hnu).
Resultaat: 9 miljard jaar…
34/55
35. Ons eigen heelal
De oplossing volgde uit waarnemingen
aan supernova’s.
Het heelal dijt versneld uit!
35/55
36. Ons eigen heelal
Maar… dat kan alleen als er een vorm
van materie met negatieve druk is!
1 d 2a
a d t2
4 G
(
3
3P)
Een “achtergrondmedium” met
negatieve druk blijkt niet onmogelijk: de
kosmologische constante.
36/55
37. Ons eigen heelal
Als die kosmologische constante
bestaat zou die zo’n 73% van de
kritieke dichtheid moeten bevatten –
het totaal komt dan dus mooi in de
buurt van de 100%.
Meer hierover in het laatste college.
37/55
40. Thermodynamica
Vlak na de Oerknal was het heelal
gevuld met een heet, dicht plasma in
thermisch evenwicht – de “oersoep”.
We kunnen dit plasma goed beschrijven als een ideaal gas: een gas van
puntdeeltjes.
40/55
41. Thermodynamica
De druk P van een gas is gedefinieerd
als de kracht per oppervlakte-eenheid:
F
P
A
Er is een verband tussen druk en de
totale kinetische energie van de
gasdeeltjes:
PV
2 total
Ekin
3
BORD
41/55
42. Thermodynamica
Temperatuur is een belangrijke grootheid in de thermodynamica. Definitie:
E
1
kBT
2
<E> is de gemiddelde energie per
vrijheidsgraad.
(Bewegingsrichting, rotatierichting, enz
ovoort.)
“Equipartitie”
42/55
43. Thermodynamica
E
1
kBT
2
• Nulpunt van temperatuur bij -273.15
graden. Verschoven schaal: Kelvin.
• De verhouding heet de constante
van Boltzmann, kB=1.38 x 10-23 J/K.
• De factor ½ wordt later duidelijk.
43/55
49. Thermodynamica
De maximaal beschikbare warmte blijkt
proportioneel te zijn met de temperatuur:
Qm ax T S
S heet de entropie van het systeem.
Voor de daadwerkelijk uitgewisselde
warmte Q geldt dus:
Q T S
49/55
51. Thermodynamica
E T S
P V
Gebruikt in het vorige college om de
continuïteitsvergelijking af te leiden.
Het heelal is in thermisch
evenwicht, dus ΔS=0:
E
P V
51/55
52. Thermodynamica
Entropie blijkt ook een microscopische
beschrijving te hebben:
S k B ln W
W is het “aantal” microscopische
toestanden dat het macroscopische
systeem beschrijft.
52/55
53. Thermodynamica
S k B ln W
Historisch kwam deze formule
eerst, vandaar de ½ in de formule voor
<E>.
Vanwege de statistische interpretatie
dS
geldt:
0
dt
Tweede hoofdwet van de
53/55