Van Heisenberg naar Entropische Zwaartekracht

Van Heisenberg naar
Entropische Zwaartekracht
Marcel Vonk
Masterclass Quantum Universe
12 november 2014

3/107
Lezing Erik Verlinde:
Fx  TS
Entropische kracht

4/107
Fx  TS
mc
x

 
B S  2 k
a

k c
T
B 2

Compton-golflengte
Minimale
entropietoename
Unruh-temperatuur

5/107
Fx  TS
mc
x

 
B S  2 k
a

k c
T
B 2

F  ma

6/107
Vandaag:
1) Meer over entropie, entropische
krachten en de onzekerheidsrelatie
Fx  TS B S  2 k
2) Wat betekent deze afleiding?

7/107
Inhoud
1. Entropie
2. Entropische krachten
3. Entropie op quantumschaal: de
onzekerheidsrelatie
4. Van entropische kracht naar de
wetten van Newton.

Het begrip entropie zegt iets over hoe
waarschijnlijk en willekeurig bepaalde
natuurkundige toestanden zijn.
9/107
Entropie

Entropie
Entropie kent twee heel verschillende
definities:
10/107
1) Een statistische
2) Een thermodynamische
We beginnen met de statistische
definitie.

Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.
11/107
Entropie

Een eenvoudig voorbeeld: verdeel
acht gekleurde ballen over een bak.
12/107
Entropie

Welke configuratie is waarschijnlijker?
13/107
Entropie
(1) (2)

Antwoord 1: beide configuraties zijn
even waarschijnlijk!
14/107
Entropie
(1) (2)

15/107
Entropie
De microscopische toestand
…is even waarschijnlijk als de
microscopische toestand

16/107
Entropie
Antwoord 2: configuratie (2) is veel
waarschijnlijker!
…

17/107
Entropie
De macroscopische toestand
2 : 2
…is veel waarschijnlijker dan de
macroscopische toestand
4 : 0

Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.
18/107
Entropie
4 : 0

Entropie is een maat voor hoeveel
microscopische toestanden horen bij
één macroscopische toestand.
19/107
Entropie
2 : 2
…

20/107
Entropie
Bij de macrotoestand 3:1 horen
bijvoorbeeld 16 microtoestanden:
…en bij 2:2 horen er 36.

We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!
21/107
Entropie

We zien dat een statistisch begrip als
entropie ook een voorspellende
waarde kan hebben!
22/107
Entropie
meest waarschijnlijke
uitkomst

23/107
Entropie
Dit wordt nog veel extremer als we
grotere systemen beschouwen:
meest waarschijnlijke
uitkomst

24/107
Entropie
Het aantal microtoestanden per
macrotoestand is vaak gigantisch:
290221898034278978720212488115162781261285921681
585875907636440223079481193218327138795984664929
829737740145115100023594381414400 microtoestanden

De entropie van een macrotoestand
wordt mede daarom gedefinieerd als
de logaritme van het aantal
microtoestanden.
25/107
Entropie

Een belangrijke eigenschap van
entropie is dat die in grote systemen
altijd toeneemt.
26/107
Entropie

27/107
Entropie
Ook dit is een puur statistische
eigenschap, er is dus geen
mysterieuze “kracht” aan het werk.

28/107
Entropie
Rudolf Clausius formuleerde dit in
1856 als een natuurwet:

29/107
Entropie
 0
d S
d t

30/107
Entropie
 0
d S
d t
Tweede Hoofdwet van
de thermodynamica

Overigens had Clausius nog niet het
statistische beeld van entropie dat wij
nu hebben.
31/107
Entropie

Entropie
Entropie kent twee heel verschillende
definities:
32/107
1) Een statistische
2) Een thermodynamische
Wat is de thermodynamische
definitie?

Een fysisch systeem zoals een gas
heeft twee soorten energie:
• Energie die kan worden omgezet
in arbeid
• Energie die “niet beschikbaar is”
33/107
Entropie

34/107
Entropie
De verhouding tussen beschikbare
energie en (absolute) temperatuur
bleek constant.
Clausius noemde deze verhouding,
gemeten in J/K, de entropie.

35/107
Entropie
Ludwig Boltzmann liet in 1877 zien
dat de twee definities van entropie
hetzelfde zijn.

36/107
Entropie
Belangrijk detail:
• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.

37/107
Entropie
Belangrijk detail:
• Statistische entropie is een getal,
• Thermodynamische entropie wordt
gemeten in J/K.
S k W B  ln

Entropie
kB heet de constante van Boltzmann:
38/107
kB = 1,3806488 x 10-23 J/K
S k W B  ln

Entropische krachten
We hebben gezien dat entropie tot
allerlei dynamische effecten kan
leiden. Deze effecten kunnen zelfs de
vorm van krachten aannemen.
40/107
Voorbeeld: een elastiekje.

41/107
Rubber bestaat uit polymeren:

Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:
42/107

Eenvoudig model van een polymeer
met zeven segmenten:
43/107
evenwichtslengte

Als het polymeer zich in een
warmtebad bevindt (bijvoorbeeld de
lucht) zal het zijn evenwichtslengte
opzoeken.
44/107
Kracht!

45/107
Een entropische kracht kan arbeid
(W) verrichten.
Ter herinnering:
W F x

Arbeid is een toename of afname van
energie; bij een entropische kracht
komt die energie uit de “beschikbare
energie” T·S.
46/107
W T S

47/107
W T S W F x
Gelijkstellen geeft de formule voor
een entropische kracht:
F x  T S

48/107
Fx  TS
mc
x

 
B S  2 k
a

k c
T
B 2

F  ma

Entropie op quantumschaal
50/107
Levert het begrip entropie geen
probleem op als het aantal
microtoestanden oneindig is?
S k W B  ln

51/107
Oplossing in de klassieke
natuurkunde: kies een
“basistoestand” als referentie

Macrotoestand (b) heeft tweemaal
zoveel microtoestanden als (a) of (c).
52/107

53/107
S k W B  ln

Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):
54/107
S k W B  ln

Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):
55/107
S k W B  ln
ln 2 b a B S  S k

56/107
In de klassieke natuurkunde zijn
entropieverschillen dus wel goed
gedefinieerd.
In het algemeen zijn we alleen in
zulke verschillen geïnteresseerd!
 0 F x  T S
d S
d t

57/107
In de quantumfysica blijkt het wel
vaak zo te zijn dat we toestanden
kunnen tellen.

58/107
Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.

59/107
Om dit te begrijpen voeren we het
begrip faseruimte in.

60/107
Voeg een tweede auto toe:

61/107

62/107

63/107
Voeg een derde auto toe:

64/107
De faseruimte is een
configuratieruimte waarin we de
posities en impulsen (snelheden)
aangeven.
Voorbeeld:
Harmonische oscillator

65/107
Harmonische oscillator:

66/107

67/107

68/107
De faseruimte is opgebouwd uit
fasebanen.

In de klassieke mechanica kan zo’n
baan willekeurig (continu) gekozen
worden. In de quantummechanica zijn
de banen discreet.
69/107

Een macroscopische toestand
bepaalt een (bewegend) volume in de
faseruimte.
70/107

We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.
71/107

We moeten dus kunnen tellen
hoeveel microscopische toestanden
binnen dit gebied vallen.
72/107

73/107
Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?

74/107
Hoe groot is een “cel” in de
faseruimte die met één toestand
overeenkomt?

2
xp

Coclusie: het aantal toestanden in
een bepaald stuk faseruimte is
eenvoudigweg het volume, uitgedrukt
in “Planckcellen”.
75/107

Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
zo’n volume niet verandert.
76/107

Overigens: de wiskundige Joseph
Liouville (1809-1882) bewees al dat
zo’n volume niet verandert.
77/107

Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.
78/107
S k W B  ln

Kortom: de quantumtoestanden van
een systeem zijn discreet, en elk
systeem heeft dus een minimale
entropietoename.
79/107
S kB

Zie dit als het “toevoegen van 1 bit”
om de nieuwe microtoestanden te
kunnen tellen.
80/107
S kB

De berekening van Erik Verlinde laat
zien dat de evenredigheidsconstante
gelijk is aan 2π.
81/107
S 2 kB

82/107
De factor 2π is overigens nog niet
heel goed begrepen…
??
S 2 kB
…maar blijkt wel in alle drie de
berekeningen hetzelfde te zijn!

83/107
Fx  TS
mc
x

 
B S  2 k
a

k c
T
B 2

F  ma

4. Entropische krachten en de
wetten van Newton

Zwaartekracht en entropie
Zwaartekracht begrijpen we op grote
schaal heel goed…
85/107

Zwaartekracht en entropie
…maar op quantumschaal kost het
veel moeite de kracht als een
fundamentele kracht te beschrijven.
86/107

Het idee van Erik Verlinde: moeten
we zwaartekracht misschien zien als
een entropische kracht?
87/107

88/107
Inspiratie: het idee van holografie.

89/107
Juan Maldacena (1998):
• D-dimensionale theorie
met zwaartekracht
=
• (D-1)-dimensionale theorie
zonder zwaartekracht

De informatie over een volume in de
ruimtetijd kunnen we “schrijven” op
het oppervlak!
90/107

Ruimte, tijd en dus zwaartekracht
hebben dus in deze holografische
beschrijving heel veel te maken met
entropie!
91/107

Kunnen we zwaartekracht zien als de
bijbehorende entropische kracht?
92/107

93/107
Consistency-check: dan moeten…
S T x F    amF
…dus in elk geval equivalent zijn.

94/107
Fx  TS
Wat vullen we in voor T, Δx en ΔS?

95/107
Fx  TS
mc
x

 
B S  2 k
a

k c
T
B 2

Compton-golflengte: verplaats het
deeltje van buiten naar binnen het
holografische scherm.

96/107
Fx  TS
mc
x

 
B S  2 k
a

k c
T
B 2

Bijbehorende minimale entropie-toename
(als we de 2π aannemen).

97/107
Fx  TS
mc
x

 
B S  2 k
a

k c
T
B 2

Unruh-temperatuur: temperatuur die
een versnelde waarnemer ervaart.

98/107
Fx  TS
mc
x

 
B S  2 k
a

k c
T
B 2

F  ma

99/107
Let op:
• Het idee lijkt dus consistent, maar
deze afleiding zegt nog weinig over
zwaartekracht.
• De vorm van de vergelijkingen
werkt, maar de 2π vullen we nog met
de hand in.

Het mooie is echter dat we nu met
dezelfde technieken en dezelfde 2π
ook de zwaartekrachtswetten van
Newton en Einstein kunnen afleiden!
100/107
Gm m
1 2
r
2
F 

Het mooie is echter dat we nu met
dezelfde technieken en dezelfde 2π
ook de zwaartekrachtswetten van
Newton en Einstein kunnen afleiden!
1 8
 
  
101/107

T
c
G
R g R 2 4

Kortom: het idee van Erik Verlinde
helpt ons te begrijpen waarom de
zwaartekracht werkt zoals ze werkt,
en waarom die kracht zo verschillend
is van de andere natuurkrachten.
102/107

103/107
Kan met het idee ook iets nieuws
verklaard worden?

104/107
Kan met het idee ook iets nieuws
verklaard worden?

105/107
…maar dat is een onderwerp voor
een toekomstige masterclass.

106/107
…maar dat is een onderwerp voor
een toekomstige masterclass.
(en op www.quantumuniverse.nl)

Van Heisenberg naar Entropische Zwaartekracht

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (9)

Van Heisenberg naar Entropische Zwaartekracht