09 lignes d'influence

02/03/2011
1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
1 DEFINITION
Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V0
G0 G1
P=1
Σ
α L- α
( ) 00 0/ =−−⇒=Σ αLPLVM B
L
V
α
−=⇒ 10
G0 G1
1
Ligne d’influence de V0
Pente -1/L
V0

02/03/2011
2
1 DEFINITION
Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V1
G0 G1
P=1
Σ
α L- α
00 1/ =−⇒=Σ αPLVM A
L
V
α
=⇒ 1
G0 G1
1
Ligne d’influence de V1
Pente 1/L
V1
1 DEFINITION
Ligne de d’incluence de l’effort tranchant dans une section ΣΣΣΣ d’abscisse x
G0 G1
P=1
Σ
α L- α
L
VT
α
α −=−=⇒ Σ 1)(
G0 G1
Ligne d’influence de TΣ
Pentes -1/L
V1
Σ
x
V0
Cas α < x (charge à gauche de Σ)
Coupure par les efforts de droite :
L
VT
α
α −==⇒ Σ 1)( 0
Cas α < x (charge à droite de Σ)
Coupure par les efforts de gauche :
LxT /min, −=Σ
LxT /1max, −=Σ
-
+
Σ

02/03/2011
3
1 DEFINITION
Ligne de d’incluence du moment fléchissant dans une section ΣΣΣΣ d’abscisse x
G0 G1
P=1
Σ
α
( ) 





−=−=⇒ Σ
L
x
xLVM 1)( 1 αα
G0 G1
Ligne d’influence de MΣ
Pente 1-x/L
V1
Σ
x
V0
Cas α < x (charge à gauche de Σ)
Coupure par les efforts de droite :
x
L
xVM 





−==⇒ Σ
α
α 1)( 0
Cas α < x (charge à droite de Σ)
Coupure par les efforts de gauche :






−=Σ
L
x
xM 1max,
+
Σ
x- α L-x
Pente -x/L
2 APPLICATIONS
Utilisation pour calculer l’effet de plusieurs charges ponctuelles
G0 G1






−=Σ
L
x
xM 1max,
+
G0 G1
LxT /min, −=Σ
LxT /1max, −=Σ
-
+
Σ
G0
G1
1α P1
Pi
iα nα
Pn
)( 1αΣT )( iT αΣ )( nT αΣ
)( 1αΣM
)( iM αΣ )( nM αΣ
Effet dans une section Σ de charges P1, Pi,
Pn placées en α1, αi, αn
∑ ΣΣ =
i
ii TPT )(. α
∑ ΣΣ =
i
ii MPM )(. α

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4
2 APPLICATIONS
Utilisation pour calculer l’effet d’une charge répartie quelconque
G0 G1






−=Σ
L
x
xM 1max,
+
G0 G1
LxT /min, −=Σ
LxT /1max, −=Σ
-
+
Σ
G0
G1
0α
α 1α
)( 0αΣT )(αΣT )( 1αΣT
)( 0αΣM
)(αΣM )( 1αΣM
Effet dans une section Σ d’une charge
répartie quelconque p(α) entre les
abscisses α0 et α1
∫ ΣΣ =
1
0
)().(
α
α
ααα dTpT
)(αp
∫ ΣΣ =
1
0
)().(
α
α
ααα dMpM
Si p est constant, TΣ correspond à p x l’aire
délimitée par la courbe TΣ (α) entre α0 et α1
Si p est constant, MΣ correspond à p x l’aire
délimitée par la courbe MΣ (α) α0 et α1
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
Définition
Un convoi est un ensemble de charges Pi
dont les distances entre elles restent fixes
(exemples : camions, trains).
Le convoi peut être caractérisé par sa
résultante
La position de chaque charge Pi peut être
caractérisée par sa distance di à la
résultante Π
Pn
Π
1d
P1
Pi
id nd
∑=Π iP
Objectif
L’objectif est de déterminer la position du convoi qui donne le moment
fléchissant maximal dans la poutre sur 2 appuis simples que parcourt le convoi
et la valeur de ce moment maximal.

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5
Démonstration






−
Π
= δ
2
0
L
L
V
On note δ la distance de la
résultante à l’axe la poutre.
On calcule la réaction d’appui à
gauche en écrivant l’équilibre en
G1 :
Pn
Π
1d
P1
Pi
id nd
δ δ−2/LidL −+δ2/
Σ
G0
G1






−
Π
= δ
2
0
L
L
V
On calcule le moment dans la section Σ au droit de la charge Pi
( ) ( )( ) )(2/2/)(2/0 ig
P
giig
P
gi ddPdLL
L
ddPdLVM
gg
−−−+−
Π
=−−−+= ∑∑Σ δδδ
Moment des provoqué par les
charges à gauche de Pi =
Constante
ΣM pour une position du convoi telle que : 0=Σ
δd
dM
Démonstration






−
Π
= δ
2
0
L
L
V
Pn
Π
P1
Pi
δ2=id
nd
δ δ−2/LidL −+δ2/
Σ
G0
G1
ΣM pour une position du convoi telle que :
020 =+−⇒=Σ
id
d
dM
δ
δ
( )( ) )(2/2/ ig
P
gi ddPdLL
L
M
g
−−−+−
Π
= ∑Σ δδ
2
0 id
d
dM
=⇒=Σ
δ
δ
Le moment est maximum en
Σ lorsque la charge Pi et la
résultante Π sont placées de
manière symétrique par
rapport à l’axe de la poutre.
Alors, le moment maxi vaut :
( ) )(1
4
)(2/2/
2
2
max ig
P
g
i
ig
P
gi ddP
L
dL
ddPdL
L
M
gg
−−





−
Π
=−−−
Π
= ∑∑

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Exemples de convois (EC1-3)
Convois routiers
Convoi ferroviaire UIC 71
Depends on
judgement of
designer.
~400mm
Maximum
moment
occurrs here
1.8m
1.0m
1.0m
1.0m
1.8m 1.5m
1.5m
3.0m
cL of HB
cL of bridge
1.0m 1.0m 1.0m
cL of bridge
A
A
Section A-A
Position
of HB
Load to
produce
Maximum
Moment
Exemples de convois (BS)

02/03/2011
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4 COURBES ENVELOPPES
Définition
La courbe enveloppe de l’effet F est la courbe des effets maximaux dans
l’ensemble des sections Σ de la poutre lorsque la charge P=1 mobile évolue sur
la poutre (ie c’est la courbe des maximums des lignes d’influence).
Courbe enveloppe du moment fléchissant dû a une charge ponctuelle
G0 G1
Pente 1-x/L






−=Σ
L
x
xM 1max,
+
Σ Pente -x/L
Dans une section Σ d’abscisse x, le moment maximum en Σ vaut : 





−=Σ
L
x
xM 1max,
La courbe enveloppe du moment fléchissant provoqué par P=1 est donc une
parabole d’équation : . Le maximum de la courbe enveloppe
donne le moment maximum absolu dans la poutre.






−=
L
x
xMenv 1
G0 G1
4
max,
L
Menv =
+
Enveloppe des moments fléchissants
Courbe enveloppe de l’effort tranchant dû à une charge ponctuelle
Enveloppe des efforts tranchants positifs
G0 G1
Pentes -1/L
LxT /min, −=Σ
LxT /1max, −=Σ
-
+
G0 G1
LxTenv /1−=+
+
G0 G1
LxTenv /−=−
-
Enveloppe des efforts tranchants négatifs
2 courbes enveloppes :
-Courbe enveloppe des efforts tranchants positifs :
- Courbe enveloppe des efforts tranchants négatifs 1max −=−
T
1max =+
TLxTenv /1−=+
LxTenv /−=+
1
-1

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Courbes enveloppes provoquées par un convoi (allures)
G0 G1envM
+
G0
-
−
envT
G1
+
+
envT
Courbe enveloppe du moment fléchissant dû à une charge répartie d’étendue
quelconque
Problématique : on considère une charge répartie d’intensité p appliquée entre les
abscisses variables α1 et α2.
Question : quelle étendue donner à la charge (ie valeurs α1 et α2) pour qu’on
obtienne les efforts tranchants et moments fléchissants maxi dans une section Σ
puis dans la poutre ?
G0
G1
1α
2α
p
G0 G1






−=Σ
L
x
xM 1max,
+
)( 1αΣM
)( nM αΣ
Σ Constat : la ligne d’influence MΣ est
toujours positive. Cela signifie qu’on aura
le moment maxi en Σ lorsqu’on charge
toute la poutre et
( )xLx
p
L
L
x
x
p
dMpM
L
−=





−== ∫ ΣΣ
2
1
2
)(
0
max, αα
La courbe enveloppe du moment est la
parabole d’équation
provoquée par un chargement sur toute la
poutree.
)(
2
xLx
p
y −=

02/03/2011
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Courbe enveloppe de l’effort tranchant T+ dû à une charge répartie d’étendue
quelconque
G0
G1
1α
2α
p Σ
Constat : la ligne d’influence TΣ est
positive si on applique une charge à droite
de Σ. Cela signifie qu’on aura l’effort TΣ+
maxi en Σ lorsqu’on charge toute la poutre
à droite de Σ et
( ) ( )2
max,
2
1
2
)( xL
L
p
xL
L
xp
dTpT
L
x
−=−





−== ∫ Σ
+
Σ αα
parabole d’équation : 2
)(
2
xL
L
p
Tenv −=+
G0 G1
LxT /min, −=Σ
LxT /1max, −=Σ
-
+
)( 1αΣT )( 2αΣT
G0
( )2
2
xL
L
p
Tenv −=+
+
2
max,
pL
Tenv =+
G1
Courbe enveloppe de l’effort tranchant T- dû à une charge répartie d’étendue
quelconque
G0
G1
1α
2α
p Σ
Constat : la ligne d’influence TΣ est
négative si on applique une charge à
gauche de Σ. Cela signifie qu’on aura
l’effort TΣ- maxi en Σ lorsqu’on charge
toute la poutre à gauche de Σ et
2
0
max,
22
)( x
L
p
x
L
xp
dTpT
x
−=





−== ∫ Σ
−
Σ αα
parabole d’équation : 2
2
x
L
p
Tenv −=−
G0 G1
LxT /min, −=Σ
LxT /1max, −=Σ
-
+
)( 1αΣT )( 2αΣT
G0
2
2
x
L
p
Tenv −=−
-
2
max,
pL
Tenv −=−
G1

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Courbes enveloppes de l’effort tranchant dû à une charge répartie d’étendue
quelconque
On remarquera que, contrairement au moment fléhissant, on n’obtient pas les effets
maximaux de T en chargeant la poutre sur toute la longueur, mais en la chargeant en
partie (à droite ou à gauche).
En particulier, au milieu de la poutre :
82
pLL
Tenv =




+
82
pLL
Tenv −=




−
G0
2
2
x
L
p
Tenv −=−
-
2
max,
pL
Tenv −=−
G1
+
( )2
2
xL
L
p
Tenv −=+
2
max,
pL
Tenv =+
obtenu par le chargement de la moitié gauche
obtenu par le chargement de la moitié droite
Alors que si l’on charge toute la poutre, 0
2
=




 L
T

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