Aes br 07_ei

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Sociedade de Engenharia de Áudio

Artigo de Convenção
Apresentado na XI Convenção Nacional
21 - 23 de Maio de 2007, São Paulo, SP
Este artigo foi reproduzido do original entregue pelo autor, sem edições, correções e considerações feitas pelo comitê técnico deste evento.
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Caixa Refletora de Graves
Excitada por Fonte de Corrente
Homero Sette Silva
homero@selenium.com.br

REVISÃO
18 – 05 – 07

Eletrônica Selenium S. A.
www.selenium.com.br

RESUMO
Alto-falantes e caixas acústicas são tradicionalmente alimentados por amplificadores
que se aproximam de uma fonte de tensão ideal. A situação dual, ou seja, o uso de amplificadores
que simulam uma fonte ideal de corrente traz fatos novos no desempenho das caixas acústicas e no
comportamento dos alto-falantes.
Os amplificadores de corrente variam a tensão na saída de modo a manter a corrente
inalterada mesmo com diferentes impedâncias de carga. Assim, a corrente circulando na bobina do
falante torna-se independente das componentes da bobina, que são não lineares (variam com a
freqüência).
Alem da eliminação dessa fonte de distorção (presente mesmo com pequenos sinais) surgem
outros benefícios, como uma resposta estendida nas baixas e altas freqüências.
No entanto alguns problemas precisam ser contornados para que a resposta de freqüência
resultante seja adequada à maioria das aplicações.
O presente trabalho explica os motivos que determinam as diferenças que ocorrem nas
respostas de caixas acústicas alimentadas por fontes de tensão e por fontes de corrente, alem das
modificações que podem ser efetuadas nos alto-falantes para que os resultados obtidos sejam
adequados.

Caixa Refletora de Graves
Excitada por Fonte de Corrente
Introdução
Alto-falantes e caixas acústicas são tradicionalmente alimentados por amplificadores que se
aproximam de uma fonte de tensão ideal, onde a amplitude na saída é mantida aproximadamente constante,
mesmo com a impedância de carga variando dentro de amplos limites.
A situação dual, ou seja, o uso de amplificadores que simulam uma fonte ideal de corrente traz fatos
novos no desempenho das caixas acústicas e no comportamento dos alto-falantes.
Os amplificadores de corrente variam a tensão na saída de modo a manter a corrente inalterada
mesmo com diferentes impedâncias de carga. Assim, a corrente circulando na bobina do falante torna-se
independente das componentes da bobina, que são não lineares (variam com a freqüência).
Alem da eliminação dessa fonte de distorção (presente mesmo com pequenos sinais) surgem outros
benefícios, como uma resposta estendida nas baixas e altas freqüências.
No entanto alguns problemas precisam ser contornados para que a resposta de freqüência resultante
seja adequada à maioria das aplicações.
O presente trabalho explica os motivos que determinam as diferenças que ocorrem nas respostas de
caixas acústicas alimentadas por fontes de tensão e por fontes de corrente, alem das modificações que podem
ser efetuadas nos alto-falantes para que os resultados obtidos sejam adequados.
Fundamentos
A Fig. 1a mostra a representação simplificada de um amplificador como fonte de tensão, com força
eletro motriz Eg e resistência interna Rg, alimentando uma carga R L .
Eg
⋅ RL
(1.1) .
A tensão de saída é dada por E O =
Rg + R L
.

Fig. 1a – Fonte de Tensão

Fig. 1b – Fonte de Corrente Equivalente

Fig. 1c – Fonte Ideal de Corrente

No caso de uma fonte ideal de tensão, Rg é nula e a tensão de saída E O será sempre igual a Eg, para qualquer
valor de corrente no circuito, ou seja, independente de R L .
Na prática, os amplificadores de tensão apresentam Rg << R L o que implica em E O
Eg , ou seja, a tensão
na saída será um pouco menor que aquela obtida sem carga, ou seja, Eg.
Se Rg >> R L a corrente Ig será aproximadamente igual a Eg/Rg , ou seja, pouco dependente do valor
Eg
⋅ RL .
de R L . Nesta situação, a tensão de saída será, aproximadamente, dada por E O
Rg
Em função do que foi acima exposto podemos entender uma fonte de corrente constante como sendo
aproximadamente igual a uma fonte de tensão, dotada de resistência interna muito elevada.
2

Quando essa resistência interna tender para infinito, o comportamento do circuito será o de uma fonte ideal
de corrente.
Devemos ressaltar que corrente constante não é sinônimo de corrente continua, sendo constante no
sentido de que o valor médio eficaz (RMS) não varia, pois é independente da carga.
Aplicando o teorema de Norton podemos transformar o circuito fonte de tensão da Fig. 1a no
equivalente, usando fonte de corrente, mostrado na Fig. 1b, a partir do qual chegamos facilmente ao circuito
da Fig. 1c, que representa uma fonte de corrente ideal Ig, alimentando uma carga R L . A passagem de 1b
para 1c implicou em Rg = ∞ , que é a premissa básica para uma fonte ideal de corrente.
Calculando a expressão da tensão de saída, no circuito da Fig. 1b, vemos que os resultados das
equações (1.1) e (1.2) são exatamente iguais o que demonstra serem duas formas diferentes, porem
equivalentes, de retratar a mesma situação: uma com fonte de tensão e a outra com fonte de corrente.

E O = Ig ⋅

1
1
1
+
Rg
RL

=

Eg
1
Eg
Eg
⋅
=
=
⋅ RL
Rg
Rg 1 + 1
Rg + R L
1+
Rg
RL
RL

(1.2)

Implementar uma fonte de corrente
associando uma resistência de valor elevado, em
série com uma fonte de tensão, embora seja algo
simples, tem o grave inconveniente da elevada
potência dissipada nesse resistor.
Na prática o que se faz é modificar o elo de
realimentação de um amplificador de tensão, de
modo que ele mantenha a corrente na saída
constante mesmo para diferentes valores de
impedância de carga, conforme a Fig. 2.
Se R L aumenta, a realimentação eleva a
Fig. 2 – Amplificador Fonte de Corrente.
tensão E O de modo que o cociente E O / R L fique
inalterado, acontecendo o inverso caso a carga diminua de valor. A corrente é diretamente proporcional ao
sinal de entrada Ein e inversamente proporcional ao valor de Rp, o que torna esse circuito um conversor
tensão-corrente onde amplas variações na carga não influenciam o valor da corrente Ig, como mostra a
equação (1.3) . Para que este comportamento seja conseguido basta que Rp seja muito menor que R.
Alem disso, tudo se passa como se a resistência interna da fonte fosse igual a R. Escolhendo R = 1 MΩ
consegue-se uma resistência interna do circuito igual a R, que é muito maior que as impedâncias de carga
oferecidas por falantes e caixas acústicas, garantindo, um comportamento quase ideal da fonte de corrente.
Ig =

(1.3)

Ein
Rp

;

E O = Ig ⋅ R L =

Ein
⋅ RL
Rp

Fonte de Corrente e as Componentes Não Lineares da Bobina

As componentes resistiva e indutiva, da bobina de um alto-falante, variam com a freqüência,
conforme as equações (1.4) e (1.5) o que caracteriza uma não linearidade, que acontece mesmo para
pequenos sinais aplicados.
(1.4)

Le = Kxm ⋅ ω( Exm − 1) ∴ X Le = Kxm ⋅ ωExm

(1.5)

Re = R E + Re d

onde

Re d = Krm ⋅ ωErm

Na Fig. 3 temos o análogo elétrico de uma caixa refletora de graves alimentada por um amplificador
tipo fonte de tensão e na Fig. 4 o correspondente com fonte de corrente.
3

Fig. 3 – Circuito equivalente, simplificado, de uma caixa refletora de graves, alimentada por fonte de tensão.

Fig. 4 – Circuito equivalente, simplificado, de uma caixa refletora de graves, alimentada por fonte de corrente.

Fig. 5 – Circuito equivalente da Fig. 3, refletido para o lado mecânico (fonte de tensão).

4

Na Fig. 5 vemos o circuito equivalente
da Fig. 3, com o lado elétrico refletido para o
mecânico, onde podemos ver que as
componentes da bobina foram refletidas como
impedâncias e afetaram, também, o gerador de
força.
Isso fará com que as não linearidades da bobina
influenciem (prejudicialmente) o resultado
acústico do sistema.
No caso de um amplificador fonte de
Fig. 6 – Circuito equivalente da Fig. 4, refletido para o lado
corrente (Fig. 4) as componentes da bobina não
mecânico (fonte de corrente).
aparecem refletidas no lado mecânico e o
gerador de força só depende de BL e da corrente Ig, fornecida pela fonte de corrente, conforme a Fig. 6.
Esta é uma grande vantagem da excitação com amplificador tipo fonte de corrente: as não
linearidades da bobina (componentes resistiva e indutiva) são virtualmente eliminadas da resposta por não
serem refletidas para o lado mecânico e daí não influenciarem no acústico.
Qts e Fonte de Tensão

A resposta acústica dos sistemas de radiação direta é função do fator de qualidade total do sistema,
Qt, muitas vezes aproximadamente igual ao fator de qualidade total do falante, denominado Qts, que é o
inverso do fator de amortecimento do falante, resultado da combinação dos fatores de qualidade elétrico e
mecânico, conforme as equações (1.6), (1.7) e (1.8), onde:
Qts =

(1.6)

(1.7)

Qms =

1
1
1
+
Qms
Qes
2π ⋅ Fs ⋅ Mms
Rms

Qes para Qms >> Qes

;

Qes =

2π ⋅ Fs ⋅ Mms

( BL )

2

(1.8)

RE

Qts, Qes e Qms são, respectivamente, os fatores de qualidade total, elétrico e mecânico do falante;
Fs = freqüência de ressonância mecânica do falante ; Mms = massa móvel do falante ;
βL = fator de força ; R E = Resistência da bobina em corrente continua.
Para entendermos a reflexão do lado elétrico para o mecânico vamos aplicar o teorema de Thevenin
no lado mecânico do falante, conforme vemos nas Figs. 7a e 7b.
Este procedimento permite representar um circuito, entre dois de seus pontos, por um gerador equivalente,
em série com uma impedância equivalente denominados, respectivamente, gerador de Thevenin e
impedância de Thevenin. O teorema de Norton, por nós já utilizado, é o dual do teorema de Thevenin.

Fig. 7a
Fig. 7b
Determinação do gerador de força à circuito aberto, Foc, com fonte de tensão.

5

Fig. 8a
Fig. 8b
Determinação da velocidade de curto circuito, Vsc, com fonte de tensão.

A força do gerador no lado mecânico, a circuito aberto, Foc, análoga à tensão de Thevenin, será dada
pela equação (1.9), onde I é a corrente circulando pela bobina.
No lado elétrico temos a fonte de tensão controlada pela velocidade. Como o lado mecânico está a
circuito aberto, a velocidade será nula, o que implica em uma força contra eletro motriz igual a zero, na fonte
controlada de tensão, o que é equivalente ao curto circuito, mostrado na Fig. 7b.
Para determinar Vsc, ou seja, a velocidade no lado mecânico, colocamos um curto nos terminais do
gerador de força o que leva a Fsc = 0, condição que implica em um circuito aberto na bobina (I = 0) o que
faz com que a tensão nos terminais da bobina seja igual a Eg, o que está mostrado nas Figs. 8a e 8b.
(1.9)

Foc = βL ⋅ I

Fsc = β L ⋅ I = 0

(1.11)

βL ⋅ V = β L ⋅ Voc = β L ⋅ 0 = 0

;
∴

I = 0

⇒

(1.10)

β L ⋅ Vsc = Eg

De acordo com o teorema de Thevenin, a impedância interna do gerador Foc, que denominaremos
Zme (impedância mecânica refletida da parte elétrica) será dada pelo cociente entre Foc e Vsc.

( βL )
Foc
βL
βL
= Eg ⋅
⋅
=
Vsc
Rg + Re + s ⋅ Le Eg
Rg + Re + s ⋅ Le
2

(1.12)

Zme =

Manipulando algebricamente a expressão de Zme podemos constatar, na equação (1.13) que o
circuito elétrico, em série com a bobina, transformou-se em um circuito mecânico paralelo, cuja impedância
equivalente é dada pelo inverso da soma dos inversos de cada uma das impedâncias.
2
Além disso, a indutância elétrica transformou-se em uma compliância mecânica igual a Le / ( β L ) .

(1.13)
2

( βL )
Zme =
=
Rg + Re + s ⋅ Le

1
Rg
Re
Le
2 +
2 + s⋅
2
( βL )
( βL )
( βL )

=

1
1
1
Le
2 +
2 + s⋅
2
(βL )
( βL )
(β L )
Rg
Re

Outro fato relevante, resultante da análise acima, e que merece ser ressaltado, é o seguinte: um curto
circuito, aplicado no lado mecânico, reflete-se como um circuito aberto, no lado elétrico; um circuito aberto,
no lado mecânico, é sentido como um curto, no lado elétrico. O recíproco também ocorre do lado elétrico
para o mecânico. Esse comportamento é caracterizado pelo girador, componente que pode ser usado no lugar
das fontes controladas, para fazer o acoplamento entre os lados elétrico e mecânico do falante .

6

Qts e Fonte de Corrente

No caso de um alto-falante, alimentado por amplificador tipo fonte de corrente, os componentes
2
elétricos da bobina não se refletem para o lado mecânico. Assim sendo, a componente ( BL ) / Re é nula, o
que implica em um valor infinito para o fator de qualidade elétrico Qes, o que torna Qts = Qms.
Este é um fato de suma importância, responsável por muitas das grandes diferenças que serão
encontradas nas respostas dos sistemas alimentados com fontes de corrente.
No caso de amplificadores de tensão, o amortecimento total é quase totalmente dado pela
componente resistiva da bobina, sendo a influencia de Qms normalmente desprezível. Os falantes
geralmente empregados no uso profissional têm Qts baixo, em torno de 0,4.
Com amplificadores de corrente o amortecimento do sistema é exclusivamente dado pelo lado
mecânico, ou seja, por Qms, que normalmente é um valor muito elevado (geralmente maior que 10), se
comparado com Qes.
Os baixos valores de amortecimento, provocados por um fator de qualidade do sistema igual a Qms,
produzirão elevados picos na resposta que, normalmente, precisarão ser corrigidos.
Adiante mostraremos uma das possibilidades para fazer-se isso.
No entanto, devemos ressaltar que o fator de qualidade Qts, do falante, não foi alterado pela fonte de
corrente, tendo esta modificado o fator de qualidade do sistema, que ao invés de aproximadamente igual a
Qts, tornou-se igual a Qms, geralmente muito maior que Qts.

Fig. 9a
Fig. 9b
Determinação do gerador de força à circuito aberto, Foc, com fonte de corrente.

Fig. 10a
Fig. 10b
Determinação do gerador de força à circuito aberto, Foc, com fonte de corrente.

Com fonte de corrente, um circuito aberto no lado mecânico também provocará um curto circuito no
lado elétrico, onde a corrente será igual a Ig, o que produzirá um gerador de força, no lado mecânico, dado
por (1.15).
Com um curto no lado mecânico a velocidade Vsc tenderá para infinito. O curto circuito no lado
mecânico provocará um circuito aberto no lado elétrico, onde a tensão nos terminais da fonte ideal de
corrente tenderá para infinito, no sentido de manter a corrente Ig circulando pela resistência infinita do
circuito aberto, conforme mostra a equação (1.16), sendo o cociente Foc/Vsc igual a zero, conforme (1.17) .
(1.14)

βL ⋅ V = βL ⋅ Voc = βL ⋅ 0 = 0
7

;

Foc = βL ⋅ Ig

(1.15)

(1.16)

Fsc = β L ⋅ Ig = 0

∴

I → 0
Zme =

(1.17)

⇒

β L ⋅ Vsc = ∞

∴

Vsc = ∞

Foc
βL ⋅ Ig
=
= 0
∞
Vsc

Análise do Sistema Refletor de Graves

Segue-se abaixo a análise detalhada da caixa refletora de graves (bass reflex). Alguns conceitos
enunciados anteriormente serão utilizados e até mesmo revistos, no sentido de proporcionar um perfeito
entendimento do assunto abordado.
O Lado Acústico

Desprezando a impedância de radiação do ar, no lado acústico temos a presença
do circuito equivalente da caixa refletora de graves, mostrada na Fig. 11.
(1.18)

Zab =

(1.19)

Zab =

1
R AL

1
s ⋅ Map + R AL + s 2 ⋅ Map ⋅ Cab ⋅ R AL
s ⋅ Map ⋅ R AL

(1.20)

Map ⋅ Cab =

(1.21)

Zab =

(1.22)

(1.23)

1
1
+
+ s ⋅ Cab
s ⋅ Map

1
ω2
b

onde

Fig. 11 – Representação
Acústica simplificada da
caixa refletora de graves.

ωb = 2π ⋅ Fb

s ⋅ Map ⋅ R AL
s ⋅ Map
=
2
Map
s ⋅ Map + R AL + s ⋅ Map ⋅ Cab ⋅ R AL
+ 1
s 2 ⋅ Map ⋅ Cab + s ⋅
R AL
s ⋅ Map
s ⋅ Map
Zab = 2
= 2
s
s ωb ⋅ Map
s
s ωb ⋅ Map
+
⋅
+ 1
+
⋅
+ 1
2
2
ωb
ωb
R AL
ωb
ωb
R AL
ωb ⋅ Map
1
=
R AL
QL

(1.24)

Zab =

s ⋅ Map
s
s 1
+
⋅
+ 1
2
ωb
ωb Q L
2

Onde QL é o fator de qualidade que representa as perdas por vazamentos.

(1.26)

α
ω ⋅ Sd 2 ⋅ Cms

Cas
Vas
=
Cab
Vb
s
ωb
s
α
α
Zab = 2
⋅ 2
=
⋅ 2
2
2
s 1
s 1
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s
+
⋅
+ 1
+
⋅
+ 1
2
2
ωb
ωb Q L
ωb
ωb Q L
(1.25)

Map =

onde

2
b

8

α =

O Lado Mecânico
(1.27)

Zms = Rms + s ⋅ Mms +

1
s ⋅ Rms ⋅ Cms + s 2 ⋅ Mms ⋅ Cms + 1
=
s ⋅ Cms
s ⋅ Cms
Fig. 12 – O lado mecânico do falante.

(1.28)

(1.29)

(1.30)

1
2
ωS

Mms ⋅ Cms =

Zms =

onde

ωS = 2π ⋅ Fs

s 2 ⋅ Mms ⋅ Cms + s ⋅ Rms ⋅ Cms + 1
=
s ⋅ Cms

ωS ⋅ Rms ⋅ Cms =

1
Qms

(1.31)

s2
s
+
⋅ ωS ⋅ Rms ⋅ Cms + 1
2
ωS
ωS
s ⋅ Cms

Zms =

s2
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms
s ⋅ Cms

O Lado Elétrico do Falante

(1.32) Ze = R E + Re d + s ⋅ Le
Fig. 13 – O lado elétrico do falante.

(1.33) Ze = R E + Krm ⋅ ωErm + s ⋅ Kxm ⋅ ω( Exm −1)
No Lado Mecânico do Falante

No lado mecânico do falante alem dos componentes mecânicos Rms,
Mms e Cms, que ali são nativos, podemos ter os componentes elétricos e
acústicos, para ali refletidos.
Refletindo o Lado Acústico para o Mecânico

(1.34)

Zmb = Sd 2 ⋅ Zab

(1.35)

s
ωb
α
Zmb =
⋅ 2
s 1
ωb ⋅ Cms s
+
⋅
+ 1
2
ωb
ωb Q L

Fig. 14 – A caixa refletora de
graves, no lado mecânico.

Refletindo o Lado Elétrico para o Mecânico

Impedâncias Mecânicas
2

(1.36)

( βL )
Zme =
Rg + Ze

(Com fonte de tensão)

(1.37)

Zme = 0

(Com fonte de corrente)

9

Fig. 15 – O lado elétrico refletido para
o lado mecânico.

Gerador de Força
(1.38)
(1.39)

Fg = Eg ⋅

βL
= Fge
Rg + Ze


Fg = βLI = Fgi


Topologia do Circuito
Conforme o desenvolvimento abaixo, o circuito elétrico série, transforma-se em um circuito paralelo, no
2
lado mecânico. Alem disso, o indutor Le assume a forma da capacitância Le / ( β L ) .
(1.40)
2

( βL )
Zme =
=
Rg + Re + s ⋅ Le

1
Rg
Re
Le
2 +
2 + s⋅
2
( βL )
( βL )
(βL )

=

1
2
(βL )
Rg

1
1
Le
+
2 + s⋅
2
( βL )
(β L )
Re

No Lado Elétrico do Falante

No lado elétrico do falante alem dos componentes elétricos Eg, Rg, RE, Red e Le, que ali são nativos,
podemos ter os componentes mecânicos e acústicos, para ali refletidos.
Refletindo o Lado Mecânico para o Elétrico

(1.41)

(βL )

2

= ZE ⋅ ZM

Zeb =

(1.42)

(1.43)

∴

Zes =

(βL )

2

ZE =

(βL )

⋅ Cms ⋅

(βL )

2

ZM

2

Zmb
s
2

s
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms

Zes = ωS ⋅ ( βL ) ⋅ Cms ⋅

s
ωS

2

(1.44)

Fig. 16 – O lado mecânico
refletido para o elétrico.

s2
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms

Topologia do Circuito
O circuito RLC série, existente no lado mecânico, reflete-se como um circuito RLC paralelo, no lado
elétrico. A massa Mms transforma-se na capacitância Cmes e a compliância Cms converte-se na indutância
Lces, conforme mostra o desenvolvimento abaixo.
(1.45)

Zes =

(βL )

2

Rms + s ⋅ Mms +

1
s ⋅ Cms

=

Rms

( βL )
10

2

+ s⋅

1
Mms

(βL )

2

+

1
s ⋅ ( β L ) ⋅ Cms
2

Zes =

(1.46)

1

(βL )

2

+ s⋅

1
Mms

(βL )

2

+

=

1
s ⋅ ( β L ) ⋅ Cms
2

1
1
1
+ s ⋅ Cmes +
Re s
s ⋅ Lces

Rms

Onde: Res =

( βL )

2

Cmes =

;

Rms

Mms

(βL )

Lces = ( β L ) ⋅ Cms
2

;

2

Refletindo o Lado Acústico para o Elétrico

(1.47)

(1.48)

Zeb =

( βL )

2

Sd 2 ⋅ Zab

Zeb =

(βL )

2

s
ωb
α
⋅ 2
s 1
ωb ⋅ Cms s
+
⋅
+ 1
2
ωb
ωb Q L

s2
s 1
+
⋅
+ 1
2
( βL ) ⋅ ωb ⋅ Cms ⋅ ωb
ωb Q L
Zeb =
s
α
ωb
2

(1.49)

Fig. 17 – O lado acústico,
refletido para o elétrico.

Topologia do circuito
O circuito RLC paralelo, existente no lado acústico, reflete-se como um circuito RLC série, no lado elétrico.
A massa Map transforma-se na capacitância Cmep e a compliância Cab converte-se na indutância Lceb,
conforme mostra o desenvolvimento abaixo.
(1.50)

Zeb =

(1.51)

( βL )

2

Sd 2 ⋅ Zab
Zeb =

Onde: R EL =

( βL )

=

(βL )

2

Sd 2

( βL )

2

Sd 2 ⋅ R AL

⎛ 1
⎞
( βL ) + ( βL )
(βL ) ⋅ Cab
1
⋅⎜
+
+ s ⋅ Cab ⎟ =
+ s⋅
2
2
s ⋅ Map
Sd ⋅ R AL
s ⋅ Sd ⋅ Map
Sd 2
⎝ R AL
⎠
2

( βL ) ⋅ Cab = R + 1 + s ⋅ Lceb
1
+
+ s⋅
EL
s ⋅ Sd 2 ⋅ Map
Sd 2
s ⋅ Cmep
2
(βL )
2

2

Sd 2 ⋅ R AL

;

Cmep =

Sd 2 ⋅ Map

( βL )

;

2

Lceb =

Impedância Vista Pela Bobina
(1.52)

2

Zvc = Ze + Zes + Zeb

11

( βL )
Sd 2

2

⋅ Cab

2

Fig. 18a
Fig. 18b
Circuito equivalente simplificado da caixa refletora de graves, visto pelo lado elétrico do falante, com fonte de tensão.

No Lado Acústico do Falante

No lado acústico do falante alem dos seus componentes nativos, como a impedância de radiação do
ar (aqui desconsiderada), e a impedância da caixa, temos os componentes elétricos e mecânicos, para ali
refletidos.
Refletindo o Lado Elétrico para o Acústico

Impedâncias Acústicas
Zme
Sd2

(1.53)

Zae =

(1.54)

Zae = 0


Gerador de Pressão
(1.55)

Pg = Eg ⋅

(1.56)

Pg = Ig ⋅

(

βL

Sd ⋅ Rg + Ze

)

= Pge


βL
= Pgi
Sd


Refletindo o Lado Mecânico para o Acústico

(1.57)

Zas =

Zms
Sd2

Impedâncias Refletidas para o Lado Acústico
(1.58)

Zae + Zas (com fonte de tensão) e

12

Zas

(com fonte de corrente)

Fig. 19a – Circuito equivalente acústico, da caixa refletora
de graves, excitada por fonte de tensão.

Fig. 19b – Circuito equivalente acústico, da caixa refletora
de graves, excitada por fonte de corrente.

PERDAS

Análise do Circuito Equivalente Acústico

PERDAS

UL

UD
FALANTE

PÓRTICO

FALANTE

UL

UD

UO

UB

CAIXA

UP
DUTO

Fig. 20 – Componentes acústicas no interior da caixa

UP

Fig. 21 – Componentes acústicas no exterior da caixa

Velocidades Volumétricas

(1.59)

UD =

Pg
Zae + Zas + Zab

UD = UB + UP + UL
(1.60)
(1.61)
UO = − UD + UP + UL = − ( UB + UP + UL ) + UP + UL
(1.62)

UO = − UB

(resultante, na saída)

Onde U D , U B , U P e U L são, respectivamente, as velocidades
volumétricas no driver (falante), na caixa (box), no duto
(pórtico) e nas perdas por vazamentos (leakage).
13

Fig. 22 – Circuito da caixa refletora de graves,
visto pelo lado acústico, para o cálculo de Ud.

Fonte de Tensão
Gerador de Tensão

Gerador de Força
βL
Fg = Eg ⋅
Rg + Ze

Eg

Qes =

Mms / Cms

( βL )

2

⋅ RE

Zme =

Re d = R E + Krm ⋅ ωErm
Le = s ⋅ Kxm ⋅ ω( Exm −1)
Lado Mecânico

Lado Acústico
α
s
⋅
2
ω ⋅ Sd ⋅ Cms ωb
Zab = 2 b
s
s 1
+
⋅
+ 1
2
ωb
ωb Q L

(1.64)

GS(S) =

(βL )

Zae =

Zas =

s2
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms
s ⋅ Sd 2 Cms

Do Acústico para o Elétrico
s2
s 1
+
⋅
+ 1
2
ωb Q L
2 ωb
Zeb = ( β L ) ⋅
α ⋅ Sd 2
s
⋅
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms ωb

Pg
s
s
1
s
+
⋅
+ 1
2
α
ω
ωS Qms
ωb
Zae + S
+
⋅ 2
2
2
s 1
s ⋅ Sd ⋅ Cms
ω b ⋅ Sd ⋅ Cms s
+
⋅
+ 1
2
ωb
ω b QL
s2
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms

;

(1.65)

GL(S) =

s ⋅ Sd ⋅ Cms ⋅ Zae + GS(S) + α ⋅

U B(S) = U D ⋅ Zab ⋅ s ⋅ Cab

UB(S) = Pg ⋅

s2
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωb
ω b QL

Pg ⋅ s ⋅ Sd2 ⋅ Cms

UD(S) =
2

(1.69)

Sd 2
R E + Re d + s ⋅ Le

Do Mecânico para o Acústico

2

⋅ Cms ⋅ s
Zes =
s2
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms
Do Acústico para o Mecânico
α ⋅ Sd 2
s
⋅
2
Zmb = 2 b
s
s 1
+
⋅
+ 1
2
ωb
ωb Q L

2

2

(1.66)

(1.67)

1
1
1
+
Qes
Qms

(βL )

2


(βL )

)

Do Elétrico para o Acústico

Do Mecânico para o Elétrico

s2
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms
s ⋅ Cms

UD(S) =

Qts =

Impedâncias
Do Elétrico para o Mecânico

Ze = R E + Re d + s ⋅ Le

(1.63)

(

Fatores de Qualidade
Mms / Cms
Qms =
Rms

Lado Elétrico

Zms =

Gerador de Pressão Acústica
βL
Pg = Eg ⋅
Sd ⋅ Rg + Ze

Zab ⋅ s ⋅ Cab
Zae + Zas + Zab

s2 / ω2
b
GL(S)

(1.68)

(1.70)
14

U B(S) = Pg ⋅

Cms ⋅ S2
D
Cab =
α
Cms ⋅ S2
s ⋅ Zab
D
⋅
α
Zae + Zas + Zab

Fonte de Corrente
Gerador de Corrente

Gerador de Força

Ig

Fg = Ig ⋅ βL

Qes = ∞

Fatores de Qualidade
Mms / Cms
Qms =
Rms
Impedâncias
Do Elétrico para o Mecânico

Do Elétrico para o Acústico

Zme = 0

Zae = 0

Do Mecânico para o Elétrico

Do Mecânico para o Acústico

Lado Elétrico
Ze = R E + Re d + s ⋅ Le
Re d = R E + Krm ⋅ ωErm
Le = s ⋅ Kxm ⋅ ω( Exm −1)
Lado Mecânico

Zms =

s2
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms
s ⋅ Cms

Lado Acústico
α
s
⋅
2
Zab = 2 b
s
s 1
+
⋅
+ 1
2
ωb
ωb Q L

(βL )

Qts = Qms

2

⋅ Cms ⋅ s
Zes =
2
s
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms
Do Acústico para o Mecânico
α ⋅ Sd 2
s
⋅
2
Zmb = 2 b
s
s 1
+
⋅
+ 1
2
ωb
ωb Q L
Pg ⋅ s ⋅ Sd2 ⋅ Cms ⋅

(1.71)

Gerador de Pressão Acústica
βL
Pg = Ig ⋅
Sd

UB(S) =

Zas =

Do Acústico para o Elétrico
s2
s 1
+
⋅
+ 1
2
ωb Q L
2 ωb
Zeb = ( β L ) ⋅
α ⋅ Sd 2
s
⋅
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms ωb

s / ωb
α
⋅
⋅ s ⋅ Cab
ωb ⋅ Sd2 ⋅ Cms GL(S)

2

s ⋅ Sd ⋅ Cms ⋅ Zae + GS(S) + α ⋅

Pg ⋅ s ⋅ Sd2 ⋅ Cms ⋅
(1.72)

UB(S) =

s2 / ω2
b
GL(S)

s / ωb
Cms ⋅ S2
α
D
⋅
⋅s⋅
ωb ⋅ Sd2 ⋅ Cms GL(S)
α

s ⋅ Zme ⋅ Cms + GS(S) + α ⋅

2

Pg ⋅ ωb ⋅ Sd ⋅ Cms ⋅
(1.73)

s2 / ω 2
b
GL(S)

s3 / ω3
b

UB(S) =

GL(S)


s2 / ω2
b
GL(S)

Como U O = − U B , temos:
2

(1.74)

s2
s
1
+
⋅
+ 1
2
ωS
ωS Qms
s ⋅ Sd 2 Cms

UO(S) = −

s3 / ω3
b
GL(S)

15

s2 / ω2
b
GL(S)

UP = UD ⋅

(1.75)

UL = UD ⋅

(1.76)

Como

Zab
U D s ⋅ Map
UD
=
⋅
=
s ⋅ Map
s ⋅ Map G L(S)
G L( S)

ωb ⋅ Map
1
=
R AL
QL

Map
1
=
R AL
ωb ⋅ Q L

então

UL = UD ⋅

(1.77)

U D s ⋅ Map
Zab
=
⋅
R AL
R AL G L(S)

s / ωb ⋅ Q L
s ⋅ UD
Zab
1
=
⋅
= UD ⋅
R AL
ωb ⋅ Q L G L(S)
G L( S)

Pressões Acústicas

(1.78)

PP =

ρ
ρ Zab
⋅ s ⋅ UP =
⋅
⋅ Ud
2π
2π Map

PO(S) =

(1.80)

PL =

(1.79)

ρ
⋅ s ⋅ UL
2π

ρ
⋅ s ⋅ UO(S)
2π

s3 / ω3
b
ρ
⋅s⋅
2π
GL(S)
2

PO(S) = −

(1.81)

s 2 / ω2
b


4
4
ρ s / ωb
Pg ⋅ Sd ⋅ ω ⋅ Cms ⋅
⋅
2π GL(S)
2

PO(S) = −

(1.82)

GL(S)

2
b


s 2 / ω2
b
GL(S)

ρ s4
⋅
2π ω4
b
= −
2
⎛
⎞ ⎛ s2
⎞
s 1
s2
⎜s ⋅ Zme ⋅ Cms + s + s ⋅ 1 + 1⎟ ⋅ ⎜
⎟ ⎜ 2 +
⎟
⋅
+ 1⎟ + α ⋅ 2
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
ω2
ωS Qms
ω b QL
ωb
⎝
⎠ ⎝ ωb
⎠
S
Pg ⋅ Sd2 ⋅ ω2 ⋅ Cms ⋅
b

(1.83)

PO(S)

(1.84)
ρ s4
⋅
2π ω4
b
⎛ s2
⎞ ⎛ s2
⎞
s
1
s 1
s2
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
+⎜ 2 +
⋅
+ 1⎟ ⋅ ⎜ 2 +
⋅
+ 1⎟ + α ⋅ 2
⎜
⎟ ⎜
⎟
ωS Qms
ω b QL
ωb
⎝ ωS
⎠ ⎝ ωb
⎠

− Pg ⋅ Sd2 ⋅ ω2 ⋅ Cms ⋅
b
PO(S) =

(1.85)

⎛ s2
⎞
s 1
⎟
⎜
⎟
⋅
+ 1⎟
(s ⋅ Zme ⋅ Cms) ⋅ ⎜ 2 +
⎜ ωb
⎟
ω b QL
⎝
⎠
PO(S)

s4 / ω4
b
ρ
2
2
= − Pg ⋅
⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅
2π
D(S)

16

(1.86)
D(S)

2
⎛ s2
⎞ ⎛ s2
⎞ ⎛ s2
⎞
s 1
s
1
s 1
⎟+⎜
⎟⋅⎜
⎟ + α⋅ s
⎜
⎟ ⎜ 2 +
⎟ ⎜ 2 +
⎟
= (s ⋅ Zme ⋅ Cms) ⋅ ⎜ 2 +
⋅
+ 1⎟
⋅
+ 1⎟
⋅
+ 1⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ ωb
ω b QL
ωS Qms
ω b QL
ω2
⎝
⎠ ⎝ ωS
⎠ ⎝ ωb
⎠
b

(1.87)
⎛ s3
⎞ ⎛ s2
⎞
s2 1
s ⎞ ⎛ s2
s
1
s 1
s2
⎟+⎜
⎟ ⎜ 2 +
⎟ ⎜
⎟
D(S) = (ωb ⋅ Zme ⋅ Cms) ⋅ ⎜ 3 + 2 ⋅
+
⋅
+ 1⎟ ⋅ ⎜ 2 +
⋅
+ 1⎟ + α ⋅ 2
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ω
⎟
⎟
⎟
ω b QL
ω b ⎠ ⎝ ωS
ωS Qms
ω b QL
ωb
⎝ b
⎠ ⎝ ωb
⎠

Excitação com Fonte de Tensão

Zme =

(1.88)

( βL )

Zme ⋅ ωb ⋅ Cms =

(1.89)

(1.90) De(S)

(βL )

2

2

RE

=

1
ωS ⋅ Cms ⋅ Qes

ωb ⋅ Cms
ωb
=
ωS ⋅ Cms ⋅ Qes
ωS ⋅ Qes

2
⎛ s3
⎞ ⎛ s2
⎞
ωb
s2 1
s ⎞ ⎛ s2
s
1
s 1
⎟+⎜
⎟⋅⎜
⎟ + α⋅ s
⎜
⎟ ⎜
=
⋅⎜
+ 2 ⋅
+
+
⋅
+ 1⎟ ⎜ 2 +
⋅
+ 1⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
ωS ⋅ Qes ⎜ ω 3
ω b QL
ω b ⎠ ⎝ ω2
ωS Qms
ω b QL
ω2
⎝ b
⎠ ⎝ ωb
⎠
S
b

(1.91)
De(S) =

s3
1
s2
1
s
1
s2
s4
s3
1
s2
⋅
+
⋅
+
⋅
+ α⋅ 2 + 2 2 +
⋅
+ 2 + ...
ω2 ⋅ ωS Qes
ω b ⋅ ωS Qes ⋅ QL
ωS Qes
ωb
ω b ⋅ ωS
ω b ⋅ ω2 QL
ωS
b
S

... +

s3
1
s2
1
s
1
s2
s 1
⋅
+
⋅
+
⋅
+ 2 +
⋅
+1
2
ω b ⋅ ωS Qms
ωb ⋅ ωS QL ⋅ Qms
ωS Qms
ωb
ω b QL

De(S)

(1.92)

⎛ 1
s4
1
1
1
1
1 ⎞
⎟ + ...
⎟
= 2 2 + s3 ⋅ ⎜ 2
⋅
+
⋅
+ 2
⋅
⎜
⎟
2
⎜ ω ⋅ ω Qes
⎟
ωb ⋅ ωS
ω b ⋅ ω S QL
ω b ⋅ ωS Qms ⎠
⎝ b S
⎛ 1
⎞
1
1
1
1
1
1
⎟
⎜
⎟
⋅
+ α⋅ 2 + 2 + 2 +
⋅
... + s2 ⋅ ⎜
⎟ + ...
⎜ ω ⋅ ω Qes ⋅ Q
⎟
ωb
ωS
ωb
ω b ⋅ ωS QL ⋅ Qms ⎠
⎝ b S
L
⎛1
1
1
1
1 1 ⎞
⎟
⎜
⎟
+ ⋅
+
⋅
... + s ⋅ ⎜ ⋅
⎟+1
⎜ ω Qes ω Qms
⎟
ω b QL ⎠
⎝ S
S

Como

1
1
1
=
+
, vem:
Qts
Qes
Qms
De(S) =

(1.93)

⎛ 1
s4
1
1
1 ⎞
⎟
⎜
⎟
+ s3 ⋅ ⎜ 2
⋅
+
⋅
2
2
2
⎟ + ...
⎜ ω ⋅ ω Qts
⎟
ω b ⋅ ωS
ω b ⋅ ω S QL ⎠
⎝ b S
⎛ 1
1+α
1
1⎞
⎟
⎜
⎟
... + s2 ⋅ ⎜
⋅
+
+ 2 ⎟ + ...
⎜ ω ⋅ ω Qts ⋅ Q
⎟
⎜ b S
ω2
ωS ⎠
⎝
L
b
⎛1
1
1 1 ⎞
⎟
⎜
⎟
... + s ⋅ ⎜ ⋅
+
⋅
⎟+1
⎜ ω Qts
⎟
ω b QL ⎠
⎝ S

17

Como, no caso de excitação por fonte de tensão, Pge = Eg ⋅

POe(S)

(1.94)

)

Sd ⋅ Rg + Ze

, vem:

s4 / ω4
b
ρ
2
2
= − Eg ⋅
⋅
⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅
De(S)
Sd ⋅ Rg + Ze 2π
βL

(

POe(S)

(1.95)

(

βL

(1.96)

)

s4 / ω4
b
ρ
βL
2
= − Eg ⋅
⋅
⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅
2π Rg + Ze
De(S)
POe

(dB SPL)

⎛ POe ⎞
⎟
⎟
= 20 ⋅ Log ⎜
⎜
⎟
⎜ 20 ⋅ 10−6 ⎠
⎟
⎝

Excitação com Fonte de Corrente

(1.97)
⎛ s3
⎞ ⎛ s2
⎞
s2 1
s ⎞ ⎛ s2
s
1
s 1
s2
⎟+⎜
⎟ ⎜ 2 +
⎟ ⎜
⎟
+
⋅
+ 1⎟ ⋅ ⎜ 2 +
⋅
+ 1⎟ + α ⋅ 2
D(S) = (ωb ⋅ Zme ⋅ Cms) ⋅ ⎜ 3 + 2 ⋅
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜ ωb
ω b QL
ω b ⎠ ⎝ ωS
ωS Qms
ω b QL
ωb
⎝
⎠ ⎝ ωb
⎠

(1.98)

Zme = 0

;

Di(S) = α ⋅

βL
Sd

s2
s4
s3
1
s2
+ 2 2 +
⋅
+ 2 + ...
ω2
ω b ⋅ ωS
ω b ⋅ ω2 Q L
ωS
b
S

... +

(1.101)

s3
1
s2
1
s
1
s2
s 1
⋅
+
⋅
+
⋅
+ 2 +
⋅
+1
2
ωb ⋅ ωS Qms
ω b ⋅ ωS QL ⋅ Qms
ωS Qms
ωb
ω b QL

Di(S) =

s4
s3
1
s3
1
s2
s2
+
⋅
+ 2
⋅
+ α ⋅ 2 + 2 + ...
ω2 ⋅ ω2
ω b ⋅ ω2 Q L
ω b ⋅ ωS Qms
ωb
ωS
b
S
S
... +

(1.102)

Di(S)

(1.104)

Pgi = Ig ⋅

⎛ s2
⎞ ⎛ s2
⎞
s
1
s 1
s2
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
Di(S) = ⎜ 2 +
⋅
+ 1⎟ ⋅ ⎜ 2 +
⋅
+ 1⎟ + α ⋅ 2
⎜ω
⎟ ⎜
⎟
ωS Qms
ω b QL
ωb
⎝ S
⎠ ⎝ ωb
⎠

(1.100)

(1.103)

(1.99)

s2
1
s2
s
1
s 1
⋅
+ 2 +
⋅
+
⋅
+1
ωb ⋅ ωS QL ⋅ Qms
ωb
ωS Qms
ω b QL

⎛ 1
s4
1
1
1 ⎞
⎟ + ...
⎟
= 2 2 + s3 ⋅ ⎜
⋅
+ 2
⋅
⎜
⎟
⎜ ω ⋅ ω2 Q
⎟
ω b ⋅ ωS
ω b ⋅ ωS Qms ⎠
⎝ b S
L
⎛1 + α
⎞
1
1
1
⎟+ s ⋅ 1 + s ⋅ 1 +1
⎟
... + s2 ⎜
+ 2 +
⋅
⎜
⎟ ω Qms
2
⎜
⎟
⎜ ωb
ωS
ωb ⋅ ωS QL ⋅ Qms ⎠
ω b QL
⎝
S

POi(S)

s4 / ω4
b
ρ
2
2
= − Pgi ⋅
⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅
2π
Di(S)

18

(1.105)

(1.106)

(1.107)

POi(S)

s4 / ω4
b
βL ρ
2
2
= − Ig ⋅
⋅
⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅
Sd 2π
Di(S)

POi(S)

s4 / ω4
b
ρ
2
= − Ig ⋅
⋅ βL ⋅ Sd ⋅ ω b ⋅ Cms ⋅
2π
Di(S)
POi

(dB SPL)

⎛ POi ⎞
⎟
⎟
= 20 ⋅ Log ⎜
⎜
⎟
⎜ 20 ⋅ 10−6 ⎠
⎟
⎝

Respostas Simuladas com Fontes de Tensão e de Corrente

O comportamento de uma caixa refletora de graves, com 50 litros de volume, sintonizada em 40 Hz,
foi simulado com excitações por tensão e por corrente. Nos dois casos os sinais de entrada produziam 0,5
Watt em 8 Ohms, ou seja, aplicavam uma tensão de 2 Volts ou uma corrente igual a 0,25 Amperes.
Na Fig. 24 vemos um comparativo entre as velocidades volumétricas, U Oe e U Oi , respectivamente
nas saídas de um sistema refletor de graves, alimentado com fonte de tensão e com fonte de corrente onde
podemos verificar que U Oi foi muito maior que U Oe , tendo sido necessário dividir U Oi por 10, de modo a
poder ser representada adequadamente no mesmo gráfico. Alem disso, U Oi apresentou picos acentuados em
duas diferentes freqüências. A causa desses fatos deve-se à reflexão dos componentes da bobina para os
lados elétricos e mecânicos, ou seja, Zme = Zae = 0.
O deslocamento do cone, com excitação por corrente,
foi maior que aquele com fonte de tensão, apresentando
picos acentuados nas mesmas freqüências em que isso
ocorreu com a velocidade volumétrica, conforme mostra a
Fig. 25.
Fato semelhante aconteceu com a pressão acústica, na
saída do sistema, alimentado por fonte de corrente, como
vemos na Fig. 26.
Para contornar o problema dos picos na resposta
inicialmente tentou-se o uso de material absorvente,
colocado de forma convencional no interior da caixa, o que
não deu o resultado desejado, pois houve uma atenuação
quase uniforme do sinal de saída, permanecendo os picos Fig. 23 – Falante envolvido em tecido absorvente.
bastante proeminentes.
Quando apenas a parte traseira do falante foi envolvida com material absorvente, conforme a Fig. 23,
resultados muito superiores foram encontrados e podem ser vistos nas Figs 27 a 29 . Os picos, embora ainda
presentes, foram significativamente reduzidos.

19

0.014
0.012

| UOe |
| UOi /10 |

| UO |

0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 24 – Velocidades volumétricas, com excitação por tensão e por corrente, esta ultima dividida por 10.

3

10

12

XBR4 em mm

10
Xe
Xi

8
6
4
2
0
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 25 – Deslocamento do cone, com excitação por tensão e por corrente.

3

10

120

POe e POi em dB

110
100
90
80
| POe |
| POi |

70
60
50
40
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 26 – Pressão acústica, em dB, com excitação por tensão e por corrente.

20

3

10

0.012
0.01
| UOe |
| UOi /10 |

| UO |

0.008
0.006
0.004
0.002
0
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 27 – O mesmo que na Fig. 24, mas com a parte traseira do falante envolvida em tecido absorvente.

3

10

3

XBR4 em mm

2.5
Xe
Xi

2
1.5
1
0.5
0
1
10

2

3

10
10
Freqüência em Hz

110

POe e POi em dB

100
90
80
| POe |
| POi |

70
60
50
40
1
10

2

10
Freqüência em Hz

21

3

10

Modulo e Fase de Zvc BR4

150

100
Módulo
Fase
50

0

−50

−100

20

40

60

80
100
120
140
Freqüência em Hz
Fig. 30 – Impedância e fase na bobina do falante, instalado em uma caixa refletora de graves com Vb = 50 L e Fb = 40 Hz.

Modulo e Fase de Zvc BR4

60

40
Módulo
Fase
20

0

−20

−40

20

40

60

80
100
120
140
Freqüência em Hz

O reforço nas respostas de baixas e altas freqüências foi muito significativo, conforme podemos ver
nas Figs. 26 e 29, sendo que nesta ultima os picos apresentaram-se de forma menos pronunciada.
Nas Figs. 30 e 31 vemos que as freqüências onde ocorreram os picos na velocidade volumétrica, no
deslocamento do cone e na pressão acústica na saída da caixa refletora de graves, excitada por fonte de
corrente, são as mesmas dos picos que normalmente existem na curva de impedância, desse tipo de sistema,
respectivamente denominados FL e FH.
O envolvimento do falante em material absorvente diminui a amplitude dos picos da impedância
vista pela bobina.
Na freqüência de sintonia do sistema, Fb, a impedância é mínima e nas três freqüências citadas a fase
é nula. Este mínimo é dado pelo circuito equivalente da caixa refletora de graves que, no lado elétrico,
corresponde a um circuito ressonante série, na freqüência Fb, como mostra a Fig. 18a .
A freqüência FL é o resultado de uma ressonância decorrente das componentes Mms e Cms, refletidas
do lado mecânico para o elétrico. A influência dos demais componentes, refletidos para o lado elétrico, é que
a torna diferente de Fs.
Já a ressonância em FH deve-se, principalmente, a Cmes e Lceb, respectivamente a massa Mms,
refletida para o lado elétrico, e à compliância da caixa, refletida para o lado elétrico. Os demais componentes
do circuito também dão a sua parcela de contribuição.
As Figs. 32 a 41 mostram outras componentes acústicas, simuladas na caixa de 50 litros, sintonizada
em 40 Hz, excitada com fontes de tensão e de corrente.
22

0.012
0.01
| UDe |
| UDi /10 |

| UD |

0.008
0.006
0.004
0.002
0
1
10

2

3

10
10
Freqüência em Hz
Fig. 32 – Velocidades volumétricas do falante, na caixa refletora de graves, excitada por tensão e corrente.

−3

8

x 10

7
6

| UDe |
| UDi /10 |

| UD |

5
4
3
2
1
0
1
10

2

3

10
10
Freqüência em Hz

| UO | e suas Componentes

0.014
0.012
| UDe |
| UPe |
| ULe |
| UOe |

0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
1
10

2

3

10
10
Freqüência em Hz
Fig. 34 – Componentes da velocidade volumétrica UO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido.

23


0.012
0.01
| UDe |
| UPe |
| ULe |
| UOe |

0.008
0.006
0.004
0.002
0
1
10

2

3

10
10
Freqüência em Hz
Fig. 35 – Componentes da velocidade volumétrica UO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante amortecido.


0.16
0.14
| UDi |
| UPi |
| ULi |
| UOi |

0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 36 – Componentes de UO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante não amortecido.

3

10


0.04
0.035
0.03
| UDi |
| UPi |
| ULi |
| UOi |

0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 37 – Componentes de UO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante amortecido.

24

3

10

POe em dB e suas Componentes

100
90
80
| PDe |
| PPe |
| PLe |
| POe |

70
60
50
40
30
20
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 38 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido.

3

10


100
90
80
| PDe |
| PPe |
| PLe |
| POe |

70
60
50
40
30
20
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 39 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante amortecido.

3

10

POi em dB e suas Componentes

120

100

| PDi |
| PPi |
| PLi |
| POi |

80

60

40

20
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 40 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante não amortecido.

25

3

10

POi em dB e suas Componentes

110
100
90
| PDi |
| PPi |
| PLi |
| POi |

80
70
60
50
40
2

10
Freqüência em Hz
Fig. 41 – Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por corrente, falante amortecido.

3

10

0.014

3

Velocidades Volumetricas em m / s

30
1
10

0.012
UPe
UDe
UPe − UDe

0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
1
10

2

3

3


10
10
Freqüência em Hz
Fig. 42 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido.

0.16
0.14
UPi
UDi
UPi − UDi

0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1
10

2

10

Freqüência em Hz
Fig. 43 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por corrente, falante não amortecido.

26

3


0.012
0.01
UPe
UDe
UPe − UDe

0.008
0.006
0.004
0.002
0
1
10

2

3

3


10
10
Freqüência em Hz
Fig. 44 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por tensão, falante amortecido.

0.04
0.035
UPi
UDi
UPi − UDi

0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
1
10

2

10

Velocidades Volumetricas em m3 / s

Freqüência em Hz
Fig. 45 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por corrente, falante amortecido.

0.2

0.15

UPe
UDe
UPe − UDe

0.1

0.05

0
1
10

2

3

10
10
Freqüência em Hz
Fig. 46 – Componentes de UP , UD e sua resultante no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido,
sem a reflexão das componentes elétricas para os lados mecânicos e acústicos.

27


120
| PDe |
| PPe |
| PLe |
| POe |

100

80

60

40

20
1
10

2

10
Freqüência em Hz
Fig. 47– Componentes de PO, no refletor de graves, excitado por tensão, falante não amortecido,
sem a reflexão das componentes elétricas para os lados mecânicos e acústicos.

3

10

Fig. 48 – SPL na caixa protótipo, com o duto tampado, sem
amortecimento no falante e com e sem absorvente na caixa.

Fig. 49 – Como na Fig. 48, mas com o interior da caixa
totalmente preenchido com material absorvente.

Fig. 50 – SPL na caixa protótipo, com o duto tampado, sem
material absorv. na caixa e com e sem amort. no falante.

Analisando as Figs. 42 a 45, que mostram as
U P − U D , que representam a
componentes
componente U O , na ausência de perdas por
vazamento, vemos que, no caso de fonte de corrente,
essas componentes apresentam picos acentuados, que
se repetem na pressão acústica de saída, PO , e
diminuem de amplitude quando o falante é revestido
com material absorvente.
As Figs. 46 e 47 comprovam que os picos
encontrados na excitação por corrente são
provocados pela não reflexão das componentes
elétricas para os lados mecânico e acústico.
Na Fig. 48 vemos o nível de pressão acústica,
medido na caixa protótipo, com o duto fechado, ou
seja, funcionando como caixa selada (closed box),
excitada por fonte de corrente, com as paredes

internas revestidas de lã de rocha.
28

Fig. 51 – Impedância na caixa protótipo, com o duto
tampado, com e sem material absorvente na caixa.

Fig. 52 – Impedância na caixa protótipo, com o duto livre,
com e sem material absorvente no falante.

Fig. 53 – SPL na caixa protótipo, com o duto aberto, sem
amortecimento no falante e com e sem absorvente na caixa.

Fig. 54 – SPL na caixa protótipo, com o duto aberto, sem
material absorvente na caixa e com e sem amort. no falante.

Fig. 55 – SPL na caixa protótipo, com o duto destampado,
sem material absorvente na caixa, e sem e com amort. no
falante e com amortecimento no falante e no duto.

Fig. 56 – SPL e IMP na caixa protótipo, sem absorvente na
caixa e com amortecimento no falante, com e sem
amortecimento no duto.

29

A atenuação na resposta foi insignificante, sem eliminar o pico existente no extremo inferior da faixa, que
sofreu uma ligeira redução em sua freqüência, talvez devida ao pequeno aumento virtual no volume,
produzido pelo material absorvente (no qual o som propaga-se com menor velocidade e a caixa parece ser
maior do que realmente é). A resposta com excitação por tensão, obtida sem material absorvente na caixa,
foi usada como referência.
Aumentando a quantidade de material absorvente no interior da caixa selada, de modo que ela fique
quase totalmente preenchida com lã de rocha, vemos na Fig. 49, que a redução no pico indesejável da
resposta, ali presente, sem material absorvente, em torno de 60 Hz, foi significativamente atenuado. Alem
disso o referido pico passou a ocorrer em 50 Hz, com a atenuação, provavelmente devido ao aumento virtual
do volume da caixa, devido ao preenchimento, conforme dito anteriormente.
Este tipo de preenchimento, quase total, não foi usado na caixa refletora de graves devido a possíveis
problemas de interação com o duto.
Amortecendo o Falante

Outra solução encontrada consistiu no envolvimento da parte traseira do falante com material
absorvente, o que provocou uma acentuada elevação em Rms, ou seja, na resistência mecânica da suspensão,
sem que os demais parâmetros (exceto Qms) sofressem alteração significativa, conforme podemos
comprovar na Tabela 1. Ali temos os parâmetros do alto-falante SELENIUM, modelo 15SW2P, usado nas
experiências, em seu estado normal e com o amortecimento causado pelo envolvimento de toda a parte
traseira, por 12 voltas de tecido não impregnado, usado na confecção de aranhas.
Tabela 1 - Falante Usado nos Testes
Assim, com o aumento da resistência Rms, devido às
15SW2P
perdas introduzidas pelo amortecimento, o valor de Qms caiu
Parâmetros Normal Amortecido Unidade
de 17,15 para 1,75.
Como o fator de qualidade do sistema, com fonte de
RE
5,72
5,66
Ohm
corrente, é dado por Qms, o abaixamento do valor do mesmo,
Krm
0,0065
0,0069
provoca a redução dos picos de baixas freqüências na resposta
Erm
0,83
0,83
do sistema.
Kxm
0,0305
0,0294
De fato, removendo o material absorvente, colocado
Exm
0,77
0,78
no interior da caixa, e envolvendo a parte traseira do falante
em tecido, o pico nas baixas freqüências foi grandemente
Fs
34,4
34,9
Hz
atenuado, sem que o nível nas demais freqüências sofresse
Qms
17,15
1,75
qualquer alteração perceptível, como vemos na Fig. 50, onde a
Qes
0,33
0,33
resposta com excitação por tensão foi obtida com o falante
Qts
0,33
0,28
normal, sem amortecimento.
As Figs. 51 e 52 mostram a influência do material
Mms
174,925 181,563
g
absorvente, aplicado no falante, nas curvas de impedância,
Mmd
161,78
168,42
g
respectivamente para as condições caixa selada e refletora de
Rms
2,204
22,714
Kg/s
graves (bass reflex).
Cms
0,12
0,11
mm/N
Repetindo o procedimento anterior, com o duto aberto,
Vas
114,863 107,268
L
ou seja, na situação de caixa bass reflex, vemos na Fig. 53 que
o resultado da aplicação de material absorvente, revestindo as
BL
25,48
26,00
Tm
paredes da caixa, provocou um resultado pouco pronunciado,
ηO
tal como no caso da caixa selada (Fig. 48). Posteriormente foi
1,349
1,318
%
verificado
Já a aplicação de amortecimento ao redor do falante, Fig. 54, contrariamente ao que ocorreu na caixa
selada, não solucionou o problema da redução do pico na resposta em torno dos 70 Hz. Este fato obrigou que
se pesquisasse outra solução, que veio na colocação de material absorvente no duto, através da aplicação de
algumas camadas, do mesmo tecido usado no revestimento do falante, só que na frente do duto. A eficácia
desse procedimento pode ser constatada na Fig. 55 onde se conseguiu uma atenuação no pico da região de
graves semelhante à obtida na caixa fechada. Para isso, alem do tecido usado no revestimento no falante,
este mesmo tecido foi aplicado na frente do duto.
A Fig. 56 mostra a influência dos picos da impedância na curva de resposta.

30

Para entender o resultado acima foram combinadas as equações (1.61), (1.75) e (1.77) que levaram a
(1.108), que se transforma em (1.109), quando as perdas por vazamentos forem desprezadas ( Q L = ∞ ) ,
indicando que as velocidades volumétricas na saída e no driver são diretamente proporcionais entre si.
s / ωb ⋅ Q L
UD
e UL = UD ⋅
, vem:
Como U P =
G L( S)
G L( S)
(1.108)

UO = UP − UD + UL =

(1.109)
GL(S) =

UO

UD ⋅

1 − G L( S )
G L( S)

s / ωb ⋅ Q L
UD
− UD + UD ⋅
= UD ⋅
G L( S)
G L( S )
U P ⋅ G L( S ) ⋅

1 − G L( S)
G L( S )

s2
s 1
+
⋅
+ 1 ; para QL = ∞
2
ωb
ω b QL

(1.110)

UO

U P ⋅ ⎡1 − G L(S) ⎤
⎣
⎦

U P ⋅ ⎡1 − G L(S) ⎤
⎣
⎦

⇒ GL(S) =

⎛
⎞
s2
U P ⋅ ⎜ 1 − 2 − 1⎟
ωb
⎝
⎠

s
ωb ⋅ Q L

1 − G L( S) +
G L( S)

QL = ∞

para

s2
+ 1
ω2
b

− UP ⋅

s2
2
ωb

UP ⋅

ω2
2
ωb

Então, a equação (1.109) transforma-se em (1.110), onde podemos verificar que, para Q L = ∞ , ou
seja, com baixas perdas no duto, a velocidade volumétrica total, U O , que irá determinar a pressão acústica
fornecida pela caixa, é diretamente proporcional à velocidade volumétrica no duto, U P . (Poderíamos,
também, afirmar que nas condições acima especificadas, a velocidade volumétrica total é proporcional à
derivada segunda da velocidade volumétrica no duto).
Assim, a aplicação de qualquer dispositivo que altere a vazão no duto interferirá diretamente na
resposta da caixa. Isto pode explicar os resultados obtidos nas Figs. 55 e 56.
Na caixa selada, U O = U D , de modo que a velocidade volumétrica na saída atravessa o material
absorvente, que envolve a parte traseira do falante, atenuando o pico na resposta.
Acreditamos ter explicado a razão do amortecimento do falante ter sido eficaz na caixa selada e
inócuo na refletora de graves onde foi necessária a aplicação de amortecimento no duto.
Conclusão:

A utilização de amplificadores fonte de corrente traz os benefícios de reforçar a resposta de
freqüência nos dois extremos do espectro e de eliminar a distorção produzida pelas componentes não
lineares da bobina.
No entanto, a presença de picos elevados na resposta, e no deslocamento do cone, situados nas
freqüências em que a impedância da bobina passa por valores máximos, exige que providências sejam
tomadas no sentido de reduzi-los. Foram demonstradas técnicas baseadas no amortecimento do falante e do
duto, que se mostraram eficientes.
Isso não descarta a utilização, isolada ou combinada, de processamento eletrônico, o que poderá ser
assunto de futura investigação.

31

Agradecimentos:

Os Autores agradecem :
À Eletrônica Selenium S. A. pelos recursos colocados à disposição dos Autores, que a eximem de quaisquer
responsabilidades quanto às informações aqui veiculadas, de inteira responsabilidade dos Autores.
Aos jovens estagiários de engenharia, da Eletrônica Selenium S.A., Marcio Lumertz Rocha, Guilherme
Campos Neukamp, Renan Arthur de Carvalho Lopes e Rodrigo Bello Righi que montaram e desmontaram o
sistema diversas vezes, respirando alguma lã de rocha (não será descontada do salário) e obtiveram inúmeras
curvas utilizando o equipamento Klippel Distortion Analyzer 2 e pensaram (tanto quanto possível a um
estagiário) e discutiram a respeito do sistema, até surpreendendo positivamente os Autores (não muitas
vezes, é claro).
Bibliografia

1 - An Empirical Model for Loudspeaker Motor Impedance
J. R. Wright
Journal of the Audio Engineering Society Vol. 38 N° 10, Outubro de 1990
2 - Loudspeakers in Vented Boxes, Partes I e II
Neville Thiele
Journal of the Audio Engineering Society Vol. 19 N° 5 e 6, de Jun/Jul 1971
3 - Direct Radiator Electrodynamic Loudspeaker Systems
Richard H. Small
Tese para o grau de Doutor em Filosofia, apresentada na
Universidade de Sidney, Austrália, em maio de 1972
4 - Direct Radiator Loudspeaker System Analysis
Richard H. Small
Journal of the Audio Engineering Society Vol. 20 N° 5, Junho de 1972
5 - Vented-Boxes Loudspeaker System Partes I, II, III e IV
Richard H. Small
Journal of the Audio Engineering Society Vol. 21 N° 5, 6, 7 e 8, de Jun, Jul/Ago, Set e Out 1973
6 - Loudspeakers’ Electric Models for Study of the Efforts in Audio Power Amplifiers
Rosalfonso Bortoni e Homero Sette Silva
Apresentado na 115ª Convenção da Audio Engineering Society de 10 a 13 de Outubro de 2003, em N.Y.

32

Apêndice 1 – Análise do Circuito Equivalente Acústico da Caixa, Com e Sem Perdas
Sem Perdas :

Zab =

(1.111)

Como Map ⋅ Cab =

1
1
+ s ⋅ Cab
s ⋅ Map

=

s ⋅ Map
1 + s 2 ⋅ Map ⋅ Cab

1
, vem:
ω2
b
s
ωb

s ⋅ Map
= ωb ⋅ Map ⋅ 2
s2
s
1 + 2
+1
ωb
ω2
b
α
Como ωb ⋅ Map =
, temos:
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms
Zab =

(1.112)

Zab =

(1.113)

s
ωb

Sem perdas.

ω
ωb
α
=
⋅
2
ω2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms
1 − 2
ωb
j⋅

α
⋅
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s 2
+1
ω2
b

;

(1.114)

Zab( jω)

Como Zab tende para infinito quando ω = ωb , vemos que esta é a freqüência de ressonância da caixa, Fb,
que torna infinita a impedância do circuito ressonante acústico, paralelo e sem perdas.

Perdas no Duto

(1.115)

1

Zab =
s ⋅ Cab +

1
Rap + s ⋅ Map

=

Rap + s ⋅ Map
s ⋅ Cab ⋅ ( Rap + s ⋅ Map ) + 1

s
⋅ ωb ⋅ Map
ωb
Rap + s ⋅ Map
Zab =
=
s
s2
s ⋅ Rap ⋅ Cab + s 2 ⋅ Map ⋅ Cab + 1
⋅ ωb ⋅ Rap ⋅ Cab + 2 + 1
ωb
ωb
Rap +

(1.116)

1 +
(1.117)

Zab = Rap ⋅

Como Q p =

(1.118)

ωb ⋅ Map
Rap

Qp =

s ωb ⋅ Map
⋅
ωb
Rap

s2
s
+
⋅ ωb ⋅ Rap ⋅ Cab + 1
2
ωb
ωb
∴

Rap =

ωb ⋅ Map
Qp

e

ωb ⋅ Map ⋅ Cab
1
1
, vem:
=
∴ Rap ⋅ Cab =
Rap ⋅ Cab
ωb ⋅ Rap ⋅ Cab
ωb ⋅ Q p

33

Perdas no duto.

s
s
⋅ Qp
⋅ Qp
1 +
ωb
ωb ⋅ Map
ωb
=
⋅ 2
Zab = Rap ⋅ 2
s
s 1
s
s 1
Qp
+
⋅
+ 1
+
⋅
+ 1
2
2
ωb
ωb Q p
ωb
ωb Q p
1 +

(1.119)

(1.120)

(1.121)

Zab = ωb ⋅ Map ⋅

1
s
+
ωb
Qp
s2
s 1
+
⋅
+1
2
ωb
ωb Q p

Zab( jω) = ωb ⋅ Map ⋅

1
ω
+ j
Qp
ωb
1 −

ω2
ω 1
+ j ⋅
2
ωb
ωb Q p

Para determinar a freqüência em que Zab entra em ressonância, basta verificar a condição em que as
fases do numerador e do denominador, de seu polinômio, são iguais o que é dado pela igualdade dos
respectivos cocientes entre as partes imaginária e real, conforme abaixo:

(1.122)

ωO
⋅ Qp =
ωb

(1.123) Q p =

(1.124)

ωO 1
⋅
ωb Q p

=

ω2
1 − O
ω2
b

ωO 1
⋅
ωb Q p
2
2
ωb − ωO
ω2
b

2
ωO 1
ωb
=
⋅
⋅
2
ωb Q p ω2 − ωO
b

ω2
ω2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⋅ 2 b 2 ∴ Q p = 2 b 2 ∴ Q p ⋅ ωb − Q p ⋅ ωO = ωb ∴ Q p ⋅ ωb − ωb = Q p ⋅ ωO
Q p ωb − ωO
ωb − ωO

ω =
2
O

Q 2 ⋅ ω2 − ω2
p
b
b
2
Qp

= ω ⋅
2
b

Q2 − 1
p
2
Qp

⎛
1 ⎞
2
= ωb ⋅ ⎜ 1 − 2 ⎟
⎜
Qp ⎟
⎝
⎠

A equação acima indica que, com perdas no duto, a freqüência de ressonância da caixa não será exatamente
igual a Fb. Além disso, para que exista uma freqüência de fase nula (ressonância), é necessário Q p > 1.
Podemos também constatar que as perdas no duto produzem uma freqüência de ressonância menor que Fb.
Perdas no Duto e na Caixa :

(1.125)

Z1 = Rap + s ⋅ Map

(1.126)

Z2 = Rab +

(1.127)

Zab =

1
s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1
=
s ⋅ Cab
s ⋅ Cab

1
1
1
+
Z1
Z2

=

1
1
s ⋅ Cab
+
Rap + s ⋅ Map

34

Perdas no duto e na caixa.

( Rap + s ⋅ Map ) ⋅ ( s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1)
Rap + s ⋅ Map
=
s ⋅ Cab ⋅ ( Rap + s ⋅ Map )
s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1 + s ⋅ Cab ⋅ ( Rap + s ⋅ Map )
1+

(1.128)

Zab =

(1.129)

Zab =

(1.130)

s 2 ⋅ Rab ⋅ Map ⋅ Cab + s ⋅ ( Rab ⋅ Rap ⋅ Cab + Map ) + Rap
Zab =
s 2 ⋅ Map ⋅ Cab + s ⋅ ( Rab ⋅ Cab + Rap ⋅ Cab ) + 1

(1.131)

s2
⋅ Rab +
ω2
Zab = b 2
s
+
ω2
b

(1.132)

s 2 Rab
s ⎛
Map ⎞
⋅
+
⋅ ⎜ ωb ⋅ Rab ⋅ Cab + ωb ⋅
+ 1
2
Rap ⎟
ωb Rap
ωb ⎝
⎠
Zab = Rap ⋅ 2
s
s
+
⋅ ( ωb ⋅ Rab ⋅ Cab + ωb ⋅ Rap ⋅ Cab ) + 1
2
ωb
ωb

Como Q p =

(1.133)

Q
ωb ⋅ Map
Rab
1
o que leva a
, Qb =
= p , vem:
ωb ⋅ Rab ⋅ Cab
Rap
Rap
Qb

ωb ⋅ Map
ω ⋅ Map ⋅ Cab
1
1
= b
=
então ωb ⋅ Rap ⋅ Cab =
. Logo,
Rap
Rap ⋅ Cab
ωb ⋅ Rap ⋅ Cab
Qp

⎞
s2 Qp
s ⎛ 1
⋅
+
⋅⎜
+ Qp ⎟ + 1
2
ω Qb
ωb ⎝ Q b
⎠
Zab = Rap ⋅ b
2
s
s ⎛ 1
1 ⎞
+
⋅⎜
+
⎟ + 1
2
Qp ⎟
ωb
ωb ⎜ Q b
⎝
⎠

Como Q p =

(1.135)

s
⋅ ( ωb ⋅ Rab ⋅ Rap ⋅ Cab + ωb ⋅ Map ) + Rap
ωb
s
⋅ ( ωb ⋅ Rab ⋅ Cab + ωb ⋅ Rap ⋅ Cab ) + 1
ωb

⎞
s2 Qp
s ⎛ 1
⋅
+
⋅⎜
+ Qp ⎟ + 1
2
ω Qb
ωb ⎝ Q b
⎠
Zab = Rap ⋅ 2 b
⎛ 1
⎞
s
s
+
⋅⎜
+ ωb ⋅ Rap ⋅ Cab ⎟ + 1
2
ωb
ωb ⎝ Q b
⎠

Como Q p =

(1.134)

s ⋅ Rab ⋅ Rap ⋅ Cab + Rap + s 2 ⋅ Rab ⋅ Map ⋅ Cab + s ⋅ Map
s ⋅ Rab ⋅ Cab + 1 + s ⋅ Cab ⋅ Rap + s 2 ⋅ Map ⋅ Cab

ωb ⋅ Map
ω ⋅ Map
, então, Rap = b
o que leva a:
Rap
Qp

s2 1
s ⎛
1 1 ⎞
1
⋅
+
⋅ ⎜1 +
⋅
⎟+
2
⎜
⎟ Qp
ωb Q b ωb ⎝
Qb Qp ⎠
s2
s ⎛ 1
1 ⎞
+
⋅⎜
+
⎟ +1
2
ωb ωb ⎜ Q b Q p ⎟
⎝
⎠

35

Zab( jω)

ω2 1
ω ⎛
1 1 ⎞
1
⋅
+ j ⋅ ⋅ ⎜1 +
⋅
⎟+
2
ωb Q b
ωb ⎜
Qb Qp ⎟ Qp
⎝
⎠
= ωb ⋅ Map ⋅
2
⎛ 1
⎞
ω
ω
1
− 2 + j⋅ ⋅ ⎜
+
+1
⎜ Qb Qp ⎟
⎟
ωb
ωb ⎝
⎠

Zab( jω)

ω2 1
ω ⎛
1
− 2⋅
+ j ⋅ ⋅ ⎜1 +
ωb Q b
ωb ⎜
Qp
⎝
= ωb ⋅ Map ⋅
2
⎛ 1
ω
ω
+
1 − 2 + j⋅ ⋅ ⎜
ωb
ωb ⎜ Q b
⎝

−

(1.136)

(1.137)

1 1 ⎞
⋅
⎟
Qb Qp ⎟
⎠
⎞
1
⎟
Qp ⎟
⎠

Verificando a condição em que as fases do numerador e do denominador, do polinômio da
impedância são iguais, para determinar a freqüência em que Zab entra em ressonância, temos:

(1.138)

⎛
ωO ⎛ 1
1 1 ⎞
1 ⎞
1 1
1
1
⋅ ⎜1 +
⋅
⋅⎜
+
1+
⋅
+
⎟
⎜
⎟
⎜ Qb Qp ⎟
⎟
Qb Qp ⎠
ωb ⎝
Qb Qp
Qb Qp
⎝
⎠ ∴
=
=
2
2
2
ω 1
ω
ω 1
ω2
1
1
− O⋅
− O
− O⋅
− O
1
1
2
2
2
2
ωb Q b
ωb
ωb Q b
ωb
Qp
Qp

ωO
ωb

(1.139)

⎛
⎛ 1
ω2 ⎞
ω2 1 ⎞ ⎛ 1
1 1 ⎞ ⎛
1 ⎞
⋅
− O⋅
+
⎜1 +
⎟ ⋅ ⎜1 − O ⎟ = ⎜
⎟⋅⎜
⎟
2
2
⎜
⎜ Qp
ωb ⎠
ωb Q b ⎟ ⎜ Q b Q p ⎟
Qb Qp ⎟ ⎝
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠

(1.140)

1 −

(1.141)

2
ωO
1 − 2
ωb

2
ωO
ω2 1 1
ω2 1 ⎛ 1
1 1
1 ⎛ 1
1 ⎞
1 ⎞
+
⋅
− O⋅
⋅
=
⋅⎜
+
− O⋅
+
⎟
⎜
⎟
2
2
2
Qb Qp
Qp ⎜ Qb Qp ⎟
ωb
ωb Q b Q p
ωb Q b ⎜ Q b Q p ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
2
⎛
ωO 1 ⎛ 1
1 1 ⎞
1 1
1 ⎛ 1
1 ⎞
1 ⎞
⋅ ⎜1 +
⋅
⋅
=
⋅⎜
+
+
⎟ +
⎟ − 2⋅
⎜
⎟
⎜
Qb Qp ⎟
Qb Qp
Qp ⎜ Qb Qp ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

(1.142)

2
ωO 1 ⎛ 1
ω2 ⎛
1 ⎞
1 1 ⎞
1 ⎛ 1
1 ⎞
1 1
⋅
+
⋅
⋅⎜
+
⋅
⎜
⎟ − O ⋅ ⎜1 +
⎟ =
⎟ − 1−
2
2 ⎜
Qb Qp ⎟
Qp ⎜ Qb Qp ⎟
Qb Qp
ωb ⎝
⎝
⎠
⎠
⎝
⎠

(1.143)

2
ωO
ω2
b

⎡ 1 ⎛ 1
1 ⎞
⋅⎢ ⎜
+
⎟−
⎢ Qb ⎜ Qb Qp ⎟
⎝
⎠
⎣

(1.144)

2
ωO
ω2
b

⎛ 1
1 1
1 1 ⎞
1
⋅⎜ 2 +
⋅
− 1 −
⋅
⎟ = 2 − 1
⎜ Qb
⎟
Qb Qp
Qb Qp ⎠
Qp
⎝

(1.145)

2
2
2
2
2
1 − Q2
1 − Qp
⎞
ωO ⎛ 1
ωO ⎛ 1 − Q b ⎞
1
p
2
2 Qb
⋅ 2 − 1⎟ = 2 − 1 ∴
⋅
∴ ωO = ωb ⋅ 2 ⋅
⎟ =
2 ⎜
2 ⎜
2
2
2
Qp
Qp
Qp 1 − Qb
ωb ⎝ Q b
ωb ⎝ Q b ⎠
⎠

(1.146)

ω =ω ⋅
2
O

2
b

Q2 − Q2 ⋅ Q2
b
b
p
Q2 − Q2 ⋅ Q2
p
b
p

⎛
1 1 ⎞⎤
1 1
1
1 1
⋅
⋅
+
− 1−
⋅
⎜1 +
⎟⎥ =
2
⎜
⎟⎥
Qb Qp ⎠⎦
Qb Qp
Qp
Qb Qp
⎝

⎛
⎞
Q2 ⋅ Q2
Q2
b
= ω ⋅⎜ 2
− 2 b 2p 2 ⎟
⎜ Qp − Q2 ⋅ Q2
Qp − Qb ⋅ Qp ⎟
b
p
⎝
⎠
2
b

36

⎡
⎤
⎛
⎞
⎡
⎤
⎢
⎥
⎜
⎟
⎢ 1
⎛ 1
⎞⎥
1
1 ⎟
1
1 ⎥
2
2
2
2
−
= ωb ⋅ ⎢
−
= ωb ⋅ ⎢
⋅ ⎜ 2 − 1⎟ ⎥
(1.147) ωO = ωb ⋅ ⎜ 2
⎟⎥
⎢ 2 ⎛ 1
⎥
1
1
⎜ Qp
⎟
⎞
⎢ 1 − 1 ⎜ Qp
2
⎝
⎠
− 1⎟
− 1⎥
Q p ⋅ ⎜ 2 − 1⎟
− Qp
⎢
⎜ 2
⎢ Q2
⎥
Q2
Q2
b
b
⎣ b
⎦
⎢
⎥
⎝ Qb
⎠
⎝ Qb
⎠
⎣
⎦

(1.148)

1
1
1 − 2
− 1
2
Qp
Qp
2
2
2
ωO = ωb ⋅
= ωb ⋅
1
1
− 1
1 − 2
2
Qb
Qb

1
Q2
p
ωO = ωb ⋅
1
1 − 2
Qb
1 −

∴

A equação acima indica que se as perdas no duto igualarem as perdas na caixa, a freqüência de
ressonância da caixa será exatamente igual a Fb.
Fora a condição acima, para existir uma freqüência de fase nula (ressonância), é necessário que os
fatores de qualidade, que representam as perdas no duto e na caixa, sejam ambos maiores que 1 ou ambos
menores que 1.
Podemos também constatar que se as perdas no duto forem maiores que aquelas na caixa ( Q p < Q b ) , a

freqüência de ressonância será menor que Fb, ocorrendo o contrario se ( Q p > Q b ) .

Perdas no Duto, na Caixa e por Vazamento :

(1.149)

Zab =

1
s2
s ⎛ 1
1 ⎞
+
⋅⎜
+
⎟ +1
ω2 ωb ⎜ Q b Q p ⎟
1
b
⎝
⎠
+
R AL
⎡ s2 1
s ⎛
1
ωb ⋅ Map ⋅ ⎢ 2 ⋅
+
⋅ ⎜1 +
⎜
Qb ⋅ Qp
⎢ ωb Q b ωb ⎝
⎣

⎞
1 ⎤
⎟+
⎟ Q ⎥
p ⎥
⎠
⎦

(1.150)
⎡ s2 1
s ⎛
1 ⎞
1 ⎤
ωb ⋅ Map ⋅ ⎢ 2 ⋅
+
⋅ ⎜1 +
⎥
⎟+
⎜
Qb ⋅ Qp ⎟ Qp ⎥
⎢ ωb Q b ωb ⎝
⎠
⎣
⎦
Zab =
ωb ⋅ Map ⎡ s 2 1
s ⎛
1 ⎞
1 ⎤ s2
s ⎛ 1
1 ⎞
⋅⎢ 2 ⋅
+
⋅ ⎜1 +
⋅⎜
+
⎥+ 2 +
⎟+
⎟ +1
⎜
R AL
Q b ⋅ Q p ⎟ Q p ⎥ ωb ωb ⎜ Q b Q p ⎟
⎢ ωb Q b ωb ⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
ωb ⋅ Map
1
=
R AL
QL

(1.151)

;

ωb ⋅ Map =

Caixa com perdas.

α
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms

s2 1
s ⎛
1 ⎞
1
⋅
+
⋅ ⎜1 +
⎟+
2
⎜
⎟ Q
Qb ⋅ Qp ⎠
ωb Q b ωb ⎝
p
2
2
1 ⎡s
1
s ⎛
1 ⎞
1 ⎤ s
s
⋅⎢ 2 ⋅
+
⋅ ⎜1 +
+
+
⎟+
⎜
⎟ Q ⎥ ω2 ω
Q L ⎢ ωb Q b ωb ⎝
Qb ⋅ Qp ⎠
p ⎥
b
b
⎣
⎦

37

⎛ 1
1 ⎞
⋅⎜
+
⎟+1
⎜Q
⎟
⎝ b Qp ⎠

(1.152)

s2 1
s ⎛
1 ⎞
1
⋅
+
⋅ ⎜1 +
⎟+
2
Qb ⋅ Qp ⎟ Qp
ωb Q b ωb ⎜
α
⎝
⎠
Zab =
⋅
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms 1 ⎡ s 2 1
⎤ s2
s ⎛
1 ⎞
1
s
⋅⎢ 2 ⋅
+
⋅ ⎜1 +
⎥+ 2 +
⎟+
Q L ⎢ ωb Q b ωb ⎜
Q b ⋅ Q p ⎟ Q p ⎥ ωb ωb
⎝
⎠
⎣
⎦

⎛ 1
1 ⎞
⋅⎜
+
⎟ +1
⎜Q
Qp ⎟
b
⎝
⎠

(1.153)
s2 1
s ⎛
1 ⎞
1
⋅
+
⋅ ⎜1 +
⎟+
2
⎜
⎟ Qp
ωb Q b ωb ⎝
Qb ⋅ Qp ⎠
α
Zab =
⋅
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s 2
⎞
1
s ⎛ 1
1
1
s2
s ⎛ 1
1 ⎞
⋅
+
⋅⎜
+
+
+ 2 +
⋅⎜
+
⎟
⎟ +1
2
ωb Q b ⋅ Q L ωb ⎜ Q L Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎟ Q L ⋅ Q p ωb ωb ⎜ Q b Q p ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

(1.154)

s2 1
s ⎛
1 ⎞
1
⋅
+
⋅ ⎜1 +
⎟+
2
⎜
⎟ Qp
ωb Q b ωb ⎝
Qb ⋅ Qp ⎠
α
⋅
Zab =
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms s 2 ⎛
⎞
1 ⎞
s ⎛ 1
1
1
1
1
⋅ 1+
⋅⎜
+
+
+
+1
⎟+
⎟+
2 ⎜
ωb ⎝
Q b ⋅ Q L ⎠ ωb ⎜ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎟ Q L ⋅ Q p
⎝
⎠

(1.155) Zab( jω)

2
ωO 1
ω ⎛
1
1 ⎞
− 2⋅
+ j ⋅ O ⋅ ⎜1 +
⎟
Qp
Qb ⋅ Qp ⎟
ωb Q b
ωb ⎜
α
⎝
⎠
=
⋅
2
2
ωb ⋅ Sd ⋅ Cms
⎞
ω ⎛
ωO ⎛ 1
1
1 ⎞
1
1
1
− O ⋅ ⎜1 +
⋅⎜
+
+
+
⎟
⎟ + 1 + j⋅
2
⎜
⎟
QL ⋅ Qp
Qb ⋅ QL ⎠
ωb ⎝
ωb ⎝ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎠

Verificando a condição em que as fases do numerador e do denominador, do polinômio da
impedância são iguais, para determinar a freqüência em que Zab entra em ressonância, temos:

(1.156)

⎛
1
⋅ ⎜1 +
⎜
Qb ⋅ Qp
⎝
ω2 1
1
− O⋅
Qp
ω2 Q b
b

ωO
ωb

1+

(1.157)

1
Qb ⋅ Qp

ω2 1
1
− O⋅
ω2 Q b
Qp
b

=

⎞
⎞
ωO ⎛ 1
1
1
1
⋅⎜
+
+
+
⎟
⎟
⎟
⎜Q
⎟
⎠ = ωb ⎝ b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎠
ω2 ⎛
1
1 ⎞
− O ⋅ ⎜1 +
⎟ +1
2
QL ⋅ Qp
Qb ⋅ QL ⎠
ωb ⎝
1
1
1
1
+
+
+
Qb QL Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp
ω2
1
− O
ω2
QL ⋅ Qp
b

⎛
1 ⎞
⋅ ⎜1 +
⎟ +1
Qb ⋅ QL ⎠
⎝

(1.158)
⎛
⎤
⎛ 1
⎞
ω2 ⎛
ω2 1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞ ⎡ 1
1 ⎞
1
1
1
− O ⋅ ⎜1 +
+ 1⎥ = ⎜
− O⋅
+
+
+
⎜1 +
⎟⋅⎢
⎟⋅⎜
⎟
⎟
2
2
⎜
⎜ Qp
⎟ ⎜
⎟
Qb ⋅ Qp ⎟ ⎣ QL ⋅ Qp
ωb ⎝
Qb ⋅ QL ⎠
ωb Q b ⎠ ⎝ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎠
⎢
⎥
⎝
⎠
⎦
⎝

(1.159)

ω2
1
− O
QL ⋅ Qp
ω2
b

⎛
ω2
1 ⎞
1
1
⋅ ⎜1 +
+1+
− O⋅
⎟
2
2
Qb ⋅ QL ⎠
Qb ⋅ QL ⋅ Qp
ωb Q b ⋅ Q p
⎝

⎛
1 ⎞
1
⋅ ⎜1 +
= ...
⎟+
Qb ⋅ QL ⎠ Qb ⋅ Qp
⎝

⎞
ω2 1 ⎛ 1
1
1
1
1
1
1
1
+
+ 2 +
− O⋅
⋅⎜
+
+
+
⎟
2
2
Qb ⋅ Qp QL ⋅ Qp Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp
ωb Q b ⎜ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎟
⎝
⎠

38

(1.160)
2
2
⎞
⎛
ω2 ⎛
ωO
ωO 1 ⎛ 1
1 ⎞
1
1 ⎞
1
1
1
1
− O ⋅ ⎜1 +
⋅ ⎜1 +
⋅⎜
+
+
+
⎟
⎟ +1− 2 ⋅
⎟ = 2 − 2⋅
2
ωb ⎝
Qb ⋅ QL ⎠
ωb Q b ⋅ Q p ⎝
Qb ⋅ QL ⎠
Qp
ωb Q b ⎜ Q b Q L Q p Q b ⋅ Q L ⋅ Q p ⎟
⎝
⎠
(1.161)

2
ωO
ω2
b

⎡ 1
⋅⎢
⎢ Qb
⎣

(1.162)

2
ωO
ω2
b

⎡ 1
⎤
1
1
1
1
1
1
1
⋅⎢ 2 +
+
+ 2
−1−
−
− 2
⎥ = 2 −1
Qb ⋅ QL Qb ⋅ Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp ⎥
Qp
⎢ Qb Qb ⋅ QL Qb ⋅ Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp
⎣
⎦

(1.163)

ω
ω

⎛ 1
⎞
1
⋅ ⎜ 2 − 1⎟ = 2 − 1
Qp
⎝ Qb
⎠

∴

1
Q2
p
2
= ωb ⋅
1
1 − 2
Qb

1
Q2
p
ωO = ωb ⋅
1
1 − 2
Qb

2
O
2
b

⎛ 1
⎞ ⎛
1
1
1
1
⋅⎜
+
+
+
⎟ − ⎜1 +
⎜Q
⎟
Qb ⋅ QL
⎝ b QL Qp Qb ⋅ QL ⋅ Qp ⎠ ⎝

1 −

(1.164)

2
ωO

ω
ω

2
O
2
b

⎞
1
⎟−
⎠ Qb ⋅ Qp

⎛
1 ⎞⎤
1
⋅ ⎜1 +
⎟⎥ = 2 − 1
Qb ⋅ QL ⎠⎥
Qp
⎝
⎦

1
1
−1
1 − 2
2
Q
Qp
= p
=
1
1
−1
1 − 2
2
Qb
Qb
1 −

∴

A equação acima mostra que as perdas por vazamentos não interferem na freqüência de ressonância
acústica da caixa (o que é perfeitamente admissível), sendo válidas as mesmas considerações feitas para o
caso em que existiam perdas no duto e na caixa.

39

Apêndice 2 – Circuito RLC Paralelo, Com Perdas Indutivas

(1.165)

Z1 = R L + s ⋅ L

(1.167)

Zab =

(1.168)

Zab =

;

1

1
s⋅C

1

=

1
1
+
Z1
Z2

Z2 =

(1.166)

RL

1
+ s⋅C
+ s⋅L

RL + s ⋅ L
RL + s ⋅ L
=
1 + s ⋅ C ⋅ ( R L + s ⋅ L)
1 + s ⋅ R L ⋅ C + s2 ⋅ L ⋅ C
Circuito RLC com
perdas no ramo
indutivo.

RL + s ⋅ L
s ⋅ L ⋅C + s ⋅ RL ⋅C + 1

(1.169)

Zab =

(1.170)

Zab( jω) =

(1.171)

ωO ⋅ L
ωO ⋅ R L ⋅ C
=
2
RL
1 − ωO ⋅ L ⋅ C

∴

R2 ⋅C
L
L

∴

2

R L + j ⋅ ω⋅ L
R L + j ⋅ ω⋅ L
=
2
− ω ⋅ L ⋅ C + j ⋅ ω⋅ R L ⋅ C + 1
1 − ω ⋅ L ⋅ C + j ⋅ ω⋅ R L ⋅ C
2

(1.172)

2
1 − ωO ⋅ L ⋅ C =

(1.173)

2
2
2
ωO = ωR − ωR ⋅

R2 ⋅C
L
L

(1.174)

ωO = ωR ⋅ 1 −

R2 ⋅C
L
L

L
RL ⋅C
=
2
RL
1 − ωO ⋅ L ⋅ C
2
ωO ⋅ L ⋅ C = 1 −

2
2
L ⋅ (1 − ωO ⋅ L ⋅ C ) = R L ⋅ C

∴

R2 ⋅C
L
L

∴

2
ωO =

R2 ⋅C
1
L
−
L⋅C
L⋅L⋅C

R2 ⋅C ⎞
2
2 ⎛
ωO = ωR ⋅ ⎜1 − L ⎟
L ⎠
⎝

∴

Para existir ressonância,

R2 ⋅C
L
≤ 1
L

Se R 2 ⋅ C = L a ressonância ocorrerá em uma freqüência igual a zero, ou seja, em corrente continua.
L
Como

RL
RL ⋅C
1
=
=
QL
ωR ⋅ L
ωR ⋅ L ⋅ C

= ωR ⋅ R L ⋅ C , temos :

(1.175)
ωO = ωR ⋅ 1 −

(1.176)

R2 ⋅C
R 2 ⋅ C2
2
2
2
L
= ωR ⋅ 1 − L
= ωR ⋅ 1 − ωR ⋅ R L ⋅ C2 = ωR ⋅ 1 − ( ωR ⋅ R L ⋅ C )
L
L⋅C

ωO = ωR ⋅ 1 −

Para existir ressonância, 1 −

1
Q2
L

1
≥ 0
Q2
L

∴

1 ≥

1
Q2
L

∴

Q2 ≥ 1
L

Se Q L = 1 a ressonância ocorrerá em uma freqüência igual a zero, ou seja, em corrente continua.
40

Apêndice 3 – Circuito RLC Paralelo, Com Perdas Indutivas e Capacitivas

(1.177)

Z1 = R L + s ⋅ L

(1.178)

Z2 = R C +

(1.179)

Zab =

1
1
1
+
Z1
Z2

1

=

1
s⋅C
+
+ s⋅L
s ⋅ RC ⋅ C + 1

RL

( R L + s ⋅ L ) ⋅ ( s ⋅ R C ⋅ C + 1)
RL + s ⋅ L
=
Zab =
s ⋅ C ⋅ (R L + s ⋅ L)
s ⋅ RC ⋅ C + 1 + s ⋅ C ⋅ (R L + s ⋅ L)
1+
s ⋅ RC ⋅ C + 1

(1.180)

(1.181)

s ⋅ RC ⋅ C + 1
1
=
s⋅C
s⋅C

Circuito RLC com
perdas indutivas e
capacitivas.

s2 ⋅ R C ⋅ L ⋅ C + s ⋅ ( R C ⋅ R L ⋅ C + L ) + R L
s ⋅ R C ⋅ R L ⋅ C + R L + s2 ⋅ R C ⋅ L ⋅ C + s ⋅ L
Zab =
=
s ⋅ R C ⋅ C + 1 + s ⋅ C ⋅ R L + s2 ⋅ L ⋅ C
s2 ⋅ L ⋅ C + s ⋅ C ⋅ ( R C + R L ) + 1

(1.182)

Zab( jω) =

R L − ω2 ⋅ R C ⋅ L ⋅ C + j ⋅ ω⋅ ( R C ⋅ R L ⋅ C + L )
1 − ω2 ⋅ L ⋅ C + j ⋅ ω⋅ C ⋅ ( R C + R L )

(1.183)

ωO ⋅ ( R C ⋅ R L ⋅ C + L )
=
2
R L − ωO ⋅ R C ⋅ L ⋅ C

(1.184)

(RC ⋅ RL ⋅ C

(1.185)

2
2
2
ωO ⋅ R C ⋅ L ⋅ C2 − ωO ⋅ L2 ⋅ C = R C ⋅ R L ⋅ C + R 2 ⋅ C − R C ⋅ R L ⋅ C − L
L

(1.186)

2
2
2
ωO ⋅ L ⋅ C ⋅ ( R C ⋅ C − L ) = R L ⋅ C − L

(1.187)

2
ωO =

(1.188)

ωO ⋅ C ⋅ ( R C + R L )
( RC ⋅ R L ⋅ C + L) =
∴
2
2
1 − ωO ⋅ L ⋅ C
R L − ωO ⋅ R C ⋅ L ⋅ C

2
2
+ L ) ⋅ (1 − ωO ⋅ L ⋅ C ) = C ⋅ ( R C + R L ) ⋅ ( R L − ωO ⋅ R C ⋅ L ⋅ C )

2
R2 ⋅C − L
2 R ⋅C − L
L
= ωR L2
2
RC ⋅C − L
L ⋅ C (R C ⋅ C − L)

ωO = ωR ⋅

R ⋅C − L
= ωR ⋅
R ⋅C − L

ωO = ωR ⋅

( ωR ⋅ R L ⋅ C )
2
( ωR ⋅ R C ⋅ C )

2
L
2
C

2

(1.189)

C ⋅(RC + RL )
2
1 − ωO ⋅ L ⋅ C

pois

R2 ⋅C
L
− 1
L
= ωR ⋅
2
RC ⋅ C
− 1
L

1
= ω2
R
L⋅C
R 2 ⋅ C2
L
− 1
L⋅C
= ωR ⋅
2
R C ⋅ C2
− 1
L⋅C

ω2 ⋅ R 2 ⋅ C2 − 1
R
L
2
2
ωR ⋅ R C ⋅ C2 − 1

− 1
− 1

Para existir a ressonância é necessário que o radical seja positivo.
Isso poderá ocorrer em duas situações: a) numerador e denominador ambos positivos; b) numerador e
denominador ambos negativos, ou seja:
( ωR ⋅ R L ⋅ C > 1 e ωR ⋅ R C ⋅ C > 1) ou ( ωR ⋅ R L ⋅ C < 1 e ωR ⋅ R C ⋅ C < 1) .
41

⎛
1 ⎞
Se ⎜ R L = R C =
⎟ a freqüência de ressonância será indeterminada, podendo assumir qualquer valor.
ωR ⋅ C ⎠
⎝

Como Q L =

ωR ⋅ L
ω ⋅L⋅C
= R
RL
RL ⋅C

=

( ωR ⋅ R L ⋅ C )
2
( ωR ⋅ R C ⋅ C )
2

(1.190)

ωO = ωR ⋅

1
ωR ⋅ R L ⋅ C

− 1
− 1

= ωR ⋅

e

1
= ωR ⋅ R C ⋅ C
QC

1
1
1 − 2
− 1
2
QL
QL
= ωR ⋅
1
1
− 1
1 − 2
2
QC
QC

Para existir a ressonância é necessário que o radical seja positivo.
Isso poderá ocorrer para duas situações: a) numerador e denominador ambos positivos ; b) numerador e
denominador ambos negativos, ou seja: ( Q L > 1 e QC > 1) ou ( Q L < 1 e QC < 1) .
Se Q L = Q C = 1 a freqüência de ressonância será indeterminada, podendo assumir qualquer valor.
Fica claro, também, que apenas diante da inexistência de perdas em ambos os ramos, ou seja,
( QL = QC = ∞ ) é que teremos ωO = ωR , onde ωR é a freqüência angular de ressonância, sem perdas, e
ωO o equivalente, com perdas.

A equipe SELENIUM, da esquerda para a direita: Homero, Guilherme, Rodrigo, Renan e Marcio.

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