Persamaan differensial biasa beserta pengaplikasiannya

1. Makalah
Persamaan differensial biasa beserta
pengaplikasiannya
(Persamaan Differensial)
Dosen Pembimbing :
Dr. Rahmah Johar,S.Pd.,M.Pd
Oleh:
 Nur Dewi 1206103020002
 Lidya Marissa 1206103020033
 Naziela Rizkina Balqis 1206103020037
 Badratun Nafis 1206103020080
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS SYIAH KUALA
TAHUN AJARAN 2014

2. i
Kata Pengantar
Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, kami
panjatkan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya
kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah Persamaan Diferensial tentang ”
Pengertian Persamaan Diferensial Biasa (PDB), Penerapan (aplikasi) Persamaan diferensial
biasa (PDB) dalam kehidupan sehari – hari dan software yang dapat menyelesaikan
persoalan Persamaan Diferensial Biasa (PDB)”.
Adapun makalah Persamaan Diferensial ini telah kami usahakan semaksimal mungkin
dan tentunya dengan bantuan berbagai pihak, sehingga dapat memperlancar pembuatan
makalah ini. Untuk itu kami tidak lupa menyampaikan bayak terima kasih kepada semua
pihak yang telah membantu kami dalam pembuatan makalah ini.
Namun tidak lepas dari semua itu, kami menyadar sepenuhnya bahwa ada
kekurangan baik dari segi penyusunan bahasanya maupun segi lainnya. Oleh karena itu kami
berharap kepada pembaca agar sekiranya bisa memberi saran dan kritik kepada kami
sehingga kami dapat memperbaiki makalah ini. Akhirnya penulis mengharapkan semoga dari
makalah ini dapat diambil hikmah dan manfaatnya sehingga dapat memberikan
pengetahuan terhadap pembaca.
Banda Aceh, Mei 2014
Penulis,

3. ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR................................................................................................... i
DAFTAR ISI .............................................................................................................. ii
BAB I : PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang..................... ....................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah....................................................................................... 1
1.3 Tujuan.......................................................................................................... 1
BAB II : PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Diferensial................................................................................. 2
2.2 Persamaan Diferensial Biasa( PDB)............................................................ 2
2.3 Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa (PDB) .................................. 3
2.4 Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) .............................................. 7
2.5 Software yang dapat menyelesaikan Persamaan Diferensial .................... 10
BAB III : PENUTUP
3.1 Kesimpulan.................................................................................................. 13
3.2 Saran............................................................................................................ 13
DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................... 14

4. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel
atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai
orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu
ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam
berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan
besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju
perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan.
Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang
digunakan bervariasi sesuai jenis persamaam yaitu : Persamaan diferensial biasa (PDB)
dan Persamaan diferensial parsial (PDP). Baik persamaan diferensial biasa maupun
parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial
disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat
satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut
adalah nonlinier.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah agar penguraian makalah lebih terarah dan
terfokus maka rumusan masalahnya adalah :
 Pengertian Persamaan diferensial biasa (PDB)
 Penerapan (aplikasi) Persamaan diferensial biasa (PDB) dalam kehidupan sehari -
hari.
 Software yang dapat menyelesaikan persoalan Persamaan diferensial biasa (PDB).
1.3 Tujuan
Penulisan makalah ini bertujuan untuk lebih memahami tentang “Persamaan
Differensial Biasa” serta aplikasinya dalam kehidupan sehari – hari. Diharapkan dengan
makalah ini dapat menambah wawasan para mahasiswa Pendidikan Matematika
Universitas Syhiah Kuala dalam mengikuti mata kuliah persamaan differensial.

5. 2
BAB II
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel
atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai
orde.
Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang
digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah
persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi
dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui
ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi
vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan
berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam
persamaan tersebut.
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi
yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut
juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan
diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan
parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting.
Beberapa pesamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori
tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran.
Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier
atau nonlinier. Sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak
diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan). Bila
tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.
2.2 Persamaan Diferensial Biasa( PDB)

6. 3
Persamaan diferensial biasa (PDB) -Ordinary Differential Equations (ODE).adalah
persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi
dari variabel bebas tunggal.Peubah bebas biasanya disimbolkan dengan x.Dalam bentuk
paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks,
namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi,
persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan
terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut dan turunannya
merupakan turunan biasa.
2.3 Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: ),( yxf
dx
dy

atau dalam bentuk : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
1. Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung
Jika PDB dapat disusun dalam bentuk )(xf
dx
dy
 , maka persamaan tersebut dapat
diselesaikan dengan integrasi sederhana.
2. Penyelesaian PDB orde satu dengan pemisahan variabel
Jika persamaan diferensial berbentuk ),( yxf
dx
dy
 , yaitu persamaan yang ruas
kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y,
maka penyelesaian PD dengan cara memisahkan variabelnya sehingga faktor’y’ bisa
kita kumpulkan dengan ‘dy’ dan faktor’x’ dengan ‘dx’.
3. Persamaan Homogen substitusi y = vx
4. Persamaan Linier dalam bentuk QPy
dx
dy

Untuk PD yang berbentuk QPy
dx
dy
 dengan P dan Q fungsi x atau konstanta maka
penyelesaian PD dengan mengalikan kedua ruas dengan faktor integrasi Pdx
e
5. Persamaan Bernoulli berbentuk n
QyPy
dx
dy


7. 4
PD yang berbentuk n
QyPy
dx
dy
 dengan P dan Q fungsi x atau konstanta
diselesaikan dengan cara :
QPy
dx
dy
y nn
  1
Kedua, misalkanlah Z = y1-nsehingga
   
dx
dy
yn
dx
dz
dx
yd
dx
dz n
n


 1
1
supaya suku pertama didapat
dx
dz
maka persamaan pertama dikalikan (1-n) didapat:
     
)(.
111
11
1
LinearPDQZP
dx
dz
Qnpyn
dx
dy
yn nn

 
dengan P1 dan Q1 fungsi x atau konstanta. Persamaan terakhir dapat diselesaikan
dengan faktor integrasi. Setelah diperoleh penyelesaian untuk z, dengn substitusi z =
y1-n kita dapatkan y.
6. Persamaan Diferensial Eksak
PDB dalam bentuk :
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Dikatakan eksak jika terdapat fungsi Q(x,y), sedemikian sehingga  yxM
y
Q
,


dan
 yxM
y
Q
,


, dengan mengingat diferensial total dari fungsi Q(x,y), maka
disimpulkan bahwa persamaan M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 eksak jika hanya jika :
x
N
y
M





Langkah – langkah untuk menyelesaikan PD Eksak adalah sebagai berikut:
Langkah 1. Tuliskan PD dalam bentuk diferensial :
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Langkah 2. Uji ke-eksak-an PD:
x
N
y
M





Langkah 3. Jika eksak, integralkan M terhadap x atau N terhadap y. misalkan dipilih

8. 5
M, maka:      ygdxyxMyxN   ,,
Langkah 4. turunkan Q terhadap y dan semakan hasilnya dengan N(x,y)
      ygdxyxM
y
yxN ',,  

Langkah 5. Integralkan g’(y) untuk memperoleh g(y)
Langkah 6. Tuliskan penyelesaikan umum dalam bentuk implisit: Q(x,y) = c
Langkah 7. Tentukan C jika diberikan kondisi awal tertentu.
7. Persamaan Diferensial Tak-Eksak
Jika suatu PD orde satu berbentuk :
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Mempunyai sifat :
x
N
y
M





Maka PD tersebut disebut PD tak-eksak, suatu PD tak-eksak dapat diubah ke PD
Eksak dengan mengalikan persamaan dengan suatu faktor yang tepat, yang disebut
faktor pengintegralan (integrating factor).Pada bagian sebelumnya, kita mengenal
faktor integral:  
 
dxxp
ex untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear
order satu dalam bentuk:
 xQyxP
dx
dy
 )(
Faktor integral  
 
dxxp
ex akan membawa persamaan diferensial linier order satu
berbentuk  xQyxP
dx
dy
 )( menjadi PD eksak. Secara umum suatu faktor integral
adalah faktor μ(x, y) dapat mengubah persamaan diferensial tidak eksak menjadi
persamaan diferensial eksak.
8. Menentukan Faktor Itegrasi
Jika M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 PD tak-eksak dan µ(x,y) faktor integrasi, maka
µ(x,y)M(x,y)dx + µ(x,y)N(x,y)dy = 0 adalah PD Eksak, sehingga
x
N
y
M




 atau

9. 6























x
N
y
M
N
x
M
y
M
y
N
xx
N
y
M
x
N
N
xy
M
M
y




























Ada beberapa kasus, yaitu:
(1) Faktor integrasi hanya fungsi x saja atau µ(x,y) = µ(x) maka;
dx
N
x
N
y
M
e
dx
N
x
N
y
M
dx
N
x
N
y
M
x
N
x
N
y
M
x
N
y
M
N
x







































































ln
1
0
Jadi jika
N
x
N
y
M











menghasilkan fungsi x saja maka µ(x,y) = µ(x).
(2) Faktor integrasi hanya fungsi y saja atau µ(x,y) = µ(y) maka:
dy
M
x
N
y
M
e














Jadi Jika dy
M
x
N
y
M











menghasilkan fungsi y saja, maka µ = µ(y)
(3) Jika
xMyN
x
N
y
M






menghasilkan fungsi xy, maka µ = µ(y)

10. 7
(4) Jika
MN
x
N
y
M






menghasilkan fungsi (x + y) maka µ = µ(x + y)
(5) Jika
xMyN
x
N
y
M






menghasilkan fungsi (x - y) maka µ = µ(x - y)
(6) Jika
yMxN
x
N
y
M
22 





menghasilkan fungsi (x2 + y2), maka µ =µ(X2 + y2)
Kesimpulan : faktor integral ditentukan dengan menghitung
x
N
y
M





kemudian
membaginya sehingga diperoleh fungsi yang mandiri.
2.4 Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
1. Aplikasi Persamaan Diferensial Pada Hukum Pendinginan Newton
Andaikan t adalah waktu t setelah benda mulai mendingin. Jika T(t) adalah
suhu benda pada saat t , Tm suhu medium yang mengelilinginya, dT/dt laju perubahan
suhu pada saat t , dan k faktor pendingin maka: dT/dt = k(T-Tm)
dT/(T-Tm)=kdt
int [dT/(T-Tm)]= Int k dt
1n (T-Tm)=kt + C1
T-Tm=e^(kt-C1)=(e^kt)(e^C1)=C jadi penyelesaian persamaan diferensial dari hukum
pendinginan Newton adalah: T=Tm+Ce^kt
Contoh:
jika suatu benda berada di udara bersuhu 36* dan benda mendingin dari 100*
dalam waktu 10 menit manjadi 68*, berapakah suhu benda setelah 30 menit?
Jawab:

11. 8
andaikan t adalah waktu dalam menit setelah suhu benda mulai turun. maka suhu
benda setelah 30 menit adalah:
T=Tm-Ce^kt
diketahui: Tm=36* t=0----------->T(0)=100* C=64,
sehingga: T=36+64e^kt karena pada saat t=10----------- >T(10)=68*
maka: 68=36+64e^10k e^10k=0,5 k=0,1(1n(0,5))=(-0,0693)
jadi, T=36+64e^(-0,0693t)
t=30 => T=36+64(0,125)
T=44
2. Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa pada Ilmu Biologi untuk Menghitung Jumlah
Bakteri
Jika y fungsi bernilai positif dalam t, dan k suatu konstanta persamaan
differensial dy/dt=ky ….(1)
menyatakan bahwa laju perubahan y sebanding dengan besarnya y pada sebarang
waktu t.
Persamaan (1) adalah persamaan differensial terpisahkan dan dapat ditulis :
∫dy/y= ∫k dt
Ln y = kt + c
y=e^(kt+c)
y= e^kt e^c atau y= 〖Ae〗^kt ..…(2)
Dimana A=e^c konstanta sebarang. Nilai konstanta k dalam persamaan (2) tergantung
pada sifat masalah. Jika k bernilai positif maka persamaan (2) disebut hikum
pertumbuhan eksponensial. Jika k bernilai negative maka persamaan (2) disebut
hukum peluruhan eksponensial.
Soal :

12. 9
a. Jumlah bakteri dalam suatu kultur adalah 10.000, setelah dua jam menjadi 40.000.
di bawah persyaratan perkembangan yang ideal, menjadi berapa jumlah bakteri
setelah lima jam?
Jawab:
Di bawah persyaratan yang menguntungkan laju perkembangan bakteri dalam suatu
kultur sebanding dengan jumlah bakteri pada saat itu. Jika y banyaknya bakteri dalam
kultur pada waktu t maka laju perkembangannya adalah: dy/dt=ky ………………(1)
Dengan k factor pembanding, dengan mengintegralkan persamaan (1)
dy/y=k dt
∫1/y dy= ∫k dt
ln y = kt + C ………………………………(2)
pada saat awal t = 0 jumlah bakteri 10.000 (y = 10.000) sehingga dengan memasukkan
nilai tersebut ke persamaan (2);
ln 10.000 = k(0) + C
memasukkan C ke persamaan (2) menjadi:
ln y = kt + ln 10.000
untuk t = 2 jam y = 40.000
ln y 40.000 = 2k + ln 10.000
k = 1/2 [ln 40.000 – ln 10.000]
= 1/2 [ ln⁡40.000/ln⁡10.000 ] = 1/2 ln 4 = ln 4^(1/2)
= ln √4 = ln 2
Memasukkan k ke persamaan (2) menjadi:
ln y = t ln 2 + ln 10.000
untuk t = 5 jam y = ….?
ln y = 5 ln 2 + ln 10.000

13. 10
ln y = ln 25 (10.000)
y = 320.000
jadi setelah lima jam jumlah bakteri menjadi 320.000
2.5 Software yang dapat menyelesaikan Persamaan Diferensial
1. Mapel
2. wxMaxima,
3. Autograph
4. Geogrebra
5. MATLAB
Persamaan differensial sulit untuk diselesaikan. Namun, matlab merupakan suatu
alat canggih untuk menyelesaikaan persamaan differensial. Alat tersebut adalah suatu
fungsi yang benama dsolve, sintaks yang digunakan oleh dsolve harus dalam bentuk
string. Untuk lebih jelasnya misalkan diberikan suatu persamaan differensial orde
pertama sebagai berikut:
Contoh 1:
Kepada anda diberikan sebuah persamaan diferensial berikut : dy/dt=-ay. Maka
solusinya dapat dicari dengan menggunakan matlab sbb:
>> y = dsolve('Dy = -a*y')

14. 11
Contoh 2:
Dari persamaan diatas dy/dt=-a*y, dengan menggunakan parameter 1)0(=y
Solusi khususnya dapat dicari dengan matlab sbb:
>> y = dsolve('Dy = -a*y','y(0) = 1')
Contoh 3:
Diberikan persamaan berikut: d2y/dt2 - 2dy/dt - 3y = 0
solusi umumnya dapat diperoleh dengan menggunakan matlab sebagai berikut:
>> y=dsolve(‘D2y-2*Dy-3*y=0’)

15. 12
dengan menerapkan kondisi awal y(0)=0 dan y(1)=1 menghasilkan:
>> y=dsolve(‘D2y-2*Dy-3*y=0’, ’y(0)=0’, ‘y(1)=1’ )

16. 13
BAB III
PENUTUP
1. Kesimpulan
Persamaan differensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu
ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Teori persamaan differensial sudah cukup
berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan
differensial terbagi menjadi dua yaitu persamaan differensial biasa dan persamaan
differensial parsial. Persamaan differensial biasa (PDB) adalah persamaan differensial di
mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas
tunggal. Persamaan differensial parsial (PDP) adalah persamaan differensial di mana
fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan
tersebut juga melibatkan turunan parsial.
Didalam persamaan differensial biasa, dipelajari tentang konsep persamaan
differensial linear dan Persamaan differensial linear orde satu. Persamaan differensial
linear adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu yaitu turunan dengan
satu peubah bebas. Sedangkan Persamaan differensial linear orde satu adalah persamaan
yang mengandung turunan tingkat satu dimana turunan tertinggi yang terdapat dalam
persamaan tersebut adalah satu.
2. Saran
Sebaiknya kita harus memahami dan mengerti tentang persamaan diferensial
baik dari bentuk umumnya sampai pada penyelesaiannya. Karena dengan menguasai
persamaan differensial, kita akan lebih mudah menyelesaikan permasalahan dalam
persamaan differensial biasa. Selain itu, kita juga harus paham tentang teknik – teknik
turunan maupun teknik pengintegralan yang pernah dipelajari pada mata kuliah kalkulus
sebelumnya. Hal ini agar dapat mempermudah dalam menyelesaikan soal – soal
persamaan differensial biasa, karena dalam persamaan differensial sangat berkaitan
dengan turunan dan integral.

17. 14
Daftar pustaka PD
http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasa
http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Buku/Metode%20Numerik/BAb-
%2008%20Solusi%20Persamaan%20Diferensial%20Biasa.pdf
http://zakylubismy.blogspot.com/2011/11/aplikasi -persamaan-diferensial-pada.html,
http://share.its.ac.id/mod/page/view.php?id=1738
http://abrari.wordpress.com/2009/12/17/wxmaxima -software-matematika-handal/
http://sriendang90.wordpress.com/2012/12/25/aplikasi -maple-pada-matematika/
http://matic-ducati.blogspot.com/2012/03/software-matematika-precalculus.html
Benni A. Pribadi, Ph.D. 2009. Model Desain Sistem Pembelajaran. Jakarta: Dian Rakyat
Gagne, R.Mdkk. (2005). Principles of Instructional Design. Newyork: Wadsworth Publishing Co.
Sahid, MSc. 2003. Penggunaan MAPLE untuk pembelajaran Aljabar. Universitas Negeri Yogyakarta
:Journal “Lab Komputer Jurdik Matematika FMIPA UNY
http://heriantisamsu.blogspot.com/2011/10/kegunaan-maple.html 08.00 / 03-10-2012
http://blog.student.uny.ac.id/intandz/2011/02/23/matlab/ 08.00 / 02-10-2012
http://id.scribd.com/doc/96716054/Tugas-Aplikasi-Sistem-Persamaan-Linear-dengan-Matlab/ 09.00
/02 -10-2012
http://syahwilalwi.blogspot.com/2011/04/solusi-persamaan-linear-dengan-linprog.html 07.30 – 03-
10-2012
http://leoriset.blogspot.com/2009/01/matematika-dalam-kehidupan-nyata.html
http://www.dewinuryanti.com/arsip/fungsi-software-maple-dalam-pembelajaran-matematika.html
http://norrizal96.blogspot.com/2010/10/fungsi-matematika-pada-kehidupan-sehari.html