地球惑星科学連合大会2018年（5月23日） S-CG65「地震動・地殻変動・津波データの即時把握・即時解析・即時予測」 SCG65-10 で使ったスライドを公開用に一部削除，修正したものです． Variance reductionのレビューも含みます．

1. Multi-index法を用いた
リアルタイム波形比較手法の検討
近貞（山本）直孝（防災科研）
地球惑星科学連合大会2018年（5月23日）
S-CG65「地震動・地殻変動・津波データの即時把握・即時解析・即時予測」
An importance of use of multiple indices
for real-time waveform comparison
Naotaka YAMAMOTO CHIKASADA (NIED)
SCG65-10

2. 津波遡上即時予測 Yamamoto et al., GRL, 2016
1. 観測される海底水圧データのみを用いる
• 震源等の他の情報を用いること無く、観測される海底水圧データのみを用いて津波即時予測を行
うことで震源情報に左右されない
2. 波源情報に立ち戻らない（順解析）
• インバージョン（逆解析）などを用いず海底水圧観測データから津波即時予測を行うことで解の
不定性に左右されない
3. データベース検索型
• 津波伝播計算結果を予めデータベースに登録しておくことで広範囲・高分解能な津波即時予測を
実現する
アルゴリズムの要点
• 位相のズレをリアルタイムに補正することは困難なので、補正が必要ない手法とす
る
• 時刻０（地震・津波発生時刻）を必要としないこと
• 絶対値のピークホールドを用いる
• 予測の不確実性を同時に表現するため、最適解を１つ見つけるのではなく、解の集
合を求める
• 複数の指標を同時に満たす解集合を答えとする
• 発生した津波の規模に依存しないしきい値を設定可能とする
• M7のときもM9のときも同じしきい値が設定可能とする
• 規格化された指標を用いる
• 大きく乖離した規模の津波同士も比較可能とする
• ゼロ割りの無い指標を用いる 2

3. N次元ベクトルの比較（幾何平均）
• しきい値が「津波浸水想定の
設定の手引き」で定義されて
いる相田(1977)の幾何平均Kと
幾何標準偏差κの流用を試み
る
• もともと浸水高（遡上高）を
比較するための指標なのでそ
のまま利用できるものではな
いことに注意
• 0.95<K<1.05, κ<1.45
• 最後の詰めの評価に使う指標
のため、片側が０であるよう
な場合を想定していない
• ０の対数は存在しないため利
用が困難
• 観測水圧と計算水圧の比（O
(ri,t)/C (ri,t)）の
幾何平均（Ss）及び
幾何標準偏差（ss）
3
山本・他、SSJ、2014
log 𝑆 𝑡 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
log
𝑂 𝒓𝑖, 𝑡
𝐶 𝒓𝑖, 𝑡
log 𝑠 𝑡 =
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
log
𝑂 𝒓𝑖, 𝑡
𝐶 𝒓𝑖, 𝑡
2
−𝑛 log 𝑆 𝑡
2

4. N次元ベクトルの比較（残差）
• 残差二乗和、RMSE等の全体の残差を表す量は、最適解（最小
値）を探索するためには使えるが、あるしきい値を満たす複数
の解を求めるには適さない
• マグニチュード毎にしきい値を決める等の検討が必要
4
震源の自動決定で用いられている指標を参考にする

5. 規格化した残差
• F-net
• http://www.fnet.bosai.go.jp/event/dreger.php
• ここでは，解が信頼できる精度で求まったと予想される地震についてのみ表
示しています。 基準はマグニチュードが3.5以上であり，かつ，品質
(Variance Reduction)が50%以上のものです。
• 品質とは，インバージョンの際のVariance Reductionのことで最大100%です
が，80%以上であるとかなり良く， 50%程度でまあまあうまく決まってい
ますが，20%以下の解はあまり信用できません。 Variance Reductionは，観
測波形と解析結果から予想される計算波形の一致の度合を示します。 観測
波形と計算波形の2乗残差を観測波形振幅で正規化した量です。
• 福山・他（1998）
• 50%以上であれば解は信頼できるとしている
• 「VRが50%以上であれば,相互相関も0.7以上であり」とあるが，これは自明
（後述）
• 正確には，R>=0.75
• Kubo et al. (2002)
• 残差二乗を観測波形の二乗で割った後に合計している．
• AQUA
• http://www.hinet.bosai.go.jp/AQUA/aqua_term.phpの【品質（Variance
Reduction)】
• 観測波形と解析結果から予想される計算波形の一致の度合を示す。(単
位：%)。
• 観測波形と計算波形の2乗残差を観測波形振幅で正規化し，その値を1から引
いた量。 最大100%であるが，80%以上であるとかなり良く，50%程度であ
れば妥当な解と言える。 20%以下の解は信用できない。AQUAシステムでは
50%以上の品質が得られた解析結果を公開している。
• 松村・他（2006）
5
Kubo et al. (2002)
松村・他（2006）

6. 様々なVariance reduction
• Ktenidou et al., 2011
• スペクトル解析でのVariance reduction
とS/N
• 著者毎にV.R.の定義が異なると指摘して
いる
• Chi et al., 2001
• 1999 Taiwan (Chi-Chi) 地震のインバー
ジョンで，98%がベスト．
• Scherbaum et al., 2004
• 重み付きの式で記述されているが，重み
が1の場合は自然な式
• Cotton and Campillo, 1995
• Cohee and Beroza, 1994
• 1992 Landers Earthquake
6

7. 様々なVariance reduction
• Fujii & Satake (2007)
• 2004 Sumatra–Andaman
• Bestで 0.321
• 齊藤・他（2014, JpGU）
• 2011東北地方太平洋沖地震
• 最小で 0.49-0.53 でもOKとし
ている
• Tanioka et al. (1995, GRL)
• 1993 Hokkaido Nansei-oki
• 0.81でbest fit
• Hirata et al. (2003, EPSL)
• January 28, 2000 Mw 6.8 earthquake
off Nemuro Peninsula
• 0.75以上（0.7589がベスト）
7
Fujii and Satake (2007)
齊藤・他（2014, JpGU）

8. 様々なVariance reduction
• 藤・他，2013，海洋レーダを用いた海況間シ
ステムの開発と応用
• 海洋レーダを利用した津波波源逆推定に対す
る影響要因の検討
• http://le-web.riam.kyushu-u.ac.jp/~le-
all/meeting/hf-radar/2013/slides/fuji.pdf
• 谷岡・他，2011，根室沖等の地震に関する調
査研究
• http://www.jishin.go.jp/main/chousakenkyu
u/nemuro_juten/h22/h22_nemuro.pdf
• 鳥取県西部地震の震源分布と発震機構解，及
びモーメントテンソル解
• http://cais.gsi.go.jp/KAIHOU/report/kaihou6
5/08-13.pdf
• 地震予知連絡会会報，小原・他，Vol. 65,
pp.579-585, 2001
• 第６図a)に非常に精度良く求まった解
(Variance Reduction 80%)の P 軸の方位分布
を示す。
8
VR≧70%で◯
Best fault modelでVR=0.62

9. 様々なVariance reduction
• 震央位置を利用したインバージョン手法によるリアルタイム津
波予測
• 辰巳・富田，2008，港湾空港技術研究所報告
• http://www.pari.go.jp/search-pdf/vol047-no03-03.pdf
• 各観測点で時間方向に和を取っているため位相のズレの影響を強く受けていて
数値が悪い．
• 即時予測の指標としては用いていない
• GRiD MT (Tsuruoka et al., 2009)
• VR=(1-res)/ΣO2, res=ΣO2-ΣC2?
• VRの条件は65%にしている．ただし，26.4%のfalse detectionsがある．
9

10. 様々なVariance reduction
• 津波警報・注意報のためのCMT解
析
• 第7回津波予測技術に関する勉強会
資料５
• http://www.data.jma.go.jp/svd/e
qev/data/study-
panel/tsunami/benkyokai7/siryou
5.pdf
• 解の自動評価をGOOD，参考，BADの
３段階に分類する
• BADにする基準のうち１つが，「観測
波形と理論波形の合致度（VR：
Variance Reduction）について，全成
分のVRの平均値が５０未満」
• 残差の改善率（Variance
reduction）
• 唯一の日本語訳？
• 気象庁技術報告第133号2012年よ
り
• http://www.jma.go.jp/jma/kishou/b
ooks/gizyutu/133/CHAPTER1.pdf
10
第7回津波予測技術に関
する勉強会 資料５ ７ペ
ージ

11. 1944東南海地震津波のインバージョン
• Satake (1993)
• 1946 Nannkai 0.45, 1944 Tonankai 0.41
• Tanioka & Satake (2001)
• 1944 Tonankaiを改良して0.68
• Baba & Cummins (2005)
• さらに改良して 0.71
11Baba (2005)Tanioka (2001)Satake (1993)
解の精度向上＝VRの向上としているが，
VRの式が不詳

12. 12
定義が一意という訳でもなさそうなので，，，計算波形のL2ノルムでも規格
化して，観測波形で規格化したVariance reduction VROと2次元でプロット
相関係数Rが0未満の領
域が空白
（波高が負の値を持つ
場合は，Rが-1未満の
領域が空白になる）
Rが1より
も大きい
領域のた
め空白
何か関係がありそう？
𝑉𝑅𝑂 𝑡 = 1 −
𝑗=1
𝐽
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡 − 𝐶 𝒓𝑗, 𝑡
2
𝑗=1
𝐽
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡
𝑉𝑅𝐶𝑡=1−
𝑗=1
𝐽
𝑂𝒓𝑗,𝑡−𝐶𝒓𝑗,𝑡
2
𝑗=1
𝐽
𝐶𝒓𝑗,𝑡
相関係数 𝑅 𝑡 =
𝑗=1
𝐽
𝑂 𝒓 𝑗,𝑡 𝐶 𝒓 𝑗,𝑡 𝑑𝑡
𝑗=1
𝐽
𝑂 𝒓 𝑗,𝑡
2
𝑂 𝒓 𝑗,𝑡
2
任意のJ次元ベクトルのVROとVRCを
プロットすると上記のように一定
領域内に分布する。

13. 𝑉𝑅𝑂 𝑡 = 1 −
𝑗=1
𝐽
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡 − 𝐶 𝒓𝑗, 𝑡
2
𝑗=1
𝐽
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡
2 = −𝛼2
𝑡 + 2𝑅 𝑡 𝛼 𝑡
𝑉𝑅𝐶 𝑡 = 1 −
𝑗=1
𝐽
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡 − 𝐶 𝒓𝑗, 𝑡
2
𝑗=1
𝐽
𝐶 𝒓𝑗, 𝑡
2 = −
1
𝛼2 𝑡
+ 2
𝑅 𝑡
𝛼 𝑡
２種類のVariance Reduction
観測波形O(ri,t)と計算波形C(ri,t)の二乗和の比の平方根を
α(t)とすると，２種類のVariance Reductionは以下のよ
うに変形される．
13
VRO は過大評価に感度があり，
VRC は過小評価に感度がある
観測波形で規格化したVariance Reduction
計算波形で規格化したVariance Reduction
R(t)を固定した場合のα(t)に応じた
Variance Reductionsの変化
𝛼 𝑡 =
𝑗=1
𝐽
𝐶 𝒓𝑗, 𝑡
𝑗=1
𝐽
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡
𝛼 𝑡

14. Multi-index の意義
14
過大評価
過小評価
VRO=0.8の時，
VRCは，0.345から0.905の値を取り得る．
この時，α=0.55〜1.45，VR=0.638〜0.862
VROだけを見てしまうと、半分（0.55）
に過小評価してしまう可能性がある。
VRO=0.5の時，
VRCは，-4.828から0.828の値を取り得る．
この時，α=0.29〜1.70，VR=-0.707〜0.707
R=1.0
R=1.0
𝛼 𝑡 =
𝑗=1
𝐽
𝐶 𝒓𝑗, 𝑡
𝑗=1
𝐽
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡

15. まとめ
15
• Variance Reductionは、その名に反して（？）varietyに富んだ
指標
• 数学的には残差二乗和をL2ノルムで規格化して１から引いた指標が綺
麗
• L2ノルムには、観測量、計算量、その両方を使うことが出来る
• 相関係数と二乗和の比を通じてそれぞれ関係性がある
• 出来れば、複数の指標を用いた方が良い
• 複数パラメータの探索
• せめて式は明示すべき

16. 時系列波形を用いる場合（予備スライド）
• 時系列波形も含めて指標を計算する場合は，時間積分も含めた
以下の定義を用いることが出来る．
16
𝑉𝑅𝑂 𝑡 = 1 −
𝑗=1
𝐽
𝑡0
𝑡
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡′ − 𝐶 𝒓𝑗, 𝑡′
2
𝑑𝑡′
𝑗=1
𝐽
𝑡0
𝑡
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡′
2
𝑑𝑡′
𝑉𝑅 𝑡 = 1 −
𝑗=1
𝐽
𝑡0
𝑡
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡′ − 𝐶 𝒓𝑗, 𝑡′
2
𝑑𝑡′
𝑗=1
𝐽
𝑡0
𝑡
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡′
2
𝑑𝑡′ 𝑗=1
𝐽
𝑡0
𝑡
𝐶 𝒓𝑗, 𝑡′
2
𝑑𝑡′
𝑉𝑅𝐶 𝑡 = 1 −
𝑗=1
𝐽
𝑡0
𝑡
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡′ − 𝐶 𝒓𝑗, 𝑡′
2
𝑑𝑡′
𝑗=1
𝐽
𝑡0
𝑡
𝐶 𝒓𝑗, 𝑡′
2
𝑑𝑡′
𝑅 𝑡 =
𝑗=1
𝐽
𝑡0
𝑡
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡′ 𝐶 𝒓𝑗, 𝑡′ 𝑑𝑡′
𝑗=1
𝐽
𝑡0
𝑡
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡′
2
𝑂 𝒓𝑗, 𝑡′
2
𝑑𝑡′