Fantichfourier

Chương 4

BK
TP.HCM

Faculty of Computer Science and Engineering
HCMC University of Technology
268, av. Ly Thuong Kiet,
District 10, HoChiMinh city
Telephone :
(08) 864-7256 (ext. 5843)
Fax :
(08) 864-5137
Email : anhvu@hcmut.edu.vn
http://www.cse.hcmut.edu.vn/~anhvu

Tín hiệu & Hệ thống
trong miền tần số

T.S. Đinh Đức Anh Vũ

Nội dung
§ Phân tích tần số của t/h LTTG
§ Phân tích tần số của t/h RRTG
§ Các tính chất của BĐ Fourier cho các t/h RRTG
§ Đặc trưng miền tần số của hệ LTI
§ Bộ lựa chọn tần số
§ Hệ thống đảo
DSP – Lecture 4, © 2007, Dr. Dinh-Duc Anh-Vu – CSE

2

Tại sao miền tần số ?
Tần số
t/h hình SIN: F0

F

t/h hình SIN: F1

Tín hiệu

F

t/h hình SIN: F2
…

Công cụ phân tích tần số
- Chuỗi Fourier – tín hiệu tuần hoàn
- Biến đổi Fourier – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn
(J.B.J. Fourier: 1768 - 1830)

F
Tín hiệu X

F-1

F-1

Tín hiệu X

Công cụ tổng hợp tần số
- Chuỗi Fourier ngược – tín hiệu tuần hoàn
- Biến đổi Fourier ngược – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn


3


T/h hình Sin
Ae jw0 n

Biên độ:
Pha:
Tần số:

LTI

T/h hình Sin
Aae j (w0n +q )

Co/giãn lượng α
Lệch lượng θ
Không đổi ω0


4

Tần số
Tín hiệu

t/h hình SIN: F0

F

t/h hình SIN: F1
t/h hình SIN: F2

Phổ
Phổ (spectrum): Nội dung tần số của tín hiệu
Phân tích phổ:
Xác định phổ của t/h dựa vào công cụ toán học
Ước lượng phổ: Xác định phổ của t/h dựa trên phép đo t/h
Tần số
x1(t): F0

F-1

x0(t): 0

x(t)

x-1(t):-F0

Phổ
Tổng hợp tần số: Xác định t/h ban đầu từ các phổ tần số

5

T/h LTTG và tuần hoàn
§ Chuỗi Fourier
ª x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản Tp = 1/F0 (F0: tần số)
+¥

x(t ) =

ck e j 2pkF0t
å

Phương trình tổng hợp

k = -¥

ª Đặt

xk (t ) = ck e j 2pkF0t

• xk(t) tuần hoàn với chu kỳ Tk=Tp/k (kF0: tần số)

x (t ) =

+¥

åx

k = -¥

k

(t )

• Đóng góp cho x(t) một lượng ck (Tần số kF0 có đóng góp một lượng ck)

ª Hệ số chuỗi Fourier
1
ck =
x(t )e - j 2pkF0t dt
Tp Tòp
Đóng góp về biên độ

ck = ck e


jq k

Phương trình phân tích
Đóng góp về pha
6

§

Đ/k Dirichlet: bảo đảm chuỗi Fourier hội tụ về x(t) "t

ª x(t) có số hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ
ª x(t) có số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ
ª x(t) khả tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức

ò x(t ) dt < ¥

§
§

Tp

Đ/k Dirichlet chỉ là đ/k đủ
Nếu x(t) là t/h thực

ª T/h biểu diễn bằng chuỗi Fourier chưa chắc thỏa đ/k Dirichlet
ª ck và c-k liên hợp phức ( c k =
ª Biểu diễn rút gọn của chuỗi F

c k e jq k

)

¥

x(t ) = c0 + 2å ck cos(2pkF0t + q k )
k =1

ª Do
cos(2πkF0t + θk) = cos2πkF0t cosθk – sin2πkF0t sinθk
Cách biểu diễn khác của chuỗi F
¥

x(t ) = a0 + 2å (ak cos 2pkF0t - bk sin 2pkF0t )

Với

a0 = c0
ak = │ck│cosθk
bk = │ck│sinθk


k =1

7

§ Ví dụ: Phân tích tín hiệu sau ra các thành phần tần số
x(t) = 3Cos(100πt – π/3)

= e
= e

x (t )

j (100pt - p )
3
-p j
3

3
2

3
2

e

+ e
3
2

j (100pt )

- j (100pt - p )
3
p
3

j - j (100pt )

+ e e
3
2

Đồng nhất với PT tổng hợp

ìc1 = 3 e
ï
2
Þí
p
3 3j
ïc-1 = 2 e
î
-p j
3

Tín hiệu miền thời gian


F

50Hz đóng góp c1
-50Hz đóng góp c-1
Phổ tần số

8

|Ck|
3/2

Phổ biên độ

Tần số

Tín hiệu

F

50Hz (c1)

k
-1

0

1

|θk|
π/3

- 50Hz (c-1)

1
-1
Phổ pha

k

0
-π/3
9

§ Công suất trung bình

1
1
2
Px =
ò | x(t ) | dt = Tp
T p Tp

x (t ) =
*

+¥

x(t ) x* (t )dt
ò

1
=
Tp

Px

Tp

é1
*
= å ck ê
ê Tp
k = -¥
ë
+¥

åc e

k = -¥

* - j 2pkF0t
k

ª Do đó

1
Px =
Tp

ò

2

x (t ) dt =

Tp

+¥
é
ù
*
x(t ) å ck e - j 2pF0t ú dt
ò ê k =-¥
û
Tp ë

ò [x(t )e

- j 2pF0 t

Tp

ù
dt ú
ú
û

]

+¥

| ck |2
å

k = -¥

Công thức quan hệ Parseval

§ Phổ mật độ công suất
ª Công suất trung bình tổng cộng bằng tổng
các công suất trung bình của các t/h hài tần
ª Giản đồ công suất theo tần số
ª Phổ vạch: các vạch cách đều đoạn F0
ª Hàm chẵn (do c-k = c*k đ/v t/h thực)

10

§ Ví dụ 1: tính công suất trung bình của x(t)p = 3Cos(100πt – π/3)
p
- j

ª Theo VD trên, c1 = 3 e 3 và c-1 = 3 e 3
2
2
ª Theo Parseval, Px = │c–1│2 + │c1│2 = 4.5

j

§ Ví dụ 2: cho x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ Tp. Phân tích x(t) ra các
thành phần tần số
x(t)

Miền thời gian
| t |£t / 2
ìA,
x(t) = í
| t |>t / 2
î0,

A
t
-Tp

Miền tần số
ck
Tp / 2

t /2

1
1
At
c0 =
ò/x(t)dt = Tp -tò/ 2Adt= Tp
Tp -Tp 2

1
=
Tp

-τ/2 0
t /2

ò Ae

-t / 2

- j 2pkF0 t

τ/2

A
dt =
Tp

Tp
t /2

é e
ù
ê
ú
- j 2pkF0 û -t / 2
ë
- j 2pkF0t

A e jpkF0t - e - jpkF0t At sin pkF0t
=
=
T ppkF0
2j
T p pkF0t
11

Minh họa ck ở miền tần số


A t sin p kF 0t
ck =
T p p kF 0t

12

Tổng hợp x(t) từ các thành phần hình Sin
Thông số:
Tp = 50s
τ = 0.2Tp
A =1

Tổng hợp từ
21 thành phần


13


Tổng hợp từ
101 thành phần

Tổng hợp từ
2001 thành phần


14

T/h LTTG và không tuần hoàn

§ T/h tuần hoàn xp(t)

ª Có được do lặp lại t/h x(t)
ª Tuần hoàn chu kỳ cơ bản Tp
ª Có phổ vạch: khoảng cách vạch F0=1/Tp

§ T/h không tuần hoàn x(t)
ª Có thể coi như xp(t) khi Tp → ∞
ª Khoảng cách vạch F0 = 1/Tp → 0
Þ Phổ của tín hiệu không tuần hoàn là phổ liên tục

15

§ Biến đổi Fourier
ª x(t): LTTG, không tuần hoàn
+¥

X (F ) =

x(t )e - j 2pFt dt
ò

-¥

• Hệ số Fourier

1
ck =
X (kF0 ) = F0 X ( kF0 )
Tp

+¥

x(t ) =

(biến đổi Fourier thuận)

X ( F )e j 2pFt dF
ò

-¥

(biến đổi Fourier ngược)

ª Đ/k Dirichlet
• x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn hữu hạn
• x(t) có hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu
• x(t) khả tích phân tuyệt đối, nghĩa là

+¥

ò x(t ) dt < ¥

-¥

16

§ Ví dụ: cho x(t) không tuần hoàn. Phân tích x(t) ra các thành
+¥
phần tần số
X (F ) =

| t |£ t / 2

ì A,
x(t ) = í
î0,

F

| t |> t / 2

Miền thời gian

ò

Ae - j 2p Ft dt

-¥

sin p F t
= At
pFt

Miền tần số

x(t)
A

-τ/2 0

τ/2

t


17

§ Năng lượng
+¥

Ex = ò | x(t ) |2 dt = ò x(t ) x* (t )dt
-¥

Ex

-¥

+¥

é+ ¥
ù
*
- j 2pFt
dt ú
= ò X ( F )dF ê ò x(t )e
-¥
ë -¥
û
+¥

x* (t ) = ò X * ( F )e- j 2pFt dF
Do đó

-¥

+¥

Ex =

ò

2

+¥

x (t ) dt =

-¥

é+¥ *
ù
- j 2pFt
= ò x(t )ê ò X ( F )e
dF ú dt
-¥
ë-¥
û
+¥

+¥

ò

2

X ( F ) dF


-¥

ª Bảo toàn năng lượng trong miền thời gian và miền tần số
ª Phổ mật độ năng lượng
Sxx(F) = |X(F)|2

• Không chứa phổ pha ® không được dùng để khôi phục lại x(t)

ª Nếu x(t) là t/h thực

ü
ý
ÐX (- F ) = -ÐX ( F ) þ
X (- F ) = X ( F )


S xx ( F ) = S xx (- F )
18

§ Ví dụ

F/F-1

F/F-1


19

T/h RRTG và tuần hoàn
§ x(n) là t/h tuần hoàn chu kỳ N
x(n+N) = x(n) "n
§ Chuỗi Fourier cho t/h RRTG có tối đa N thành phần tần số (do tầm tần
số [0, 2π] hoặc [-π, π])
§ Chuỗi Fourier rời rạc (DTFS)
N -1

x ( n ) = å ck e

j 2p

k n
N


k =0

§ Hệ số Fourier

ª Mô tả x(n) trong miền tần số (ck biểu diễn biên độ và pha của thành phần
tần số sk(n) = ej2πkn/N)

1
ck =
N

N -1

å x ( n)e

- j 2p

k
N

n


n =0

ª ck+N = ck Þ Phổ của t/h tuần hoàn x(n) với chu kỳ N là một chuỗi tuần hoàn
cũng với chu kỳ N

20

§ Ví dụ: Xác định và vẽ phổ cho các t/h sau
a. x(n) = 3 cos( 2pn)
b. x(n) = 3 cos( p n)
3
c. x(n) : tuan hoan,1 chu ky : {1 0 2 1}
-

a. x ( n ) = 3 cos( 2pn )

w 0 = 2p , tuc f 0 = 1 / 2
Phổ

f0 :
→
→

không hữu tỉ
x(n) không tuần hoàn
Phổ gồm chỉ một tần số đơn: f0

3
Tần số
w0 = 2p

21

b.

x ( n ) = 3 cos( p n )
3
x(n) = 3cos(2πn/6) Þ f0 = 1/6 Þ N = 6
Þ x(n) tuần hoàn chu kỳ N=6
1 5
- j 2p k n
6
ck = å x ( n )e
Các hệ số đóng góp
6 n=0
Tuy nhiên

x ( n)

k = 0 .. 5

1
= 3 cos(2p n)
6
3 j 2p 1 n 3 - j 2p 16 n
= e 6 + e
2
2

So trùng với phương trình tổng hợp

c0 = c 2 = c3 = c 4 = 0
c1 = c 5 =

3
2
22

b. x(n) = 3 cos( p n)
3
Tín hiệu trong miền thời gian: (3 chu kỳ)

Tín hiệu trong miền tần số


23

c.

x ( n ) : tuan hoan , 1 chu ky : {1
-

0

2

1}

1 3
- j 2p k n
4
k = 0..3
= å x ( n )e
4 n =0
1
- j 3 pk
- jp k
= (1 + 2e
+e 2 )
4

Ck

C 0 = 1 (1 + 2 + 1) = 1
4
C1 = (1 - 2 + j ) =
1
4

C 2 = 1 (1 + 2 - 1) =
4
C 3 = (1 - 2 - j ) =
1
4

j -1
4

=

2
4

e

p
j 34

1
2
-1- j
4

=

2
4


e

p
j 54

24

§ Công suất trung bình
1
Px =
N

N -1

å
n =0

1
x ( n) =
N
2

N -1

å x ( n) x ( n)
*

n =0

p
æ N -1 * - j 2Nkn ö
å x(n)ç å ck e ÷
ç
÷
n =0
k =0
è
ø
j 2pkn
N -1
æ 1 N -1
ö
*
N ÷
= å ck ç å x ( n)e
çN
÷
k =0
n =0
è
ø

1
=
N

Px

N -1

*
x* (n) = å ck e - j 2pkn / N
k =0

ª Do đó

1
Px =
N

N -1

å

2

x(n) =

n=0

N -1

å

k =0

ck

2

N -1


ª Chuỗi │ck│2: phổ mật độ công suất của t/h tuần hoàn

§ Năng lượng t/h trong một chu kỳ
EN =

N -1

å

n=0

N -1

x(n) = N å ck


2

2

k =0

25

§ Nếu x(n) thực [x*(n) = x(n)], Þ ck* = c-k
ª Tức

ì c- k = ck
í
î- Ðc- k = Ðck

Pho bien do doi xung chan
Pho pha doi xung le

ª Ngoài ra, từ cN+k = ck, ta cũng có

ì ck = c N -k
í
î Ð c k = -Ð c N - k

ª Đ/v t/h thực, phổ ck (k=0,1,…,N/2 khi N chẵn hoặc k=0,1,…,(N-1)/2 khi N
lẻ) hoàn toàn có thể đặc tả cho t/h trong miền tần số
ª Khi đó, chuỗi Fourier có thể được rút gọn

x ( n)

ì a 0 = c0
L
ï
2p
= c0 + 2 ck cos( kn + q k )
ïak = 2 ck cos q k
N
ï
k =1
íbk = 2 ck sin q k
L
2p
2p ö Với ï
æ
= a0 + ç ak cos
kn - bk sin
kn ÷
N : chan
ìN
ïL = 2
N
N
í N -1
ø
k =1 è
ï
N : le
î 2
î

å

å


26

Miền thời gian

x(n)
* * * ** *
**

A* * * ** *
**

* * * ** *
**

…

…
-N

** **0

Miền tần số

* * * *N
L

n

ì AL
k = 0,± N ,±2 N ,K
ïN
ï
ï
æ pkL ö
ck = í
sinç
÷
jpk ( L -1)
A - N
è N ø k khac
ï e
ïN
æ pk ö
sinç ÷
ï
èNø
î

27

T/h RRTG và không tuần hoàn
§ Chỉ xét t/h năng lượng x(n)
§ Biến đổi Fourier
X (w ) =

¥

x ( n ) e - jw n
å


n = -¥

§ X(ω): nội dung tần số của t/h

ª Khác biệt cơ bản giữa BĐ Fourier của t/h năng lượng RRTG và t/h
năng lượng LTTG
• Tầm tần số
§ T/h LTTG: -¥ → +¥
§ T/h RRTG: 0 → 2π hoặc –π → π [X(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π]

• Cách tính: dùng tích phân thay vì dùng tổng

§ Hệ số Fourier

1
x(n) =
2p


X (w )e jwn dw
ò


2p

28

§ Ví dụ: xác định nội dung tần số của tín hiệu sau
x(n) = {… 0

1

1

1

1

1

0 …}

X (w ) = e j 2w + e jw + 1 + e- jw + e- j 2w
X (w ) = 1 + 2 cosw + 2 cos(2w )
Chú ý: X(ω) tuần hoàn
Chu kỳ: 2π


29


Tần số

x(n)

F


30

§ Sự hội tụ của BĐ Fourier

X N (w ) =

N

x(n)e - jwn
å

n=- N

ª Trong BĐ Fourier ngược (PT phân tích), chuỗi XN(ω) được giả thiết hội tụ về
X(ω) khi N→¥
ª Ý nghĩa: giá trị sai số X(ω) – XN(ω) sẽ bằng 0 khi N→¥

lim X (w ) - X N (w ) = 0

N ®¥

ª XN(ω) hội tụ nếu x(n) khả tổng tuyệt đối
X (w ) =

¥

å

x (n )e

- jw n

£

n = -¥

¥

å

x(n) < ¥

n = -¥

• Đ/k đủ để tồn tại BĐ Fourier RRTG
• Tương đương đ/k Dirichlet thứ 3 cho BĐ Fourier của t/h LTTG (đ/k 1 và 2 không
có do bản chất của t/h RRTG)

ª Nếu x(n) khả tổng bình phương tuyệt đối (i.e. x(n) có năng lượng hữu hạn)
• Đ/k hội tụ được giảm nhẹ

p

lim

N ®¥

ò

2

X (w ) - X N (w ) d w = 0

-p

• Năng lượng của sai số X(ω) – XN(ω) sẽ tiến về 0, nhưng không nhất thiết giá trị
sai số tiến về 0
§ T/h năng lượng có BĐ Fourier


31

§ Năng lượng
Ex =

+¥

å

2

x(n) =

n = -¥

1
*
x (n) =
2p

+¥

å

Ex

x(n) x* (n)

n = -¥

p

òX

*

(w ) e

- jw n

é1
= å x(n) ê
n = -¥
ë 2p
¥

1
=
2p

dw

-p

p

òX

*

(w )e

-p

- jwn

ù
dw ú
û

p

é ¥
- jwn ù
òp X (w )ênå x(n)e údw
ë =-¥
û
*

ª Do đó
Ex =

+¥

å

x(n)

n = -¥

ª X(ω) là số phức
• Phổ biên độ
• Phổ pha

2

1
=
2p

X (w )

p

ò

2

X (w ) d w


-p

X (w ) =| X (w ) | e jQ (w )

Q(w )

• Phổ mật độ năng lượng

2

S xx (w ) = X (w ) = X (w ) X * (w )
32

§

Ví dụ
ª Cho tín hiệu x(n) = anu(n), –1< a <1
ª Yêu cầu:
a) Lập công thức biểu diễn tín hiệu trong miền tần số ?
b) Lập công thức biểu diễn phổ biên độ, pha và năng lượng?
c) Vẽ 3 phổ nói trên, với a = 0.9, a = –0.9?
d) Tần số (π/2) có mặt trong sự thành lập tín hiệu x(n) không?
Nếu có thì đóng góp biên độ và pha là bao nhiêu?

a) X(ω) = ?

¥

X (w ) = å a e

n - jwn

n =0

¥

= å (ae - jw ) n
n =0

1
X (w ) =
1 - ae - jw

33

b) |X(ω)|, Θ(ω), Sxx(ω) = ?
1
(1 - ae jw )
(1 - a cos w ) - j (a sin w )
X (w ) =
=
=
- jw
- jw
jw
1 - ae
(1 - ae )(1 - ae )
1 - 2a cos w + a 2
(1 - a cos w )
X R (w ) =
1 - 2a cos w + a 2
- a sin w
X I (w ) =
1 - 2a cos w + a 2

| X (w ) |= X R (w ) 2 + X I (w ) 2
XI
Q(w ) = tan -1 ( X R ((w )) )
w

1
1
S xx (w ) = X (w ) X (w ) =
=
- jw
jw
(1 - ae )(1 - ae ) 1 - 2a cos w + a 2
*


34

c) Vẽ phổ

d) ω=π/2
X( ) =
p
2

1
- jp
2

1
=
1 + ja

1 - ae
1
p
| X ( 2 ) |=
1+ a2
Q( p ) = - tan-1 (a)
2

│X(π/2)│≠ 0
Tần số π/2 có mặt trong tín hiệu


35

§ Nếu x(n) thực
ª X*(ω) = X(–ω)

ì X (-w ) = X (w )
í
îÐX (-w ) = ÐX (w )
ª Sxx(–ω) = Sxx(ω)

§ Ví dụ

ì A,
x ( n) = í
î 0,

X (w ) = Ae

0 £ n £ L -1
otherwise

- j w ( L -1)
2

L=5
A=1

sin( w2L )
sin( w )
2


36

Quan hệ giữa BĐ Fourier với BĐ Z
x(n)
Miền Thời Gian

Biến Đổi Z

Biến Đổi Fourier

z = ejω
X(z)
Miền Z

X ( z) =

+¥

å

n = -¥

x(n) z

z = ejω

-n

(xét trên vòng tròn đơn vị)


X(ω)
Miền Tần Số

X (w ) =

+¥

x ( n ) e - jw n
å

n = -¥

37

Cepstrum
§ Giả sử {x(n)} có BĐ Z X(z) và {x(n)} ổn định sao cho X(z) hội tụ trên
vòng tròn đơn vị
§ Định nghĩa: Cepstrum phức của {x(n)} là {cx(n)}, BĐ Z ngược của
Cx(z)= ln X(z)
§ Cepstrum phức tồn tại nếu Cx(z) hội tụ trong vành khuyên r1<|z|<r2
chứa vòng tròn đơn vị (0 < r1 < 1 và r2 > 1)
¥
1
-n
C x ( z ) = ln X ( z ) = å cx (n) z
c x ( n) =
ln X ( z ) z n -1dz
ò
2pj C
n = -¥
§ Cx(z) hội tụ trên vòng tròn đơn vị
¥
1 p
- jwn
C x (w ) = ln X (w ) = å c x (n)e
c x ( n) =
ln X (w )e jwn dw
2p ò-p
n = -¥
§ Nếu biểu diễn X(ω) dưới dạng cực

X (w ) = X (w ) e jq (w )
§ Cepstrum phức

ln X (w ) = ln X (w ) + jq (w )

Þ

1
c x ( n) =
2p


ò [ln X (w ) + jq (w )]e
p

-p

jwn

dw
38

BĐ Fourier t/h RRTG
§ BĐ Fourier của t/h có pole nằm trên vòng tròn đơn
vị
ªCó những chuỗi không khả tổng tuyệt đối lẫn khả tổng
bình phương, do đó không có BĐ Fourier
• Ví dụ

x ( n) = u ( n)

và

x(n) = cos(w 0 n)u (n)

và

1
X ( z) =
1 - z -1
1 - z -1 cos w 0
X ( z) =
1 - 2 z -1 cos w 0 + z - 2

• Cả 2 t/h này đều có pole trên vòng tròn đơn vị

ªBĐ Fourier mở rộng của các chuỗi dạng này

• Cho phép BĐ Fourier có các xung tại các tần số tương ứng với vị
trí các pole nằm trên vòng tròn đơn vị
• Xung là hàm của ω, có biên độ 1/a, độ rộng a, diện tích đơn vị
(a→0)


39

Phân loại t/h ở miền tần số
§ Phân loại t/h dựa vào phổ mật độ công suất/năng lượng
ª T/h tần số cao: phổ tập trung ở tần số cao
ª T/h tần số thấp: phổ tập trung ở tần số 0
ª T/h tần số trung bình (t/h bandpass): phổ tập trung trong dải tầm tần số

§ Băng thông
ª Tầm tần số mà phổ mật độ công suất (năng lượng) của t/h tập trung
F1≤F≤F2
ª Trong trường hợp t/h bandpass, nếu băng thông của t/h quá nhỏ (hệ số 10)
so với tần số giữa (F1+F2)/2: băng thông hẹp. Ngược lại là băng thông rộng
ª T/h băng thông giới hạn là t/h có phổ bằng không bên ngoài tầm tần số
T/h không tuần hoàn

T/h tuần hoàn

LTTG

Time-limited: x(t)=0 với |t|>τ
Bandlimited: X(F)=0 với |F| > B

Time-limited: xp(t)=0 với τ<|t|<Tp/2
Bandlimited: ck=0 với |k|>M

RRTG

Time-limited: x(n)=0 với |n|>N
Bandlimited: |X(ω)|=0 với ω0<|ω|<π

Time-limited: x(n)=0 với n0<|n|<N
Bandlimited: ck=0 với k0<|k|<N


40

Đối ngẫu
§ 2 tính chất đặc trưng cho t/h trong miền thời gian (mặt toán học và mặt
vật lý)
ª Biến thời gian: liên tục hay rời rạc
ª Tính chu kỳ: tuần hoàn hay không tuần hoàn

§ Biến thời gian
ª T/h LTTG

• Phổ không tuần hoàn, không phụ thuộc t/h miền thời gian tuần hoàn hay không
(do hàm mũ ej2πFt liên tục theo thời gian, không tuần hoàn theo F)
• Dải tầm tần số F: [0..¥]

ª T/h RRTG

• Phổ tuần hoàn chu kỳ ω = 2π
• Dải tầm tần số F: [-π..π]

§ Tính chu kỳ

ª T/h tuần hoàn

Tuần hoàn với chu kỳ α trong một miền
thì sẽ rời rạc với khoảng cách 1/α
trong miền khác, và ngược lại

• Phổ rời rạc (phổ vạch)
• Khoảng cách phổ : ΔF=1/Tp (t/h LTTG) hoặc Δf=1/N (t/h RRTG)

ª T/h năng lượng không tuần hoàn

• Phổ liên tục (do hàm mũ ej2πFt hoặc ejωn liên tục, không tuần hoàn theo F hoặc ω)


41

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier
§ T/h RRTG, không tuần hoàn và có năng lượng hữu
hạn
§ Tương tự cho t/h LTTG, không tuần hoàn và có
năng lượng hữu hạn
§ Qui ước
¥
ªBĐ Fourier thuận

X (w ) º F{x(n)} =

x(n)e - jwn
å

n = -¥

ªBĐ Fourier nghịch
ªCặp BĐ Fourier

1
x(n) º F { X (w )} =
2p
-1

X (w )e jwn dw
ò

2p

x(n) ¬ F X (w )
¾®

§ Chú ý: X(ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π

42

§ Tính đối xứng
ª Nếu t/h có một số đặc tính đối xứng trong miền thời gian, việc xem xét các
đ/k đối xứng trên BĐ Fourier của nó cho phép đơn giản hóa các phương
trình BĐ Fourier thuận và nghịch
ª Giả sử
• x(n) = xR(n) + jxI(n)
• X(ω) = XR(ω) + jXI(ω)

và e–jω = cosω – jsinω (ejω = cosω + jsinω), ta có

BĐ Fourier thuận

BĐ Fourier nghịch

¥
ì
ï X R (w ) = å [x R ( n ) cos w n + x I ( n ) sin w n ]
ï
n = -¥
í
¥
ï X (w ) = å [x R ( n ) sin w n - x I ( n ) cos w n ]
ï I
n = -¥
î
1
ì
x R ( n) =
òp [X R (w ) cos wn - X I (w ) sin wn]dw
ï
2p 2
ï
í
ï x (n) = 1 [X (w ) sin wn + X (w ) cos wn]dw
R
I
ï I
2p 2ò
p
î


43

§ Tính đối xứng (tt)
ª T/h thực
• xR(n) = x(n) và xI(n) = 0, do đó

¥
ì
ï X R (w ) = å x ( n ) cos w n
ï
n = -¥
í
¥
ï X (w ) = å x ( n ) sin w n
ï I
n = -¥
î

• Do

• Do

ì X R (-w ) = X R (w )
í
î X I (-w ) = - X I (w )

X * (w ) = X (-w )
Đối xứng Hermitian

ì X (w ) = X 2 (w ) + X 2 (w )
R
I
ì X (-w ) = X (w )
ï
í
í
-1 X I (w )
îÐX (-w ) = -ÐX (w )
ïÐX (w ) = tan
X R (w )
î
1
ì
x ( n) =
ï
òp [X R (w ) cos wn - X I (w ) sin wn]dw
2p 2
í
ï[X (w ) cos wn]và [X (w ) sin wn]là hàm chăh
î R
I
1 p
x(n) = ò [X R (w ) cos wn - X I (w ) sin wn]dw
p 0


44

ª T/h thực và chẵn
• xR(n) = x(n) và x(–n) = x(n), nên [x(n)cosωn] chẵn và [x(n)sinωn] lẻ
¥
• Do đó ì

ï X R (w ) = x(0) + 2å x(n) cos wn
í
n =1
ï X (w ) = 0
î I

1
x ( n) =
p
ª T/h thực và lẻ

ò

p

0

(hàm chăh)

X R (w ) cos wndw

• xR(n) = x(n) và x(–n) = –x(n), nên [x(n)cosωn] lẻ và [x(n)sinωn] chẵn
• Do đó ì X (w ) = 0
R

ï
¥
í
(hàm le)
ï X I (w ) = -2å x(n) sin wn
n =1
î
1 p
x(n) = - ò X I (w ) sin wndw
p 0


45

ª T/h ảo
• xR(n) = 0 và x(n) = jxI(n) và x(–n) = x(n), do đó
¥
ì
( hàm le )
ï X R (w ) = å x I ( n ) sin w n
ï
n = -¥
í
¥
ï X (w ) =
( hàm chan )
å x I ( n ) cos w n
ï I
n = -¥
î
1 p
x I ( n ) = ò [ X R (w ) sin w n + X I (w ) cos w n ]d w
p 0
xI(n) lẻ
¥
ì
ï X R (w ) = 2å xI (n) sin wn
í
n =1
ï X (w ) = 0
î I

x I ( n) =

1
p

p

ò

0

xI(n) chẵn
(hàm le)

X R (w ) sin wndw


ì X R (w ) = 0
ï
¥
í
ï X I (w ) = xI (0) + 2å xI (n) cos wn
n =1
î
1 p
xI (n) = ò X I (w ) cos wndw
p 0

(hàm chan)

46

ªT/h x(n) bất kỳ
e
o
x (n) = xR (n) + jx I (n) = xR (n) + xR (n) + j[ xIe ( n) + xIo (n)]

= xe ( n ) + xo ( n )
trong đó

x(n )

e
ì xe ( n) = xR ( n) + jx Ie ( n) = 1 [ x (n) + x * ( - n)]
ï
2
í
o
ï xo ( n) = xR ( n) + jx Io ( n) = 1 [ x (n) - x * ( - n)]
2
î

[

] [

e
o
= x R ( n ) + jx Ie ( n ) + x R ( n ) + jx Io ( n )

[

] [

]

e
o
X (w ) = X R (w ) + jX Ie (w ) + X R (w ) + jX Io (w )


]
47

§ Tuyến tính
ì x1 ( n ) ¬ F X 1 (w )
¾®
ï
í
ï x2 ( n ) ¬ F X 2 (w )
¾®
î

Þ

a1 x1 ( n ) + a2 x2 ( n ) ¬ F a1 X 1 (w ) + a2 X 2 (w )
¾®

ª Ví dụ: tìm BĐ Fourier của x(n) sau. Vẽ t/h và phổ của t/h.
¥

å x1 ( n)e

x(n) = x1 (n) + x2 (n)

X 1 (w ) =

ìa n
x1 (n) = í
î0

- jw n

¥

= å ( ae - jw ) n

Do ae - jw = a < 1

ìa -n
x2 (n) = í
î0
-1 < a < 1

n³0
n<0
n<0
n³0

n = -¥

Þ X 1 (w ) =

X 2 (w ) =

n=0

1
1 - ae - jw

¥

å x ( n )e

n = -¥

- jwn

2

=

-1

å (ae

n = -¥

jw - n

)

¥

= å (ae jw ) k
k =1

Do ae jw = a < 1

ae jw
Þ X 2 (w ) =
1 - ae jw

48

X (w ) = X 1 (w ) + X 2 (w )
1- a2
X (w ) =
1 - 2a cos w + a 2


49

§ Dịch theo thời gian

x(n) ¬ F X (w )
¾®

x(n - k ) ¬ F e - jwk X (w )
¾®

Þ

x(n) = 3( 1 ) n -3 u (n - 2)
2
1
F
1 n
x1 ( n ) = ( 2 ) u ( n ) ¬
¾® X 1 (w ) =
1 - 1 e - jw
2
6
F
Þ x ( n ) = 6 x1 ( n ) ¬
¾® X (w ) = 6 X 1 (w ) =
1 - 1 e - jw
2

ª Ví dụ: tìm BĐ Fourier của t/h

§ Đảo theo thời gian
x(n) ¬ F X (w )
¾®

Þ

x(- n) ¬ F X (-w )
¾®
50

§ Tích chập
ì x1 (n) ¬ F X 1 (w )
¾®
ï
í
ï x2 (n) ¬ F X 2 (w )
¾®
î

Þ x(n) = x1 (n) * x2 (n) ¬ F X (w ) = X 1 (w ) X 2 (w )
¾®

ª Chú ý: Có thể dùng BĐ Fourier thuận và BĐ Fourier ngược để tính
tích chặp

§ Tương quan
ì x1 (n) ¬ F X 1 (w )
¾®
ï
í
ï x2 (n) ¬ F X 2 (w )
¾®
î

Þ rx1x2 (m) ¬ F S x1x2 (w ) = X 1 (w ) X 2 (-w )
¾®

§ Định lý Wiener-Khintchine
x(n) thuc

Þ rxx (l ) ¬ F S xx (w ) = X (w ) X (-w )
¾®


51

§ Dịch theo tần số
x(n) ¬ F X (w )
¾®

Þ

e jw 0 k x(n) ¬ F X (w - w 0 )
¾®

§ Định lý điều chế
x(n) ¬F X (w )
¾®

Þ x(n) cosw0 n ¬F 1 [X (w + w0 ) + X (w - w0 )]
¾® 2

§ Định lý Parseval
ì x1 (n) ¬ F X 1 (w )
¾®
ï
í
ï x2 (n) ¬ F X 2 (w )
¾®
î

¥

1
Þ å x1 (n) x (n) =
2p
n = -¥


*
2

p

ò

-p

*
X 1 (w ) X 2 (w )dw

52

§ Nhân 2 chuỗi (định lý cửa sổ)
ì x1 (n) ¬ F X 1 (w )
¾®
ï
í
ï x2 (n) ¬ F X 2 (w )
¾®
î
1
Þ x3 (n) = x1 (n) x2 (n) ¬
¾® X 3 (w ) =
2p
F

p

ò

-p

X 1 (l ) X 2 (w - l )dl

§ Đạo hàm miền tần số
x ( n) ¬
¾® X (w )
F

Þ

dX (w )
nx(n) ¬
¾® j
dw

Þ

x* (n) ¬ F X * (-w )
¾®

F

§ Liên hợp phức
x(n) ¬ F X (w )
¾®

53

Hệ LTI trong miền tần số
§ H/t nghỉ LTI
§ Hàm đáp ứng tần số: đáp ứng tần số của t/h mũ phức và t/h sin
x(n)

Miền thời gian

h(n)

y(n)
h(n): hàm đáp ứng xung đơn vị

F
x(n)

Miền tần số

T/h mũ phức
T/h sin

y(n)

H(ω)

H(ω): hàm đáp ứng tần số

ª Đáp ứng tần số của t/h mũ phức: cho x(n) = Aejωn

y (n)

= x(n) * h(n) =

¥

-¥ < n < ¥

å h(k ) x(n - k )

k = -¥

=

¥

å h ( k ) Ae

jw ( n - k )

k = -¥

= AH (w ) e jw n

= Ae

jw n

¥

å h ( k )e

- jw k

k = -¥

x(n) = Aejωn là một eigenfunction của h/t
H(ω) là eigenvalue tương ứng
54

§ Biểu diễn H(ω) ở dạng cực
§ Ta có
¥

H (w ) =

H (w ) = H (w ) e jQ (w )

h(k )e - jwk =
å

k = -¥

¥

¥

k = -¥

k = -¥

å h(k ) coswk - j å h(k ) sin wk

= H R (w ) + jH I (w )
= H (w ) + H (w )e
2
R

2
I

j tan -1 [ H I (w ) / H R (w ) ]

Trong đó

H R (w ) =

¥

åh(k) coswk

hàmchan

k =-¥
¥

H I (w ) = - å h(k ) sinwk

hàmle

2
H (w ) = H R (w ) + H I2 (w )
HI
Q(w ) = tan-1 H R ((w ))
w

hàm chan
hàmle

k =-¥

§ Do đó, nếu biết │H(ω)│và Θ(ω) trong khoảng 0 ≤ ω ≤ π thì cũng xác
định được trong khoảng –π ≤ ω ≤ 0

55

§ Đáp ứng tần số của t/h sin
x1 ( n ) = Ae

y1 (n) = A H (w ) e jQ (w ) e jwn

jw n

x 2 ( n ) = Ae - jw n

y2 (n) = A H (-w ) e jQ ( -w ) e - jwn
= A H (w ) e - jQ (w ) e - jwn

x(n) = A cos wn =

1
2

x(n) = A sin wn =

1
2j

[ y1 (n) + y2 (n)]
= A H (w ) cos[wn + Q(w )]

[x1 (n) + x2 (n)]

y ( n)

=

[x1 (n) - x2 (n)]

y ( n)

=


1
2

[ y1 (n) - y2 (n)]
= A H (w ) sin[wn + Q(w )]
1
2j

56

§ Đáp ứng cho t/h tuần hoàn
N -1

x (n) = å ck e

p
j 2Nk n

H(ω)

k =0

N -1

y ( n ) = å ck H (
k =0

2pk
N

)e

p
j 2Nk n

ª Đáp ứng của t/h tuần hoàn cũng là t/h tuần hoàn chu kỳ N

§ Đáp ứng cho t/h không tuần hoàn
x(n)

F
X(ω)

h(n)

y(n)

F

F

H(ω)

y(n) = x(n)*h(n)

Y(ω)

Y(ω) = X(ω)H(ω)

Y(ω0) = X(ω0)H(ω0) = │H(ω0)│ejΘ(ω0)X(ω0)
è Thành phần tần số (ω0) khi đi qua hệ thì:
- Biên độ: co/giãn │H(ω0)│
- Pha:
lệch pha Θ(ω0)

57

§ Quan hệ giữa hàm hệ thống và hàm đáp ứng tần số
M

H ( z) =

H (w ) = H ( z ) z = e jw =

bk z - k
å
k =0
N

H ( z ) = b0 z N - M

h ( n ) e - jw n
å

n = -¥

H (w ) =

Hệ ổn định

1 + å ak z - k
k =1

¥

M

k =0
N

1 + å ak e - jwk

H (w ) = b0 e jw ( N - M )

k =1
N

Õ (z - pk )

H (1 / z ) = H (w )
H * (1 / z * ) = H ( z -1 )
*

bk e - jwk
å
k =1

Õ (z -zk )
k =1

M

*

*

M

( e jw - z k )
Õ
k =1
N

( e jw - p k )
Õ
k =1

H * (w ) = H (-w )
2
H (w ) = H (w ) H * (w ) = H (w ) H (-w ) = H ( z ) H ( z -1 )

58

§ Tính hàm đáp ứng tần số H(ω)
ªBiểu diễn dưới dạng cực
ìe jw - z k = Vk (w )e jQ k (w )
ï
í jw
ïe - pk = U k (w )e jF k (w )
î

M

H (w ) = b0 e jw ( N - M )

( e jw - z k )
Õ
k =1
N

( e jw - p k )
Õ

V1 (w )V2 (w )...VM (w )
k =1
ì
ï H (w ) = b0 U (w )U (w )...U (w )
ï
1
2
N
í
M
N
ïÐH (w ) = Ðb + w ( N - M ) + Q (w ) - F (w )
å k
å k
0
ï
k =1
k =1
î
ªDo đó, có thể tính được H(ω) nếu biết được zero và pole
của hàm hệ thống
ªÝ nghĩa ?

59

Im(z)

§ Tính hàm đáp ứng tần số H(ω)
ª Cho zero zk và pole pk
ª Xác định H(ω) tại ω (điểm L)
ª Việc tính H(ω) tương đương việc
tính H(z) tại điểm L trên vòng tròn đơn vị

CL = CA + AL
CL = CB + BL
pk
zk
ejω

= CA
= CB
= CL

Φk(ω)

A x

pk

C 0

AL = CL – CA
BL = CL – CB
jw

AL = e - pk = Uk (w)e

Uk

jFk (w )

L

ejω
ω

Vk

Θk(ω)
zk B

Re(z)

ejω hoặc
│z│= 1

BL = e jw - zk = Vk (w)e jQk (w)

ª Sự hiện diện của zero gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại
những điểm trên vòng tròn gần điểm đó nhỏ
ª Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp
ứng tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó lớn

60

§ Hàm tương quan vào-ra và phổ
ryy (m) = rhh (m) * rxx (m)
S yy ( z ) = S hh ( z ) S xx ( z ) = H ( z ) H ( z -1 ) S xx ( z )
S yx ( z ) = H ( z ) S xx ( z )
ryx (m) = h(m) * rxx (m)
z=ejω
Phổ mật độ năng lượng
Phổ mật độ năng lượng chéo
Năng lượng tổng

2

S yy (w ) = H (w ) S xx (w )
S yx (w ) = H (w ) S xx (w ) = H (w ) X (w )

1
E y = ryy ( 0 ) =
2p

Nếu t/h nhập có phổ phẳng
Sxx(ω) = Ex = const khi –π ≤ ω ≤ π

1
òp S yy (w ) d w = 2p
-

S yx (w ) = H (w ) E x

Dùng trong việc xác định h(n) của hệ lạ:
tác động vào h/t t/h có phổ phẳng

p

p

ò

2

2

H (w ) S xx (w ) d w

-p

1
H (w ) =
S yx (w )
Ex
1
h( n) =
ryx (m)
Ex
61

Hệ LTI và bộ lọc
§

Bộ lọc
ª Thiết bị dùng để xử lý tùy theo đặc tính của t/h tác động vào h/t
ª Ví dụ: bộ lọc không khí, bộ lọc dầu, bộ lọc tia cực tím

§

Hệ LTI
ª Y(ω) = H(ω)X(ω)
ª Thay đổi phổ t/h nhập tùy theo đặc trưng của đáp ứng tần số H(ω)
ª Hệ LTI được xem là bộ lọc tần số: H(ω) đóng vai trò hàm tác động
hoặc hàm chỉnh phổ
ª Có tác dụng
•
•
•
•

§

Loại bỏ nhiễu trên t/h
Tinh chỉnh hình dạng phổ của t/h
Phân tích phổ t/h
Phát hiện t/h trong Radar, Sonar, …

Phân loại bộ lọc

Filter

Lowpass
filter
Highpass
filter
Bandpass
filter

Bandstop
filter
All-pass
filter


62

|H(ω)|

|H(ω)|
Highpass

Lowpass
1

1

ω
–π –ωc

ωc

π

ω
–π –ωc

|H(ω)|

ωc

π

|H(ω)|

Bandpass

Bandstop
1

1

ω
–π –ω0

ω0

π


ω
–π –ω0

ω0

π
63

§ Bộ lọc lý tưởng
ª Đặc trưng của H(ω) lý tưởng
• Biên độ
• Pha

= hằng số A, trong vùng tần số được qua
= 0, trong vùng tần số không được qua
tuyến tính ( = -aω, a: hằng số)

ª Minh họa
• T/h x(n) với các thành phần t/s trong khoảng [ω1, ω2]
• Hàm đáp ứng tần số
ìCe- jwn0
w1 < w < w2

H (w ) = í
otherwise
î0
• Phổ t/h tại ngõ xuất Y (w ) = H (w ) X (w ) = Ce - jwn0 X (w )

• T/h ngõ xuất y(n) = Cx(n-n0)
• x(n) khi qua bộ lọc lý tưởng

(w1 < w < w 2 )

§ bị delay: τg(ω) = -dΘ(ω)/dω = n0 (tất cả các thành phần t/s đều bị trễ như
nhau)
§ bị co giãn biên độ

ª Trong thực tế không hiện thực được tình trạng lý tưởng, mà chỉ là
xấp xỉ của nó

64

§ Thiết kế bộ lọc bằng sơ đồ zero-pole
ª Bộ lọc số đơn giản nhưng quan trọng
ª Nguyên lý: đặt các pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị tương ứng với
các tần số cần nhấn mạnh (có góc pha bằng tần số được cho qua bộ lọc) và
đặt các zero gần các điểm tương ứng với các tần số không muốn
ª Ràng buộc
• Pole bên trong vòng tròn đơn vị (để hệ ổn định). Zero có thể nằm bất kỳ ở đâu
trên mpz
• Các zero/pole phức phải theo từng cặp liên hợp (để hệ số của bộ lọc là số thực)
• Chọn b0 thích hợp để chuẩn hoá đáp ứng tại tần số được cho qua bộ lọc (để
│H(ω0)│ = 1, ω0 là tần số trong bandpass của bộ lọc)
M

M

H ( z) =

bk z - k
å
k =0
N

1 + å ak z - k
k =1

= b0

(1 - z k z -1 )
Õ
k =1
N

(1 - pk z -1 )
Õ
k =1

G ≡ b0: độ lợi

65

§ Bộ lọc thông thấp (lowpass)
ª Đặt pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số thấp (ω = 0)
ª Đặt zero gần hoặc tại các điểm trên vòng tròn đơn vị có tần số cao (ω = π)

§ Bộ lọc thông cao (highpass)
ª Tương tự như bộ lọc thông thấp, bằng cách lấy đối xứng các zero/pole qua trục ảo
của mpz
ª Trong biểu thức hàm h/t, thay z bởi –z


66

§ Ví dụ: bộ lọc thông thấp
(lowpass) một pole

a = 0.9

ª Hàm hệ thống

H1 ( z ) =

1- a
1 - az -1

ª Độ lợi G được chọn (1–a)
để biên độ H(z) bằng đơn
vị khi ω = 0
ª Việc thêm zero = –1 sẽ
làm suy giảm đáp ứng
của bộ lọc ở tần số cao
ª Do đó

1 - a 1 + z -1
H 2 ( z) =
2 1 - az -1

ª │H2(ω)│giảm bằng 0 khi
ω=π

67

§ Bộ lọc thông cao
(highpass)

a = 0.9

ª Có thể đạt được
từ bộ lọc lowpass
bằng cách thay z
bởi –z

1 - a 1 + z -1
H lp ( z ) =
2 1 - az -1
z = –z

1 - a 1 - z -1
H hp ( z ) =
2 1 + az -1

68

§ Bộ lọc bandpass
ª Nguyên tắc: được thực hiện tương tự lowpass và highpass
ª Có một hoặc nhiều cặp pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị, trong vùng
lân cận dải tần số cho phép
ª Ví dụ: thiết kế bộ lọc bandpass thoả:
• Tâm của passband = π/2. Đáp ứng tần số tại tâm đó = 1
• Đáp ứng năng lượng = 0 tại các tần số: 0, π
• Đáp ứng năng lượng = 1 2 tại các tần số: 4π/9
A

x(n)

+
z-1

z-1

B

C

+

y(n)

+

+

D

E

Pole

p1, 2 = re

Zero

± jp
2

z1, 2 = ±1

z-1

( z - 1)( z + 1)
z2 -1
H ( z) = G
=G 2
( z - jr )( z + jr )
z + r2

z-1

ìH ( p ) = 1
ï 2
í 4p
1
ïH ( 9 ) = 2
î


ìG = 0.15
Þí
î r = ± 0 .7
1 - z -2
H ( z ) = 0.15
1 + 0.7 z - 2
69

1 - z -2
H ( z ) = 0.15
1 + 0.7 z - 2


70

§ Biến đổi đơn giản từ bộ lọc lowpass sang bộ lọc highpass
ª Tạo bộ lọc highpass bằng cách dịch Hlp(ω) một đoạn π (nghĩa là thay
thế ω bởi ω – π
Hhp(ω) = Hlp(ω – π)

ª Trong miền thời gian
hhp(n) = (ejπ)nhlp(n) = (-1)nhlp(n)
N

M

k =1

k =0

y (n) = -å ak y (n - k ) + å bk x(n - k )

N

y (n) = -å (-1) ak y (n - k ) + å (-1) k bk x(n - k )
k =1

M

H lp (w ) =

bk e - jwk
å
k =0
N

1 + å ak e - jwk
k =1


M

k

k =0

M

H hp (w ) =

(-1) k bk e - jwk
å
k =0
N

1 + å (-1) k ak e - jwk
k =1

71

§ Bộ cộng hưởng số
ª Bộ lọc bandpass 2 pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị
ª Vị trí góc của pole xác định tần số cộng hưỏng
ª Chọn pole liên hợp phức p1,2 = re±jω0
(0 < r < 1)
ª Có thể chọn thêm tối đa 2 zero
• Hoặc zero tại gốc tọa độ
• Hoặc zero tại ±1
• Cho phép loại bỏ các đáp ứng của bộ lọc tại ω = 0 hoặc ω = π

ª Giả sử zero được chọn tại gốc

b0
H ( z) =
(1 - re jw 0 z -1 )(1 - re - jw 0 z -1 )

• Do |H(ω)| có đỉnh tại (hoặc gần) ω = ω0, nên

b0
H (w 0 ) =
=1
jw 0 - jw 0
- jw 0 - jw 0
(1 - re e )(1 - re e
)
b0 = (1 - r ) 1 + r 2 - 2r cos 2w 0

72

§ Phổ biên độ và phổ pha trong trường hợp ω0 = 1
p1 = rej
r

r

ω0
–ω0

p2 = re–j


73

§ Bộ lọc khe V (notch)
ª Chứa một hoặc nhiều khe sâu,
có đáp ứng tần số bằng 0
ª Đặt một cặp zero liên hợp
phức trên vòng tròn đơn vị, tại
± jw 0
góc ω0, tức

ω0 = π/4

z1, 2 = e

ª Hàm h/t

H ( z)

= b0 (1 - e jw 0 z -1 )(1 - e - jw 0 z -1 )
= b0 (1 - 2 cos w 0 z -1 + z - 2 )

ª Nhược điểm
• Khe có độ rộng khá lớn
• Thành phần tần số xung
quanh ω0 bị suy hao
• P/p khắc phục: ad-hoc (nhiều
p/p khác được trình bày ở
chương 8)

74

§ P/p khắc phục bộ lọc notch
ª Đặt cặp pole liên hợp phức tại
ω0 để cộng hưởng trong vùng
lân cận ω0
± jw 0

p1, 2 = re

ª Hàm h/t

1 - 2 cos w 0 z -1 + z -2
H ( z ) = b0
1 - 2r cos w 0 z -1 + r 2 z - 2

ω0 = π/4

ª Nhược điểm:
• Ngoài việc giảm băng thông
của khe, pole cũng tạo ra các
lăn tăn (ripple) trong bandpass
của bộ lọc (do việc cộng
hưởng)
• Khắc phục ripple bằng cách
thêm zero và/hoặc pole → thử
và sai


75

§ Bộ lọc răng lược (comb)
ª Là bộ lọc notch với các khe xuất hiện tuần hoàn
ª Hàm h/t
M

H ( z ) = å h( k ) z

-k

z=ejω

k =0

M

H (w ) = å h(k )e - jkw
k =0

ª Thay z bằng zL (L>0)
M

H L ( z ) = å h( k ) z

M

- kL

z=ejω

k =0

H L (w ) = å h(k )e - jkLw = H ( Lw )
k =0

ª Đáp ứng tần số HL(ω) chính là việc lặp bậc L của đáp ứng tần số H(ω) trong
khoảng [0, 2π]
• Nếu H(ω) có một phổ không tại tần số ω0 nào đó, HL(ω) sẽ có các phổ không
răng lược tại ωk = ω0+2πk/L (k=0, 1, 2, …, L-1)
H4(ω)

H(ω)

ω

ω
-2π

2π


π/2

π 3π/2 2π
76

1 M
y ( n) =
å x(n - k )
M + 1 k =0

§ Ví dụ: bộ lọc trung bình
H ( z) =

e - jwM / 2 sin w ( M2+1 )
H (w ) =
M +1
sin w
2

- ( M +1)

1
1 1- z
z -k =
å
M + 1 k =0
M + 1 1 - z -1
M

z=ejω

w k = 2pk /( M + 1)

zk = e j 2pk /( M +1) k = 1,2,3,..., M
1 1 - z - L ( M +1)
H L ( z) =
M + 1 1 - z -L

e - jwLM / 2 sin Lw ( M2+1 )
H L (w ) =
w
M +1
sin L2
M=10 & L=3

M=10
x(n)

z-1

z-1

h(0)

L=3 & M=3

z-1

z-1
h(1)

+


z-1

z-1

z-1
h(2)

+

z-1

z-1
h(3)

+
y(n)
77

§ Bộ lọc Allpass
ª |H(ω)| = 1
(0 ≤ ω ≤ π)
ª Loại đơn giản nhất:
N
ª Loại khác
å ak z - N + k
H ( z ) = k =0
N
ak z - k
å
N

A( z ) = å ak z

H(z) = z–k

a0 º 1, ak real

k =0

-k

k =0

a0 º 1

H ( z) = z

-N

A( z -1 )
A( z )

• Nếu z0 là pole của H(z), thì 1/z0 là zero của H(z)
(r,ω0)

0

a

1 a-1

0

ω0
–ω0
(r,–ω0)


(r–1,ω0)

(r–1,–ω0)
78

-1

a+z
H1 ( z ) =
1 + az -1

r 2 + 2r cos w 0 z -1 + z -2
H 2 ( z) =
1 - 2r cos w 0 z -1 + r 2 z - 2

a = 0.6
r = 0.9
ω0 = π/4

θ2(ω)
θ1(ω)


79

§ Bộ dao động sin số
ª Bộ cộng hưởng 2 pole, trong đó các pole nằm trên vòng tròn đơn vị

ì a1 = - 2 r cos w 0
í
a2 = r 2
î
b0 r n
sin(n + 1)w0u(n)
và đáp ứng xung đơn vị h(n) =
sin w0

b0
H (z) =
1 + a1 z -1 + a 2 z - 2
p1, 2 = re ± jw 0
ª Pole

ª Nếu pole nằm trên vòng tròn đơn vị: r = 1 và b0 = Asinω0

h ( n ) = A sin( n + 1 )w 0 u ( n )
x(n)=(Asinω0)δ(n)

y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0δ(n)

y(n)=Asin(n+1)ω0

+
+

–a1
–a2


z-1
z-1

a1= –2cosω0
a2= 1
80

Fantichfourier

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Fantichfourier

Similar a Fantichfourier (20)

Fantichfourier