O documento discute princípios de contagem como multiplicação, adição, inclusão e exclusão e casas de pombo. O princípio da multiplicação é usado para contar resultados de eventos sequenciais. O princípio da adição conta resultados de eventos disjuntos. O princípio de inclusão e exclusão determina o tamanho da união de conjuntos. O princípio das casas de pombo encontra o número mínimo de elementos com propriedades compartilhadas.

1. Princípios de Contagem

2. Sumário
• Princípio da Multiplicação
• Princípio da Adição
• Princípio da Inclusão e Exclusão
• Princípio das Casas de Pombo

3. Motivação
• Um problema de contagem envolve
determinar o número de elementos em
um conjunto finito ou o número de
combinações possíveis em um dado
contexto.
‣ dimensionar capacidades/limites (em
problemas de alocação de recursos)

4. Princípio da Multiplicação
• Se existem n1 resultados possíveis para um
evento e n2 resultados possíveis para um
segundo evento, então existem n1 ⋅ n2
resultados possíveis para a seqüência dos
dois eventos.
‣ o princípio pode ser estendido a uma seqüência
com qualquer número finito de eventos
‣ verificar a ocorrência de eventos sucessivos

5. Exemplo 1
• Se um homem tem 4 ternos, 8 camisas e 5
gravatas, de quantas maneiras diferentes ele
pode se vestir?

6. Exemplo 2
• A última parte de um número de telefone
contém 4 dígitos. Quantos códigos
numéricos de 4 dígitos existem?

7. Exemplo 3
• Quantos códigos numéricos de 4 dígitos
existem, se um mesmo dígito não puder ser
repetido?

8. Seja |C| a cardinalidade de um conjunto C.
Pelo princípio da multiplicação podemos
determinar que:
Se A e B são conjuntos finitos,
então | A x B | = |A| ⋅ |B|
Exemplo 4

9. Princípio da Adição
• Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2
resultados possíveis, respectivamente, então
o número total de possibilidades para o
evento “A ou B” é n1 + n2.
‣ pode ser estendido a qualquer número finito de
eventos disjuntos

10. Exemplo 1
• Um consumidor deseja comprar um
veículo em uma concessionária.A
concessionária tem 7 automóveis sedã e 8
automóveis “hatch” em estoque. Quantas
escolhas possíveis o consumidor tem?

11. Pelo princípio da adição podemos determinar que:
Se A e B são conjuntos finitos disjuntos,
então | A ∪ B | = |A| + |B|.
Se A e B são conjuntos finitos,
então | A - B | = |A| - |A ∩ B|.
Exemplo 2

12. Exercício 1
• Quantos números de 4 dígitos começam
com 4 ou 5?

13. Exercício 2
• Se uma mulher tem 7 blusas, 5 saias e 9
vestidos, de quantas maneiras ela pode se
vestir?

14. Exercício 3
• Quantos inteiros de 3 dígitos são pares?

15. Exercício 4
• Quantos sufixos de telefone (4 dígitos)
existem com pelo menos 1 dígito repetido?

16. Árvores de Decisão
• Árvores de decisão são representações
gráficas das possibilidades de um evento
baseado em uma série de escolhas.

17. Exemplo 1
• Considere o evento de lançar 3 vezes uma
moeda. Quais as possíveis seqüências de
cara ou coroa podem ser obtidas?

18. Exemplo 2
• Desenhe uma árvore de decisão para
encontrar o número de cadeias binárias de
comprimento 3 que não têm zeros
consecutivos.

19. • Por que o princípio da multiplicação não se
aplica no exemplo anterior?
‣ Embora o problema consista em eventos
sucessivos, o número de resultados possíveis de
cada evento não é constante (o número de
resultados em um evento depende do resultado
do evento anterior).

20. Resumo
• O princípio da multiplicação é usado para
contar o número de resultados possíveis
para uma seqüência de eventos, cada um
com um número finito de possibilidades.
• O princípio da adição é usado para contar
o número de resultados possíveis para
eventos disjuntos.

21. Resumo
• Os princípios da adição e multiplicação
podem ser usados juntos.
• As árvores de decisão podem ser usadas
para contar o número de resultados
possíveis para uma seqüência de eventos
onde o número de resultados possíveis não
é constante (mas depende do resultado do
evento precedente)

22. Princípio de Inclusão e
Exclusão
Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo S.
| A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B |

23. • O princípio pode ser estendido para n
conjuntos.
• Para 3 conjuntos:
‣ |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| -| B∩C| + |A∩B∩C|

24. Exemplo 1
• Em uma pesquisa de opinião pública, foram
entrevistados 35 eleitores, todos apoiando
o referendo 1, o referendo 2, ou ambos.
Sabe-se que 14 eleitores apoiaram o
referendo 1 e 26 apoiaram o referendo 2.
Quantos apoiaram ambos os referendos?

25. Exemplo 2
• Um grupo de estudantes está planejando
encomendar pizzas. Sabe-se que 13
estudantes gostam de pizza calabresa, 10
gostam de marguerita, 12 gostam de
portuguesa, 4 gostam tanto de calabresa
quanto marguerita, 5 gostam tanto de
marguerita quanto de portuguesa, 7 de
calabresa e portuguesa e 3 gostam de
todas. Quantos estudantes há no grupo?

26. Exemplo 3
• Em um grupo de 42 turistas, todos falam
inglês ou francês. Sabe-se que 35 falam
inglês e 18 falam francês. Quantos falam
inglês e francês?

27. Princípio das Casas de
Pombo
• Se mais de k itens são colocados em k
recipientes, então pelo menos um
recipiente contém mais de um item.

28. Exemplos

29. Exemplos
• Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos
duas fazem aniversário no mesmo mês.

30. Exemplos
• Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos
duas fazem aniversário no mesmo mês.
• Quantas vezes é preciso jogar um dado de
modo a garantir que um mesmo número
apareça duas vezes?

31. Exemplos
• Em um grupo de 13 pessoas, pelo menos
duas fazem aniversário no mesmo mês.
• Quantas vezes é preciso jogar um dado de
modo a garantir que um mesmo número
apareça duas vezes?
‣ É preciso jogar o dado 7 vezes.

32. Mais exemplos

33. Mais exemplos
• Quantas pessoas precisam estar presentes
em uma sala para garantir que duas delas
tenham o último nome começando com a
mesma letra?

34. Mais exemplos
• Quantas pessoas precisam estar presentes
em uma sala para garantir que duas delas
tenham o último nome começando com a
mesma letra?
‣ 27 pessoas (considerando alfabeto de 26 letras)

35. Mais exemplos
• Quantas pessoas precisam estar presentes
em uma sala para garantir que duas delas
tenham o último nome começando com a
mesma letra?
‣ 27 pessoas (considerando alfabeto de 26 letras)
• Em um grupo de 25 pessoas, é verdade que
existem pelo menos 3 pessoas que
nasceram no mesmo mês?

36. Mais exemplos
• Quantas pessoas precisam estar presentes
em uma sala para garantir que duas delas
tenham o último nome começando com a
mesma letra?
‣ 27 pessoas (considerando alfabeto de 26 letras)
• Em um grupo de 25 pessoas, é verdade que
existem pelo menos 3 pessoas que
nasceram no mesmo mês?
‣ Sim

37. Exemplo 4
• Prove que, se quatro números forem
escolhidos do conjunto C = {1,2,3,4,5,6},
pelo menos um par (entre os números
escolhidos) tem que somar 7.

38. Resumo
• Uso do Princípio de Inclusão e Exclusão
para encontrar o número de elementos em
uma união de conjuntos.
• Uso do Princípio das Casas de Pombo para
encontrar o número mínimo de elementos
que garantem que dois deles têm uma
propriedade em comum.