Matemática Discreta. Relações matemáticas.

1. Matemática Discreta
Parte 3
• Relações (4.1)
• Álgebra de Boole (7.1)
• Introdução à Teoria dos Grafos (5.1 e 5.2)

2. Relações

3. Sumário
• Propriedades de Relações
• Fechos de Relações
• Ordens Parciais
• Relações de Equivalência

4. Produto Cartesiano
• Dados dois conjuntos A e B, o produto
cartesiano de A e B, denotado por A×B, é o
conjunto {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}
• Exemplo:
‣ Sejam A={a, b} e B={c, d}
‣ A×B = {(a,c), (a,d), (b,c), (b,d)}

5. Produto Cartesiano
• Seja um conjunto S = {1,2,3}
• Então S×S = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2),
(2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
‣ Podemos identificar um subconjunto de pares
ordenados de S×S que satisfazem alguma relação
específica?

6. Exemplo 1
• Seja ρ a relação de igualdade em S×S.
• A notação x ρ y significa que o par
ordenado (x,y) ∈ S×S satisfaz a relação ρ.
‣ Se (x,y) ∈ S×S e x = y , então x ρ y.

7. Exemplo 1
• Seja ρ a relação de igualdade em S×S.
• A notação x ρ y significa que o par
ordenado (x,y) ∈ S×S satisfaz a relação ρ.
‣ Se (x,y) ∈ S×S e x = y , então x ρ y.
‣ A relação ρ em S×S é {(1,1), (2,2), (3,3)}.

8. Relação Binária
• Dado um conjunto S, uma relação binária
em S é um subconjunto de S×S.
‣ (x,y) ∈ ρ x ρ y
• Uma relação é definida explicitamente ou
por uma propriedade de pertinência.

9. Exemplo 2
• Seja S = {1, 2, 3}
• Seja ρ uma relação em S tal que
‣ x ρ y x+y é ímpar ((x,y) ∈ ρ x+y é impar)

10. Exemplo 2
• Seja S = {1, 2, 3}
• Seja ρ uma relação em S tal que
‣ x ρ y x+y é ímpar ((x,y) ∈ ρ x+y é impar)
• Neste caso,
‣ ρ = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}

11. Relações entre Conjuntos
Diferentes
• Dados dois conjuntos S e T, uma relação
binária de S para T é um subconjunto de S×T.
• Dados n conjuntos S1, S2, ... , Sn, n>2, uma
relação n-ária em S1×S2×...×Sn é um
subconjunto de S1×S2×...×Sn.

12. Tipos de Relações
• Seja ρ uma relação binária de S para T
‣ (x,y) ∈ ρ, x ∈ S e y ∈ T.
• Um para um: cada x e cada y aparecem apenas uma
vez na relação.
• Um para muitos: algum x aparece mais de uma vez.
• Muitos para um: algum y aparece mais de uma vez.
• Muitos para muitos: algum x e algum y aparecem
mais de uma vez.

14. Operações entre Relações
• Sejam duas relações ρ e σ em S×S.
• Como as relações são conjuntos, podemos
definir as operações de união, interseção e
complemento entre relações:
‣ x (ρ ∪ σ) y x ρ y ou x σ y
‣ x (ρ ∩ σ) y x ρ y e x σ y
‣ x ρ’ y não x ρ y

15. Propriedades de Relações
• Seja ρ uma relação binária em S.
• Então ρ pode ser:
‣ reflexiva
‣ simétrica
‣ transitiva
‣ anti-simétrica

16. Relação Reflexiva
• Seja ρ uma relação binária em S.
• ρ é reflexiva se (∀x) (x ∈ S → (x,x) ∈ ρ)
• Exemplos de relações reflexivas:
‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y x = y
‣ ρ em ℕ tal que x ρ y x ≤ y

17. Relação Simétrica
• Seja ρ uma relação binária em S.
• ρ é simétrica se
‣ (∀x) (∀y) ((x, y) ∈ ρ → (y, x) ∈ ρ)
• Exemplos
‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y x = y, é simétrica
‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y x ≤ y, não é simétrica

18. Relação Transitiva
• Seja ρ uma relação binária em S.
• ρ é transitiva se
‣ (∀x)(∀y)(∀z) ((x,y)∈ρ ∧ (y,z)∈ρ → (x,z)∈ρ)
• Exemplos de relações transitivas:
‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y x = y
‣ ρ em ℕ tal que x ρ y x ≤ y

19. Relação Anti-Simétrica
• Seja ρ uma relação binária em S.
• ρ é anti-simétrica se
‣ (∀x)(∀y) ((x,y)∈ρ ∧ (y,x)∈ρ → x=y)
• Exemplo de relação anti-simétrica:
‣ ρ em ℕ tal que x ρ y x ≤ y

20. Exemplo
• Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em
S, tal que A ρ B A ⊆ B.
• Determine as propriedades de ρ.

21. Exemplo
• Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em
S, tal que A ρ B A ⊆ B.
• Determine as propriedades de ρ.
‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é
subconjunto de si mesmo.

22. Exemplo
• Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em
S, tal que A ρ B A ⊆ B.
• Determine as propriedades de ρ.
‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é
subconjunto de si mesmo.
‣ ρ é transitiva, pois se A⊆B e B⊆C, então A⊆C.

23. Exemplo
• Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em
S, tal que A ρ B A ⊆ B.
• Determine as propriedades de ρ.
‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é
subconjunto de si mesmo.
‣ ρ é transitiva, pois se A⊆B e B⊆C, então A⊆C.
‣ ρ é anti-simétrica, pois se A⊆B e B⊆A, então A=B.

24. • Uma relação pode ser simétrica e, ao
mesmo tempo, anti-simétrica.
‣ Exemplo: relação de igualdade
• Uma relação pode não ser nem simétrica,
nem anti-simétrica.
‣ Exemplo: ρ = {(1,2), (2,1), (1,3)} em S={1,2,3}
‣ ρ não é simétrica, pois (1,3)∈ρ, mas (3,1)∉ρ
‣ ρ não é anti-simétrica, pois (1,2)∈ρ e (2,1)∈ρ,
mas 1≠2

25. Sumário
• Propriedades de Relações
• Fechos de Relações
• Ordens Parciais
• Relações de Equivalência

26. Definição Informal
Se uma relação ρ em um conjunto S não tem
determinada propriedade, pode ser possível
estender ρ a uma relação ρ* que tenha essa
propriedade, tal que ρ ⊆ ρ*.
Se ρ* é o menor conjunto com essa propriedade,
então ele é o fecho de ρ em relação a essa
propriedade.
Podemos procurar o fecho reflexivo, fecho
simétrico ou fecho transitivo de uma relação em
um dado conjunto.

27. Definição Formal
Uma relação binária ρ* em um conjunto S é
o fecho de uma relação ρ em relação à
propriedade P se:
1. ρ* tem a propriedade P;
2. ρ ⊆ ρ*;
3. ρ* é subconjunto de qualquer outra relação em
S que inclua ρ (2) e tenha a propriedade P (1).

28. Exemplo
Seja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma
relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos
reflexivo, simétrico e transitivo.

29. Exemplo
Seja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma
relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos
reflexivo, simétrico e transitivo.
• Fecho reflexivo é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}

30. Exemplo
Seja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma
relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos
reflexivo, simétrico e transitivo.
• Fecho reflexivo é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}
• Fecho em relação à simetria é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}

31. Exemplo
Seja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma
relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos
reflexivo, simétrico e transitivo.
• Fecho reflexivo é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}
• Fecho em relação à simetria é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}
• Fecho transitivo é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3), (2,1), (2,2)}

32. Sumário
• Propriedades de Relações
• Fechos de Relações
• Ordens Parciais
• Relações de Equivalência

33. Ordens Parciais
• Uma relação binária em um conjunto S que
seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é
chamada uma ordem parcial em S.
• Exemplos:
‣ x ρ y x ≤ y em ℕ
‣ A ρ B A ⊆ B em ℘(ℕ)
‣ x ρ y x divide y em ℤ+

34. • Se ρ é uma ordem parcial em S, então o
par ordenado (S, ρ) é chamado um
conjunto parcialmente ordenado.
• Notação
‣ (S, ≼) é um conjunto parcialmente ordenado.
‣ Se x ≼ y e x ≠ y, então x ≺ y
(x é predecessor de y e y é sucessor de x)
‣ Se ∄ z | x ≺ z ≺ y, então x é predecessor
imediato de y

35. Diagrama de Hasse
• Representação visual de um conjunto
parcialmente ordenado (S, ≼)
‣ Cada elemento de S é um ponto (nó ou vértice)
no diagrama
‣ Se x é predecessor imediato de y, então y é
posicionado acima de x e os dois pontos são
conectados por um segmento de reta.

36. Exemplo
• Desenhe o diagrama de Hasse para (S, ≼)
‣ S = {1, 2, 3, 6,12, 18}
‣ x ≼ y “x divide y”

37. Exemplo
• Desenhe o diagrama de Hasse para (S, ≼)
‣ S = {1, 2, 3, 6,12, 18}
‣ x ≼ y “x divide y”
1
2 3
6
12 18

38. Ordem Total
• Uma ordem total é uma ordem parcial na
qual todo elemento do conjunto está
relacionado a todos os outros elementos.
• Exemplo:
‣ x ρ y x ≤ y em ℕ
Diagrama de Hasse
para ordens totais.

39. Elemento Mínimo
• Seja (S, ≼) um conjunto parcialmente
ordenado.
• Se existe m ∈ S tal que (∀x)(m ≼ x), então
m é um elemento mínimo.
• Se existir um elemento mínimo, ele é único.
• Em um diagrama de Hasse, um elemento
mínimo está abaixo de todos os outros.

40. Elemento Minimal
• Seja (S, ≼) um conjunto parcialmente
ordenado.
• Se t ∈ S e (∄x)(x ≺ t), então t é um
elemento minimal.
• Em um diagrama de Hasse, um elemento
minimal não tem elementos abaixo dele.
• Um elemento pode ser, ao mesmo tempo,
mínimo e minimal. Um elemento mínimo é
sempre minimal.

41. Sumário
• Propriedades de Relações
• Fechos de Relações
• Ordens Parciais
• Relações de Equivalência

42. Relações de Equivalência
• Uma relação binária em um conjunto S que
é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada
uma relação de equivalência em S
• Exemplos:
‣ x ρ y x+y é par
‣ x ρ y x = y

43. Teorema
• Uma relação de equivalência em um
conjunto S determina uma partição de S.
• Uma partição de S determina uma relação
de equivalência em S.

44. Partição de um Conjunto
• Uma partição de um conjunto S é uma
coleção de subconjuntos disjuntos não-
vazios de S, cuja união é igual a S.
• Exemplo
‣ S = {a, b, c, d, e, f, g}
‣ {{a, b}, {c, d}, {e, f, g}} é uma partição de S

45. • Uma relação de equivalência divide o
conjunto onde ela está definida em uma
partição.
• Os subconjuntos que compõem a partição
são formados agrupando-se os elementos
relacionados.
• Exemplo
‣ S é o conjunto dos alunos em uma sala
‣ x ρ y “x senta na mesma fila que y”
Alunos
na fila 1
Alunos
na fila 2
...
Alunos
na fila n
S

46. Classes de Equivalência
• Seja ρ é uma relação de equivalência em
um conjunto S e x ∈ S
• Denota-se por [x] o conjunto de todos os
elementos de S relacionados a x:
‣ [x] = {y | y ∈ S ∧ x ρ y}
• Esse conjunto é chamado de classe de
equivalência de x.

47. Exemplo
• Sabemos que x ρ y “x+y é par” é um
relação de equivalência em ℕ. Quais são as
classes de equivalência correspondentes?

48. Exemplo
• Sabemos que x ρ y “x+y é par” é um
relação de equivalência em ℕ. Quais são as
classes de equivalência correspondentes?
‣ [1] e [2]

49. Exemplo
• Sabemos que x ρ y “x+y é par” é um
relação de equivalência em ℕ. Quais são as
classes de equivalência correspondentes?
Ímpares Pares
ℕ
‣ [1] e [2]

50. Congruência Módulo n
• Sejam x e y inteiros e n um inteiro positivo
‣ x ≡ y (mod n) se x-y é um múltiplo inteiro de n
• Exemplos
‣ 9 ≡ 1(mod 4), pois 9-1 é múltiplo de 4
• A relação binária “congruência módulo n” é
sempre uma relação de equivalência em ℤ
• Conceito importante no projeto de
arquitetura de computadores.

51. Resumo
Reflexiva Simétrica Anti-simétrica Transitiva
Ordem
Parcial
sim não sim sim
Predecessores e
sucessores
Relação de
Equivalência
sim sim não sim
Determina uma
partição