Matematica e Musica

Facciamo suonare i numeri
Didattica laboratoriale tra Musica e Matematica
Nicola Chiriano - Milano, 10 feb 2012
chiriano@thebrain.net

Musica & Matematica
ritmo
(suddivisione del tempo)
pentagramma
(semiografia, rappres. nel piano)
durata
(di note e pause)
2 Nicola Chiriano - Milano, 10 feb 2012
metro
(durata delle battute)
scala
(insiemi numerici)

Partitura
1 2 3 4 5
ℕ↪ℚ ℝ
(irrazionali)
ℝ
(logaritmi)
ℝ
(sinusoidi)
ℂ
Quando suona
l’intervallo
Il restauro
della Scala
Sulla scala a
ritmo di Log
Onda su onda
su onda...
Suoni prodotti
in serie
Pitagora e la
musica metallica
Il “temperino” di
J.S. Bach
G.W. Leibniz e i
“numeri dei
rapporti”
J.B. d’Alembert fa
luce sul suono
La sintesi di J.B.
“Fab” Fourier
3 Nicola Chiriano - Milano, 10 feb 2012 chiriano@thebrain.net

ἡ Κρότων

ℚ
1. Quando suona l’intervallo
PITAGORA
E LA MUSICA METALLICA

Ipse dixit (et sonavit)
Πυθαγόρας
 Τετρακτύς (10)
 Μουσική (poesia, cultura)
 Φιλοσοφία (spirito di ricerca)
 Mαθηματικός (studioso, scienziato)
 Λόγος (parola, ragione, rapporto)
(F. Gaffurius, 1492)
푓0 =
1
2 퐿
푇
휌 푆
(M. Mersenne 1636)

7
Paperino e la Matemusica
Nicola Chiriano - Milano, 10 feb 2012 chiriano@thebrain.net

Piacevoli intervalli
Nota Lunghezza Peso Frequenza Intervallo
Do 1 1/1 1 Unisono
Fa 3/4 16/9 4/3 Quarta
Sol 2/3 9/4 3/2 Quinta
Do2 1/2 4/1 2 Ottava
intervallo
distanza tra note
rapporto tra le loro frequenze

Note con obbligo di frequenza
Fa0 Do1
2
3
3/2
Sol1
3
2
Re2
9
4
La2 Mi3 Si3
3/2 3/2 3/2 3/2 3/2
Do1 Sol1
×2
4
3
:2
9
8
27
16
81
64
Re1 Mi1 Fa1 La1 Si1
1
Do2
243
128
27
8
81
16
:4
243
32
:2 :4
2
scala
pitagorica
Intervalli tra note consecutive:
 tono (9/8)
 semitono (256/243)

Scala Tolemaica
Tolomeo (Egitto, II sec. a.C.)
 fissata la corda ad 1/5, fece
vibrare la parte più lunga
emettendo la nota a 5/4 (3ªM)
 costruzione scala naturale
 si parte da Do-Mi (3ª M) e Do-Sol (5ª)
 inseriamo le 4e (4/3) Do-Fa e Mi-La,
da cui Do-La=(5/4) (4/3) = 5/3
 infine la 5ª Mi-Si=(5/4) (3/2) = 15/8
 è la scala diatonica di massima
armonia o di giusta intonazione
Nota Freq. Intervallo
Do 1 Unisono
Re 9/8 Tono maggiore
Mi 5/4 Terza maggiore
Fa 4/3 Quarta giusta
Sol 3/2 Quinta giusta
La 5/3 Sesta = 3ª+4ª
Si 15/8 Settima+ = 3ª+5ª
Do2 2 Ottava

Zarlino, naturalmente
Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2
5
1 2
Mi =5 :2 Mi =
:2
3 :
2
3
2
2
81
64
5
Mi =
4
3
×
2
3
2
4
3
9
8
1
Si =
3 1
15
8
Do1 Sol1
27
16
243
128
Re1 Mi1 Fa1 La1 Si1
3
2
4
3
9
8
5
3
5
4
15
8
1
Do2
2
La =
1
5
scala
naturale

Pregi naturali e difetti indotti
Armonici Difetti
 intervalli tra note consecutive
 tono maggiore (9/8)
 tono minore (10/9)
 semitono (16/15)
 parti ottava non proporzionali
 accordature più difficili
Nicola Chiriano - Milano, 10 feb 2012
armonici naturali o ipertoni
12 chiriano@thebrain.net

Note di colore
Problemi
1. 2 semitoni ≠ un tono
2. note alterate diverse…
3. …a fine ciclo
4. scala stonata se inizia
da un’altra nota

Barriere architettoniche (1)
1. 2 semitoni ≠ 1 tono
Scala pitagorica:
256
243
∙
256
243
<
9
8
distano un comma pitagorico:
9
8
:
256
243
2
=
ퟑퟏퟐ
ퟐퟏퟗ ≈ 1.0136 > 1
Scala naturale
15
16
∙
15
16
<
9
10
푡. 푚.
<
9
8
푡. 푀.
2. note alterate diverse
Note enarmoniche
퐷표1
+7 푞푢푖푛푡푒
퐷표 5 =
3
2
7
−4 표푡푡푎푣푒
퐷표 1 =
37
211
퐷표1
−5 푞푢푖푛푡푒
푅푒 −2 =
2
3
5
+3 표푡푡푎푣푒
푅푒 1 =
28
35
퐷표
푅푒
=
ퟑퟏퟐ
ퟐퟏퟗ

Barriere architettoniche (2)
3. spirale di 12 quinte
퐷표8 =
3
2
12
−6 표푡푡푎푣푒
퐷표8
26 =
312
218 > 2 = 퐷표2
 7 ottave > 12 quinte:
퐷표8 26
퐷표2
=
ퟑퟏퟐ
ퟐퟏퟗ
 non è colpa del 12, ∄ 푚 ∈ ℕ:
3
2
푛
= 2푚 ↔ 3푛 = 2푚+푛 ↔ 3 = 2푚+1
4. altre scale stonate
Ad es. quinta giusta e quinta calante
differiscono per un comma sintonico
81
80
:
푆표푙
퐷표
=
3
2
≠
40
27
=
퐿푎
푅푒
Modulazione possibile se
 il ciclo si chiude
 il semitono è costante
퐷표8
퐷표1
= 27

Test 1 – Scala pitagorica
1. Esprimi in frazione la frequenza del Sol2
① 3/2 ② 3 ③ 3/4 ④ 2/3
2. Calcola l’intervallo di nona tra il Do2 e il Re3
① 9/2 ② 9 ③ 9/8 ④ 9/4
3. Verifica se componendo due semitoni si ottenga un tono
① 216/310, no ② 9/8, sì ③ 28/35, no ④ 310/216, no
4. Confronta le due note ottenute dal Do rispettivamente salendo di 7
quinte e scendendo di 5, dopo averle riportate entro l’ottava principale
① 37/24 ② 37/2-4 ③ 312/219 ④ 1

ℝ
2. Il restauro della Scala
IL “TEMPERINO”
DI J.S. BACH

Ubi deficit ratio
 Richiedere il semitono costante
퐷표 1
퐷표1
=
푅푒1
퐷표 1
= ⋯ =
퐷표2
푆푖1
= 푘
equivale a dire che per l’ottava
퐷표2
퐷표1
= 푘12 = 2
ovvero che
푘 = 12 2 ∉ ℚ

Una scala senza barriere
1. 2 semitoni = 1 tono
Scala equabile:
unico 푡표푛표 = 푘2 = 12 2
2
= 6 2
2.note alterate uguali
3. ciclo di quinte
12 quinte = 7 ottave
7 12
푞푢푖푛푡푎 = 푘=
27
퐷표8
퐷표1
= 푘7 12 = 27
4. altre scale intonate
stesse sequenze TTSTTTS
con gli stessi rapporti

Temperamento paterno
 Semitono razionale
18
17
≈ 1.058823 ≈ 12 2
 Tono equabile
S. Stevino ►diàtonon
syntonon di Aristosseno
 Tono mesotonico
푀푖
퐷표
=
5
4
푡푒푟푧푎 푔푖푢푠푡푎
⇒
푅푒
퐷표
=
5
2
푡표푛표
Nicola 20 Chiriano - Milano, 10 feb 2012 chiriano@thebrain.net
,

Il compromesso (s)tonico
A. Werckmeister (1645-1706)
 5 quinte mesotoniche
+ 7 quinte pitagoriche
4 5
5
∙
3
2
7
≈ 127.75 ≈ 128 = 27
 «Tra due tasti bianchi ci sarebbe
bisogno di due neri, invece di uno
solo. È un trucco, il piano è uno
strumento falso»

Il temperino di Bach
 temperamento “buono”
Clavicembalo
ben temperato
 due libri (1722 e 1744)
 coppie preludio + fuga
nelle 24 tonalità

Mettiamoli d’accordo
PRO
Tonalità con pari dignità
 G.W Leibniz (1709)
solo orecchi allenati colgono le
“stonature” della scala equabile
 C. Debussy (fine ’800)
uso della scala esatonale
 A. Schönberg (1912)
musica dodecafonica
CONTRO
Tonalità senza “personalità”
 G. Tartini (1754)
bollò il temperamento equabile
come inaccettabile
 M. Mersenne, J-P. Rameau (’6-700)
la teoria dei suoni armonici dà
la giustificazione scientifica
della “naturalità” della scala
di Pitagora e Zarlino.

Non è sempre la solita solfa
Sist.
Sist.
equabile vs. naturale
Semitono
12 2 ≈ 1.059
poco più
grande del
Semitono
pitagorico
256
243
≈ 1.053
Tono
6 2 ≈ 1.122
poco più
piccolo del
Tono
maggiore
9
8
≈ 1.125
Quinta
12
27 ≈ 1.498
poco più
piccola della
Quinta
3
2
≈ 1.500
Naturale Equabile Equ vs Nat
Nota
Freq
(Hz)
Nota
Do
Δ
(Hz)
Nota
prec
Freq
(Hz)
Nota
Do
Δ
(Hz)
Nota
prec
Δ
(Hz)
Δ
(%)
Do3 264,0 1,00 - - 261,6 1,00 - - -2,4 -0,9
Do 275,0 1,04 11,0 1,04
277,2 1,06 15,6 1,06
2,2 0,8
Re 285,1 1,08 10,1 1,04 -7,9 -2,8
Re 297,0 1,13 11,9 1,04 293,7 1,12 16,5 1,06 -3,3 -1,1
Re 309,4 1,17 12,4 1,04
311,1 1,19 17,5 1,06
1,8 0,6
Mi 316,8 1,20 7,4 1,02 -5,7 -1,8
Mi 330,0 1,25 13,2 1,04 329,6 1,26 18,5 1,06 -0,4 -0,1
Fa 352,0 1,33 22,0 1,07 349,2 1,33 19,6 1,06 -2,8 -0,8
Fa 366,7 1,39 14,7 1,04
370,0 1,41 20,8 1,06
3,3 0,9
Sol 380,2 1,44 13,5 1,04 -10,2 -2,7
Sol 396,0 1,50 15,8 1,04 392,0 1,50 22,0 1,06 -4,0 -1,0
Sol 412,5 1,56 16,5 1,04
415,3 1,59 23,3 1,06
2,8 0,7
La 422,4 1,60 9,9 1,02 -7,1 -1,7
La3 440,0 1,67 17,6 1,04 440,0 1,68 24,7 1,06 - -
La 458,3 1,74 18,3 1,04
466,2 1,78 26,2 1,06
7,8 1,7
Si 475,2 1,80 16,9 1,04 -9,0 -1,9
Si 495,0 1,88 19,8 1,04 493,9 1,89 27,7 1,06 -1,1 -0,2
Do4 528,0 2,00 33,0 1,07 523,3 2,00 29,4 1,06 -4,7 -0,9

25
La scala della Scala di Milano
Nicola Chiriano - Milano, 10 feb 2012 chiriano@thebrain.net

Test 2 – Scala equabile
1. Esprimi con un radicale la frequenza del Sol2
① 12 27 ② 212 27 ③ 12 25 ④ 12 2
2. Calcola l’intervallo di nona tra il Do2 e il Re3
① 12 29 ② 6 2 ③ 12 2 ④ 26 2
3. Verifica se componendo due semitoni si ottenga un tono
① 6 27, no ② 6 2, sì ③ 12 27, no ④ 12 2, no
4. Confronta le due note ottenute dal Do rispettivamente salendo di 7
quinte e scendendo di 5, dopo averle riportate entro l’ottava principale
① 12 27 ② 12 2 ③ 1 ④ 6 2

Rappresentazione del modello
Nota 1
(La=440Hz)
somma
additiva
differenza
aritmetica
Nota 2
(Mi=660Hz)
Operazione
Percezione
Intervallo
Progressione
prodotto
moltiplicativa
rapporto
geometrica

ℝ
3. Sulla scala a ritmo di Log
G.W. LEIBNIZ
E I “NUMERI DEI RAPPORTI”

Perché ci vuole orecchio
 G.W. Leibniz
 1709: esamina « per mezzo dei
Logaritmi l’antica suddivisione
dell’ottava in 12 parti uguali,
che Aristosseno già seguiva » e
si accorge dell’utilità
 1712: scrive a C. Goldbach
“Musica est exercitium
arithmeticae occultum
nescientis se numerare animi”
 H. von Helmholtz
teoria posizionale (1863)
 la struttura fisiologica
del nostro orecchio ci fa
percepire le frequenze delle
note in modo moltiplicativo
 un intervallo musicale, come
verificato sin da Pitagora,
è determinato dal loro
rapporto

Trascendentalità
π, e, sin 푎 , cos 푎 ,
tan 푎 , 푒푎, log 푎
12 2 ⟺ 푥12 = 2
Soluzioni di
equazioni
polinomiali
Teorema di
Lindemann-
Weierstrass

Le relazioni rivelano il temperamento
 Ottava
log2
퐷표2
퐷표1
= 1
 Semitono
log2
12 2 =
1
12
Logaritmo = “numero dei rapporti”
 Intervallo generico R
푅 = 12 2
푛
⇒ 푛 = 12 log2 푅

Logaritastiera
1 2 4 8 16 32 64 128
0 1 2 3 4 5 6 7

Orecchio in base 2

Test 3 – Scala logaritmica
1. Esprimi con una potenza la frequenza del Do4
① 24 ② 23 ③ 23/2 ④ 22
2. Calcola il numero di semitoni tra il Do2 e il Re3
① 2 ② 9 ③ 13 ④ 14
3. Esprimi in scala logaritmica l’intervallo di nona tra il Do2 e il Re3
① 7/6 ② 6/7 ③ 13/12 ④ 12/13
4. Determina l’inclinazione della retta che interseca la spirale logaritmica
in Re1 e Re2
① 30° ② 45° ③ 60° ④ arctg 2

ℝ
4. Onda su onda su onda...
J.B. D’ALEMBERT
FA LUCE SUL SUONO

Va in onda d’Alembert
Estratto dalla Encyclopédie ou
Dictionnaire raisonné des sciences,
des arts et des métiers (1765)
Estratto da Wikipedia
vers. italiana (2010)
Equazione:
휕2푦
휕푡2 =
휕2푦
휕푥2
Soluzione:
푓 푥, 푡 = 푓− 푥 − 푡 + 푓+ 푥 + 푡

Molle e stringhe
Robert Hooke (1676)
“The power of any springy body
is in the same proportion with
the extension”
Isaac Newton (1687)
“The change of motion
is proportional to the
motive force impressed”
TOE ?
Nicola 37 Chiriano - Milano, 10 feb 2012

Si sovrappone Eulero
Equazione:
휕2푦
휕푡2 =
ퟏ
풗ퟐ
휕2푦
휕푥2
Soluzione:
푓 푥, 푡 = 푓− 푥 − 풗 푡 + 푓+ 푥 + 풗 푡
푓 푥, 푡 = 퐴1푓1 푥, 푡 + 퐴2푓2 푥, 푡 + ⋯ + 퐴푛푓푛 푥, 푡
Principio di sovrapposizione
ogni perturbazione = c.l. di onde piane
⇳
più perturbazioni = onda loro somma

Onde armoniche piane
풚 = 푨 퐬퐢퐧 풌풙 ∓ 흎풕 + 흋
풚 = 푨 퐬퐢퐧 풌 풙 ∓ 풗풕
Frequenza 휈 =
1
푇
Lunghezza d’onda 휆 =
2휋
푘
Numero d’onda 푘 =
2휋
휆
Periodo 푇 =
휆
푣
Pulsazione 휔 =
2휋
푇
Velocità di prop. 푣 =
휆
푇
휑 = 푥 = 0 ⇒ 푦 = 퐴 sin 휔푡
푡 = 0, 휔 = 1 ⇒ 푦 = 퐴 sin 푘푥

“Recherches sur le vibrations des Cordes sonores” (1761)
D’Alembert riferisce delle polemiche con Eulero e D. Bernoulli dopo la memoria del 1747

Eppur non si muove
Onda stazionaria Armonici naturali
Le due onde “opposte” hanno entrambe lunghezza 퐿 푛
⇨ la risultante è un’onda stazionaria: non si propaga e possiede nodi e ventri

Daniel Bernoulli tira le somme
Soluzione generale:
푓 푥 =
푛
퐴푛 sin 푘푛푥
 serie trigonometrica
il suono emesso da una corda
vibrante è la somma (c.l.) dei
suoi infiniti armonici

Scala cromatica ⬄ Arcobaleno
Equazioni di Maxwell (1873)
푐 =
1
휀0휇0
≈ 2.99 ∙ 108 푚 푠

Test 4 – Onde e sinusoidi
1. Scrivi l’equazione di un’onda che emette un La naturale
① 푦 = sin 880휋푡 ② 푦 = sin
휋
220
푡 ③ 푦 = sin 440 푡 ④ 푦 = 440 sin 휋푡
2. Determina i battimenti prodotti dalle frequenze 440 퐻푧 e 438 퐻푧
① 2 cos 휋푡 sin 878 푡 ② 2 cos 2휋푡 sin 439푡 ③ 2 cos 휋푡 sin 878휋푡 ④ 2 cos 2휋푡 sin 878휋푡
3. Quale tra le seguenti onde ha un’intensità doppia di quella al punto 1.?
① 푦 = sin 440휋푡 ② 푦 = 2 sin 880휋푡 ③ 푦 = sin 1760휋푡 ④ 푦 = 2 sin 440푡
4. Quale tra le seguenti note non è un armonico di quella al punto 1.?
① 푦 = sin 2640휋푡 ② 푦 = sin 1760휋푡 ③ 푦 = sin 440휋푡 ④ 푦 = sin 4400휋푡

Grenoble

ℂ
5. Suoni prodotti in serie
LA SINTESI DI
J.B. “FAB” FOURIER

L’orbo che vedeva (molto) lontano
Oscillatore armonico
푦′′ + 푦 = 0
Soluzioni:
 푦 푥 = 퐴푒푖푥 + 퐵푒−푖푥
 푦 푥 = 훼 sin 푥 + 훽
푒푖푥 = cos 푥 + 푖 sin 푥

Quel capolavoro di Leonardo
푒푖휋 + 1 = 0

Onde periodiche di calore
J.L. Lagrange (1758)
Equazione d’onda:
휕2푢
휕푡2 = 푎2 휕2푢
휕푥2 ► 푢 푥, 푡 = 퐴 sin 푘푥 sin 푎푘푡
J. Fourier (1807)
푝푒푟 푁 → ∞
Equazione del calore:
휕푢
22 휕푢
= 푎휕푡
푝푒푟 푁 → ∞
휕푥2 ► 푢 푥, 푡 = 푘 푏푘 sin 푘푥 푒−푎2푘2푡
−푎2푘2푢
−푎2푘2푢

Codice Fourier
 ogni funzione periodica si può esprimere
tramite una serie trigonometrica
푓 푥 =
+∞
푛=−∞
푐푛 푒푖푛푥
푓표푟푚푎 푐표푚푝푙푒푠푠푎
=
푎0
2
+
∞
푛=1
armonica n-ma
푎푛 cos 푛푥 + 푏푛 sin 푛푥
푓표푟푚푎 푟푒푎푙푒
푎0 = 2푐0
푎푛 = 푐푛 + 푐−푛
푏푛 = 푖 푐푛 − 푐−푛
푐0 = 푎0 2
푐푛 = 푎푛 − 푖푏푛 2
푐−푛 = 푎푛 + 푖푏푛 2
푎0 = 1
휋
2휋
푓 푥 푑푥
0
푎푛 = 1
휋
2휋
푓 푥 cos 푛푥 푑푥
0
푏푛 = 1
휋
2휋
푓 푥 sin 푛푥 푑푥
0
푓 ∈ 퐿2 0,2휋
con 푇 = 2휋

Suoni di un certo carattere
 Frequenza ► ALTEZZA
 Ampiezza ► INTENSITÀ
 Forma ► TIMBRO
von Helmholtz 1863

Analisi e Sintesi armonica
 Ciascun suono può essere
 scomposto nelle proprie
componenti fondamentali
(analisi armonica)
 riprodotto fedelmente
sommando opportune
onde sonore semplici
(sintesi armonica)

Campioni dal mondo
Inviluppo
variazione nel
tempo (s)
dell’ampiezza
dell’onda (dB)
Sonogrammi
distribuzione
nel tempo (s)
delle frequenze
(kHz)
Spettrogrammi
variazione nel
tempo (s)
dell’ampiezza
(dB) di ciascuna
frequenza
Visualizz. 3D
ampiezza (dB)
nel tempo (s) di
ogni frequenza
(kHz)

Heat parade
• teoria delle formanti
dipendenza da sorgente,
risuonatore e adattatore
Voce umana (“a” ed “i”)
VS
Propagazione del calore

Rumore bianco
Köln – WDR – 1953
K.H. Stockhausen
Elektronische Musik
Paris – ORTF – 1948
P. Schaeffer
Musique Concrète
Milan – RAI – 1955
L. Berio
Musica elettroacustica

Ufficio Semplificazioni Affari omplessi
intersezioni
 eq. differenz. non lineari
Eulero 1739
 teoria onde sonore
Lagrange 1759
 perturbazioni orbite dei pianeti
Lagrange 1770, Leverrier 1846, Einstein 1916
 teoria del calore
Fourier 1807, 1822
 onde e.m.
Maxwell 1865
 equazione di Schrödinger
1926
innovazioni
 def. di funzione e monotonia
P.G. Dirichlet 1829
 integrale definito
B. Riemann 1854, H. Lebesgue 1903
 teoria degli insiemi
G. Cantor 1870
 spazi di Hilbert
1909
 teoria delle distribuzioni
L. Schwartz 1944
manipolaz. suoni, immagini e video
FFT 1965, 풞1 wavelets 1985

Innovazioni tecnologiche
 CD Audio (Sony e Philips 1980)
 microonde (Hertz 1887) come
previsto da Maxwell (1873)
 DSP e FFT
 DNA (J. Watson e F. Crick 1953)
 TAC (Nobel per la medicina 1979)
 RMN (risonanza magn. nucleare)
 Radiotelescopi
 FBI fingerprints database (1993)

omplessi & ompressi
 Audio
 PCM (CD) dati non compressi
 MP3 taglia freq. non udibili ed
armoniche secondarie (1995)
 Image
 lossy (JPEG 1992)
 loseless (TIFF 1986, PNG 1995)
 Video
 DVD (MPEG 1988)
 DivX 1999

«Per tre cose
vale la pena di vivere:
la matematica,
la musica e l’amore »
(R. Caccioppoli)

Bibliografia e risorse web
 N. Chiriano, Suoni prodotti in serie. La sintesi di J.B. “Fab”
Fourier, Alice&Bob n. 20, set-ott 2010
 N. Chiriano, Onda su onda su onda... J.B. d’Alembert fa luce
sul suono, Alice&Bob n. 19, giu-ago 2010
 N. Chiriano, A ritmo di Log. G.W. Leibniz e i “numeri
dei rapporti”, Alice&Bob n. 17-18, mar-mag 2010
 N. Chiriano, Il restauro della Scala. Il “temperino” di J.S.
Bach, Alice&Bob n. 16, gen-feb 2010
 N. Chiriano, Pitagora e la Musica, Alice&Bob n. 15,
nov-dic 2009
 A. Cremaschi, F. Giomi, Rumore bianco. Introduzione
alla musica digitale, Zanichelli, 2008
 Ph. Henry, G. Wanner, From Euler to Fourier, MP3
and JPEG, Zürich 2007
 M. Cerasoli, Esempi di bufale nell’insegnamento della
matematica, Boll. Doc. Mat. 39 (1999)
 M. Degiovanni et al., Matematica per la vita, Fond. Boroli
 A. Frova, Fisica nella Musica, Zanichelli, 1999
 P. Odifreddi, Penna, pennello e bacchetta. Le tre invidie
del matematico, GLF Laterza, 2005
 P. Italia, Musica e Matematica, in
Nuova Umanità XXVI (2004/2) 152
 L. Berio, T. Regge, F. Tibone, Vicino alla musica (CD ROM),
Zanichelli, 1999
 S. Isola, Matematica e Musica, unicam.it
 W. Maraschini, Sette note e infiniti numeri, treccani.it
 FOR – Laboratorio di Matematica e Musica for.indire.it
 GALLICA, Bibliothèque nationale de France, gallica.bnf.fr
 E. Prestini, Un matematico freddoloso e l’effetto serra,
matematica.unibocconi.it
 portale Musica su wikipedia.org
 Fisica Onde Musica, fisicaondemusica.unimore.it/

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