Apresentacão e Objetivos Prezado(a) aluno(a), gostar´ıamos de dar boas-vindas nesta que ser considerada a primeira disciplina do seu Curso de Licenciatura em tem´atica da UFF/CEDERJ/UAB. Vocˆe est´a iniciando uma jornada qu dar´a a sua vida. Vocˆe agora ´e parte de uma universidade p´ublica, qu oferece a oportunidade de obter uma forma¸c˜ao de excelente qualidade.

1. Apresenta¸˜o e Objetivos
ca
Prezado(a) aluno(a), gostar´ıamos de dar boas-vindas nesta que pode
ser considerada a primeira disciplina do seu Curso de Licenciatura em Ma-
tem´tica da UFF/CEDERJ/UAB. Vocˆ est´ iniciando uma jornada que mu-
a e a
dar´ a sua vida. Vocˆ agora ´ parte de uma universidade p´blica, que lhe
a e e u
oferece a oportunidade de obter uma forma¸˜o de excelente qualidade.
ca
Estamos felizes por iniciar esta caminhada juntos em dire¸˜o a este
ca
t˜o nobre objetivo que ´ a forma¸˜o de quadros docentes com qualidade em
a e ca
nosso Estado, para atua¸˜o nos Ensinos Fundamental e M´dio. Para atingir
ca e
t˜o precioso objetivo, planejamos um curso aberto, com a maior flexibilidade
a
poss´
ıvel, e favorecendo o processo individual de constru¸˜o de sua autonomia.
ca
A proposta do curso ´ a forma¸˜o de qualidade diversificada, permitindo
e ca
planejar caminhadas futuras em P´s-gradua¸˜es, sem limites na escalada do
o co
processo de conhecimento, na perspectiva maior da educa¸ao autˆnoma, cujo
c˜ o
lema ´ aprender ao longo da vida.
e
Em todo o curso de Gradua¸˜o do CEDERJ, apoiado na metodologia
ca
da Educa¸˜o a Distˆncia, a orienta¸˜o de estudos ´ uma forte componente.
ca a ca e
Vocˆ, provavelmente, est´ cursando esta disciplina por orienta¸˜o da
e a ca
coordena¸˜o do curso, que ponderou oportuna uma recupera¸˜o de estudos
ca ca
centrada em conte´dos importantes de Matem´tica, pelos quais vocˆ passou
u a e
no Ensino M´dio. N˜o considere esta tarefa menor. Em nenhuma ´rea
e a a
do conhecimento os conte´dos est˜o t˜o encadeados e dependentes uns dos
u a a
outros como em Matem´tica.
a
Se construirmos um bom alicerce, o edif´ ser´ s´lido!
ıcio a o
Como in´ ıcio de percurso nesta boa jornada, teremos o tempo de cami-
nhar e de descansar e tamb´m de enfrentar algumas ladeiras. Faz parte do
e
´
jogo! E imposs´ chegar a lugares significativos, sem subir uma ladeira!
ıvel
Mas, uma vez no alto do morro, poderemos contemplar o horizonte que des-
cortina a bela paisagem panorˆmica.
a
Como ter sucesso fazendo uma gradua¸˜o na modalidade a distˆncia?
ca a
Vocˆ j´ conhece as enormes vantagens que essa modalidade de ensino
e a
oferece e com certeza seu compromisso com o curso ´ grande. Sua forma¸˜o
e ca
inicia nesta disciplina com a constru¸˜o de uma s´lida base de conhecimentos
ca o
matem´ticos e com o desenvolvimento de h´bitos necess´rios para ter sucesso
a a a
na empreitada. Essa bagagem toda, adquirida nesta disciplina, lhe ser´ ex-
a
7 CEDERJ

2. tremamente util, tanto na vida profissional quanto na vida pessoal. Mas ´
´ e
importante salientar algumas daquelas caracter´
ısticas t˜o necess´rias para se
a a
ter sucesso nessa forma de aprendizagem.
Entre outras coisas pode-se mencionar a importˆncia de se ter for¸a
a c
de vontade, autodisciplina e dedica¸˜o. Organiza¸˜o tamb´m ´ fundamental.
ca ca e e
Vamos nomear algumas sugest˜es que ser˜o uteis:
o a ´
´
• Estude regularmente. E preciso que vocˆ fa¸a uma agenda de trabalho
e c
que lhe garanta um tempo espec´ıfico para o estudo. Isso significa que
vocˆ n˜o pode estudar somente quando “tiver” tempo. Somos n´s os
e a o
respons´veis pelo nosso tempo.
a
• Consulte a tutoria para tirar d´vidas. A sua presen¸a `s se¸˜es de
u c a co
tutoria e a forma¸˜o de grupos de estudo s˜o ferramentas poderosas
ca a
que vocˆ disp˜e para progredir no curso.
e o
• Busque apoio na execu¸˜o das atividades propostas. A tutoria a distˆncia
ca a
tem um papel importante a cumprir no seu programa de estudos. Ela
lhe dar´ uma maior agilidade para debelar d´vidas e isso ´ um privil´gio
a u e e
acess´ aos alunos do ensino a distˆncia.
ıvel a
• Estamos sempre trabalhando para que o material did´tico disponibili-
a
zado seja de qualidade e lhe dˆ um caminho seguro para a constru¸˜o
e ca
do seu conhecimento.
• O trabalho semanal com os EPs, Exerc´ ıcios Programados, que ser˜oa
disponibilizados todas as semanas, e a posterior an´lise dos correspon-
a
dentes gabaritos, o ajudar˜o a estar em dia com os estudos. Esse tra-
a
balho lhe permitir´ tra¸ar um mapa do curso, pelo qual vocˆ precisa
a c e
navegar. Ele lhe indicar´ os temas semanais que vocˆ precisa estudar,
a e
determinar´ os exerc´
a ıcios t´
ıpicos que vocˆ n˜o deve deixar de fazer,
e a
marcando um ritmo de estudo e progresso que vocˆ deve tentar manter.
e
Matem´tica, uma grande op¸˜o!
a ca
Vamos falar agora um pouco sobre Matem´tica, que j´ foi chamada
a a
“a rainha das ciˆncias”.
e
A Matem´tica desempenha um papel fundamental no desenvolvimento
a
cient´ıfico e tecnol´gico de nossa sociedade. Assim, maior ´ a nossa respon-
o e
sabilidade de contribuir para uma boa forma¸˜o nessa ´rea.
ca a
CEDERJ 8

3. H´ muita coisa a respeito da Matem´tica que a maioria das pessoas
a a
desconhece. O conhecimento delas pode mudar muito a nossa perspectiva
dessa ciˆncia, sempre respeitada, mas nem sempre devidamente estimada.
e
E, como vocˆ sabe, a motiva¸˜o ´ fundamental para o aprendizado.
e ca e
No intuito de contribuir positivamente a esse respeito, ressaltamos al-
guns pontos importantes para sua reflex˜o.
a
• A matem´tica n˜o lida apenas com n´meros, ela lida com n´meros,
a a u u
formas, rela¸˜es, argumenta¸˜es, enfim, lida com diversas id´ias e suas
co co e
inter-rela¸˜es.
co
• Estabelecer a verdade ´ o fim principal de qualquer tipo de ciˆncia.
e e
Chegar `quilo a que chamamos “verdade cient´
a ıfica”. Fundamental a
respeito disso ´ a maneira como, no ˆmbito de cada atividade cient´
e a ıfica,
se estabelece a verdade.
Na Matem´tica, a “verdade” ´ estabelecida a partir de um conjunto de
a e
afirma¸˜es, chamadas de axiomas. Uma vez estabelecidas essas “verda-
co
des fundamentais”, usamos regras da l´gica para deduzir ou estabelecer
o
´
todas as outras verdades. E o que chamamos “m´todo dedutivo”. Em
e
outras ciˆncias, a no¸˜o de verdade ´, em geral, estabelecida por expe-
e ca e
´
rimentos. E por isso que, em muitos casos, uma nova teoria toma o
lugar da anterior, que j´ n˜o consegue explicar os fenˆmenos que prevˆ
a a o e
ou em fun¸˜o do desenvolvimento de novas t´cnicas. Isso n˜o ocorre
ca e a
na Matem´tica, onde o conhecimento ´ sempre acumulativo. Esse fato
a e
distingue a Matem´tica das demais ciˆncias.
a e
• A principal atividade dos matem´ticos ´ resolver problemas. Podemos
a e
afirmar at´ que um matem´tico feliz ´ um matem´tico que acabou de
e a e a
resolver um bom problema e, ao fazer isso, descobriu mais uma por¸˜o
ca
de novos problemas para pensar.
• Matem´tica tamb´m ´ sinˆnimo de diversidade. Em muitas l´
a e e o ınguas a
palavra matem´tica ´ usada no plural. H´ tantas ramifica¸˜es e sub-
a e a co
a
´reas na matem´tica contemporˆnea que ´ imposs´
a a e ıvel acompanhar o
desenvolvimento em todas as frentes de pesquisa. A matem´tica en-
a
contra inspira¸˜o para seu desenvolvimento nas mais diversas ´reas de
ca a
atua¸˜o humana. Uma boa id´ia pode surgir tanto em um problema mo-
ca e
tivado intrinsecamente na matem´tica como em uma situa¸ao pr´tica,
a c˜ a
ocorrida em algum campo fora dela.
9 CEDERJ

4. O que nos oferece a Matem´tica B´sica
a a
Nesta disciplina, Matem´tica B´sica, vocˆ ir´ rever alguns conceitos
a a e a
do Ensino Fundamental e M´dio. A diferen¸a aqui estar´ na forma da abor-
e c a
dagem que ser´ dada. Al´m de rever esses conceitos, de maneira efetiva,
a e
vocˆ construir´ uma atitude matem´tica profissional. A Matem´tica deixar´
e a a a a
de ser um conjunto de regras e conven¸˜es e se desenvolver´ num conjunto
co a
sustentado de conhecimentos que se relacionam e se sustentam. Esperamos
que ao final deste semestre vocˆ tenha sucesso e se sinta bastante confiante
e
para enfrentar os futuros desafios de seu curso.
Para orientar seu estudo, a disciplina ´ apresentada em dois volumes,
e
cada um apresentando o conte´do program´tico sob a forma de aulas. Neste
u a
Volume I, que inicia a disciplina Matem´tica B´sica, revisaremos conte´dos
a a u
importantes do Ensino M´dio, entre as quais se destacam: Fra¸˜es, N´meros
e co u
Decimais, Potencia¸˜o, Radicia¸˜o, Equa¸˜es do Primeiro e Segundo Graus,
ca ca co
Inequa¸˜es, Progress˜es Aritm´tica e Geom´trica e Conjuntos.
co o e e
Elementos integrantes em todas as aulas s˜o os exemplos e as atividades
a
a serem resolvidas. Eles formam parte do conte´do e pontuam o encadea-
u
mento da disciplina. Assim, ´ importante que vocˆ entenda bem o desenvol-
e e
vimento dos exerc´ıcios e resolva todas as atividades.
Bom estudo!! Conte sempre com nossa ajuda e nosso est´
ımulo.
Sucesso!
Roberto Geraldo Arnaut, Celso Costa,
M´rio Olivero, Regina Moreth e Dirce Uesu Pesco.
a
CEDERJ 10

5. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Aula 1 – Fra¸˜es
co
Os n´ meros est˜o no ˆmago de todas as coisas.
u a a
Pit´goras
a
Introdu¸˜o
ca
A Matem´tica, na forma como conhecemos hoje, teve seu in´
a ıcio no
Per´ıodo de Ouro da Antiga Gr´cia. Parte primordial deste desenvolvimento
e
se deve a um grupo de matem´ticos que foi liderado por Pit´goras, autor de
a a
frases famosas, como a que abre essa aula.
Os gregos foram particularmente felizes ao estruturar os conhecimentos
matem´ticos desenvolvidos pelas civiliza¸˜es que os precederam, arrumando-
a co
os essencialmente nos moldes que praticamos at´ hoje. Eles tinham uma vis˜o
e a
predominantemente geom´trica desses conhecimentos, mas deram tamb´m os
e e
primeiros passos no estudo dos n´meros. A palavra Aritm´tica, por exemplo,
u e
´ de origem grega.
e
Ao relermos a frase de Pit´goras mais uma vez, somos levados a conside-
a
rar a seguinte quest˜o: que tipo de n´ meros ele tinha em mente ao pronunciar
a u
frase t˜o lapidar?
a
A quest˜o procede, pois o conceito de n´ mero, como vemos hoje, de-
a u
morou muito tempo para se estabelecer e recebeu contribui¸˜es de muitas
co
culturas, por gera¸˜es e gera¸˜es de matem´ticos.
co co a
Por exemplo, os gregos n˜o tinham uma nota¸˜o espec´
a ca ıfica para repre-
sentar os n´ meros, usavam letras, tais como os romanos depois deles.
u
A Matem´tica, assim como as ciˆncias em geral, n˜o teria se desenvol-
a e a
vido da maneira como observamos hoje sem a contribui¸˜o inestim´vel das
ca a
culturas hindu e ´rabe, que nos legaram os algarismos hindu-ar´bicos, assim
a a
como o sistema num´rico posicional.
e
N´ meros Naturais
u
Mas calma, voltemos um pouco, aos n´ meros tais como foram inici-
u
almente concebidos. Na forma mais primitiva, quando dizemos n´meros,
u
estamos nos referindo aos n´ meros chamados naturais, cujo conjunto repre-
u
sentamos pela letra N:
N = { 1, 2, 3, 4, . . . }
Os pontinhos indicam que podemos continuar assim, outro n´mero e
u
outro ainda, indefinidamente. Ou seja, o conjunto N ´ um manancial ines-
e
got´vel dessa mat´ria prima que usamos na confec¸˜o da Matem´tica.
a e ca a
11 CEDERJ

6. Fra¸oes
c˜
Preferimos n˜o incluir o zero nesse conjunto, uma vez que o zero,
a
n´ mero t˜o importante nas nossas vidas e na Matem´tica, custou bastante
u a a
para se estabelecer.
A propriedade fundamental geradora dos N´ meros Naturais ´ a que
u e
cada um deles tem um sucessor. Essa no¸˜o ´ formalizada nos dois axiomas
ca e
conhecidos como Axiomas de Peano. O primeiro estabelece a existˆncia do
e
n´ mero natural 1 (afinal, ´ preciso come¸ar de alguma coisa) e o segundo
u e c
afirma que todo n´ mero natural tem um sucessor. Assim, come¸amos com
u c
1, cujo sucessor ´ 2, seguido do 3, e assim por diante.
e
O que mais podemos fazer com os naturais?
´
E claro que a seq¨ˆncia de n´ meros naturais serve primordialmente
ue u
para contar coisas, tais como carneiros, frutas, flechas, dias e tudo o mais.
Mas queremos mais do que isso. Veja, n˜o se deixe enganar pela simplicidade
a
desses n´ meros.
u
O que torna os n´ meros inteiros objetos matem´ticos de grande inte-
u a
resse ´ o fato de podermos operar com eles, somando-os e multiplicando-os.
e
Munido dessas duas opera¸˜es, o conjunto dos n´ meros naturais passa a apre-
co u
sentar quest˜es v´rias. Algumas delas continuam a desafiar mentes brilhantes
o a
at´ hoje.
e
Um teorema not´vel
a
Esse especial interesse matem´tico pelos n´ meros naturais ocorre es-
a u
pecialmente devido ` multiplica¸˜o. Nesse contexto surge um dos primeiros
a ca
resultados matem´ticos profundos com que tomamos contato. Do ponto de
a
vista da multiplica¸˜o, os n´ meros maiores do que 1 se dividem em duas
ca u
categorias: primos e compostos, dependendo de seus divisores. O teorema
que mencionamos afirma que todo n´ mero natural, maior do que dois, se
u
decomp˜e em fatores primos e, mais ainda, a decomposi¸˜o ´ unica, a menos
o ca e ´
da ordem dos fatores.
Em linguagem informal, o teorema afirma que, do ponto de vista da
multiplica¸˜o, todos os n´ meros podem ser montados a partir de
ca u
pe¸as b´sicas, os n´ meros primos, como um infinito brinquedo lego. Assim,
c a u
6 = 2 × 3, 30 = 2 × 3 × 5, 121 = 112 , 660 = 22 × 3 × 5 × 11 e 47 = 47,
pois 47 ´, ele pr´prio, um n´ mero primo.
e o u
Esse resultado matem´tico era conhecido pelos antigos gregos (vocˆ
a e
sabe o que ´ o crivo de Erat´stenes?) mas s´ foi rigorosamente demonstrado
e o o
12
bem posteriormente, por Gauss, um dos maiores matem´ticos de todos os
a
CEDERJ

7. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
tempos. Seu nome cient´ ıfico ´ Teorema Fundamental da Aritm´tica. Mas,
e e
n˜o se preocupe com isso agora, haver´ tempo para ele no futuro. Mas,
a a
para que vocˆ n˜o fique apenas lendo, temos aqui duas atividades. Vocˆ
e a e
encontrar´ as solu¸˜es no fim da aula.
a co
Atividade 01
Explique de maneira convincente o porque dos n´ meros 1134 e 53172
u
serem divis´
ıveis por 9.
Atividade 02
Por que ´ dif´ decompor o n´ mero 97343 em fatores primos?
e ıcil u
Dois velhos conhecidos . . .
Atrav´s da decomposi¸˜o em fatores primos podemos chegar a dois
e ca
importantes conceitos associados a dois n´ meros dados, digamos a e b: o
u
m´ınimo m´ltiplo comum, mmc(a, b), e o maior divisor comum, mdc(a, b).
u
Para que servem esses n´ meros?
u
Deve haver uma boa resposta para essa pergunta, uma vez que nos
ensinam a determin´-los desde os primeiros passos na escola... Bem, eles
a
servem para efetuar certas opera¸˜es de maneira ´tima!
co o
Como calcul´-los?
a
Se sabemos a decomposi¸˜o em fatores primos dos n´ meros a e b, ´
ca u e
muito f´cil: para o mmc basta tomar os fatores primos que comparecem em
a
pelo menos um dos dois n´ meros (levando em conta a maior potˆncia, caso
u e
ele compare¸a tanto em a como em b); para o mdc basta tomar os primos
c
que aparecem simultaneamente nos dois n´ meros (levando em conta a menor
u
potˆncia, caso ele compare¸a tanto em a como em b). Veja dois exemplos na
e c
tabela a seguir.
a b mdc(a, b) mmc(a, b)
6=2×3 15 = 3 × 5 3 2 × 3 × 5 = 30
1050 = 2 × 3 × 52 × 7 3
280 = 2 × 5 × 7 70 = 2 × 5 × 7 4200 = 23 × 3 × 52 × 7
Como os antigos matem´ticos faziam?
a
Os antigos gregos j´ conheciam algoritmos para calcular o mdc e o mmc
a
de pares de n´ meros. A id´ia do algoritmo se baseia no seguinte fato:
u e
Se r ´ o resto quando a ´ dividido por b, ent˜o mdc(a, b) = mdc(b, r).
e e a
Assim, usando divis˜es sucessivas, chegamos ao mdc. Veja, por exem-
o
plo, como calculamos o maior divisor comum de 72 e 30.
13 CEDERJ

8. Fra¸oes
c˜
Num diagrama de trˆs linhas, colocamos os n´ meros 72 e 30 na linha
e u
do meio. Ao alto de 30 colocamos a parte inteira da divis˜o (Algoritmo de
a
Euclides) de 72 por 30 e sob o 72 colocamos o resto desta divis˜o.
a
2
72 30
12
No segundo passo, colocamos o resto da primeira divis˜o ao lado do 30
a
e repetimos a opera¸˜o:
ca
2 2
72 30 12
12 6
Como todo algoritmo, basta prosseguir repetindo os passos at´ . . .
e
2 2 2
72 30 12 6
12 6 0
O que aconteceu de diferente nessa etapa do algoritmo? Vocˆ notou
e
que o resto desta vez ´ igual a zero. Bom, isso indica que chegamos ao fim
e
do processo e o n´ mero obtido nesta etapa, 6, ´ o mdc: mdc(72, 30) = 6.
u e
3 2
Realmente, 72 = 2 × 3 e 30 = 2 × 3 × 5 e, portanto, mdc(72, 30) = 2 × 3.
Pratique o algoritmo calculando mdc(450, 105).
Agora, um algoritmo para o c´lculo do mmc. Ele lembra bastante
a
o conhecido algoritmo de decomposi¸˜o em fatores primos. A diferen¸a ´
ca c e
que efetuamos a decomposi¸˜o dos dois n´ meros simultaneamente. Veja, na
ca u
pr´tica, o c´lculo de mmc(132, 124).
a a
132 126 2
66 63 2
33 63 3
11 21 3 mmc(132, 126) = 22 × 32 × 7 × 11 = 2772
11 7 7
11 1 11
1 1
Vocˆ pode usar essa t´cnica para calcular o mmc de mais do que dois
e e
n´ meros. S´ para ter certeza, vocˆ n˜o gostaria de calcular mmc(297, 140, 90)?
u o e a
CEDERJ 14

9. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Por que representamos os inteiros pela letra Z?
Os n´ meros naturais n˜o nos permitem representar certas situa¸˜es im-
u a co
portantes, como as que envolvem perdas e preju´
ızos. Mais ainda, h´ situa¸˜es
a co
nas quais sentimos a necessidade de estender os n´ meros naturais a um con-
u
junto, digamos assim, mais completo. Por exemplo, a equa¸ao x + 5 = 3
c˜
n˜o tem solu¸˜o no conjunto dos n´ meros naturais. Assim, a Matem´tica
a ca u a
demanda o que chamamos conjunto dos n´meros inteiros:
u
Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }.
Vocˆ sabe por que representamos os inteiros pela letra Z no lugar de
e
algo como I?
Bem, como vocˆ deve saber, a Teoria de Conjuntos foi criada por Georg
e
Cantor, que falava alem˜o. A palavra para n´ meros em alem˜o ´ Zahlen.
a u a e
Atividade 03
Quais das seguintes equa¸˜es podem ser resolvidas no ˆmbito dos n´ meros
co a u
naturais? E no ˆmbito dos n´ meros inteiros?
a u
a) x + 2 = 7 c) 3x + 7 = 4 e) 2x + 5 = 7
b) x + 4 = 1 d) 2x + 4 = 8 f) 2x + 6 = 13
Os N´ meros Racionais
u
Como vocˆ deve ter notado, ao fazer a atividade anterior, h´ situa¸˜es
e a co
nas quais nem mesmo o conjunto dos inteiros permite considerar. Em con-
trapartida aos n´ meros inteiros dever´
u ıamos considerar os n´ meros quebrados,
u
n˜o ´ mesmo?
a e
Realmente, h´ situa¸˜es tanto no ˆmbito da Matem´tica quanto no
a co a a
caso de situa¸˜es, digamos assim, do dia-a-dia, nas quais lan¸amos m˜o da
co c a
no¸˜o de propor¸˜o. Veja o exemplo a seguir.
ca ca
Exemplo 01
Na figura a seguir, determine o comprimento do segmento AB.
B
N˜o ´ preciso ser gˆnio para concluir que o
a e e
comprimento do segmento AB ´ 4 unida-
e
des de comprimento, pois o fato de que,
em triˆngulos semelhantes, lados corres-
a
pondentes s˜o proporcionais. Assim, AB
a
2
´ 4 unidades de comprimento, pois 1 est´
e a
O A para 2 assim como 2 est´ para 4.
a
1 1
Essa essˆncia da propor¸˜o ´ que queremos registrar numericamente.
e ca e 15 CEDERJ

10. Fra¸oes
c˜
Exemplo 02
Desde os prim´rdios os cozinheiros, os construtores e tantos outros pro-
o
fissionais tˆm usado essa no¸˜o de propor¸˜o em seus afazeres. Algo como:
e ca ca
“cinco medidas de ´gua para duas medidas de arroz” ou “uma medida de
a
cimento para seis de areia”. Seguindo essa receita podemos variar a quanti-
dade daquilo que queremos preparar, seja arroz para duas pessoas, seja arroz
para uma fam´ de doze pessoas, contanto que mantenhamos a propor¸˜o
ılia ca
5 : 2 (cinco por dois).
O que ´ um n´mero racional?
e u
Tornando uma hist´ria longa mais curta, queremos nos referir nume-
o
ricamente a propor¸˜es tais como as que foram exemplificadas: 1 : 2, 5 : 2
co
ou 1 : 6 e assim por diante. Isto ´, propor¸˜es nas quais comparamos dois
e co
n´ mero inteiros. Para isso, ´ claro, precisamos de dois n´ meros inteiros, a e
u e u
b, com a propriedade importante de que b = 0, e representamos a propor¸˜o ca
a
a : b pela nota¸˜o .
ca
b
Tudo muito bem, com o seguinte cuidado: devemos levar em conta que,
por exemplo, 1 : 2 e 2 : 4 representam a mesma propor¸˜o. Assim, na vers˜o
ca a
1 2
num´rica, e s˜o iguais.
e a
2 4
Ufa! Podemos ent˜o dizer que um n´ mero racional ´ representado por
a u e
a
uma fra¸˜o do tipo , na qual a e b s˜o n´ meros inteiros com b = 0 e que
ca a u
b
duas fra¸˜es representam o mesmo n´ mero se, e somente se, satisfazem a
co u
seguinte rela¸˜o de igualdade:
ca
a c
= ⇐⇒ a · d = c · b.
b d
Assim, obtemos o conjunto representado por Q, como uma esp´cie de e
n
extens˜o dos inteiros. Ou seja, se estabelecermos que, se n ∈ Z, ent˜o n = ,
a a
1
temos Z ⊂ Q.
Atividade 04
Use a defini¸˜o anterior de igualdade de n´ meros racionais para verificar
ca u
3 −3
que = .
−5 5
−a a a
Assim, de um modo geral, = , que denotamos por − .
b −b b
Atividade 05
2 1
Determine o valor de x tal que = .
x−1 3
CEDERJ 16

11. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Nota¸˜o
ca
Dado um par de n´ meros inteiros a e b, com b = 0, obtemos o n´ mero
u u
a
racional e chamamos a de numerador e b de denominador. A palavra
b
fra¸˜o tamb´m ´ usada, mas serve para contextos mais gerais, nos quais
ca e e
numeradores e denominadores s˜o outros objetos matem´ticos e n˜o apenas
a a a
π
n´ meros inteiros. Por exemplo, vocˆ deve ter ouvido falar da fra¸˜o ou da
u e ca
√ 2
2
fra¸˜o
ca . Mas, por enquanto, tomaremos o termo fra¸˜o por sinˆnimo de
ca o
2
n´ mero racional.
u
Leitura de uma fra¸˜o
ca
Na tabela abaixo indicamos, para cada n´ mero de partes iguais em que
u
foi dividida a unidade, o nome de cada parte.
N´ mero de
u Nome de N´ mero de
u Nome de
partes cada parte partes cada parte
2 −→ meio 9 −→ nono
3 −→ ter¸o
c 10 −→ d´cimo
e Curiosidade
4 −→ quarto 11 −→ onze avos Os homens da idade da Pedra
n˜o usavam fra¸oes. O con-
a c˜
5 −→ quinto 12 −→ doze avos ceito de fra¸ao tornou-se ne-
c˜
6 −→ sexto 13 −→ treze avos cess´rio com a evolu¸ao dos
a c˜
conhecimentos.
7 −→ s´timo
e 100 −→ cent´simoe
Os antigos eg´ ıpcios tinham
8 −→ oitavo 1000 −→ mil´simoe uma nota¸ao especial de
c˜
fra¸ao com numerador 1. A
c˜
Para efetuar a leitura de uma fra¸˜o vocˆ deve ler o numerador e, em
ca e 1
fra¸ao , por exemplo, era in-
c˜
seguida, o nome de cada parte. Este ultimo depende do n´ mero de partes
´ u 3
dicada colocando-se sobre o
em que foi dividida a unidade, isto ´, do denominador da fra¸˜o.
e ca inteiro 3 um sinal oval alon-
gado: ; os babilˆnios usa-
o
Exemplos: vam fra¸oes com denomina-
c˜
1 1 dores 60, 602 , 603 , etc; j´ os
a
lˆ-se “um meio”
e lˆ-se “um quinze avos”
e romanos usavam fra¸oes com
c˜
2 15
denominador 12.
3 7 A nossa maneira atual de re-
lˆ-se “trˆs quintos”
e e lˆ-se “sete d´cimos”
e e
5 10 presentar fra¸ao, por meio de
c˜
uma barra, surgiu no s´culo
e
8 49
lˆ-se “oito onze avos”
e lˆ-se “quarenta e nove cent´simos”
e e XVI.
11 100
Exerc´
ıcios
1. Qual a fra¸˜o representada pela parte sombreada de cada figura?
ca
a) b)
c) d)
17 CEDERJ

12. Fra¸oes
c˜
7
2. Jo˜o acertou
a dos 15 problemas de uma prova. Responda:
15
a) quantos problemas ele acertou?
b) quantos problemas ele errou?
c) que fra¸˜o representa o n´ mero de problemas que ele errou?
ca u
3. Uma estante ´ formada por 9 prateleiras. Se enchermos 3 prateleiras
e
de livros, que fra¸˜o da estante n˜o foi aproveitada?
ca a
4. Escreva como vocˆ lˆ as fra¸˜es:
e e co
3 2 11 27 51
a) b) c) d) e)
5 10 50 100 1000
5. Determine
2 1 3 5
a) de 20 b) de 40 c) de 32 d) de 14
5 4 4 7
1
6. Se de um n´ mero ´ 5, qual ´ esse n´ mero?
u e e u
3
3 1
7. Se de um n´ mero ´ 30, quanto ´ desse n´ mero?
u e e u
5 5
3
8. Uma escola tem 40 professores, dos quais s˜o mulheres. Determine
a
8
o n´ mero de professoras dessa escola.
u
Gabarito
3 3 1 5
1. a) b) c) d)
4 5 2 9
8
2. a) 7 b) 8 c)
15
6
3.
9
4. a) trˆs quintos
e b) dois d´cimos
e c) onze cinq¨ enta avos
u
d) vinte e sete cent´simos
e e) cinq¨ enta e um mil´simos
u e
5. a) 8 b) 10 c) 24 d) 10
6. 15
7. 10
8. 15
CEDERJ 18

13. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Tipos de Fra¸˜es
co
Observe os seguintes exemplos:
1o ) Tomamos uma unidade, dividimos em quatro partes iguais e tomamos
uma delas.
1
4
1
Encontramos essa fra¸˜o
ca em que o numerador ´ menor que o
e
4
denominador.
Fra¸˜es assim s˜o chamadas de fra¸˜es pr´prias.
co a co o
2o ) Tomamos outras duas unidades, dividimos cada uma delas em quatro
partes iguais e tomamos cinco delas.
5
4
5
Encontramos uma fra¸˜o
ca em que o numerador ´ maior que o
e
4
denominador.
Fra¸˜es assim s˜o chamadas fra¸˜es impr´prias.
co a co o
5 1
Note que ´ o mesmo que uma unidade inteira e mais da unidade.
e
4 4
5 1 5 1
Por isso dizemos que ´ o mesmo que 1 inteiro e . Indicamos: = 1 + .
e
4 4 4 4
1 1
Outra maneira de indicar 1 + ´ 1 .
e
4 4
1
A forma 1 lˆ-se “um inteiro e um quarto”.
e
4
1
A forma 1 , composta de uma parte inteira e outra fracion´ria, ´ cha-
a e
4
5
mada forma mista para representar .
4
Podemos passar uma fra¸˜o impr´pria para a forma mista sem recorrer
ca o
a desenhos ou figuras.
19 CEDERJ

14. Fra¸oes
c˜
21
Exemplo: Passar para a forma mista.
6
21
Devemos descobrir quantas unidades inteiras est˜o contidas em
a e
6
quantos sextos sobram depois da separa¸˜o dessas unidades.
ca
Descobrimos isso dividindo 21 por 6
21 6
21
3 3 → unidades inteiras contidas em
6
↑
n´ mero de sextos
u
que sobram
21 3
Ent˜o
a =3 .
6 6
Transformar um n´ mero misto em fra¸˜o impr´pria.
u ca o
Exemplos:
2 2 3 2 5
1) 1 =1+ = + =
3 3 3 3 3
3 3 5 5 3 10 3 13
2) 2 =1+1+ = + + = + =
5 5 5 5 5 5 5 5
1 4 4 4 4 4 1 20 1 21
3) 5 = + + + + + = + =
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
3o ) Tomamos duas unidades, dividimos cada uma delas em quatro partes
iguais e tomamos as oito partes.
8
4
8
Encontramos uma fra¸˜o
ca em que o numerador ´ m´ ltiplo do de-
e u
4
8
nominador. Fra¸˜es assim s˜o chamadas fra¸˜es aparentes. Note que ´ o
co a co e
4
mesmo que 2 unidades inteiras, isto ´, 2 inteiros.
e
8
Indicamos: = 2
4
A fra¸˜o aparente ´ uma outra forma de representar o n´ mero natural 2.
ca e u
3 4 5 23
, , , s˜o fra¸˜es aparentes que representam o n´ mero natural 1.
a co u
3 4 5 23
CEDERJ 20

15. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
As fra¸˜es podem ser classificadas em trˆs categorias.
co e
* Fra¸˜es Pr´prias → s˜o aquelas em que o numerador ´ menor que o
co o a e
denominador
* Fra¸˜es Impr´prias → s˜o aquelas em que o numerador ´ maior ou
co o a e
igual ao denominador.
* Fra¸˜es Aparentes → s˜o as fra¸˜es impr´prias em que o numerador ´
co a co o e
m´ ltiplo do denominador.
u
As fra¸˜es aparentes podem ser escritas na forma de n´ mero natural.
co u
As fra¸˜es impr´prias e n˜o aparentes podem ser escritas na forma mista.
co o a
Exerc´
ıcios
1. Classifique cada uma das fra¸˜es em pr´prias (P), impr´prias (I) ou
co o o
aparentes (A).
8 18 2 32 57
a) b) c) d) e)
4 1 13 5 2
2. Escreva na forma mista as seguintes fra¸˜es impr´prias:
co o
3 8 13 31 57
a) b) c) d) e)
2 3 4 6 11
3. Transforme cada n´ mero misto em fra¸˜o impr´pria:
u ca o
1 1 3 1 3
a) 3 b) 4 c) 1 d) 5 e) 6
4 3 5 2 8
4
4. Em uma cidade, dos 280 ve´
ıculos existentes s˜o autom´veis e os
a o
5
demais s˜o caminh˜es. Quantos caminh˜es h´ nessa cidade?
a o o a
3
5. Jos´ possui R$ 480,00 e isto equivale a de sua d´
e ıvida na lanchonete
4
de Manoel. Quanto Jos´ deve a lanchonete?
e
Gabarito
1. a) A b) A c) P d) I e) I
1 2 1 1 2
2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 5
2 3 4 6 11
13 13 8 11 51
3. a) b) c) d) e)
4 3 5 2 8
21 CEDERJ

16. Fra¸oes
c˜
4
4. Observe que se s˜o autom´veis e o restante s˜o caminh˜es ent˜o
a o a o a
5
5
representamos todos os ve´ıculos por
5
5 4 1
A fra¸˜o que representa o n´ mero de caminh˜es ´ − =
ca u o e
5 5 5
N´ mero total de ve´
u ıculos: 280
1 1
de 280 – n´ mero total de caminh˜es → 280 = 56
u o
5 5
3
5. Vamos representar a d´
ıvida de Jos´ por x. Logo, temos que
e x = 480
4
Ent˜o
a
3x = 4 · 480 = 1920
x = 1920 : 3 = 640
Portanto, Jos´ deve R$ 640,00 a lanchonete.
e
Fra¸˜es Equivalentes
co
Note estas a¸˜es:
co
A¸˜o 1
ca A¸˜o 2
ca A¸˜o 3
ca
Dividir uma pizza em Dividir uma pizza em Dividir uma pizza em
duas partes iguais e quatro partes iguais e oito partes iguais e comer
comer uma parte comer duas partes quatro partes iguais
As a¸˜es acima s˜o diferentes, entretanto, as fra¸˜es obtidas represen-
co a co
tam a mesma parte do todo. Por esse motivo, dizemos que essas fra¸˜es se
co
1 2 4
equivalem, isto ´, as fra¸˜es ,
e co e s˜o equivalentes.
a
2 4 8
Fra¸˜es equivalentes s˜o fra¸˜es que representam a mesma parte do todo.
co a co
Obten¸˜o de fra¸˜es equivalentes
ca co
1
Vamos obter fra¸˜es equivalentes ` fra¸˜o
co a ca ?
3
1·1 1 1·2 2 1·3 3 1·4 4
= = = =
3·1 3 3·2 6 3·3 9 3·4 12
1 2 3 4 1
Assim, , , , s˜o algumas das fra¸˜es equivalentes a .
a co
3 6 9 12 3
CEDERJ 22

17. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Para encontrar essas fra¸˜es equivalentes, multiplicamos o numerador
co
1
e o denominador da fra¸˜o por uma mesmo n´ mero natural diferente de
ca u
3
zero.
a
Note que para obter uma fra¸˜o equivalente ` fra¸˜o (b = 0) basta
ca a ca
b
dividir (se poss´
ıvel) ou multiplicar o numerador e o denominador por um
mesmo n´ mero natural, desde que ele seja diferente de zero.
u
Simplifica¸˜o de fra¸˜es
ca co
6 1 1
Uma fra¸˜o equivalente a
ca ´ . A fra¸˜o foi obtida dividindo-se
e ca
12 2 2
6
ambos os termos da fra¸˜o
ca por 6.
12
1 6
Dizemos que a fra¸˜o ´ uma fra¸˜o simplificada de
ca e ca
2 12
Uma fra¸˜o que n˜o pode ser simplificada ´ chamada de irredut´
ca a e ıvel.
1
Por exemplo, a fra¸˜o n˜o pode ser simplificada, porque 1 e 2 n˜o pos-
ca a a
2
1
suem fator comum (mdc(1,2)=1). Podemos dizer, ent˜o, que ´ a fra¸˜o
a e ca
2
6
irredut´ de
ıvel .
12
Exerc´
ıcios
1
1. Quais das fra¸˜es s˜o equivalentes a
co a ?
5
2 3 4 5 7 12
a) b) c) d) e) f)
10 12 18 25 30 60
2. Quais das fra¸˜es abaixo s˜o irredut´
co a ıveis?
1 7 15 24 12
a) b) c) d) e)
3 8 45 36 60
3. Encontre a fra¸˜o de denominador 20 equivalente a cada uma das se-
ca
guintes fra¸˜es:
co
1 3
a) c)
5 2
1 400
b) d)
4 2000
4. As letras abaixo representam n´ meros. Quais s˜o esses n´ meros?
u a u
4 a b 32 2 c
a) = b) = c) =
6 18 5 20 5 50
23 CEDERJ

18. Fra¸oes
c˜
Gabarito
1. a, d, f
2. a,b
4 5 30 4
3. a) b) c) d)
20 20 20 20
4. a) a = 12 b) b = 8 c)c = 20
Redu¸˜o de fra¸˜es a um mesmo denominador
ca co
4 4 1
Observe as fra¸˜es , e . Elas tˆm denominadores diferentes. Vamos
co e
3 5 6
procurar trˆs fra¸˜es, equivalentes `s trˆs fra¸˜es dadas, tendo todas o mesmo
e co a e co
denominador. O novo denominador ´ m´ ltiplo de 3, 5 e 6. O menor n´ mero
e u u
´ o mmc(3,5,6) que ´ 30.
e e
4 4
Estamos, ent˜o, com o problema - obter fra¸˜es equivalentes a , e
a co
3 5
1
tendo todas elas denominador 30.
6
4 ? 4 40
= ⇒ o numerador ´ 4 · 10 = 40 ⇒
e =
3 30 3 30
4 ? 4 24
= ⇒ o numerador ´ 4 · 6 = 24 ⇒
e =
5 30 5 30
1 ? 1 5
= ⇒ o numerador ´ 1 · 5 = 5
e ⇒ =
6 30 6 30
Para reduzirmos duas ou mais fra¸˜es ao menor denominador comum:
co
1o ) Calculamos o mmc dos denominadores, esse mmc ser´ o menor denomi-
a
nador comum;
2o ) Multiplicamos o numerador de cada fra¸˜o pelo quociente entre o deno-
ca
minador comum e o denominador inicial da fra¸˜o.
ca
Exerc´
ıcios
1. Reduza ao mesmo denominador comum.
3 5 12 3
a) e b) e
2 3 5 11
2 1 7 2 1 5
c) , e d) , e
5 3 6 7 6 9
2. Jo˜o e Maria v˜o repartir entre si um prˆmio da Loteria Federal. Jo˜o
a a e a
2
ir´ receber do prˆmio e Maria R$ 1.500.000,00. Qual o valor total
a e
5
do prˆmio?
e
CEDERJ 24

19. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Gabarito
9 10 132 15 12 10 35 36 21 70
1. a) e b) e c) , e d) , e
6 6 55 55 30 30 30 126 126 126
2. A fra¸˜o que representa o valor do prˆmio que ser´ recebido por Maria
ca e a
5 2 3
´ − = do total. Como ela ir´ receber R$ 1.500.000,00, ent˜o o
e a a
5 5 5
3
valor total do prˆmio (x) pode ser determinado por x = 1.500.000, 00.
e
5
Da´ı,
3x = 5 · 1.500.000, 00 = 7.500.000, 00
x = 7.500.000, 00 : 3 = 2.500.000, 00
Compara¸˜o de Fra¸˜es
ca co
Comparar duas fra¸˜es significa estabelecer se elas s˜o iguais, ou n˜o.
co a a
Se forem diferentes, estabelecer qual delas ´ a maior.
e
1a Situa¸˜o: As fra¸˜es tˆm denominadores iguais.
ca co e
2 4
Exemplo: e
5 5
2 2 4 Usamos o s´ ımbolo “<” que
5 ´ menor que
e significa “´ menor que” e o
e
5 5
s´
ımbolo “>” que significa “´
e
2 4 maior que”
4
<
5 5 5
Quando duas fra¸˜es tem denominadores iguais, a maior delas ´ a que
co e
tem maior numerador.
2a Situa¸˜o: As fra¸˜es tˆm denominadores diferentes.
ca co e
6 4
Vamos comparar as fra¸˜es
co e .
7 5
Vamos reduzir as fra¸˜es ao mesmo denominador. mmc(7,5)=35
co
30 28
e
35 35
30 28 6 4
Da´ como
ı > temos que > .
35 35 7 5
Quando vamos comparar duas fra¸˜es que tˆm denominadores diferentes,
co e
reduzimos ao mesmo denominador e aplicamos a regra anterior.
25 CEDERJ

20. Fra¸oes
c˜
Exerc´
ıcios
1. Compare entre si as fra¸˜es:
co
7 1 1 1 2 3 3 5 41 43
a) e b) e c) e d) 2 e2 e) e
5 5 6 13 5 7 6 7 13 15
9 3 7
2. Qual o maior elemento do conjunto A = , , , 2
5 4 3
3 4 5 1 1
3. Coloque em ordem crescente as fra¸˜es:
co , , , e
5 7 8 2 4
2 7
4. Em certa classe, dos alunos foram reprovados em Matem´tica e
a
5 9
em Portuguˆs. Que mat´ria reprovou mais?
e e
5
5. Num campeonato nacional o Fluminense ganhou dos pontos que
7
11
disputou, enquanto o Vasco ganhou . Qual dos dois obteve melhores
16
resultados?
Gabarito
7 1 1 1 3 2 3 5 41 43
1. a) > b) > c) > d) 2 <2 e) >
5 5 6 13 7 5 6 7 13 15
7
2.
3
1 1 4 3 5
3. , , , ,
4 2 7 5 8
2 18 7 35 35 18
4. Portuguˆs, pois mmc(5, 9) = 45,
e = e = e >
5 45 9 45 45 45
5 80 11 77 80 77
5. Fluminense, pois mmc(7, 16) = 112, = e = e >
7 112 16 112 112 112
Adi¸˜o e subtra¸˜o de n´ meros fracion´rios
ca ca u a
1o Caso: Denominadores iguais
3 1
No mercado gastei do que possuia em alimentos e em material de
5 5
limpeza. Quanto gastei da importˆncia que possuia?
a
Vamos representar graficamente.
gasto em alimentos gasto com material de limpeza
3 1
5 5
3 1 4
Da´ + = (s´ observar o gr´fico)
ı o a
26
5 5 5
CEDERJ

21. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
A soma de fra¸˜es com denominadores iguais ´ uma fra¸˜o cujo denomi-
co e ca
nador ´ igual ao das parcelas e cujo numerador ´ a soma dos numeradores
e e
das parcelas.
4 1
No mercado gastei do que possuia em alimentos e em material de
6 6
limpeza. Quanto gastei a mais em alimentos?
Vamos representar graficamente.
gasto com gasto com material
4 1
alimentos: de limpeza:
6 6
Observando o gr´fico vem:
a
4 1 3
− =
6 6 6
A diferen¸a entre duas fra¸˜es com denominadores iguais ´ uma fra¸˜o
c co e ca
cujo denominador ´ igual ao das fra¸˜es dadas e cujo numerador ´ a
e co e
diferen¸a dos numeradores.
c
2o Caso: Denominadores diferentes
Quando as fra¸˜es tem denominadores diferentes temos que, em pri-
co
meiro lugar, obter fra¸˜es equivalentes que tenham denominadores iguais.
co
4 5
Exemplo: +
10 6
4 8 12 16 20 24 4
, , , , , . . . s˜o fra¸˜es equivalentes a
a co .
10 20 30 40 50 60 10
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5
, , , , , , , , , . . . s˜o fra¸˜es equivalentes a .
a co
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 6
Procurando as fra¸˜es equivalentes que tem o mesmo denominador e
co
usando a regra anterior vem:
12 25 37 24 50 74 37
+ = ou + = =
30 30 30 60 60 60 30
Note que mmc(10,6)=30. Devemos, usando o mmc, determinar a fra¸˜o
ca
equivalente com denominador 30.
Quando vamos somar ou subtrair fra¸˜es que tem denominadores di-
co
ferentes, devemos primeiro reduz´
ı-las ao mesmo denominador e, depois,
aplicar a regra anterior.
27 CEDERJ

22. Fra¸oes
c˜
Exerc´
ıcios
1. Calcule:
3 1 5 2 3
a) + c) 3 − e) 4 +6
4 4 6 7 7
13 5 1 2 1
b) − d) 2 + + f) 5 − 4
4 4 4 4 9
2. Calcule:
1 1 1 4 2 6 3
a) + c) + + e) +
3 4 5 3 9 5 4
4 3 11 13 3 1
b) − d) + f) −
3 4 60 72 7 3
3. Calcule o valor de cada express˜o abaixo:
a
4 1 5 1
a) − + −
3 5 4 3
1 1 4 1
b) 1 + − − −
3 5 3 2
1 1 1
c) 3 + 2 − 4
4 2 6
1 1 7 1 1
d) 3 −1 + 2 − − 2 −2
11 4 4 2 3
1 1
4. No s´ de Daniel, da planta¸˜o ´ de milho, ´ de feij˜o e o restante
ıtio ca e e a
3 5
´ de arroz. Qual ´ a fra¸˜o correspondente ` planta¸˜o de arroz?
e e ca a ca
11
5. O censo revelou que, do total da popula¸˜o brasileira,
ca s˜o brancos,
a
20
10
s˜o morenos e negros e a fra¸˜o restante ´ de ra¸a amarela.
a ca e c
25
Qual a fra¸˜o da popula¸˜o brasileira corresponde ` ra¸a amarela?
ca ca a c
Gabarito
13 11 75 8
1. a) 1 b) 2 c) d) e) f)
6 4 7 9
7 7 79 131 39 2
2. a) b) c) d) e) f)
12 12 45 360 20 21
123 9 19 80
3. a) b) c) d)
60 30 12 33
CEDERJ 28

23. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
1 1 5 3 8
4. + = + = .
3 5 15 15 15
15 15 8 7
A planta¸˜o inteira corresponde a
ca logo, temos de arroz − =
15 15 15 15
5
5.
100
Multiplica¸˜o e divis˜o de n´ meros fracion´rios
ca a u a
Multiplica¸˜o
ca
Jo˜o tem um terreno quadrado de lados medindo 1 km. Ele precisa
a
cercar uma parte desse terreno para o pasto de seu gado. Para isso, vai usar
3 3
de um lado e do outro. Que fra¸˜o do terreno ser´ o pasto? Qual ser´
ca a a
4 5
a ´rea desse pasto?
a
3 3
Como v˜o ser usados de um lado e do
a
4 5
9
outro, o pasto ser´ a do terreno. (Observe
20
o gr´fico)
a
Mas o terreno ´ quadrado e a ´rea de um quadrado ´: A = 1 km · 1 km =
e a e
2
1 km .
9 9
Como o pasto ´ igual a
e do terreno, sua ´rea ´
a e de 1 km2 , ou
20 20
9
seja, km2 . Assim, a ´rea do pasto, que ´ um retˆngulo, pode ser obtida
a e a
20
aplicando a f´rmula: Aretˆngulo = b · h onde b → base e h → altura.
o a
3 3 3 3 9
Da´ Aretˆngulo =
ı a · km2 . Temos que · = .
4 5 4 5 20
Portanto para multiplicar duas fra¸˜es, basta multiplicar os numerado-
co
res entre si e os denominadores entre si.
Exemplos:
3 5 3·5 15 5 3 7 21
1) · = = = 2) · = =1
4 6 4·6 24 8 7 3 21
Observa¸˜o: Podemos evitar a simplifica¸˜o do produto de fra¸˜es se tomar-
ca ca co
mos o cuidado de cancelar os fatores comuns ao numerador e denominador
das fra¸˜es que v˜o ser multiplicadas.
co a
Exemplos:
8
4 40 32
1) · =
1 7
5 7
1 105
50
3 5
2) · =
12 2
5
1 42
29 CEDERJ

24. Fra¸oes
c˜
Exerc´
ıcios
1. Calcule
1
a) O triplo de
7
4
b) A metade de
5
c) A ter¸a parte de 18
c
4 11
d) Os de
7 5
2. Calcule os produtos
1 4 2 3
a) · c) ·
3 3 3 8
2 3 1
b) · d) 9 ·
7 5 9
3. Calcule o valor das express˜es:
o
1 3 1 3
a) · + ·
2 5 6 4
3 5 8 7
b) + · −
5 3 7 8
1 5 2 5 2
c) 1 + · − · −
2 4 3 2 5
18 1 24 5 7
d) · + · · −1
35 5 15 49 3
2 2
4. Jos´ comeu
e de uma barra de chocolate e Jo˜o comeu do restante.
a
5 3
a) Quem comeu mais?
b) Que fra¸˜o do chocolate sobrou?
ca
Gabarito
3 2 44
1. a) b) c) 6 d)
7 5 35
4 6 1
2. a) b) c) d) 1
9 35 4
17 17 9 2136
3. a) b) c) d)
40 28 40 8575
4. a) Os dois comeram a mesma quantidade de chocolate, pois Jos´ comeu
e
2 2 5 2 3 2 3 2
e Jo˜o comeu do restante
a − = que significa de = .
5 3 5 5 5 3 5 5
2 2 4 5 4 1
b) Jos´ e Jo˜o comeram + = e sobrou − = .
e a
5 5 5 5 5 5
CEDERJ 30

25. Fra¸oes
c˜
´
MODULO 1 - AULA 1
Divis˜o
a
Inverso ou rec´
ıproco
3 4
Chama-se inverso ou rec´
ıproco da fra¸˜o
ca a fra¸˜o , isto ´, a fra¸˜o
ca e ca
4 3
3
que se obt´m trocando entre si o numerador e o denominador de .
e
4
3 4 12
Note que · = =1
4 3 12
Inverso ou rec´
ıproco de uma fra¸˜o diferente de zero ´ a fra¸˜o que se
ca e ca
obt´m trocando entre si o numerador e o denominador da fra¸˜o dada.
e ca
O produto de uma fra¸˜o pelo seu inverso ´ 1.
ca e
Quociente de fra¸˜es
co
3 5
Vamos calcular o quociente : .
4 6
x
Denominemos o quociente procurado pela fra¸˜o .
ca
y
Temos:
x 3 5
= :
y 4 6
Multiplicando o quociente pelo divisor, obtemos o dividendo:
x 5 3
· =
y 6 4
5
Vamos multiplicar os dois membros dessa igualdade pelo inverso de ,
6
6
isto ´, .
e
5
x 5 6 3 6
· · = ·
y 6 5 4 5
5 6
Como · = 1, vem:
6 5
x 3 6
·1 = · .
y 4 5
x 3 5 x 3 6
Sendo = : e = · .
y 4 6 y 4 5
3 5 3 6
ımos : = · .
Conclu´
4 6 4 5
O quociente de uma fra¸˜o por outra ´ igual ao produto da 1a fra¸˜o pelo
ca e ca
a
inverso da 2 .
31 CEDERJ

26. Fra¸oes
c˜
Exerc´
ıcios
1. Calcule:
5 10 3 9 1 4
a) : c) : e) 2 :3
3 3 5 7 7 14
3
1 19 38
b) 6 : d) : f) 5
3 80 40 5
4
2. Calcule o valor das seguintes express˜es:
o
3 1 1 1
a) + : −
5 5 3 4
1 1 1 1
b) 1− · 1− 1− : 1−
2 3 4 6
11 1 1 3
c) : + :
5 4 3 4
1 1 7 1 1 5 1 1
d) − : + · 3 − · :
2 4 6 7 4 3 3 7
3. Jo˜o tem o sal´rio incluindo as horas extras de R$ 3.840,00. Jo˜o
a a a
1
gasta metade do sal´rio para alimentar sua fam´
a ılia, gasta do sal´rio
a
4
3
no aluguel da casa e do restante em condu¸˜o.
ca
16
a) Quanto custa o aluguel da casa do Jo˜o?
a
b) Quanto a fam´ de Jo˜o gasta em condu¸˜o?
ılia a ca
c) Que fra¸˜o do sal´rio sobra para outras despesas?
ca a
Gabarito
1 7 1 15 12
1. a) b) 18 c) d) e) f)
2 15 4 23 25
48 3 396 37
2. a) b) c) d)
5 10 125 36
13
3. a) R$ 960,00 b) R$ 180,00 c)
64
CEDERJ 32