1. Tr-êng thpt l-¬ng thÕ vinh
Hµ néi
N¨m häc 2014 - 2015
®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015
M«n thi: To¸n - LÇn thø 2
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò
-------------- Ngµy 29.3.2015 --------------
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các hàm số 3 2
3 2y x mx ( mC ), 2 ( )y x d , với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( mC ) khi 1m .
b) Tìm các giá trị của m để ( mC ) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( mC ) đến đường
thẳng ( )d bằng 2 .
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình sin 2sin 1 cos 2cos 3x x x x .
b) Giải phương trình 3log 3 6 3x
x .
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
2
0
sin2
.
sin 2
x
I dx
x
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Gọi 1 2,z z là hai nghiệm phức của phương trình 2
4 9 0z z ; ,M N lần lượt là các điểm biểu diễn
1 2,z z trên mặt phẳng phức. Tính độ dài đoạn thẳng .MN
b) Một tổ có 7 học sinh (trong đó có 3 học sinh nữ và 4 học sinh nam). Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh đó
thành một hàng ngang. Tìm xác suất để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm (3;6;7)I và mặt phẳng
( ): 2 2 11 0P x y z . Lập phương trình mặt cầu ( )S tâm I và tiếp xúc với ( ).P Tìm tọa độ tiếp
điểm của ( )P và ( )S .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B ;
0
, 30AB a ACB ; M là trung điểm cạnh AC . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 0
60 .
Hình chiếu vuông góc của đỉnh 'A lên mặt phẳng ( )ABC là trung điểm H của BM . Tính theo a thể tích
khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách từ điểm 'C đến mặt phẳng ( ').BMB
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D ; diện tích
hình thang bằng 6; 2CD AB , (0;4)B . Biết điểm (3; 1), (2;2)I K lần lượt nằm trên đường thẳng AD và
DC . Viết phương trình đường thẳng AD biết AD không song song với các trục tọa độ.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2 3
2 3
( 3 3) 2 3 1
( , ).
3 1 6 6 2 1
x x x x y y
x y
x x x y
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực ,x y dương và thỏa mãn 1 0x y .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
22 4
3 2
5 5
x y x y
T
x yx y
.
---------------- Hết ----------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. Tr-êng thpt l-¬ng thÕ vinh
Hµ néi
Nă m họ c 2014 – 2015
®¸p ¸n – thang ®iÓm
®Ò thi thö thpt quèc gia n¨m 2015
M«n thi: To¸n – LÇn thø 2
--------------- Đáp án có 04 trang --------------
Câu Đáp án Điể
m
1
(2,0đ
)
a) (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2
3 2y x x
Tập xác định: D . lim ; lim
x x
y y
Đạo hàm: 2
' 3 6y x x ; ' 0 0y x hoặc 2x .
0,25
Khoảng đồng biến: ;0 ; 2; . Khoảng nghịch biến: 0;2
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 2x , 2CTy ;
đạt cực đại tại 0x , yCĐ = 2.
0,25
Bảng biến thiên:
x 0 2
y' + 0 - 0
+
y 2
-2
0,25
Đồ thị: (Hs có thể lấy thêm điểm ( 1; 2); (1;0); (3;2) ). 0,25
b) (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m để ( mC ) có k/c điểm cực tiểu của ( mC ) đến ( )d bằng
2 .
2
' 3 6 3 ( 2 )y x mx x x m . ' 0 0; 2y x x m
Điều kiện để hàm số có hai cực trị là 0m . 0,25
Tọa độ hai điểm cực trị: (0;2)A và 3
(2 ;2 4 )B m m . 0,25
0:m A là điểm cực tiểu. Khi đó ( , ) 0 2d A d (loại). 0,25
0:m B là điểm cực tiểu. Khi đó:
3
3
3
2 1 1( )
( , ) 2 | 2 | 1
1( )2 1
m m m tm
d B d m m
m ktmm m
Đáp số: 1m .
0,25
2
(1,0đ
)
a) (0,5 điểm) Giải phương trình sin 2sin 1 cos 2cos 3x x x x .
Phương trình đã cho tương đương với
2 2 1 3
sin 3cos 2 cos sin sin 3cos 2cos2 sin cos cos2
2 2
sin sin 2 .
3 2
x x x x x x x x x x
x x
0,25
3.
5 2
2 2 ,
3 2 18 3
x x k x k k
.
5
2 2 2 ,
3 2 6
x x k x k k
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
5 2 5
, 2 ,
18 3 6
x k x k k
.
0,25
b) (0,5 điểm) Giải phương trình 3log 3 6 3x
x
Điều kiện: 3log 6x . Phương trình đã cho tương đương với
3 27
3 6 3 3 6
3
x x x
x
. Đặt 227
3 0 6 6 27 0x
t t t t
t
0,25
9
3( )
t
t l
Với 9 3 9 2x
t x (tmđk).
Đáp số: 2x .
0,25
3
(1,0đ
)
Tính tích phân
2
2
0
sin2
.
sin 2
x
I dx
x
2 2
2 2
0 0
sin2 2sin cos
.
sin 2 sin 2
x x x
I dx dx
x x
Đặt sin cost x dt xdx . 0 0;x t 1.
2
x t
0,25
1
2
0
2
2
tdt
I
t
1 1 1
2 2
0 0 0
2 2
2 2 4
22 2
t dt dt
dt
tt t
. 0,25
1 11
2ln( 2) 4
0 02
I t
t
0,25
1 1
2(ln3 ln 2) 4
3 2
I
3 2
2ln
2 3
. ( 0.144)I . 0,25
4
(1,0đ
)
a) (0,5 điểm) Cho 2
4 9 0z z . M, N biểu diễn 1 2,z z . Tính độ dài đoạn MN.
Phương trình đã cho có 2
' 4 9 5 5i nên có hai nghiệm 1,2 2 5z i . 0,25
Từ đó (2; 5), (2; 5) 2 5M N MN .
Đáp số: 2 5MN .
0,25
b) (0,5 điểm) Tính xác suất có 3 học sinh nữ cạnh nhau.
Gọi A là biến cố “3 học sinh nữ cạnh nhau”
+ Số biến cố đồng khả năng: Xếp 7 học sinh ngẫu nhiên, có số hoán vị là 7!
+ Số cách xếp có 3 học sinh nữ cạnh nhau:
Coi 3 học sinh nữ là 1 phần tử, kết hợp với 4 học sinh nam suy ra có 5 phần tử, có
5! cách sắp xếp. Với mỗi cách sắp xếp đó lại có 3! cách hoán vị 3 học sinh nữ. Vậy
có 5!.3! cách sắp xếp.
0,25
+ Xác suất của biến cố A là:
5!.3!
7!
p A
1
7
. ( ( ) 0.14)p A .
(Cách 2: - - - - - - - 7 vị trí. Xếp 3 nữ cạnh nhau có 5 cách: (123)…(567). Mỗi cách
xếp lại có 3! cách hoán vị 3 nữ. Có 4! cách hoán vị 4 nam. Vậy P(A) = 5.3!.4!/7! =
1/7)
0,25
5
(1,0đ
)
Cho ( ): 2 2 11 0P x y z , (3;6;7)I
Mặt cầu ( )S tâm I có bán kính
| 3 12 14 11|
( ,( )) 6
3
R d I P
. 0,25
Phương trình mặt cầu 2 2 2
( ):( 3) ( 6) ( 7) 36S x y z . 0,25
4. Đường thẳng ( )d qua I và vuông góc với ( )P có phương trình
3
6 2 ( )
7 2
x t
y t t
z t
. 0,25
Giả sử ( ) ( ) (3 ) (12 4 ) (14 4 ) 11 0 9 18 0 2M d P t t t t t
(1;2;3)M .
0,25
6
(1,0đ
)
Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B ; 0
, 30AB a ACB ;
' ( ) 'A H ABC A H là đường cao của hình lăng trụ.
AH là hình chiếu vuông góc của 'AA lên ( )ABC 0
' 60A AH
. ' ' ' .ABC A BC ABCV A H S
0,25
3 3
2 , '
2 2
a a
AC a MA MB AB a AH A H .
2
1 1 3
. . . . 3
2 2 2
ABC
a
S BA BC a a .
2
. ' '
3 3
.
2 2
ABC A BC
a a
V
3
3 3
4
a
.
0,25
. '
'
3
',( ') ,( ') ,( ') A BMB
BMB
V
d C BMB d C BMB d A BMB
S
.
3
. ' '. . ' '
1 3
6 8
A BMB B ABM ABC A BC
a
V V V .
0,25
Do ( ')BM AHA nên ' 'BM AA BM BB 'BMB vuông tại B
2
'
1 1 3
'. . 3.
2 2 2
BMB
a
S BB BM a a .
Suy ra
3 2
3 3 3
',( ') :
8 2
a a
d C BMB
3
4
a
.
(Cách 2: 03 3
( ,( ')) .sin .sin60
2 4
a a
d A BMB AE AH AHE ).
0,25
7
(1,0đ
)
Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D ; diện tích hình
thang bằng 6; 2CD AB , (0;4)B . (3; 1), (2;2)I K . Viết phương trình đường thẳng AD.
Vì AD không song song các trục tọa độ nên gọi véc tơ pháp tuyến của AD là
(1; ), 0;n b b suy ra: Phương trình :1( 3) ( 1) 0AD x b y .
Phương trình : ( 4) 0AB bx y .
0,25
3 3
. . . ( , ). ( , )
2 2 2
ABCD
AB CD AB
S AD AD d B AD d K AB
2 2
3 | 3 5 | |2 2|
. .
2 1 1
b b
b b
.
0,25
2
2 2
1
| 3 5 | | 1| 5
6 3 . 6 | 5 3|.| 1| 2( 1)
31 1
1 2 2
7
ABCD
b
b b
S b b b b
b b
b
. 0,25
Đáp số:
2 0;3 5 14 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0;7 (1 2 2) 2 2 22 0x y x y x y x y .
0,25
8
(1,0đ
)
Giải hệ phương trình
2 3
2 3
( 3 3) 2 3 1 (1)
( , ).
3 1 6 6 2 1 (2)
x x x x y y
x y
x x x y
A C
A' C'
B
B'
M
H
A C
A'
C'
B
B'
M
H
Q
P
E
I
K
A B
D C
5. Điều kiện: 1 3 3; 3 3; 3x x y
3
3 3 3(1) 1 ( 1) 1 2 2 1x x y y
0,25
Xét hàm 3
( ) 1, 1f t t t t . Ta có
2
3
3
'( ) 1 0 1
2 1
t
f t t
t
, suy ra ( )f t đồng
biến 1t , suy ra 31 2x y .
0,25
Thay vào (2) ta có
2 2
3 1 6 6 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 4( 1) 1 3 1x x x x x x x x
Do 1x không thỏa mãn nên chia cả 2 vế cho 1 0x ta được:
1 1
1 1 4 3
11
x x
xx
.
Đặt 2 2
2 2
31 5
1 2 6 3 6 3
26 (3 )1
t
t x t t t t t
t tx
.
0,25
Với
5 621 2
5 1 5
1 5 12712 21 1
4 642
x yx
t x
x yx x
.
Đáp số
5 127
( ; ) (5;62),( ; )
4 64
x y .
0,25
9
(1,0đ
)
Cho , 0: 1 0x y x y . Tìm max:
2 2
22 4
3 2
5 5
x y x y
T
x yx y
.
Ta có
2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 0
4 2 4
x
x y
y y y y
. Đặt 2
1
0
4
x
t t
y
0,25
Ta có
2 2
2 2
2
2
3 2 1
1 3 1 2 1
. ( ) .
5 5 111
1
x x
t ty y
T T f t
x ttx
y
y
với
1
0
4
t .
232
1 3 1 1
'( ) .
5 11
t
f t
tt
Nhận xét:
3
32
32
1 1 17 17 17 1 3 4
0 1 3 ; 1
4 4 16 16 16 171 17
16
t
t t t
t
Và 2
1 1 1
.
5 ( 1) 5t
. Do đó
4 1
'( ) 0
517
17
16
f t .
0,25
Từ đó ( )f t đồng biến
1 1 13 6
(0; ] ( )
4 4 2517
t f t f
.
0,25
Đáp số: 1
(0; ]
4
13 6 1
1; 2
25 417t
MaxT t x y
. 0,25
-------------------- Hế t --------------------
