Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học

1. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON
MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC
I. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức

Có dạng x
m
(a  bx n ) p dx với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0

Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau.
m 1 m 1
Cụ thể xét bộ ba số p; ; p
n n
TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n
m 1 s p
TH 2: Nếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n
n r
Đặc biệt
r
- Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bx n
s
r
- Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3
s
TPTP hai lần, …
m 1 s a  bx n
TH 3: Nếu  p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt  tr
n r xn
Bài tập giải mẫu:
TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n
4
dx
Bài 1: Tính tích phân sau I  
1 
x 1 x 
Giải:
4 1 4 1
dx  1
Ta có I     x 1  x 2  dx
1 x 1 x 1   
1
Nhận xét: m  1, n  , p  1  Z  q  2
2
Cách 1:
x  t2
Đặt x t
dx  2tdt
1

2. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
 x  4 t  2
Đổi cận  
x  1 t  1
2 2 2
t dt 1 1  2 4
Khi đó I  2 2 dt  2   2     2  ln t  ln 1  t   2 ln
1 
1 t 1  t 
t 1 t 1
t 1 t  1 3
Cách 2:
 x   t  1 2

Đặt 1  x  t  
dx  2  t  1 dt

 x  4 t  3
Đổi cận  
x  1 t  2
2
 t  1 dt 3 dt 3
 1 1 3 4
Khi đó I  2 2
 2  2    dt  2  ln t  1  ln t   2ln
2 
2  t  1 t
t  1 t 2
t 1 t  2 3
m 1 s p
TH 2: Nếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n
n r
Đặc biệt
r
- Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bx n
s
r
- Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3
s
TPTP hai lần, …
1
Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I   x 3 1  x 2 dx
0
Giải:
1 1
Phân tích I   x 3 1  x 2 dx   x 2 1  x 2 .xdx
0 0
1 m 1
Nhận xét: m  3, n  2, p    2
2 n
Cách 1:
 x2  1  t 2
Đặt t  1  x 2  
 xdx  tdt
x  1 t  0
Đổi cận  
 x  0 t  1
0 1 1 1
1 1  2
Khi đó I    t 1  t 2
 2
 dt   t 1  t  dt   t
2 2 2
t 4
 dt   t 3  t 5  
3 5  0 15
1 0 0
Cách 2:
2

3. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x2  1  t
 2
Đặt t  1  x   dt
 xdx  
 2
 x 1  t0
Đổi cận  
 x  0 t  1
1
0 1 1 1 1 1 3 3 3
1 2 1 2 1  2  12 2 2 2  2
Khi đó I    t 1  t  dt   t 1  t  dt    t  t dt   t  t  
2
21 20 2 0  23 3  15
0
Cách 4:
Đặt x  cos t  dx   sin tdt
 
2 2
Khi đó I   sin 2 t cos 3 tdt   sin 2 t 1  sin 2 t  cos tdt
0 0
Cách 4.1.
Đặt sin t  u  cos tdt  du
Khi đó
1 1
 u 3 u5  1 2
I   u 2 (1  u 2 )du    u 2  u 4  du     
0 0  3 5  0 15
Cách 4.2.
 

2 2
 sin 3 t sin 5 t  2
2

I   sin t 1  sin t d  sin t    2
  2 4

sin t  sin t d  sin t      2 .
0 0  3 5 
0
15
Cách 4.3.
   
12 1 2 1  cos 4t 12 12
I   sin 2 2t costdt   cos tdt   cos tdt    cos 4t cos tdt
40 40 2 80 80
Cách 5:
1 1
1 1

I    x2 1  x 2 d 1  x 2   1  x2  1 1  x 2 d 1  x 2
20 20
    
1 3 1 1
1 1
20

  1  x2  
d 1  x   1  x2
20
2 2
   d 1  x 
2 2
dt
Cách 3: Đặt t  x 2   xdx
2
7
x 3 dx
Bài 3: Tính tích phân I   3
0 x2  1
Giải :
 x2  t 3  1
 3 2
Cách 1: Đặt t  x  1   3 2
 xdx  t dt
 2
3

4. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x  7
 t  2
Đổi cận  
x  0
 t  1
3  t  1 .t dt 3
7 2 3 2 2
x 2 .xdx 3  t 5 t 2  2 93
Khi đó I        t  t  dt     
4
0
3
x2  1 2 1 t 21 2  5 2  1 10
Cách 2:
x2  t  1

Đặt t  x 2  1   dt
 xdx 
 2
x  7
 t  8
Đổi cận  
x  0
 t  1
1  t  1 dt 1  3  3 
8 8 2 1 5 2
13 3 3 3  8
Khi đó I   1
   t  t  dt   t  t 
21 3
2 1  25 2 1
t
2
x3 x
Cách 3: Phân tích x 3  x  x 2  1  x   x  x 2  1 3 
3 2 3 2
x 1 x 1
Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần
u  x 2 du  2 xdx
 
1 d  x  1  
2
Đặt  x 3 3
 dv  dx   v   x 2  1 2

3 2
x 1 2 3 x2  1  4
4
dx
Bài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I  x
7 x2  9
Giải:
Phân tích
4 4 1
dx
 x x  9  dx
1 2
I x  2
7 x2  9 7
1 m 1
Nhận xét: m  1, n  2, p     0
2 n
 x2  t 2  9
Đặt t  x 2  9  
 xdx  tdt
x  4
 t  5
Đổi cận  
x  7
 t  4
4 5 5
xdx tdt dt 1 t 3 5 1 7
Khi đó I  x   2  ln  ln
7
2
x2  9 4 t (t 2  9) 4 t  9 6 t  3 4 6 4
Cách 2:
4

5. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x2  t  9
2 
Đặt t  x  9   dt
 xdx 
 2
25
1 dt
Khi đó I   1
... đến đây liệu ta có thể làm được không, có thể đó bằng cách đặt
2 16
t  9 t 2
1
u 2  t
u  t2   … bạn đọc giải tiếp nhé
2udu  dt
1
6
Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx
0
Giải:
1 1
3 6 6
I   x 1  x
5
 dx   x 3 1  x 3  x 2 dx
0 0
m 1
Nhận xét: m  5, n  3, p  6  Z   0
n
Cách 1:
 dt 2
  x dx
3
Đặt t  1  x   3
 x3  1  t

x  1 t  0
Đổi cận  
 x  0 t  1
0 1 1
1 6 1 6 1 6 7 1  t 7 t8  1
Khi đó I    t 1  t dt   t 1  t dt    t  t dt     
31 30 30 3  7 8  168
Cách 2:
1 1 1 1
6 6 6 7
I   x5 1  x3  dx   x 2 1  1  x 3   1  x3  dx   x 2 1  x 3  dx   x 2 1  x 3  dx
 
0 0 0 0
3 7 3 8
1 1  x  1 1  x 
1 1
1 6 7 1 1 1
   1  x3  d 1  x 3    1  x3  d 1  x3    .  . 
30 0 3 7 0 3 8 0 168
2
2
Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau I   x  x  1 dx
0
Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
du  2  x  1 dx
u   x  12
 
Đặt   x2

 dv  xdx  v
 2
2 2 2
2 x 2  x 4 x 3  2 34
Khi đó I   x  1   x  x  1 dx  6    x 3  x   dx  6     
2
2 0 0 0  4 3 0 3
5

6. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
Cách 2:
x  t  1
Đặt t  x  1  
dx  dt
 x  2 t  3
Đổi cận  
 x  0 t  1
Khi đó
3 3
 t 4 t 3  3 34
I    t  1 t dt    t 3  t 2  dt     
2
1 1  4 3 1 3
Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích
2
Ta có x  x  1  x  x 2  2 x  1  x 3  2 x 2  x
2
 x 4 2 x 3 x 2  2 34
Khi đó I    x3  2 x 2  x  dx      
0  4 3 2 0 3
Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
2 2 3 2
Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1
 
4 3
2
3
2
2
2
3
2
2  x  1  x  1 34
Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1   
0 0 0 0
4 3 3
m 1 s a  bx n
TH 3: Nếu  p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt  tr
n r xn
2
dx
Bài 7: Tính tích phân sau I  
1 x 4 1  x2
Giải:
1 m 1 x2  1 2
Nhận xét: m  2; n  2; p    p  2  Z nên đặt t
2 n x2
 2 1
x  t2 1
1  x2 
Đặt 2
 t2   tdt
x  xdx   2

  t 2  1
 5
 x  2 t 
Đổi cận   2
x  1 t  2

Ta có
5
3 2
I
2
dx
2

dx

2
t 2
 1 tdt
2
 t3 
   t  1 dt    t 
2 7 5 8 2
 t
. 2 5
1 x4 1  x2 1
x6
1
1 2 t 2
 1 5 3  24
2
x2 2
6

7. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
1
Bài 8: Tính tích phân sau: I  
1
x  x  3 3
dx .
1 x4
3
HD:
1
1 1 1
 1 3 1
Ta có I    2  1 . 3 dx   x 3  1  x 2  3 dx
1 x  x 1
3 3
1 m 1
Nhận xét: m  3, n  2, p    1 Z
3 n
1 dt dx
Đặt t  2  1    3 ….  I  6 bạn đọc tự giải
x 2 x
3
dx
Bài 9: Tính tích phân sau I  
3 (1  x 2 )3
2
Giải :
3 m 1
Ta có m  0; n  2; p    p  1  Z
2 n
 1 2
2
x 1 2 t2 1  x

Đặt 2
t 
x  xdx  tdt

 (t 2  1) 2
x  3  2 3
 t 
Đổi cận  3  3
x  t  3
 2 
3 3 3 3
xdx tdt dt 1 1
Khi đó I       2  2 3 
1
.t 2 .t 2 3 t t
2 2
3 (1  x ) 1  x 2 2
2 3 (t  1) . 2 3
2
x4. 2
. 3
2
(t  1) 2
3 3
x x
Bài tập tự giải:
2
dx
Bài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I  
1 x x3  1
HD:
3x2 dx dt
Đặt t  x3  1  dt  dx   2
2 x3  1 x x3  1 t 1
4
dx 1 7
Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I  x  ln
7 x2  1 6 4
7

8. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
2
dx 
Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I   
2 x x2  1 12
3
Cách 1:
x dx xdx dt   dt
Đặt t  x 2  1  dt  dx    2
và t  tanu ,   u  , 2  du .
x2  1 x x2  1 x2 x2  1 t 1 2 2 t 1
1   dx
Cách 2: Đặt t  , t   0;    dt
cos t  2 x x2  1
1  π 1
C1: Đặt x  với t   0;  hoặc x 
cos t  2 sin t
C2: Đặt x 2  1  t
C3: Đặt x 2  1  t
1
C4: Đặt x 
t
C5: Phân tích 1    x 2  1  x 2 
 
1
x3
Bài 4: Tính tích phân I   dx  0
1 x2  1
C1: Đặt x  tan t
C2: Phân tích x 3  x  x 2  1  x
u  x 2

C3: Đặt  x
dv  dx
 x2  1
C4: Đặt x  t
C5: Phân tích x 3 dx  x 2 xdx   x 2  1  1 d  x 2  1
 
7
x3 141
Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I   dx 
0
3
1 x 2 20
2
x4
Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I   dx
0 x5  1
3
14 3
Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I   x 3 x 2  1 dx 
1 5
9
468
Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I   x. 3 1  x dx  
1 7
1
2 2 1
Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I   x x 2  1dx 
0
3
3
848
Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I   x 3  1.x5 dx 
0
105
8

9. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
1
6 3 8
Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I   x3 . x 2  3dx 
0
5
1
8
Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I   x5 1  x 2 dx 
0
105
1
x 1
Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I   2
dx  ln 2
0 1 x
2
1
2
Bài 14: Tính tích phân I   x 2 2  x 3 dx 
0
9
3 32 2  
Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân
3
dx 3 
I  x x  1 
1
2 2
 1 3 12
2 3
dx 2 3
Bài 16: Tính tích phân I    
3 x2 x 2  1 3 2 2
b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức

p
Mở rộng I   u m  x   a  bu n  x   d u  x   với với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0
   

Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau
m 1 s p
Nếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bu n  x   hoặc t  a  bu n  x 
 
n r
r
Đặc biệt : Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bu n  x 
s
Ta xét các thí dụ sau đây
ln 5
e2 x
Thí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I   dx
ln 2 ex  1
Lời giải.
ln 5 ln 5 1
e2 x 
Ta có I  e 1
ln 2
x
ln 2
dx    e x 1  e x  2 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 m 1
m  n  1, p     2  Z và u  x   e x
2 n
x 2
e  t 2  1

x
Đặt e  1  t   x
e dx  2tdt

 x  ln 5 t  2
Đổi cận  
 x  ln 2 t  1

2 t 2  1 tdt

2
2 2 2 20
Khi đó I  2 
t 3 1

 2  t 2  1 dt  t 3  2t  
1 3
1 1
9

10. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
Cách khác: Đặt e x  1  t
e
1  3ln x .ln x
Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I   dx
1 x
Lời giải.
e e 1
1  3ln x .ln x
Ta có I   dx   ln x 1  3ln x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 x 1
1 m 1
m  n  1, p    2  Z và u  x   ln x
2 n
 t2 1
 ln x 
 3
Đặt 1  3ln x  t 2  
 dx  2 tdt
x 3

 x  e t  2
Đổi cận  
x  1 t  1
2 2
2 t2 1 2 2 2  t 5 t 3  2 116
Khi đó I   t dt   (t 4 t 2 )dt     
31 3 91 9  5 3  1 135
Cách khác: t  1  3ln x
e
ln x. 3 2  ln 2 x
Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I   dx
1 x
Lời giải.
e e 1
ln x. 3 2  ln 2 x
Ta có I   dx   ln x 1  ln 2 x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 x 1
1 m 1
m  1, n  2, p    1  Z và u  x   ln x
3 n
3 2 ln x
Đặt t 3  2  ln 2 x 
t dt  dx
2 x
 x  e t  3 3

Đổi cận  
x  1 t  3 2

3 3
3 3 3
3 3 3 3 t4 3 3 3
232
2
Khi đó I   t.t dt   t dt  .
2 32 2 4 3
2

8
3 3  23 2 
Cách khác: Đặt 2  ln 2 x  t
e
ln x
Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I   2
dx
1 x  2  ln x 
Lời giải.
10

11. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
e 2
ln x 2
Ta có I   2
dx   ln x  2  ln x  d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 x  2  ln x  1
m 1
m  1, n  1,   2  Z , p  2  Z và u  x   ln x
n
ln x  t  2

Đặt t  2  ln x   dx
 x  dt

3
t  2 1 2
3
  2 3 3 1
Khi đó I   2
dt     2 dt   ln t    ln 
2 t 2t t   t2 2 3
ln 3
e x dx
Thí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I   3
0
e x

1
Lời giải.
ln 3 ln 3 1
e x dx 
 e 
x
Ta có I    1 3 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với
3
0
e x
1  0
1 m 1
m  0, n  1, p     1  Z và u  x   e x
2 n
Đặt t  e  1  2tdt  e x dx  dx  2tdt
2 x
2
tdt 12
Khi đó I  2  3  2.  2 1
2
t t 2
2
dx
Thí dụ 6. Tính tích phân sau I  
1 x  x3
5
Lời giải.
2 2
dx 1
Ta có I   5 3
  x 3 1  x 2   dx đây là tích phân nhị thức với m  3, n  2, p  1  Z
1 x  x 1
x2  t 1

Đặt t  x 2  1   dt
  xdx
2
 x  2 t 5
Đổi cận  
x  1 t 2
2 2
1 x
Ta có I   dx   dx
1
3
x x 1  2
 1 x 4
x 2
1 
1  1 1
5 5
dt 1 1 1 t 5 3 1 5
Khi đó I   2
  2
   dt     ln  2   ln 2  ln
t  t  1 2 2   t  1 t 1 t  2  t 1 t 1  8 2 2
2  
11

12. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
x 2 dx
Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm: I   39
1  x 
Lời giải.
x 2 dx 39 m 1
Ta có I   39
  x 2 1  x  dx đây là tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  39  Z   3 Z
1  x  n
Đặt t  1  x  x  1  t  dx   dt
Khi đó
2
1  t  dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1
I   39
   39 dt  2  38 dt   37 dt  38
 37
  C với t  1  x
t t t t 38 t 37 t 36 t 36

2
sin 2 x.cos x
Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   dx
0
1  cos x
Lời giải.
Phân tích
  
2
sin 2 x.cos x 2
sin x.cos 2 x 2
1
I dx  2  dx  2  cos 2 x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức
0
1  cos x 0
1  cos x 0
với m  2, n  1, p  1  Z và u  x   cos x
dt   sin xdx
Đặt t  1  cos x  
cos x  t  1
 
x  t  1
Đổi cận  2 
x  0 t  2

2
1
 t  1 2
 1  t2 2
Khi đó I  2  dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t   2 ln 2  1
2
t 1
t 2 1

2
2
Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx
0
Lời giải.
 
2 2
2 2
Ta có I   sin x cos x 1  cos x  dx    cos x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức với
0 0
m  1, n  1, p  2  Z và u  x   cos x
sin xdx   dt
Đặt t  1  cos x  
cos x  t  1
12

13. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
 
x  t  1
Đổi cận  2 
x  0 t  2

1 2
 t 4 t 3  2 17
Khi đó I     t  1 t 2 dt    t 3  t 2  dt     
2 1  4 3  1 12
Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính như
trong lý thuyết

2
sin 2 x  sin x
Thí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   dx
0 1  3cos x
Lời giải.
  
2
sin x  2 cos x  1 2

1 2

1
Ta có I   dx    2 cos x 1  3cos x  d  cos x    1  3cos x  2 d  cos x 
2
0 1  3cos x   
0 0
 
I1 I2
m 1
Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u  x   cos x với I1 ta có m  n  1   2  Z và với I 2
n
m 1
ta có m  0, n  1   1 Z .
n
Vậy chung qui lại ta có thể
 t2 1
 cos x 
 3
Đặt 1  3cos x  t 2  
 sin x dx  
2dt
 1  3cos x
 3
 
x  t  1
Đổi cận  2 
x  0 t  2

2
 4t 2 2   4 2  2 34
Khi đó I      dt   t 3  t  
1
9 9  27 9  1 27

2
sin 3 x
Thí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   dx
0
1  cos x
Lời giải.
  
2 2 3 2
sin 3 x 3sin x  4sin x 1
Ta có I   dx   dx     4cos 2 x  1 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tổng của
0
1  cos x 0
1  cos x 0
m 1
hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  1  Z   3  Z và u  x   cos x nên ta
n
cos x  t  1
đặt t  1  cos x  
 dt  sin xdx
13

14. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
 
x  t  1
Đổi cận  2 
x  0 t  2

2
1
4  t  1  1 
2
3  2
Khi đó I    dt    4t   8  dt   2t 2  3ln t  8t   3ln 2  2
2 t 1 t  1
Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau
e3
ln 2 x 76
Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I  x dx 
1 ln x  1 15
ln 2 2x
e 2 2
Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I   dx 
0
x
e 1 3
e
ln x 42 2
Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I =  x. dx 
1 1  ln x 3
e
3  2 ln x 10 2  11
Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I  x dx 
1  2 ln x 1 3
e
ln x 1
Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I   dx  (ln 2  1)
1 x  ln x  1
2
2
e
log 3 x
2 4
Bài 7: Tính tích phân sau I   dx 
1 x 1  3ln x 2 27 ln 3 2
ln 8 ln 8
Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I   e x  1.e 2 x dx   e x  1.e x .e x dx
ln 3 ln 3
Bài 9: Tính tích phân sau I 
ln 5
e x
 1 e x
dx

ln 2 ex  1

2
sin 4 x 3
Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I   2
dx  2  6 ln
0 1  cos x
4

2
3 15
Bài 11: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx 
0
4

2
sin x cos 3 x
Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I   dx
0 1  cos 2 x

6
sin 3 x  sin 3 3 x 1 1
Bài 13: Tính tích phân I   dx    ln 2
0
1  cos 3 x 6 3
14

15. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn
3
dx 6
Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I   xx 3
 ln
0
2
3
x dx 1 1 3 1 3 1 1 1
Bài 15: Tìm nguyên hàm I   10
 6
 7
 8
 C
( x  1) 6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) 9 ( x  1)9
15