![CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
PHẦN :ĐẠI SỐ
CHUYÊN ĐÊ 1
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I/ Phương pháp đặt nhân tử chung
AB + AC = A (B + C)
II/Phương pháp dùng hằng đẳng thức
1/ 10x -25 –x2
2/ 8x3
+12x2
y +6xy2
+y3
3/ -x3
+ 9x2
-27x +27
III/Phương pháp nhóm hạng tử
1/ 3x2
- 3xy-5x+5y
2/ x2
+ 4x-y2
+4
3/ 3x2
+6xy +3y2
– 3z2
4/ x2
-2xy +y2
–z2
+2zt –t2
IV/ Phương pháp tách
( Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp)
Vd: hân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 2x2
– 7xy + 5y2
= 2x2
– 2xy – 5xy+5y2
= ( 2x2
-2xy) – (5xy- 5y2
)
= 2x(x-y) -5y(x-y) = (x-y) . (2x – 5y)
b/ 2x2
3x – 27 = 2x2
– 6x + 9x -27 = 2x(x-3) + 9 (x-3) = (x-3).(2x + 9)
c/ x2
–x -12 = x2
+ 3x -4x -12 = x(x+3) -4 (x + 3) = (x+3) .(x-4)
d/ x3
-7x + 6= x3
– x2
+ x2
–x -6x +6 = x2
(x-1) + x (x-1) -6 (x-1)
= (x-1) (x2
+x -6) = ( x-1)[ x2
+3x-2x-6]
=(x-1)[x(x+3) -2(x +3)] = (x-1)(x+3)(x-2)
Baì tập tự giải:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ x2
+ 8x + 15
2/ x2
+ 7x +12
3/ x3
+ 2x -3
4/ 2x2
+ x -3
5/2x2
– 5xy +3y2
6/3x2
– 5x +2
7/ xy(x-y)- xz(x+z) +yz(2x-y+z)
8/ x3
+ y3
+ z3
-3xy
V/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ a4
+ 4 = a4
+4a2
+ 4 - 4a2
= (a2
+2)2
– (2a)2
=( a2
+2a +2)( a2
-2a +2)
2/ x5
+x – 1 = x5
+ x2
– x2
+x – 1 = x2
(x3
+ 1) –( x2
-x + 1) = x2
(x+ 1)( x2
-x + 1) –( x2
-x + 1)
= ( x2
-x + 1)[ x2
(x+ 1)-1] = (x2
-x + 1)(x3
+x2
-1)
VI/ Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ)
Ví dụ:Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2
+ 2x +8)2
+3x(x2
+ 2x +8) + 2x2
Đặt y = x2
+ 2x +8; Ta có:](https://image.slidesharecdn.com/cacchuyendeonthihsgtoan9-150330223917-conversion-gate01/85/Cac-chuyen-de-on-thi-hsg-toan-9-1-320.jpg)
Recomendados
Más contenido relacionado
La actualidad más candente
La actualidad más candente (20)
Destacado
Similar a Cac chuyen de on thi hsg toan 9
Similar a Cac chuyen de on thi hsg toan 9 (20)
Cac chuyen de on thi hsg toan 9
- 1. CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 PHẦN :ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐÊ 1 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I/ Phương pháp đặt nhân tử chung AB + AC = A (B + C) II/Phương pháp dùng hằng đẳng thức 1/ 10x -25 –x2 2/ 8x3 +12x2 y +6xy2 +y3 3/ -x3 + 9x2 -27x +27 III/Phương pháp nhóm hạng tử 1/ 3x2 - 3xy-5x+5y 2/ x2 + 4x-y2 +4 3/ 3x2 +6xy +3y2 – 3z2 4/ x2 -2xy +y2 –z2 +2zt –t2 IV/ Phương pháp tách ( Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp) Vd: hân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 2x2 – 7xy + 5y2 = 2x2 – 2xy – 5xy+5y2 = ( 2x2 -2xy) – (5xy- 5y2 ) = 2x(x-y) -5y(x-y) = (x-y) . (2x – 5y) b/ 2x2 3x – 27 = 2x2 – 6x + 9x -27 = 2x(x-3) + 9 (x-3) = (x-3).(2x + 9) c/ x2 –x -12 = x2 + 3x -4x -12 = x(x+3) -4 (x + 3) = (x+3) .(x-4) d/ x3 -7x + 6= x3 – x2 + x2 –x -6x +6 = x2 (x-1) + x (x-1) -6 (x-1) = (x-1) (x2 +x -6) = ( x-1)[ x2 +3x-2x-6] =(x-1)[x(x+3) -2(x +3)] = (x-1)(x+3)(x-2) Baì tập tự giải: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1/ x2 + 8x + 15 2/ x2 + 7x +12 3/ x3 + 2x -3 4/ 2x2 + x -3 5/2x2 – 5xy +3y2 6/3x2 – 5x +2 7/ xy(x-y)- xz(x+z) +yz(2x-y+z) 8/ x3 + y3 + z3 -3xy V/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1/ a4 + 4 = a4 +4a2 + 4 - 4a2 = (a2 +2)2 – (2a)2 =( a2 +2a +2)( a2 -2a +2) 2/ x5 +x – 1 = x5 + x2 – x2 +x – 1 = x2 (x3 + 1) –( x2 -x + 1) = x2 (x+ 1)( x2 -x + 1) –( x2 -x + 1) = ( x2 -x + 1)[ x2 (x+ 1)-1] = (x2 -x + 1)(x3 +x2 -1) VI/ Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ) Ví dụ:Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + 2x +8)2 +3x(x2 + 2x +8) + 2x2 Đặt y = x2 + 2x +8; Ta có:
- 2. y2 +3xy+2x2 = y2 +xy+2xy+ 2x2 = y(x+y) +2x(x+y) = (x+y)(y+2x) = (x+ x2 + 2x +8)( x2 + 2x +8 +2x) =(x2 +3x+8)( x2 +4x+8) BÀI TẬP TỔNG HỢP Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1/ A = x3 +y3 +z3 -3xyz 2/ x3 +7x -6 3/ 2x3 –x2 -4x +3 = 2x3 – 2x2 +x2 -x-3x+3 = 2x2 (x-1) +x(x-1) -3(x-1) =(x-1)(2x2 +x-3) = (x-1)(x-1)(2x+3) = (x-1)2 (2x+3) 2 2 2 2 2 1/ x 5x 6 2/ x 5x 6 3/ x 7x 12 4/ x 7x 12 5/ x x 12 − + + + − + + + + − 2 2 2 2 2 6/ x x 12 7 / x 9x 20 8/ x 9x 20 9/ x x 20 10/ x x 20 − − − + + + + − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21/ x xy 2y 22/ x xy 2y 23/ x 3xy 2y 24/ x xy 6y 25/ 2x 3xy 2y − − + − − − − − − − 2 2 2 2 26/ 6x xy y 27 / 2x 5xy y − − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11/ 2x 3x 2 12/ 3x x 2 13/ 4x 7x 2 14/ 4x 5x 6 15/ 4x 15x 9 16/ 3x 10x 3 17 / 6x 7x 2 18/ 5x 14x 3 19/ 5x 18x 8 20/ 6x 7x 3 − − + − − − + − + + + + + + + − − − + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 31/ x x xy 2y 2y 32/ x 2y 3xy x 2y 33/ x x xy 2y y 34/ x 4xy x 3y 3y 35/ x 4xy 2x 3y 6y 36/ 6x xy 7x 2y 7y 5 37 / 6a ab 2b a 4b 2 38/ 3x 22xy 4x 8y 7y 1 39/ 2x 5x 12y 12y 3 10 − − − + + − + − + − − + − − + + + + + + + − − + − − − + + − − − + + + + − + − − 2 2 xy 40/ 2a 5ab 3b 7b 2+ − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 41/ 2x 7xy x 3y 3y 42/ 6x xy y 3x 2y 43/ 4x 4xy 3y 2x 3y 44/ 2x 3xy 4x 9y 6y 45/ 3x 5xy 2y 4x 4y − + + − − − + − − − − + − − − − − + + − Bài 6: Tìm x và y, biết: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/ x 2x 5 y 4y 0 2/ 4x y 20x 2y 26 0 3/ x 4y 13 6x 8y 0 4/ 4x 4x 6y 9y 2 0 5/ x y 6x 10y 34 0 6/ 25x 10x 9y 12y 5 0 7 / x 9y 10x 12y 29 8/ 9x 12x 4y 8y 8 0 9/ 4x 9y 20x 6y − + + − = + − − + = + + − − = + − + + = + + − + = − + − + = + + − − + + + + + = + + − + 2 2 26 0 10/ 3x 3y 6x 12y 15 0 = + + − + = CHUYÊN ĐỀ 2
- 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH và BẤT PHƯƠNG TRÌNH I/ Phương trình bậc nhất một ẩn Dạng tổng quát: ax +b = 0 (a 0≠ ) . Phương trình có nghiệm là x = -b/a II/ Phương trình đưa về dạng ax+b=0 Giải phương trình: 1/ =−+ 2 1 83 xx 24 19 8 5 + +x 2/ 3(x-5) + 2x = 5x – 9 3/ 55 4 56 3 57 2 58 1 + + + = + + + xxxx II/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu Cách giải * ĐKXĐ * Tìm MTC * Quy đồng khử mẫu và giải phương trình * Kết hợp với ĐKXĐ để chọn nghiệm Ví dụ: Giải phương trình: 1/ )3)(1( 2 )1(2)3(2 −+ = + + − xx x x x x x 2/ 1 2 3 2 3 1 2 2 + −− = − + + + xxxx x 3/ ) 1 1 1(3 1 1 1 1 + − −= + − − − + x x x x x x x 4/ 1 32 4 3 52 1 13 2 = −+ + + + − − − xxx x x x 14 2 116 68 41 3 /5 2 + = − + + − xx x x Giải 1/ )3)(1( 2 )1(2)3(2 −+ = + + − xx x x x x x (1) ĐKXĐ: −≠ ≠ 1 3 x x ( ) = = ⇔ =− = ⇔ =−⇔ =−⇔ =−++⇔ =−++⇔ −+ = −+ − + +− + ⇔ )(3 0 03 02 0)3.(2 062 43 4)3.()1.( )3)(1.(2 2.2 )3).(1(2 )3.( )1)(3(2 )1.( 1 2 22 loaix x x x xx xx xxxxx xxxxx xx x xx xx xx xx Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0 } IV/Phương trình tích Dạng tổng quát A(x).B(x)… = 0
- 4. Cách giải :A(x).B(x)… = 0 = = = ⇔ 0....... 0)( 0)( xB xA Ví dụ : Giải phương trình (5x+3)(2x-1) = (4x +2)(2x-1) ⇔ (5x+3)(2x-1) - (4x +2)(2x-1)=0 ⇔ (2x-1)[(5x+3)- (4x +2)] =0 ⇔ (2x-1 )[5x+3-4x -2] =0 ⇔ (2x-1)(x+1) = 0 ⇔ =+ =− 01 012 x x −= = ⇔ 1 2 1 x x Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 2 1 ;-1} Bài tập Giải các phương trình sau 1/x(x+1)(x2 +x+1)= 42 2/( x2 -5x)2 +10(x2 -5x) +24 = 0 3/(x2 +x+1).(x2 +x+2) = 12 4/(x-1)(x-3)(x+5)(x+7)=2 V/Bất phương trình Giải các bất phương trình sau: )1( 2 )12( 3 )23( /8 065/7 04/6 3 2 4 1 4 3 1/5 2 35 1 8 )2(3 4 13 /4 )1(4)25(2)14(3/3 28)2()2/(2 )1(253/1 22 2 2 22 +≤ + − − ≤+− ≥− − − + ≥ − −+ − ≥− − − − +≤+−+ −≥−−+ +−>− xx xx xx xx xxx x xxx xxx xxx xxx VI/ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải phương trình: 1/ 2 1x − = 3 +5x (1) Nếu 2x-1≥ 0 ⇔ x ≥ 0,5 thì: 2 1x − = 2x-1 (1)⇔ 2x-1 = 3 +5x ⇔ -3x = 4 ⇔ x = - 4 3 ( loại) Nếu 2x-1 <0 ⇔ x<0,5 thì: 2 1x − = 1-2x (1)⇔ 1-2x = 3 +5x ⇔ - 2x- 5x = 3-1 ⇔ - 7x = 2
- 5. ⇔ x = - 7 2 (nhận) Vậy pt có nghiệm là : x= - 7 2 2/ x31 − = 2 - x (2) 3/ 3321 =+++++ xxx (3) Bảng xét dấu: x -3 -2 - 1 x+1 - ↓ - ↓ - 0 + x+2 - ↓ - 0 + ↓ + x+3 - 0 + ↓ + ↓ + * Nếu x 3−≤ thì (3) ⇔ -(x+1)-(x+2)-(x+3) = 3⇔ -3x-6 = 3 ⇔ x =-3(nhận) * Nếu -3 2−≤< x thì (3) ⇔ - (x+1) –(x+2)+(x+3) = 3⇔ -x =3⇔ x=-3(loại) * Nếu -2 1−≤< x thì (3) ⇔ -(x+1)+x+2 x+3 =3 134 −=⇔=+⇔ xx (nhận) * Nếu x 1−> thì (3)⇔ x+1+x+2+x+3 =3 133 −=⇔−=⇔ xx (loại) Vậy pt có nghiệm x=-1hoặc x=-3 BÀI TẬP: Giải các phương trình sau: 1/ 2112 +−=+ xx 2/ 12342 −=−+− xxx 3/ 8113 =−+− xx 4/ 01122 =−++−− xxx 5/ 36 5 2 1 9 4 9 3 + −= − − + xxx 222131/8 023214/7 351213/6 −+++=−++ =+−−−+ +=−+− xxxxx xxx xxx VII/ Phương trình vô tỉ 1/ Dạng 1: A = B . Cách giải:
- 6. = ≥ ≥ 2 0 0 BA B A 2/Dạng 2: A B C+ = hoặc : CBA =− Cách giải: Bình phương hai vế không âm của phương trình đưa về dạng (1) Ví dụ : Giải phương trình: 52 +x - 53 −x =2 ⇔ 52 +x = 2 + 53 −x (1) ĐK: 3 5 3 5 2 5 053 052 ≥⇔ ≥ − ≥ ⇔ ≥− ≥+ x x x x x Bình phương hai vế của (1)ta được: 2x +5 = 4 +3x – 5+4 53 −x ⇔ 4 53 −x = -x +6 +−=− ≤ ⇔ 3612)53(16 6 2 xxx x =+− ≤ ⇔ 011660 6 2 xx x = = ≤ ⇔ )(58 2 6 loaix x x (nhận) Kết hợp với ĐK đầu bài x=2(thõa) Vậy tập nghiệm của phương trình là:S={2} 3/ Dạng 3: Đặt ẩn phụ: Giải Pt : 1/ x2 + 1+x = 1 (HSG tỉnh Kiên Giang 06-07) 2/ 42 2 4 =−+ − x x (1) ĐK: x 2> Đặt : t = 2−x 0> (1)⇔ 2020)2(044444 4 222 =⇔=−⇔=−⇔=+−⇔=+⇔=+ tttttttt t (nhận) Với t = 2 ta được 64222 =⇔=−⇔=− xxx (nhận) Vậy pt có nghiệm x = 6 3/ x2 + 1552 =+x (1) Đặt t = 552 ≥+x 55 2222 −=⇔+=⇔ txxt (1)⇔ (t2 -5) + t = 15 40)5)(4(0202 =⇔=+−⇔=−+⇔ ttttt (Nhận) hoặc t=-5 (loại)
- 7. Với t = 4 ta được 452 =+x x⇔ 2 +5 = 16 = −= ⇔=⇔ 11 11 112 x x x Vậy phương trình có nghiệm : x = - 11 hoặc x= 11 4/ 4x2 +4x +1 - 2 14 +x +1 =0 5/ x2 +x +12 1+x =3 BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải phương trình 1/ 12152 −=++ xxx 2/ 748532 +=−++ xxx 3/ x2 +x+6 182 =+x 4/ 242 −−+ xx + 267 −−+ xx =1 5/ 2 21 33 +=− xx (1)(HSG tỉnh Kiên Giang 05-06) ( Đặt t = 01 3 ≥− x ⇔ t2 = 1- x3 ⇔ x3 = 1- t2 (1) 0.......... )(3 )(1 032212 22 =⇒ −= = ⇔=−+⇔+−=⇔ x loait nhânt tttt 6/ 2 2 11 2 = − + xx (1).(HSG Tỉnh Kiên Giang 07-08) ĐK: <<− ≠ ⇔ >− ≠ 22 0 02 0 2 x x x x (1)⇔ 2 2 1 2 1 xx − −= 7/ 22 434 xxxx −=+− 8/ 411 22 =−−+++ xxxx 9/ 323232 22 −+++=++−− xxxxxx 10/ 04 4 2 2 3 =−+ − x x x 11/2x2 +2 033 =−x 12/ 2 2 1 2 3 3 3 3 = + ++ x x 13/ 2 1 232 + =+++ x xx (chuyên HMĐ 20/6/08)
- 8. 04 4 /17 3 1 32 /16 3 53 14 5/15 5168143/14 2 2 3 2 =−+ − += − −+ = −+ − −− =−−++−++ x x x x x xx x x x xxxx 18/ 3x2 +6x +20 = 822 ++ xx 19/ x2 +x+12 361 =+x 20/ xxxxx 24)3)(1(231 −=+−+++− . ( Đưa về HĐT) 21/ 490: 471 ≤≤ =−++ xĐKXĐ xx Đặt u = xvx −+ 7;1 .ta có hệ phương trình . 9 8 4 22 =⇒ =+ =+ x vu vu Chuyên đề 3: Tìm GTNN-GTLN I/Tìm GTNN: 1/ y = 522 +− xx = xx ∀≥++ ,24)1( 2 Miny = 2 khi x = -1 2/ y = 1 64 2 +− xx 3/ y = 2+ 542 +− xx 4/ y = 31062 −++ xx 5/ y = 102 9 2 ++ x x 6/ y = 172 8 3 2 +− − x x 7/ y = 1 4 2 −+ x x 8/ y = 32 22 2 2 ++ ++ xx xx = 1- 32 1 2 ++ xx =1- 2)1( 1 2 ++x Miny = 1- 2 1 2 1 = Khi x=-1 9/ g(x,y) = 3(x-y)2 + ( 2 ) 11 yx − 14/ y = 32 −− xx 15/ y= x2 -6x +10 10/A= 2005 2004 2005 2004 2005 )2005(20052 2 2 2 2 ≥+ − = +− x x x xx Vậy minA= 2005 2004 khi x = 2004
- 9. 11/ A = a c c b b a ++ với a,b,c 0 Và a+b+c 3≥ 12/ Y = 267221 −−++−−− xxxx 13/ Cho x,y,z là những số thực và thoã x2 +y2 +z2 =1 Tìm GTNN của A = 2xy +yz +zx II/ Tìm GTLN 1/ y = 222 ++− xx 2/ y = 2- 144 2 +− xx 3/ y = -2x2 +x-1 4/ y = 42 1 23 ++− + xxx x 5/ A = 33 4 xxxx ++− .Với 0 2≤≤ x 6/ B = 793 1793 2 2 ++ ++ xx xx ( khi x= -3/2) 7/ A= -(x-1)2 + 2 31 +−x Đặt: t= 44)1(321 22 ≤+−−=++−=⇒− tttAx Vậy MaxA = 4 khi t=1 ⇒ 11 =−x ⇒ x = 0 hoặc x = 2 8/ y = 106 116 2 2 +− +− xx xx III/ Tìm GTNN và GTLN 1/ A = 2 9 x− 2/ B = xx − 3/ y = 1 2 ++ − x x 4/ M = 1 1 2 2 +− ++ xx xx Ta có (x+1)2 3 1 1 1 1)1(3133302420 2 2 22222 ≥ +− ++ ⇔−−≥++⇔+−≥++⇔≥++⇔≥ xx xx xxxxxxxxxx Do đó: MinM = )1( 3 1 Mặt khát: 3 1 1 133302420)1( 2 2 2222 ≤ +− ++ ⇔++≥+−⇔≥+−⇔≥− xx xx xxxxxxx Hay Max M = 3 (2)Từ (1) và (2) 3 3 1 ≤≤⇒ M Chuyên đề 4: ĐỒ THỊ VÀ HÀM SỐ A/Lý thuyết 1/ Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(x0 ,y0) và song song hoặc trùng với đường thẳng y = ax y- y0 = a(x- x0) hay y = a(x- x0) + y0 2/ Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k :y = kx +b Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(-1,-1) và có hệ số góc bằng 3 Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 có phương trình : y = 3x + b Vì A(-1,-1) thuộc (d) nên : -1 = 3.(-1) + b ⇔ b =2 Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y = 3x +2.
- 10. 3/ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(x0,y0); B(x1,y1) có dạng: 01 0 01 0 xx xx yy yy − − = − − Hoặc : Gọi phương trình quát của đường thẳng AB là: y = a.x +b Vì A∈AB nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình đường thẳng AB. Do đó ta có y0 = a.x0 + b (1) Vì B∈AB nên tọa độ của B thỏa mãn phương trình đường thẳng AB. Do đó ta có y1 = a.x1 + b (2) Từ (1) và (2) Giải hệ phương trình tìm được a và b ⇒ phương trình đường thẳng AB cần tìm 4/ Lập phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng khác. Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua A(1,2) và vuông góc với đường thẳng (d): y = -2.x + 5 Giải: Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng cần tìm là: (D) : y = a.x + b Vì (D) ⊥ (d) nên a. a’ = -1 ⇔ a. (-2) = -1 2 1 =⇔ a ⇒ (D) có dạng: y = 2 1 .x+b Vì A(1,2) ∈(D) nên : 2= 2 3 1. 2 1 =⇒+ bb Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 2 1 .x + 2 3 4/ Sự tương giao của hai đường thẳng : Cho 2 đường thẳng (d) : y = ax +b và (d’) : y = a’x+b’ , ta có kết quả sau: * (d) ≡ (d’) ',' bbaa ==⇔ )(* d song song (d’) ',' bbaa ≠=⇔ *(d) ')'( aad ≠⇔∩ *(d) 1'.)'( −=⇔⊥ aad Hoặc Cho hai đường thẳng: (d): ax + by = c (d’): a’x+ b’y = c’ • Hai đường thẳng cắt nhau nếu : '' b b a a ≠ • Hai đường thẳng song song nhau nếu: ''' c c b b a a ≠= • Hai đường thẳng trùng nếu: ''' c c b b a a == 5/ Khoảng cách h từ gốc toạ độ đến đường thẳng ax+by = c h = 22 ba c + 6/ Khoảng cách từ O đến A với : • A(0,yA) thì OA = Ay • A(xA,0) thì OA = Ax • A(xA,yA) thì OA = 22 AA yx + 7/ Khoảng cách giữa hai điểm A(x,y); B(x’,y’) trên mặt phẳng toạ độ: AB = 22 )'()'( yyxx −+− 8/ Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ : M( ) 2 ' ; 2 ' yyxx ++ B/ BÀI TẬP
- 11. 1/ Cho A(2,3); B(5,8) thuộc đường thẳng d a/ Tính hệ số góc của d. b/ Xác định đường thẳng d. 2/ Cho (d) : y = 2x+1 và (d’): y = x+1 a/ CMR (d) cắt (d’). Xác định toạ độ I của chúng. b/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua I có hệ số góc bằng -4. c Lập phương trình đường thẳng (d’) qua I và song song với đướng thẳng y = 0,5x +9. 3/ Cho họ đường thẳng (dm) có phương trình: 32 1 32 1 − + + − − = m m x m m y .Xác định m để: a/ (dm) qua A(2,1). b/ (dm) có hướng đi lên( hàm số đồng biến) “hệ số góc dương” c/ (dm) song song với dường thẳng (D):x - 2y + 12 = 0 d/ Tìm điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua. Giải d/ (dm) viết lại : (dm): (m-1)x + (2m-3)y – m-1 = 0 Giả sử M(xo,yo) là điểm cố định mà (dm) luôn đi qua, khi đó (m-1)xo + (2m-3)yo – m-1 = 0,với mọi m ⇔ (xo +2yo -1)m –xo-3yo -1 = 0 , với mọi m. −= = ⇔ =++ =−+ 2 5 013 012 0 0 00 00 y x yx yx Vậy (dm) luôn đi qua điểm cố định M(5,-2) 4/ Cho hàm số y = x +2 a/ Vẽ đồ thị hàm số trên b/ Tìm phương trình đường thẳng qua K(0,1) và vuông góc với y = x +2 c/ Tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng y = x + 2 5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 2,1) và vuông góc với y = 0,5 +1 6/ cho hai đường thẳng y= (m2 +2)x +m (d1) và y = 3x +1(d2) Xác định m để: a/Hai đường thẳng cắt nhau b/ Hai đường thẳng trùng nhau c/ Hai đường thẳng song song với nhau d/ Hai đường thẳng vuông góc với nhau. 7/ Cho hai đường thẳng y= 3x +1(d1) và y = -x +2(d2) . Viết phương trình đường thẳng (d3) biết: a/ (d3) song song với (d1) và (d3) cắt (d2) tại điểm có hoành độ bằng 1 b/ (d3) vuông góc vời (d2) và (d3) cắt (d1) tại điểm có tung độ bằng 4. 8/ Chứng minh rằng : y = 2x +4 , y = 3x + 5 , y = -2x cùng đi qua một điểm.
- 12. 9/ Cho A(3,4) ; B(12,5) ; C( 2,-1) a/ Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ b/ Tính khoảng cách từ A đến O; B đến O ;C đến O. 10/ CMR: a/ (d) : y = (m-2)x –m +4 b/ y = mx +m-2 c/ y = - 1 3 1 −+ mmx luôn đi qua một điểm cố định? 11/ Cho A(0,5) ; B(-3,0) ; C(1,1) ; M(-4,5). CMR: a/A,B,M thẳng hàng b/ A,B,C không thẳng hàng. c/ Tính diện tích tam giác ABC ? 12/Trên mp tọa độ cho A(1,2) ; B(-1,1) a/ Tìm hệ số góc của đường thẳng AB b/ Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm C (2,1) và vuông góc với AB. 13/ Xác định hệ số góc k của đường thẳng y = kx +3 – k trong mỗi trường hợp a/Đường thẳng song song với đồ thị y = 2/3x b/Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 c/ Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 14/ Cho 3 đường thẳng y` = (m2 -1)x + (m2 -5) (d1) ; y = x+1 ; y = -x +3 a/ CMR khi m thay đổi thì (d1) luôn đi qua một điểm cố định b/ Xác định m để 3 đường thẳng đồng quy 15/CMR 3 đường : y = -3x ; y = 2x +5 ; y = x +4 đồng quy 16/Tìm m để 3 đường thẳng y = x-4 ; y = -2x-1 ; y = mx +2 đồng quy 17/ Cho (d) : y = 4mx – (m+5), (d1) : y = (3m2 +1)x + m2 -4. a/ CMR khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua một điểm cố định A,đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định B. b/ Tính khoảng cách AB c/ Với giá trị nào của m thì (d) cắt (d1). Tìm tọa độ giao điểm khi m =2 18/ Lập phương trình đường thẳng (D) biết : a/ (D) song song với y = -2x+1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4. b/ (D) song song với đường thẳng y = x và cắt đường thẳng y = 2x -1 tại điểm có hoành độ bằng -2. Chuyên đề 5: RÚT GỌN CĂN THỨC BẬC HAI
- 13. 1/ Cho y = x xx xx xx + −+ +− + 2 1 1 2 a/ Rút gọn y b/ Tìm x để y = 2 c/ G/S x=1.Chứng minh rằng y- 0=y d/ Tìm GTNN của y. 2/ Cho A = 1 44 242242 2 +− −+++−−+ xx xxxx a/ Rút gọn A b/ Tìm x để A thuộc Z 3/ P = ( ) 1 (:) 1 1 1 1 − + − + − − + x x x x x x xx a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P=-3 4/ B = ( 4;0), 4 ).( 2 2 2 2 ≠− − + − + − aa a a a a a a .Rút gọn B 5/ Rút gọn Q = ( )1( )3(4 :) 1 4 1 1 1 1 2 2 2 xx x x x x x x x − − − − + − − − + . ( HSG 05-06) 6/ Rút gọn M = ( 2 ) 1 1 )( 1 1 a a a a aa − − + − − 7/ Rút gọn B = 11 22 +− + − ++ − xx xx xx xx 8/ M = (1+ 0); 1 1)( 1 a a aa a aa − − − + + 9/ CMR : Q = )0,(, 4)( 2 yx xy xyyx yx xyyx − − + +− không phụ thuộc vào x 10/ C = (1-x2 ):[( 1)] 1 1 )( 1 1 +− + + + − − x x xx x x xx 11/ A = xxxx x xx ++ + − 1 : 1 2 a. Tìm x để A có nghĩa b. Rút gọn A c. Tìm x để A thuộc Z 12/ D = xx x xx 8)2( 8)2( 2 2 222 −++ +− a/ Rút gọn A b/ Tìm x để a Z∈
- 14. 13/A = [ ][:] ab ba aab b bab a ba abb a + − − + ++ − + 14/ Cho B = ( 1;0), 1 1 )( 11 12 3 3 ≠≥− + + ++ − − + xxx x x xx x x x a/ Rút gọn B b/ Tìm x để B = 3 15/ Cho Q = ( ) 1 2 2 1 (:) 1 1 1 − + − − + − − a a a a aa a/ Rút gọn Q b/ Tìm giá trị của a để Q dương. 16/ Cho C = ( 9,0); 1 3 13 (:) 9 9 3 ≠− − + − + + + xx xxx x x x x x a/ Rút gọn C b/ Tìm x sau cho C 1− 17/ Cho P = ( ) 1 2 2 1 (:) 1 1 1 − + − − + − − x x x x xx a/ Tìm ĐKXĐ của P b/ Rút gọn P c/ Tìm x để P = 4 1 18/ Cho C = 62 3 62 3 + − − − + a a a a a/ Rút gọn C b/ Tìm a để C = 4 19/ A = ( ) 2 1 (:) 1 1 11 2 − − + ++ + + + x xxx x xx x a/ Rút gọn A b/ CMR : 0 2 A 20/ P = [(x4 –x + ] )4)(3( 144 ].[ 1 )6(2 1 33 )1)(122( ). 1 3 2 2279 23 3 xx xx x x xxx xxxx x x −+ ++ + + −+ −−+ +−+− + − a/ Rút gọn P b/ CMR : -5 0≤≤ P Chuyên đề 6: RÚT GỌN NHỮNG BIỂU THỨC CÓ DẠNG PS 2+ Hay PS 2−
- 15. ( Với S là tổng của hai số và P là tích của hai số cần tìm). Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình X2 – SX +P=0 Ví dụ : Rút gọn các biểu thức sau: 1/ A= 625 + .Ta có tổng hai số là 5 tích hai số là 6 .Vậy hai cần tìm là 2 và 3 Do đó A = 23)23( 2 +=+ 2/ B = 1528 − . Ta có S = 8, P = 15 Vậy hai só cần tìm là 5 và 3 Do đó B = 35)35( 2 −=− 3/ C = 62412441)2441(984265 2 +=+=+=+ 4/ D = 6252425)2425(600249 2 −=−=−=− BÀI TẬP NÂNG CAO 11155)15(5526535235 92035)920(35180229355122935/1 2 2 ==+−=−−=−−=+−−= +−−=−−−=−−−=−−−=A 2/ B = 1416819266536 +
- 16. 3471048535/10 1281812226/9 4813522/8 612356615/7 9045316013/6 512295646/5 12612110/4 96220/3 +−+ −++− −++ −+− +−− −−− + + Chuyên đề 7: Parabol và đường thẳng 1/ Cho (P) : y = 0,5.x2 và (d) : y = x +b a/ Với giá trị nào của b thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b/ Khi b = 4 tìm toạ độ A,B và tính khoảng cách AB. 2/ Cho (P): y = 4x2 và (d): y = mx – m +4 a/ Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tính hoành độ giao điểm theo m. b/ Viết phương trình đường thẳng qua A(1,3) và tiếp xúc với (P) 3/ Cho hàm số y = ax2 +bx +c a/ Xác định a,b,c biết đồ thị qua A(0,-1); B(1,0); C(-1,2) b/ Với giá trị nào của m thì y = mx -1 tiếp xúc với đồ thị hàm số vừa tìm được. 4/ Trên cùng mp toạ độ cho (P): y = x2 -3x +2 và (d):y = k(x-1) a/ CMR với mọi k (d0 vá(P) luôn có điểm chung b/ Khi (d) tiếp xúc với (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm 5/Cho (P): y = 4 2 x và (d) qua I( )1, 2 3 − có hệ số góc m a/ Vẽ (P) và viết phương trình của (d) b/ Tìm m để (P) tiếp xúc với (d) c/ Tìm m để (P) và (d) có hai điểm chung phân biệt 6/Trong mp toạ độ cho 3 đường thẳng có phương trình: y = 0,5x +4; y = 2; y = (k+1)x +k . Tìm k để 3 đường thẳng đồng quy. 7/ Cho (P):y = x2 và (d):y = -x +2 a/ Viết pt (d’) qua M(0,m) và song song với (d) b/ Với giá trị nào của m thì : 1/( d’) cắt (P) tại hai điể phân biệt
- 17. 2/ (d’) không cắt (P) 3/ (d’) tiếp xúc với (P) 8/ Cho P có đỉnh ở O và qua A(1,- ) 4 1 a/ Viết phương trình của (P) b/ Viết phương trình của (d) song song với x +2y =1và qua B(0,m) c/ Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1,x2 sao cho 3x1 +5x2 = 5 9/Cho (P): y = ax2 và (d): y = mx +n .Tìm m và n biết (d) qua A(2,-1) ; B(0,1) 10/ Cho hàm số y = ax2 +2(a-2)x -3a +1 .CMR với mọi a đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định Giải: Gọi B(xo,yo) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi a Ta có phương trình: yo = axo 2 +2(a-2)xo -3a +1 có nghiệm đúng với mọi a Hay pt : (xo 2 +2xo -3)a +( 1-4xo –yo) = 0 có vô sô nghiệm. =−− −== ⇔ =−− =−+ 041 3;1 041 032 00 00 00 0 2 0 yx xx yx xx * Với xo = 1 thì yo = -3 ⇒ A(1,-3) * Với xo = -3 thì yo = 13 ⇒B(-3,13) 11/ Cho (P): y = x2 và (d) qua điểm I(0,1) có hệ số góc m a/ Viết phương trình đường thẳng (d). CMR (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt b/Gọi x1,x2 lần lượt là hoành độ của hai giao điểm .CMR 221 ≥−xx 12/Cho (P): y = ax2 a/ Xác định a và vẽ đồ thị tìm được ,biết đồ thị đi qua M( ) 4 1 , 2 1 −− b/ Vẽ (d) qua N(2,-3) song song với trục hoành cắt (P) tại hai điểm A và B.Tìm toạ độ A,B (biết hoành độ của A là số dương) 13/ Cho (P): y = mx2 a/ Tìm m để (P) qua A(-1,-2) b/ cho (d) : y = 2 x - 4. Vẽ (P) và (d) trên cùng mp toạ độ c/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phương pháp đại số. 14/ Cho (P): y = ax2 +bx+c a/ Tìm a,b,c biết (P) đi qua A(1,0); B(3,0); C(0,3) b/ Tìm các giá trị của k để (d): y = kx +2 tiếp xúc với (P).Tìm toạ độ các tiếp điểm Chuyên đề 8 : Giải và biện luận phương trình bậc hai Ứng dụng của định lí vi ét thuận vào phươnh trình bậc hai ax2 +bx +c =0
- 18. Khi sữ dụng định lí vi-ét cần nhớ điều kiện: ≥∆ ≠ 0 0a BÀI TẬP 1/ Gọi x1,x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai x2 -x-1 =0 a/ Tính x1 2 +x2 2 b/ CMR: Q = (x1 2 +x2 2 +x1 4 +x2 4 ) chia hết cho 5. Giải a/Ta có 5=∆ 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt . Theo định lí vi-ét ta có x1 +x2 =1 và x1.x2 =-1 Ta có x1 2 +x2 2 = (x1 +x2)2 -2x1.x2 = 1 +2 =3 b/ Q = (x1 2 +x2 2 ) + (x1 2 +x2 2 )2 -2x2 .x2 2 = 3 +32 -2.(-1)2 = 10 Vậy Q chia hết cho 5 (Ta cũng chứng minh được Q= x1 2001 +x2 2001 +x1 2003 +x2 2003 chia hết cho 5) 2/ Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình .x2 –(m+1).x- m2 - 2m +2 =0. Tìm m để F = x1 2 +x2 2 đạt GTNN Giải Ta có 7103)22(4)1( 222 −+−=+−−+=∆ mmmmm Để PT có hai nghiệm thì 3 7 1071030 2 ≤≤⇔≥−+−⇔≥∆ mmm Theo định lí ta – lét ta có x1+x2 = m +1 và x1.x2 = m2 -2m +2 Do đó F = x2 2 +x2 2 = (x1+x2)2 – 2x1.x2 = (m+1)2 -2(m2 - 2m +2) = -(m-3)2 +6 Với 9 50 6)3(2 9 4 )3(44)3( 9 4 3 2 32 3 7 1 222 ≤+−−≤⇔−≤−−≤−⇔≤−≤⇔ − ≤−≤−⇔≤≤ mmmmm Vậy Fmin = 2 khi m = 1 3/ Tìm số nguyên m sao cho phương trình : mx2 -2(m+3)x +m+2 = 0. có hai nghiệm x1,x2 thoã F = 21 11 xx + là số nguyên. 4/ Cho phương trình x2 – (m+3)x +2m -5 =0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt mà hệ thức này không phụ thuộc vào m. Ta có 013)1( 2 +−=∆ m với mọi m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Theo định lí ta-lét ta có 11.)(2 52. 62)(2 52. 3 2121 21 21 21 21 =−+⇒ −= +=+ ⇔ −= +=+ xxxx mxx mxx mxx mxx Vậy hệ thức này không phụ thuộc vào m. 5/Tìm m để phương trình x2 - mx +m2 -7 =0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
- 19. 6/ Tìm m để phương trình x2 – mx +m2 -3 =0 có hai nghiệm dương phân biệt 7/ Cho PT x2 -2(m+1).x+m2 +3m +2 = 0 a/ Tìm m để PT có hai nghiệm thoã mãn x1 2 + x2 2 = 12 b/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m. 8/ Cho PT (m+1)x2 -2(m-1)x +m -2 =0 a/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt b/ Tìm m để PT có một nghiệm bằng 2 . tình nghiệm kia c/ Tìm m để PT có hai nghiệm sao cho 4 711 21 =+ xx 9/ Cho PT x2 -2(m-1)x +m – 3 =0 a/ CMR Với mọi m PT luôn có hai nghiệm phân biệt b/ Gọi x1,x2 là hai nghiệm của PT đã cho .Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 độc lập với m 10/ Cho PT 2x2 -6x +m =0 . Với giá trị nào của m thì PT có a/ Hai nghiệm dương b/ Hai nghiệm x1, x2 sao cho 3 1 2 2 1 =+ x x x x 11/ Cho PT x2 -2(m-1)x –m-5 =0 thõ mãn hệ thức x1 2 +x2 2 14≥ 12/Cho PT : x2 -2(m+1)x +2m +10 =0 a/ Tìm m để PT có nghiệm b/ Cho P = 6x1.x2 +x1 2 +x2 2 . Tìm m để Pmin và tính giá trị ấy. 13/ Cho PT : (m +1)x2 – 2( m-1)x +m -3 =0 a./ CMR PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b/ Gọi x1, x2 là nghiệm của PT .Tìm m để x1.x2 21 2,0 xx =≥ 14/ Cho PT : 2x2 – 2mx +m2 -2 =0. Tìm m để PT có a/ Hai nghiệm dương phân biệt b/ Hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 3 +x2 3 = 2 5 c/ G/S PT có hai nghiệm không âm .Tìm m để nghiệm dương đạt GTLN. 15/ Cho PT: (m+3)x2 -2 (m2 +3m )x +m3 +12 = 0 a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất để PT có hai nghiệm phân biệt. b/ Tìm số nguyên m lớn nhất để PT có hai nghiệm phân biệt thoã x1 2 + x2 2 là một số nguyên ( HSG 07-08) 16/ Cho PT; x2 -(m-2)x+m(m-3) = 0 a/ Tìm m để PT có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại b/ Tìm m để PT có hai nghiệm x1,x2 thoã x1 3 +x2 3 =0 17/ Cho phương trình x2 -2(m-1)x +m2 -2m =0 a/ CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m b/ Tìm m để phươnh trình có một nghiệm bằng 3 18/ Cho PT; x2 -2mx +2m +8 =0. Tìm m sau cho phương trình : a/ Có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia b/ Có hai nghiệm phân biệt c/ Thoã 2 1 2 2 1 −=+ x x x x 19/Tìm mọi giá trị của m để phương trình (m-3)x2 -2mx+5m = 0 có hai nghiệm dương Chuyên đề 9: Giải hệ phương trình
- 20. I/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Ví dụ: Giải hệ phương trình = −= ⇔ =+ −= ⇔ −=+ =+ ⇔ −=+ =+ 7 4 135 4 336 135 12 135 y x yx x yx yx yx yx II/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Ví dụ: Giải hệ phương trình = = ⇔ = −= ⇔ =−+ −= ⇔ =+ =− 0 3 155 62 9)62(3 62 93 62 y x x xy xx xy yx yx III/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ : Giải hệ phương trình 1/ −= + + + = + + + 1 1 3 1 3 11 2 y y x x y y x x Đặt u = 1 , 1 + = + y y v x x Hệ phương trình trở thành
- 22. =+ =+ ''' cybxa cbyax • Hệ có nghiệm duy nhất khi '' b b a a ≠ • Hệ vô nghiệm khi ''' c c b b a a ≠= • Hệ có vô số nghiệm khi ''' c c b b a a == Ví dụ: 1/Cho hệ phương trình : =+ =+ 32 32 2 myx ymmx . Tìm m để hệ a/Có vô số nghiệm b/ Vô nghiệm Giải a/ Hệ có vô số nghiệm khi 11 3 3 2 2 ''' 2 =⇔==⇔==⇔== mmm m mm c c b b a a b/ Hệ vô nghiệm khi 11 3 3 2 2 ''' 2 ≠⇔≠=⇔≠=⇔≠= mmm m mm c c b b a a 2/ Cho hệ PT: =+ =+ 2 1 yax ayx a/ Giải hệ khi a=2 b/ Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất 3/ +=− =− 69 mymx mmyx Tìm m để hệ a/ Vô nghiệm b/ Có vô sô nghiệm 4/ Cho hệ PT: +=−+ =−+ 1)1( 2)1( myxm ymx a/ Giải hệ khi m= 2 1 b/ Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất thoã x y 5/Cho hệ =+ =+ ayax yx 3 1
- 23. a/ Tìm a để hệ có một nghiệm b/ Tìm a để hệ có vô số nghiệm 6/Giải và biện luận hệ phương trình a/ −=− =− 3 3 ymx myx b/ =− −=−+ mymx mymx 41)4(3 V/ Hệ phương trình đối xứng loại I Dạng = = 0),( 0),( yxg yxf Với = = ),(),( ),(),( xygyxg xyfyxf ( Thay x = y và thay y = x thì hệ không đổi) Cách giải: Đặt S = x + y ; P = x.y Ví dụ: Giải hệ phương trình 1/ =+ −=+ 7 2)( 33 yx yxxy =+−+ −=+ ⇔ 7)(3)( 2)( 3 yxxyyx yxxy Đặt S = x+y ; P = xy Do đó hệ trở thành −= = ⇔ = −= ⇔ =−− −= ⇔ =− −= 2 1 1 2 7)2.(3 2 73 2. 333 P S S PS S PS PSS SP ⇔ −= =+ 2 1 xy yx x,y là nghiệm của phương trình X2 – SX -2 =0 Giải phương trình ta được X1 = -1; X2 = 2
- 24. Vậy hệ có nghiệm = −= 2 1 y x và −= = 1 2 y x 2/ = =+ 3 8244 xy yx =+ =++ =+ =+ =+ −=+ 22 4 /5 97 78)( /4 26 6 /3 44 22 33 22 yx xyyx yx xyyx yx xyyx 6/ =+ =+ 28 12 yyxx xyyx 7/ =+ +=++ 6 232 22 yx xyyx 8/ −=+ −=+ 21 1 33 yx yx VI/ Hệ phương trình đối xứng loại II Dạng = = 0),( 0),( xyf yxf Cách giải: Đưa về dạng = =− 0),( 0),(),( yxf xyfyxf hoặc = =+ 0),( 0),(),( yxf xyfyxf
- 25. Ví dụ : Giải hệ phương trình =+− =++ =+− =− ⇔ =+− =++− ⇔ =+− −−=−−− ⇔ =+− =+− yxx yx yxx yx yxx yxyx yxx yxyxyx xyy yxx 452 02 452 0 452 0)2)(( 452 )(4)(2)( 452 452 2 2 22 22 2 2 Trường hợp 1: = = = = ⇒ == = ⇔ =+− = ⇔ =+− =− 5 5 1 1 5;1056452 0 22 y x hoac y x xx yx xx yx yxx yx
- 26. Trường hợp 2: =++ −−= ⇔ =++ −−= ⇔ =+− =++ 012)1( 2 0132 2 452 02 222 x xy xx xy yxx yx Hệ phương trình vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm = = = = 5 5 ; 1 1 y x y x Bài tập Giải các hệ phương trình sau =+ =+ =+− =+− =+− =+− 1232 1232 /3 6325 6325 /2 9623 9623 /1 2 2 2 2 2 2 xy yx xyy yxx xyy yxx 4/ 4/ −=− −=− 232 232 22 22 xyy yxx (Chuyên HMĐ 20/6/2008) 5/ =+− =++ 012 012 2 2 xy yx 6/ =+− =+− xyy yxx 353 353 2 2 7/ =++ =++ 15 15 xy yx VII/ Hệ phương trình đẳng cấp Cách giải : o Tìm nghiệm thoã x = 0 ( hoặc y = 0) o Với x 0≠ hay y 0≠ . Đặt y = tx (hay x = ty )
- 27. Ví dụ : Giải hệ phương trình : −=−+ =+− 836 7223 22 22 yxyx yxyx (I) • y = 0 thì (I) −= = ⇔ 8 73 2 2 x x Hệ vô nghiệm • y 0≠ , đặt x = ty ta có: 31 5 ;105263121427161624 ) 1 ( 8 36 7 223 8)36( 7)223( 836 7223 222 2 22 22 22 2222 2222 =−=⇔=−+⇔−+=−+−⇔ = − −+ = +− ⇒ −=−+ =+− ⇔ −=−+ =+− tttttttt y tttt tty tty ytyyt ytyyt * Với t = - 1 thì 7y2 = 7 ⇔ y2 = 1 =⇔ y 1 hoặc y = -1 −= = = −= ⇒ 1 1 ; 1 1 y x y x * Với t = 241 31 241 31 7 31 1687 31 5 2 2 22 2 =⇔=⇔= yyythì hoặc y= 241 31− −= −= = = ⇒ 241 31 241 5 ; 241 31 241 5 y x y x Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là:
- 28. −= −= = = −= = = −= 241 31 241 5 ; 241 31 241 5 ; 1 1 ; 1 1 y x y x y x y x BÀI TẬP GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU 1/ −=−+ =+− 624 1332 2 22 yxyx yxyx 2/ =++ =+− 10532 496 22 22 yxyx yxyx 3/ =++ =++ 1442 1232 22 22 yxyx yxyx 4/ =−+ =+− 632 1223 22 22 yxyx yxyx VIII/ Hệ phương trình hai ẩn gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai =++ =+ rpynxymx cbyax 22 Cách giải: * Từ phương trình bậc nhất biểu diễn x theo y (hoặc y theox) * Thế vào phương trình bậc hai và giải phương trình bậchai
- 29. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: = = = = ⇔ == −= ⇔ =+− −= ⇔ =+−++− −= ⇔ =−+−− −= ⇔ =+− =+ 10 1 10 29 ; 2 1 10 29 ;1 3 0293910 3 1653045392 3 16)3(5)3(32 3 16532 3 2 2222222 y x y x xx xy xx xy xxxxx xy xxxx xy yxyx yx Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 1/ −=+− =− 2353 12 22 yxyx yx 2/ −=−+ =+ 4532 83 22 yxyx yx VIII/ Một số hệ phương trình khác
- 31. Phần I: ĐẠI SỐ Giáo viên soạn: Dương Văn Phong Đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn Thứ 11