Luanvan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN TIẾN PHÁT
KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN TIẾN PHÁT
KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội - 2016

Lời cám ơn
Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn với gia đình và người mẹ kính yêu đã động viên tôi trong suốt
quá trình học tập. Tôi cũng xin cám ơn các anh chị học viên lớp K18 Toán
Giải tích và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những
thiếu xót. Vì vậy tôi mong những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn để luận văn hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả
Nguyễn Tiến Phát

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

Mục lục
Lời cám ơn i
Lời cam đoan ii
Phần mở đầu vii
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Tập mở và tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Không gian đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6 Ánh xạ liên tục trong không gian metric . . . . . . . 12
1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn . . . . . 14
1.2.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 16
1.2.3 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
iii

2 Khoảng cách Hausdorff 21
2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Tính chất tương quan giữa khoảng cách các điểm thuộc hai
tập hợp và khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đó . . . . . 27
2.4 Một số ví dụ về tính khoảng cách Hausdorff giữa hai tập
hợp trong Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Khoảng cách Hausdorff một phía . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Một số ứng dụng 38
3.1 Xét đặc trưng của không gian định chuẩn hữu hạn chiều . 38
3.2 Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 46
iv

Các kí hiệu
N tập số tự nhiên
R tập số thực
C tập số phức
ρ(x, y) khoảng cách giữa hai phần tử x và y
{xn}∞
n=1 dãy số thực hoặc phức
∞
i=0
xi chuỗi số thực hoặc phức
l2 không gian các dãy số thực hoặc phức sao cho
chuỗi bình phương các modul hội tụ.
C[a,b] tập tất cả các hàm số giá trị thực
liên tục trên đoạn [a, b]
B (a, r) hình cầu mở tâm a bán kính r
B (a, b) hình cầu đóng tâm a bán kính r
x chuẩn của vecto x
F : X Y ánh xạ đa trị F từ X vào Y
h (A → B) khoảng cách Hausdorff một phía từ tập A đến tập B
h (A, B) khoảng cách Hausdorff giữa tập A và tập B
Er (A) r_bao của tập A
vi

Phần mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Khái niệm khoảng cách giữa các tập hợp được khởi xướng và nghiên
cứu bởi Hausdorff. Hiện nay, khoảng cách Hausdorff được sử dụng rộng
rãi trong lý thuyết và ứng dụng của nhiều lĩnh vực toán học bao gồm Giải
tích không trơn, Lý thuyết tối ưu, Phép tính biến phân. Thêm nữa, những
bài toán xấp xỉ cũng sử dụng đến khái niệm này một cách thích hợp. Một
số khái niệm khác trong lý thuyết tối ưu như tính đều mêtric, phủ và các
tính chất liên quan đến phủ, tính Lipschitz và giả Lipschitz của ánh xạ đa
trị. Khái niệm khoảng cách Hausdorff còn có mối liên hệ gần gũi với các
lý thuyết về điểm bất động.
Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của
khoảng cách Hausdorff đã được phát triển mạnh mẽ. Tuy nhiên, khoảng
cách Hausdorff trên những lớp các tập hợp có đặc trưng riêng sẽ có những
tính chất riêng biệt, đây có thể coi là một chủ đề vô tận để nghiên cứu và
ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học. Vì vậy, sau khi học được các kiến
thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức
đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu
“Khoảng cách Hausdorff và ứng dụng”.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số tính chất của khoảng cách Hausdorff trên một lớp
các tập hợp có tính chất đặc biệt và trong không gian định chuẩn.
Áp dụng kết quả tổng quát này để nêu lên một đặc điểm của không
gian định chuẩn hữu hạn chiều và so sánh một số ánh xạ đa trị Lipschitz.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu khoảng cách Hausdorff, mối tương quan giữa các điểm thuộc
hai tập hợp với khoảng cách Hausdorff giữa hai tập ấy. Áp dụng vào nghiên
cứu đặc trưng mới cho không gian định chuẩn hữu hạn chiều, so sánh một
số khái niệm thông dụng về ánh xạ đa trị Lipschitz và nghiên cứu ổn định
trong lý thuyết tối ưu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Khoảng cách Hausdorff.
Phạm vi nghiên cứu: Tính chất của khoảng cách Hausdorff trong không
gian metric và áp dụng vào không gian định chuẩn và giải tích đa trị.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận
và nghiên cứu vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài
báo mới trong và ngoài nước có liên quan đến vấn đề mà luận văn đề cập.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Trình bày những kết quả về tính tương quan giữa khoảng cách các điểm
thuộc hai tập hợp và khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đó. Trong một số
viii

điều kiện giúp chúng ta có thêm những hiểu biết mới về khoảng cách. Áp
dụng kết quả tổng quát này để xét đặc trưng của không gian định chuẩn
hữu hạn chiều, so sánh một số khái niệm ánh xạ đa trị Lipschitz. Một số
kết quả mới đã được thiết lập.
Tác giả
ix

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này dành để trình bày một số khái niệm của giải tích hàm, giải
tích đa trị. Nội dung được tuyển chọn trong các tài liệu [1], [2], [3].
1.1 Không gian metric
1.1.1 Các khái niệm
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi là không gian metric một tập X = ∅ cùng với
một ánh xạ ρ từ tích Decartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn
các tiên đề sau đây:
1) (∀x, y ∈ X) ρ (x, y) ≥ 0, ρ (x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất);
2) (∀x, y ∈ X) ρ (x, y) = ρ (x, y), (tiên đề đối xứng);
3) (∀x, y, z ∈ X) ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, y), (tiên đề tam giác).
Ánh xạ ρ được gọi là metric trên X, số ρ (x, y) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2),
3) gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được ký hiệu là M = (X, ρ)
1

Định nghĩa 1.1.2 Hai metric ρ1 và ρ2 xác định trên cùng một tập X = ∅
được gọi là tương đương nếu tồn tại α, β > 0 sao cho αρ1 ≤ ρ2 ≤ βρ1.
Ví dụ 1.1.3 Ta kí hiệu l2 là tập tất cả các dãy số thực hoặc phức x =
{xn}∞
n=1 sao cho chuỗi số dương
∞
n=1
|xn|2
hội tụ. Với hai dãy số bất kỳ
x = {xn}∞
n=1, y = {yn}∞
n=1 thuộc l2, ta đặt:
ρ (x, y) =
∞
n=1
|xn − yn|2
(1.1)
Hệ thức (1.1) xác định một ánh xạ từ tích Descartes l2 ×l2 vào tập số thực
R. Thật vậy, với mọi n = 1, 2, . . . ta có:
|xn − yn|2
= x2
n − 2xnyn + y2
n
≤ |xn|2
+ 2 |xn| |yn| + |yn|2
≤ 2 |xn|2
+ |yn|2
Do đó với mọi số p nguyên dương đều có:
p
n=1
|xn − yn|2
≤ 2
p
n=1
|xn|2
+ 2
p
n=1
|yn|2
≤ 2
∞
n=1
|xn|2
+ 2
∞
n=1
|yn|2
Suy ra:
∞
n=1
|xn − yn|2
≤ 2
∞
n=1
|xn|2
+ 2
∞
n=1
|yn|2
nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1) hội tụ.
Dễ thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các tiên đề 1), 2) về metric. Với ba dãy
bất kì x = (xn)∞
n=1 , y = (yn)∞
n=1 , z = (zn)∞
n=1 thuộc l2 và với số nguyên
2

mãn các tiên đề về metric. Không gian metric tương ứng vẫn kí hiệu là
C[a,b].
Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric M = (X, ρ). Một tập con bất
kỳ X0 = ∅ của tập X cùng với metric trên tập X lập thành một không
gian metric. Không gian metric M0 = (X0, ρ) gọi là không gian metric con
của không gian metric đã cho.
Chú ý 1.1.6 Sau này nếu không giải thích gì thêm ta sẽ viết không gian
metric X thay cho (X, ρ).
Trên cùng một tập hợp có thể trang bị nhiều metric khác nhau.
2. Các tính chất đơn giản
Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh được các tính chất sau đây:
1) (∀xj ∈ X, j = 1, 2, . . . , n, n ∈ N∗
) ρ (x1, xn) ≤
n−1
j=1
ρ (xj, xj+1).
2) (∀x, y, u, v ∈ X) |ρ (x, y) − ρ (u, v)| ≤ ρ (x, u)+ρ (y, v), (bất đẳng thức
tứ giác).
3) (∀x, y, u ∈ X) |ρ (x, y) − ρ (y, u)| ≤ ρ (x, u), (bất đẳng thức tam giác)
1.1.2 Sự hội tụ trong không gian metric
Trong không gian metric, nhờ có khoảng cách, nên có thể định nghĩa
khái niệm giới hạn.
Ta nói một dãy điểm x1, x2, x3, . . . của một không gian metric X hội tụ
tới điểm x của không gian đó nếu lim
n→∞
ρ (xn, x) = 0. Ta viết
4

xn → x hoặc lim xn = x,
và điểm x được gọi là giới hạn của dãy {xn}.
Dĩ nhiên, một dãy {xn} hội tụ đến x thì mọi dãy con {xnk
} cũng hội tụ
đến x, đồng thời ta cũng thấy rõ hai tính chất quan trọng sau đây:
I. Nếu xn → x và xn → x thì x = x , nghĩa là giới hạn của một dãy điểm,
nếu có, là duy nhất.
Thật vậy, tiên đề tam giác cho phép viết
0 ≤ ρ (x, x ) ≤ ρ (x, xn) + ρ (xn, x )
mà ρ (xn, x) → 0, ρ (xn, x ) → 0 cho nên ρ (x, x ) = 0 từ đó theo tiên đề
1: x = x .
II.Nếu xn → x và yn → y thì ρ (xn, yn) → ρ (x, y) nghĩa là khoảng cách
ρ (x, y) là một hàm liên tục đối với x và y.
Thật vậy, với bất kì điểm x, y, z, u, tiên đề tam giác cho ta
ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, u) + ρ (u, y) ,
từ đó,
ρ (x, y) − ρ (z, u) ≤ ρ (x, z) + ρ (y, u) .
Hoán vị x với z, và y với u ta được :
ρ (z, u) − ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (y, u) .
5

Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức tứ giác:
|ρ (x, y) − ρ (z, u)| ≤ ρ (x, z) + ρ (y, u) ,
cho z = xn và u = yn ta suy ra
|ρ (x, y) − ρ (xn, yn)| ≤ ρ (x, xn) + ρ (y, yn) ,
chứng tỏ rằng nếu xn → x, yn → y thì ρ (xn, yn) → ρ (x, y).
Ví dụ 1.1.7 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C[a,b] tương
đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a, b].
Thật vậy giả sử dãy hàm (xn (t)) ∈ C[a,b] hội tụ tới hàm x (t) trong không
gian C[a,b]. Theo định nghĩa, ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗
, ∀n ≥ n0
ρ (xn, x) = max
a≤t≤b
|xn (t) − x (t)| < ε.
Suy ra
|xn (t) − x (t)| < ε (∀n ≥ n0) (∀t ∈ [a, b])
Chứng tỏ dãy hàm số liên tục (xn (t)) hội tụ đều tới hàm số x (t) trên
đoạn [a, b].
Ngược lại, giả sử dãy hàm số (xn (t)) ⊂ C[a,b] hội tụ đều tới hàm số x (t)
trên đoạn [a, b]. Khi đó x (t) liên tục trên đoạn [a, b], nghĩa là x (t) ∈ C[a,b].
Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm, thì:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗
, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] , |xn (t) − x (t)| < ε
6

Suy ra max
a≤t≤b
|xn (t) − x (t)| < ε (∀n ≥ n0) hay ρ (xn, x) < ε (∀n ≥ n0).
Do đó dãy hàm (xn (t)) hội tụ đến hàm số x (t) theo metric của không
gian C[a, b]
1.1.3 Tập mở và tập đóng
1. Hình cầu
Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian metric (X, ρ), a ∈ X, số r > 0. Ta
gọi:
B (a, r) = {x ∈ X : ρ (x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính r;
¯B (a, r) = {x ∈ X : ρ (x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.
2. Lân cận
Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric (X, ρ). Ta gọi là lân cận của
điểm x ∈ X trong không gian (X, ρ) mọi hình cầu mở tâm x bán kính
r > 0 nào đấy.
Nhờ định nghĩa lân cận ta có thể phân loại các điểm trong không gian
metric như sau:
Cho không gian metric (X, ρ), tập A ⊂ X, điểm b ∈ X.
Điểm b gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm
b bao hàm trong tập A.
Điểm b gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm
b không chứa điểm nào của tập A.
Điểm b gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm b đều
7

chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A. Tập tất
cả những điểm biên của tập A kí hiệu là ∂A.
Điểm b gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A nếu mọi lân cận
của điểm b đều chứa ít nhất một điểm của tập A khác b. Tập tất cả các
điểm giới hạn của tập A gọi là tập dẫn suất và kí hiệu là A .
Điểm b gọi là điểm cô lập của tập A, nếu b ∈ A và b không là điểm giới
hạn của tập A.
3. Tập mở và tập đóng
Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian metric (X, ρ) và tập A ⊂ X. Tập
A gọi là mở trong không gian (X, ρ), nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm
trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại một lân cận
của x bao hàm trong A.
Tập A gọi là tập đóng trong không gian (X, ρ), nếu mọi điểm không
thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x /∈ A, thì
tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.
Định lý 1.1.11 Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập
mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng.
Định lý 1.1.12 Cho không gian metric (X, ρ), tập A ⊂ X và A = ∅. Tập
A đóng trong không gian (X, ρ) khi và chỉ khi mọi dãy điểm {xn} ⊂ A hội
tụ tới điểm x thì x ∈ A.
8

Hệ quả 1.1.13 Trong không gian metric bất kì, phần bù của tập mở là
tập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở. Các tập X, ∅ vừa đóng vừa mở.
Định nghĩa 1.1.14 Cho không gian metric (X, ρ) và tập A ⊂ X. Hợp
của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A, kí hiệu là
intA. Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A và ký
hiệu là ¯A.
1.1.4 Không gian đủ
Trong không gian metric X bất kì, ta gọi dãy {xn} là dãy cơ bản nếu
lim
n,m→∞
ρ (xn, xm) = 0 tức là: ∀ε > 0, ∃N, ∀n ≥ N, ∀m ≥ N kéo theo
ρ(xn, xm) < ε.
Định nghĩa 1.1.15 Một không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản
đều hội tụ gọi là một không gian đủ.
Chú ý 1.1.16 Trên tập hợp X có thể trang bị nhiều metric. Tính đầy đủ
của một không gian metric phụ thuộc chủ yếu vào metric trên nó chứ không
phải tập nền X.
Để làm thí dụ ta sẽ xét tập C[a,b] với các metric
d (x, y) = max
a≤t≤b
|x (t) − y (t)|
ρ (x, y) =
b´
a
|x (t) − y (t)|
Khi đó C[a,b], d là không gian đủ. Thật vậy, giả sử xn (t) là một dãy cơ
bản trong C[a,b], tức là max
a≤t≤b
|xn (t) − xm (t)| → 0 (n, m → ∞). Với mỗi
9

t cố định, dãy số xn (t) là cơ bản trong R, cho nên phải có một giới hạn
x (t) nào đó. Mặt khác, với x (t) cho trước, có thể tìm được Nε sao cho với
mọi n, m ≥ Nε và với mọi t, ta có |xn (t) − x (t)| ≤ ε. Cho m → ∞ ta sẽ
được, với mọi n ≥ Nε tức là dãy xn (t) hội tụ đều tới x (t). Vậy x (t) liên
tục và x (t) ∈ C[a,b] đồng thời xn (t) hội tụ tới x (t) trong C[a,b].
Không gian C[a,b], ρ là không đủ. Chẳng hạn cho C[a,b], ρ và xét dãy
xn (t) như sau:
xn(t) =



1 nếu 0 ≤ t ≤
1
2
0 nếu
1
2
+
1
2n
≤ t ≤ 1
n + 1 − 2nt nếu
1
2
≤ t ≤
1
2
+
1
2n
Ta có với mọi m > n:
ρ (xn, xm) =
1ˆ
0
|xn (t) − xm (t)| dt =
1
2 + 1
2nˆ
1
2
|xn (t) − xm (t)| dt
Vì |xn (t) − xm (t)| ≤ 1 nên ρ (xn, xm) ≤
1
2n
→ 0, do đó {xn (t)} là một
dãy cơ bản. Dễ thấy rằng dãy này không hội tụ. Thật vậy, giả sử xn (t) hội
tụ tới một x (t) nào đó trong C[a,b], tức là
1´
0
|xn (t) − x (t)| dt → 0. Tích
phân này có thể viết
1
2ˆ
0
|xn (t) − x (t)| dt +
1ˆ
1
2
|xn (t) − x (t)| dt
10

cho nên ta phải có
1
2ˆ
0
|xn (t) − x (t)| dt → 0,
1ˆ
1
2
|xn (t) − x (t)| dt → 0
nhưng rõ ràng
1
2ˆ
0
|xn (t) − 1| dt → 0,
1ˆ
1
2
|xn (t) − 0| dt → 0
Vậy x (t) và 1 cùng là giới hạn của xn (t) trong C[1,1
2 ]. x (t) và 0 cùng là
giới hạn của xn (t) trong C 1
2, 1 . Do tính duy nhất của giới hạn suy ra
x (t) = 1 0 ≤ t ≤
1
2
, x (t) = 0
1
2
≤ t ≤ 1 . Nhưng như thế thì x (t)
không liên tục, và không thuộc C[0,1]. Do đó, dãy xn (t) không thể có giới
hạn nào cả trong không gian C[0,1].
Định lý 1.1.17 (Nguyên lý Cantor) Trong một không gian metric đủ,
mỗi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất.
1.1.5 Không gian compact
1. Tập compact
Định nghĩa 1.1.18 Ta nói một tập M trong một không gian metric X
bị chặn nếu nó nằm trong một hình cầu nào đó, nghĩa là nếu có một điểm
a ∈ X và một số C > 0 sao cho ρ (x, a) ≤ C với mọi x ∈ M.
Định nghĩa 1.1.19 (Tập compact) Một tập M trong không gian met-
ric X được gọi là compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ M đều chứa một dãy con
11

{xnk
} hội tụ tới một điểm thuộc M.
2. Đặc trưng tập compact
Một tập M trong một không gian metric X gọi là hoàn toàn bị chặn
nếu với mọi ε > 0 cho trước, tập M có thể phủ được bằng một số hữu
hạn hình cầu bán kính ε; tức là, cho trước ε > 0 tùy ý, bao giờ cũng
tìm được một số hữu hạn hình cầu S1, S2, . . . , Sk, với bán kính ε, để cho
M ⊂
∞
i=1
Si.
Định lý 1.1.20 Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị chặn. Ngược
lại một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian metric đủ thì
compact.
3. Không gian compact
Một không gian metric X được gọi là không gian compact nếu nó là
một tập compact trong chính nó, nghĩa là mọi dãy {xn} trong X đều có
chứa một dãy con hội tụ.
Định lý 1.1.21 Mọi không gian metric compact là không gian đủ.
1.1.6 Ánh xạ liên tục trong không gian metric
1. Định nghĩa và tính chất chung
Định nghĩa 1.1.22 Cho hai không gian metric X và Y . Một ánh xạ f đi
từ X vào Y gọi là liên tục tại điểm xo ∈ X nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X,
ρX (x, xo) < δ ⇒ ρY (f (x) , f (xo)) < ε
12

điều này tương đương với f (xn) → f (x0) cho mọi dãy xn → x0.
Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Định lý 1.1.23 Đối với một ánh xạ f từ một không gian metric X vào
một không gian metric Y thì ba mệnh đề sau là tương đương:
1. f liên tục.
2. Nghịch ảnh của mọi tập đóng trong Y đều là tập đóng trong X.
3. Nghịch ảnh của một tập mở trong Y đều là tập mở trong X.
2. Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động
Cho một không gian metric X bất kì. Một ánh xạ P : X → X gọi là
ánh xạ co, nếu có một số θ < 1 sao cho, nếu Px là phần tử ứng với x trong
ánh xạ P, thì với mọi x1, x2 ∈ X ta có
ρ (Px1, Px2) ≤ θρ (x1, x2)
Trong một phép ánh xạ từ X vào chính nó có thể có những điểm mà ảnh
của nó trùng với chính nó, tức là những điểm x sao cho Px = x gọi là
điểm bất động trong ánh xạ.
Định lý 1.1.24 (Banach) Mọi ánh xạ co P từ một không gian metric đủ
vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất.
13

1.2 Không gian định chuẩn
1.2.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là không gian vector trên trường vô hướng
K (các số thực R hoặc các số phức C). Hàm . xác định trên X gọi là
một chuẩn trên X nếu . thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ∀x ∈ X, x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
2. ∀x ∈ X, ∀α ∈ K, αx = |α| x ;
3. ∀x, y ∈ X, x + y ≤ x + y .
cặp (X, . ) được gọi là một không gian định chuẩn, và cũng kí hiệu là
không gian định chuẩn X.
Định lý 1.2.2 Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai vector bất kì
x, y ∈ X ta đặt
ρ (x, y) = x − y (1.3)
khi đó ρ là một metric trên X.
Nhờ định lý trên, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không
gian metric với metric (1.3). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong
không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn. Dưới đây ta chỉ
nêu một vài trường hợp.
14

Định nghĩa 1.2.3 Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X gọi là
hội tụ đến điểm x ∈ X, nếu lim
n→∞
xn − x = 0. Kí hiệu lim
n→∞
xn = x hay
xn → x (n → ∞).
Dựa vào định nghĩa có thể dễ dàng chứng minh một số tính chất đơn giản
sau đây:
1. Nếu dãy {xn} hội tụ tới x, thì dãy chuẩn { xn } hội tụ tới x . Hay
nói cách khác hàm . là một hàm giá trị thực liên tục theo biến x.
2. Nếu dãy điểm {xn} hội tụ trong không gian định chuẩn X, thì dãy
chuẩn tương ứng { xn } bị chặn.
3. Nếu dãy điểm {xn} hội tụ tới x, dãy điểm {yn} hội tụ tới y trong
không gian định chuẩn X, dãy số {αn} hội tụ tới số α, thì
xn + yn → x + y (n → ∞) , αnxn → αx (n → ∞)
Định nghĩa 1.2.4 Dãy điểm {xn} trong không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản, nếu
lim
m,n→∞
xn − xm = 0
Định nghĩa 1.2.5 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.2.6 Đối với số thực bất kỳ x ∈ R ta đặt
x = |x| (1.4)
15

Nhờ tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.4) cho một
chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R. Dễ thấy R
là không gian Banach.
Ví dụ 1.2.7 Cho không gian vector k chiều Rk
, trong đó
Rk
= {x = (x1, . . . , xk) : xj ∈ R}
. Đối với vector x bất kì thuộc Rk
ta đặt
x =
k
j=1
|xj|2
(1.5)
từ công thức x = ρ (x, 0) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.5)
cho một chuẩn trên Rk
. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là Rk
.
Dễ thấy Rk
là không gian Banach.
1.2.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn
Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm {xn} ⊂ X. Ta gọi chuỗi là
biểu thức dạng:
x1 + x2 + . . . + xn + . . . (1.6)
Chuỗi (1.6) thường viết là
∞
n=1
xn hoặc {xn}∞
n=1. Mỗi phần tử xn gọi là số
hạng thứ n của chuỗi (1.6). Biểu thức
sk =
∞
n=1
xn, (k = 1, 2, . . .)
16

gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi (1.6).
Nếu tồn tại lim
k→∞
sk = s trong không gian định chuẩn X, thì chuỗi (1.6)
gọi là hội tụ và s là tổng của chuỗi này. Khi đó ta viết
s =
∞
n=1
xn
Nếu chuỗi (1.6) hội tụ và có tổng là s, thì biểu thức rk = s − sk gọi là số
hạng dư thứ k của chuỗi (1.6).
1.2.3 Không gian con
Định nghĩa 1.2.8 Tập X0 = ∅ gọi là không gian định chuẩn con của
không gian định chuẩn X, nếu X0 là không gian tuyến tính con của không
gian X và chuẩn xác định trên X0 là chuẩn xác định trên X. Nếu X0 đồng
thời là tập đóng trong không gian X, thì X0 gọi là không gian định chuẩn
con đóng của không gian X.
Dễ dàng chứng minh được, nếu X là không gian Banach, còn X0 là
không gian định chuẩn con đóng của không gian X, thì X0 cũng là không
gian Banach.
1.3 Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.3.1 Cho X, Y là hai tập hợp bất kì. Cho F : X Y là
ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu
là 2Y
). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy, với mỗi x ∈ X,
17

F (x) là một tập hợp con của Y . Không loại trừ khả năng là một số phần
tử x ∈ X nào đó ta có F (x) là tập rỗng.
Ta sẽ thường dùng kí hiệu F : X Y để chỉ sự kiện X là ánh xạ đa
trị từ X vào Y .
Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta
nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó người ta dùng kí hiệu quen
thuộc F : X → Y .
Đồ thị (gph F), miền hữu hiệu (dom F)và miền ảnh (rge F) của ánh
xạ đa trị F : X Y tương ứng được xác định bằng các công thức
gph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,
dom F = {x ∈ X : F (x) = ∅}
rge F = {y ∈ Y : ∃x ∈ X | y ∈ F (x)}
Ánh xạ ngược F−1
: Y X của ánh xạ đa trị F : X Y được xác
định bởi công thức
F−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} (y ∈ Y )
Nếu M ⊂ X là một tập con cho trước thì hạn chế của F trên M là ánh
xạ đa trị F|M : M Y được xác định bởi công thức
F|M (x) = F(x) ∀x ∈ M
Ví dụ 1.3.2 Xét phương trình đa thức
xn
+ a1xn−1
+ . . . + an−1x + an = 0 (1.7)
18

ở đó n ∈ N là số nguyên dương và ai ∈ R (i = 1, . . . , n) là các hệ số thực.
Quy tắc cho tương ứng mỗi vecto a = (a1, . . . , an) ∈ Rn
với tập nghiệm,
ký hiệu bởi F (a) của (1.7) cho ta một ánh xạ đa trị
F : Rn
C (1.8)
từ không gian Euclide Rn
vào tập số phức C. Theo Định lý cơ bản của đại
số, F (a) = ∅ và mọi a ∈ Rn
và
|F (a)| ≤ n ∀a ∈ Rn
,
ở đó |F (a)| ký hiệu lực lượng của tập hợp F (a). Nếu đồng nhất mỗi số
phức x = u + iv ∈ C với cặp số thực (u, v) ∈ R2
thì thay cho (1.8) ta có
ánh xạ
F : Rn
R2
gph F = (a, x) ∈ Rn
× C : xn
+ a1xn−1
+ . . . + an−1x + an = 0
dom F = Rn
rge F = C
Ánh xạ ngược F−1
: Y X được xác định bởi công thức
F−1
(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} (y ∈ Y )
nếu M ⊂ X là một tập con cho trước thì hạn chế của M là ánh xạ đa trị
F|M (x) = F (x) ∀x ∈ M
Một trong những lớp ánh xạ đa trị đặc biệt đó là các ánh xạ đa trị
19

Lipschitz, ta sẽ đề cập tới các ánh xạ này trong chương sau, khi đã có khái
niệm về khoảng cách Hausdorff.
Kết luận: Nội dung của chương 1 đã trình bày những khái niệm cơ bản
của giải tích hàm và một số khái niệm của ánh xạ đa trị. Ngoài ra có một
số ví dụ cụ thể để minh họa.
20

Chương 2
Khoảng cách Hausdorff
Chương này trình bày về khoảng cách Hausdorff và một số tính chất liên
quan. Các kiến thức trình bày trong chương này được tuyển chọn từ các
tài liệu [2], [5], [9], [10], [11], [12], [13].
2.1 Các định nghĩa
Bây giờ ta sẽ bắt đầu định nghĩa về khoảng cách Hausdorff trên những
tập hợp khác rỗng, đóng và bị chặn. Ta đưa ra hai công thức và chỉ ra
chúng là tương đương. Sau đó ta sẽ chứng tỏ rằng điều kiện các tập hợp
đóng và bị chặn là đủ để chỉ ra định nghĩa khoảng cách Hausdorff thỏa
mãn các tiên đề về metric. Chú ý rằng định nghĩa khoảng cách Hausdorff
giữa những tập hợp khác rỗng được định nghĩa hoàn toàn tương tự.
Cho (X, ρ) là không gian metric, kí hiệu S là tập hợp các tập con khác
rỗng, đóng và bị chặn của X. Khi đó khoảng cách Hausdorff giữa hai phần
tử A, B thuộc S được xác định bởi công thức:
h (A, B) = max sup m (e, B)
e∈A
, sup m (e, A)
e∈B
(2.1)
21

trong đó m (e, A) : X × S → R được cho bởi
m (e, A) = infρ (e, a)
a∈A
Hàm m biểu diễn khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm e thuộc X đến một
tập A thuộc S. Chú ý rằng đó không phải là khoảng cách Hausdorff giữa
hai tập {e} và A; thật vậy, ta có
h ({e} , A) = max m (e, A) , sup ρ (a, e)
a∈A
= max inf ρ (e, a)
a∈A
, sup ρ (a, e)
a∈A
= sup ρ (a, e)
a∈A
Người ta còn gọi sup m (e, B)
e∈A
là khoảng cách Hausdorff một phía từ A
đến B, kí hiệu h (A → B). Dễ thấy
h (A, B) = max {h (A → B) , h (B → A)}
Và
h (A → B) ≤ h (A, B)
Một cách định nghĩa thứ hai về khoảng cách Hausdorff mang tính trực
quan hơn. Trước hết ta đưa ra khái niệm r_bao của tập A ∈ S, kí hiệu là
Er (A)
Er (A) =
x∈A
B (x, r)
Trong đó B (x, r) là hình cầu đóng tâm x ∈ X, bán kính r ≥ 0. Khi đó
22

khoảng cách Hausdorff từ tập A ∈ S đến tập B ∈ S được cho bởi công
thức:
h (A, B) = inf {r > 0 | B ⊂ Er (A) , A ⊂ Er (B)} (2.2)
Mệnh đề 2.1.1 ([14], tr. 71) Hai công thức (2.1) và (2.2) là tương đương.
Chứng minh. Ta sẽ khai triển công thức (2.2) rồi qui về phương trình
(2.1). Trước tiên ta có thể thấy công thức (2.2) cho ta thấy khoảng cách
Hausdorff từ A đến B là giá trị lớn hơn chọn trong hai infimum
h (A, B) = max {inf {r > 0 : A ⊂ Er (B)} , inf {r > 0 : B ⊂ Er (A)}}
Điều kiện A ⊂ Er (B) đơn giản có nghĩa là A ⊂
b∈B
{x : ρ (x, b) < r} khi
đó với mọi a ∈ A, ta có b ∈ B sao cho khoảng cách từ ρ (a, b) < r. Tương
tự, khi ta xét B ⊂ Er (A). Do đó ta được,
max{inf{r > 0 : inf
∀a∈A
ρ (a, b) < r}, inf{r > 0 : inf
∀b∈A
ρ (a, b) < r}}
= max sup
a∈A
inf
b∈B
ρ (a, b) , sup
b∈B
inf
a∈A
ρ (a, b)
= max sup
a∈A
m (a, B) , sup
b∈B
m (b, A)
Đó chính là vế phải của phương trình (2.1).
Định lý 2.1.2 ([14], tr. 71) Cho S là không gian các tập con khác rỗng,
đóng và bị chặn của không gian metric X, khi đó h(A, B) xác định trong
23

các công thức (2.1) và (2.2) là một metric trên S.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh H thỏa mãn các tiên đề về metric trên
S đó là
1) h (A, B) ≥ 0 và h (A, B) = 0 ⇔ A = B
2) h (A, B) = h (B, A)
3) h (A, C) ≤ h (A, B) + h (B, C)
1. Ta sử dụng công thức (2.1). Do h (a, b) luôn không âm nên h (A, B)
không âm. Nếu A = B, khi đó h (A, B) = 0 vì với mọi a ∈ A thỏa mãn
m (a, B) = 0. Trái lại, nếu h (A, B) = 0, khi đó cả giá trị max đều bằng 0,
và do đó m (a, B) = 0 với mọi điểm giới hạn a của B thì mọi lân cận của
a phải có một điểm thuộc B, m (a, B) = inf
b∈B
h (a, b) = 0. Suy ra a ∈ B
vì B là tập đóng, suy ra A ⊂ B. Nhờ tính đối xứng của định nghĩa, hoàn
toàn tương tự ta suy ra B ⊂ A. Vậy A = B.
2. Toán tử max là đối xứng, do đó h cũng đối xứng.
3. Cho A, B, C là các phần tử của S. Cho a là điểm tùy ý của A, phải
tồn tại b ∈ B sao cho h (a, b) < h (A, B). Tương tự vậy ta có thể chọn
c ∈ C sao cho h (b, c) < h (B, C) . Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có
h (a, c) < h (A, B) + h (B, C)
Suy ra
Eh(A,B)+h(B,C) (C) ⊃ A
Tương tự ta có
Eh(A,B)+h(B,C) (A) ⊃ C
24

Vậy h (A, C) ≤ h (A, B) + h (B, C).
2.2 Tính chất
Định lý 2.2.1 ([14], tr. 72) Cho X là hoàn toàn bị chặn, khi đó không
gian S với metric Hausdorff là hoàn toàn bị chặn.
Chứng minh. Cho ε > 0. Ta có thể phủ X bởi một số hữu hạn các
hình cầu bán kính ε. Kí hiệu tâm các hình cầu đó là s1, s2, . . . , sn.
Ta định nghĩa C = {Ci}2n
−1
i=1 = 2{s1,s2,...,sn}
∅ là tập tất cả các tập con
của tập {s1, s2, . . . , sn} trừ tập rỗng. Ta sẽ chứng minh những hình cầu
Bh (Ci, ε) là một phủ mở của S. Cho A là một phần tử thuộc S, ta sẽ chỉ
ra A thuộc một hình cầu Bh (Cj, ε). Ta chọn Cj là tất cả các sj sao cho
Bρ (sj, ε) ∩ A = ∅. Rõ ràng Eε (A) ⊃ D và Eε (D) ⊃ A nhờ cách chọn tập
Cj. Do đó h (A, Cj) < ε, hay A ⊂ Bh (Cj, ε).
Định lý 2.2.2 ([14], tr. 72) Nếu X là đầy đủ, khi đó không gian S với
metric Hausdorff cũng là đầy đủ.
Chứng minh. Cho Dk là dãy Cauchy bất kì trong S. Ta cần chỉ ra Dk
hội tụ đến một phần tử của S.
Cho F là tập các điểm tụ của dãy {dk} với dk ∈ Dk. Ta sẽ chỉ ra rằng F
là điểm tụ của dãy Dk. Để chỉ ra h (F, Dk) < 2ε với k đủ lớn, ta cần chỉ
ra 2 điều sau
F ⊂ E2ε (Dk)
25

và
Dk ⊂ E2ε (F)
Cho ε > 0 tùy ý. Lấy N sao cho m, n ≥ N kéo theo h (Dm, Dn) < ε.
Khi đó Eε (DN ) ⊃ Dn mọi dãy Cauchy được chọn phải có những điểm
nằm trong Eε (DN ) với k đủ lớn vì thế lim dk phải thuộc Eε (DN ) cho
nên F ⊂ E2ε (Dn).
Với ε > 0, chọn Ni là dãy tăng ngặt sao cho m, n ≥ Ni kéo theo h (Dm, Dn) <
ε
2i
. Kế hoạch của ta là sẽ chỉ ra với mọi x thuộc Dk với k ≥ N1, tồn tại
dãy {fi} với fi ∈ Di và Np ≤ i, j ≤ Np+1, ta sẽ có h (fi, fj) <
ε
2p
và
h (x, fN2
) <
ε
2
. Khi đó với mọi j ≥ N2 ta sẽ có q ≥ 2 vì thế Nq ≤ j ≤ Nq+1,
và
h (x, fi) ≤ h (x, fN2
) + h (fN2
, fN3
) + . . . + h fNq
, fi
<
ε
2
+
ε
4
+ . . . +
ε
2q
< ε
Do đó, {fi} sẽ hội tụ đến một điểm cách nó một khoảng nhỏ hơn 2ε. Ta
cần sử dụng đến Bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.3 Với mỗi cặp x, k với x ∈ Dk và k ≥ Ni tồn tại điểm
yj ∈ Dj sao cho h (x, yj) <
ε
2i
, với j ≥ k .
Chứng minh. Để chứng minh Bổ đề trên, ta nhắc lại rằng h (Dj, Dk) <
ε
2i
với j ≥ k ≥ Ni vì thế ta biết rằng E ε
2i
(Dj) ⊃ Dk với j ≥ k. Cụ thể
hơn đó là với mọi j ≥ k, tồn tại một yj ∈ Dj sao cho x ∈ B y,
ε
2i
.
Bây giờ ta sẽ xây dựng dãy fi, lấy một phần tử fk = x. Chọn fN2
∈ DN2
26

với h (x, fN2
) <
ε
2
bằng cách áp dụng (2.2.3) với x, k . Tất cả các phần tử
fi với i < N2 có thể chọn tùy ý không ảnh hưởng đến sự hội tụ của dãy.
Giả thiết qui nạp theo m rằng fi đã được xác định khi i ≤ Nm, và giả
sử rằng với 2 ≤ p < m và Np ≤ i, j ≤ Np+1, ta có h (fi, fj) <
ε
2p
. Khi
đó áp dụng Bổ đề (2.2.3) cho fNm
, Nm cho ta với mọi j ≥ Nm, tồn tại
yj ∈ Dj sao cho h (yj, fNm
) <
ε
2m
. Xác định fi với Nm ≤ i, j ≤ Nm+1 ta
có h (fi, fj) <
ε
2m
, thỏa mãn giả thiết qui nạp.
Do cách xây dựng điểm giới hạn có khoảng cách nhỏ hơn 2ε từ điểm x
tùy ý thuộc Dk với k ≥ N1, ta có thể chỉ ra rằng E2ε (F) ⊃ Dk với
k ≥ N1. Ta đã biết trước đó rằng F ⊂ E2ε (Dk) với k ≥ N1 vậy ta còn
biết h (F, Dk) < 2ε với k ≥ N1. Do đó F là điểm tụ của dãy Dk.
2.3 Tính chất tương quan giữa khoảng cách các
điểm thuộc hai tập hợp và khoảng cách Hausdorff
giữa hai tập đó
Định lý 2.3.1 ([5], tr. 4) Cho M và N là những tập đóng, tập N thỏa mãn
điều kiện Bolzano-Weierstrass, tức là, mọi dãy bị chặn trong N đều có một
dãy con hội tụ. Khi đó,
∀x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ (x, y) ≤ h (M, N) (2.3)
Chứng minh. Đặt r = h (M, N). Không mất tính tổng quát, giả sử rằng
r < ∞. Với x ∈ M theo định nghĩa khoảng cách Hausdorff suy ra rằng,
với mỗi số tự nhiên n, tồn tại yn ∈ N sao cho ρ (yn, x) ≤ r +
1
n
. Vậy {yn}
27

bị chặn. Do đó tồn tại dãy con {ynm
} và một điểm y ∈ X sao cho {ynm
}
hội tụ tới y. Theo giả thiết, N là tập đóng do đó y ∈ N. Cuối cùng, chuyển
qua giới hạn cho m → ∞ trong bất đẳng thức ρ (ynm
, x) ≤ r+
1
nm
ta được
ρ (x, y) ≤ r.
Nhận xét: Rõ ràng mọi tập compact đều thỏa mãn điều kiện Bolzano-
weierstrass. Hơn nữa, nếu X = Rn
định lí Bolzano-Weierstrass chỉ ra rằng
mọi tập đóng N ⊂ Rn
thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass.
Điều ngược lại không đúng. Cụ thể hơn, trong không gian vô hạn phần tử
với metric rời rạc điều kiện (2.3) được thỏa mãn với mọi tập đóng M, N;
tuy nhiên, tồn tại một dãy bị chặn không có điểm hội tụ. Thật vậy, cho X
là một tập vô hạn phần tử, ρ là một metric rời rạc trên X
ρ (x, y) :=



0, x = y,
1, x = y.
Rõ ràng mọi tập con của X đều là tập đóng. Hơn nữa, h (M, N) = 1 khi
và chỉ khi M = N. Vậy điều kiện (2) được thỏa mãn. cho {xn} là dãy
các phần tử sao cho xn = xm ∀n = m. Hiển nhiên dãy đó bị chặn nhưng
không có điểm hội tụ nào.
Trong giả thiết của Định lí (2.3.1) , dấu bất đẳng thức trong (2.3) không
thể thay thế bằng dấu đẳng thức. Hơn nữa, trong ví dụ sau, mọi giả thiết
của Định lí (2.3.1) được thỏa mãn, tuy nhiên ∀x ∈ M, ∀y ∈ N : ρ (x, y) <
h (M, N).
28

Ví dụ 2.3.2 Cho X = l2, N = {0}
M = {xn = (xn
1 , xn
2 , . . .) ∈ N, xn
n = 1 − n−1
, xn
j = 0 ∀j = n}
Ta có h (M, N) = 1, tuy nhiên, ρ (0, xn) = 1 − n−1
< 1 ∀n.
Một ví dụ nữa trong đó không gian X thỏa mãn điều kiện Bolzano-
Weierstrass, tuy nhiên
∀x ∈ M ∀y ∈ N : ρ (x, y) = h (M, N)
và tồn tại những điểm x, u ∈ M; y, v ∈ N sao cho
ρ (x, y) < h (M, N), ρ (u, v) > h (M, N)
Ví dụ 2.3.3 Cho X = R
M = {xn = 3n : n = 2, 3, . . . }
N = {yn = 3n − 1 + n−1
: n = 2, 3, . . . }
∀x ≥ 2 và ∀j ≥ 2, ta có ρ (xn, yi) = 3(n − j) + 1 − j−1
= 1 tuy nhiên,
ρ (xn, xn) = 1 − n−1
< 1 ∀n, và ρ (x2, y3) = 2 + 3−1
> 1.
Bây giờ ta giới thiệu một mệnh đề đảm bảo sự tồn tạị của điểm x ∈ M và
y ∈ N sao cho khoảng cách giữa chúng trùng với khoảng cách Hausdorff
giữa M và N.
Mệnh đề 2.3.4 ([5], tr. 5) Cho M và N là các tập compact. Khi đó,
∃x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ (x, y) = h (M, N)
Chứng minh. Từ định nghĩa của khoảng cách Hausdorff suy ra
h (M, N) = max sup
x∈M
inf
y∈N
ρ (x, y) , sup
y∈N
inf
x∈M
ρ (x, y)
29

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng
h (M, N) = sup
x∈M
inf
y∈N
ρ (x, y)
Do hàm số x → inf
y∈N
ρ (x, y) là liên tục và tập M compact do đó tồn tại
điểm x ∈ M sao cho inf
y∈N
ρ (x, y) = h (M, N)
Do y → ρ (x, y) là liên tục và N là compact, nên tồn tại điểm y ∈ N sao
cho ρ (x, y) = h (M, N).
Chú ý rằng, nếu tập M bị chặn và h (M, N) < ∞ thì tập N bị chặn.
Trong trường hợp đó hiển nhiên N là compact nếu nó thỏa mãn điều kiện
Bolzano-Weierstrass.
2.4 Một số ví dụ về tính khoảng cách Hausdorff
giữa hai tập hợp trong Rn
Ví dụ 2.4.1 Cho X = R, ρ (x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R. Tính h (A, B)
trong những trường hợp sau:
a) A = [1, 3], B = [2, 6].
b) A = {0, 1, 10}, B = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 11}
Dễ thấy các tập hợp đã cho là khác rỗng, đóng và bị chặn. Thông thường
lời giải được tìm thấy khi tính khoảng cách giữa các điểm trên biên của
hai tập hợp:
30

a) Ta có
h (A → B) = ρ (1, 2) = 1
h (B → A) = ρ (6, 3) = 3
⇒ h (A, B) = max {1, 3} = 3
b) Các tập A, B đều là các tập hữu hạn phần tử
h (0, B) = ρ (0, 1) = 1
h (1, B) = ρ (1, 1) = 0
h (10, B) = ρ (10, 11) = 1
⇒ h (A → B) = 1
Trong tập B phần tử 5 và 6 có khoảng cách lớn nhất đến tập A. Ta có
h (5, A) = ρ (5, 1) = 4 = ρ (6, 10) = h (6, A). Do đó h (B → A) = 4.
Vậy h (A, B) = max {1, 4} = 4.
Ví dụ 2.4.2 Trên mặt phẳng tọa độ OXY R2
, với metric thông thường.
Cho I là hình vuông [0, 1] × [0, 1], J là đoạn thẳng [0, 3] × {0}. Tính
h (I, J)? Gọi các đỉnh hình vuông là A (0, 0) ; B (0, 1) ; C (1, 1) ; D (1, 0).
Tập J là đoạn thẳng AE trong đó E (3, 0). Ta có :
h (I → J) = ρ ((0, 0) ; (0, 1)) =
√
0 + 1 = 1
và
h (J → I) = ρ ((1, 0) ; (3, 0)) =
√
4 + 0 = 2
suy ra h (I, J) = max {1, 2} = 2 (hình(2.1))
Ví dụ 2.4.3 Trong mặt phẳng tọa độ OXY cho tập I là tam giác có các
31

Hình 2.1: Trên hình vẽ, DE thể hiện khoảng cách Hausdorff giữa hai tập I và J
đỉnh A (−6, 3) ; B (−8, −2) ; C (−3, 1) và tập J là hình tròn tâm O (7, 1),
bán kính r = 4. Tính h (I, J)?
Thực chất, để tìm lời giải ta chỉ cần quan tâm tới khoảng cách giữa các
Hình 2.2: Trên hình vẽ, CF thể hiện khoảng cách Hausdorff giữa I và J, BH thể hiện
khoảng cách Hausdorff một phía J → I
32

đỉnh của tam giác và tâm đường tròn, trong đó đỉnh C là đỉnh có khoảng
cách tới tâm O ngắn nhất. Nối C với O cắt đường tròn tại 2 điểm là E và
F. Dễ thấy E có tọa độ (3, 1) và F có tọa độ (11, 1) . Để tính h (I → J)
ta tính độ dài đoạn thẳng BH, trong đó H là giao điểm của đường tròn
và đoạn thẳng BO. Ta có
BH = BO − r = 152
+ 32 − 4 = 11.3
Khoảng cách
h (J → I) = CF = 14
Vậy h (I, J) = max {11, 3; 14} = 14. (hình (2.2))
Trong những mục trên ta thấy trong quá trình định nghĩa khoảng cách
Hausdorff và cả trong quá trình thực hành tính toán thì khoảng cách một
phía đóng vai trò quyết định, thực chất là khoảng cách Hausdorff được xây
dựng từ khoảng cách một phía. Sau đây ta sẽ xem xét một số đặc điểm
của khoảng cách Hausdorff một phía.
2.5 Khoảng cách Hausdorff một phía
Ta nhắc lại hai cách định nghĩa về khoảng cách một phía. Cho (X, ρ)
là không gian metric, kí hiệu S là tập hợp các tập con khác rỗng, đóng và
bị chặn của X. Khi đó khoảng cách Hausdorff một phía từ tập A ∈ S đến
33

B ∈ S, kí hiệu h(A → B) được xác định như sau
h (A → B) = sup
a∈A
inf ρ (a, b)
b∈B
(2.4)
ta có thể hiểu công thức này chính là supremum khoảng cách từ các điểm
thuộc tập A đến tập B.
Cách định nghĩa thứ hai thông qua khái niệm r_bao của tập A, kí hiệu
Er (A) =
a∈A
B (a, r)
khi đó khoảng cách Hausdorff từ tập A đến tập B được cho bởi công thức
h (A → B) = inf {r > 0 : A ⊂ Er (B)} (2.5)
ta dễ dàng chỉ ra hai công thức trên là tương đương tương tự như trong
phần khoảng cách Hausdorff.
Với A, B ∈ S ta xét
d =
h (A → B) + h (B → A)
2
ta sẽ chứng minh trung bình cộng của khoảng cách từ A → B và B → A
cũng là một metric trên S.
Định lý 2.5.1 Cho X là không gian metric với metric ρ, S là tập tất cả
các tập con khác rỗng, đóng và bị chặn của X. Khi đó d là metric trên S.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh d thỏa mã 3 tiên đề về metric trên S
1) Hiển nhiên d(A, B) ≥ 0
34

d(A, B) = 0 khi và chỉ khi h(A → B) = h(B → A) = 0 ⇔ h (A, B) =
0 ⇔ A = B, (∀A, B ∈ S).
2) Ta có với mọi A, B ∈ S
d (A, B) =
h (A → B) + h (B → A)
2
=
h (B → A) + h (A → B)
2
= d (B, A) .
3) Để chứng minh D thỏa mãn bất đẳng thức tam giác trước tiên ta nhận
thấy ∀(A, B, C ∈ S) ta có



A ⊂ Eh(A→B) (B)
B ⊂ Eh(B→C) (C)
⇒ A ⊂ Eh(A→B)+h(B→A) (C)
mặt khác, lại có
A ⊂ Eh(A→C) (C)
suy ra
h (A → C) ≤ h (A → B) + h (B → C)
35

nhờ bất đẳng thức trên ta suy ra
d (A, C) =
h (A → C) + h (C → A)
2
≤
h (A → B) + h (B → C) + h (C → B) + h (B → A)
2
=
h (A → B) + h (B → A)
2
+
h (B → C) + h (C → B)
2
= d (A, B) + d (B, C) .
vậy d (A, C) ≤ d (A, B) + d (B, C), (∀A, B, C ∈ S). Ánh xạ d thỏa mãn
3 tiên đề về metric trên S do đó nó là một metric trên S.
Ta sẽ chỉ ra rằng d có mối quan hệ mật thiết với h qua định lí sau
Định lý 2.5.2 Metric d và metric h là hai metric tương đương trên S.
Chứng minh. Thật vậy, với mọi A, B thuộc S ta có
d (A, B) =
h (A → B) + h (B → A)
2
=
2max {h (A → B) , h (B → A)} − |h (A → B) − h (B → A)|
2
= max {h (A → B) , h (B → A)} −
|h (A → B) − h (B → A)|
2
= h (A, B) −
|h (A → B) − h (B → A)|
2
do đó d ≤ h. Lại có
2d (A, B) = h (A → B) + h (B → A)
≥ max {h (A → B) , h (B → A)}
= h (A, B)
36

suy ra 2d ≥ h. Với mọi ε thuộc (0, 1), ta có
(1 − ε)d ≤ h ≤ (2 + ε)d
chứng tỏ d và h là hai metric tương đương.
Từ định lí trên ta thấy rằng topo trên (S, d) và (S, h) là trùng nhau. Khi
đó mọi tập mở (đóng) trong không gian này cũng là tập mở (đóng) trong
không gian kia và ngược lại.
Kết luận: Nội dung của Chương 2 trình bày những định nghĩa của khoảng
cách Hausdorff và những tính chất liên quan. Bên cạnh đó tác giả đã phân
tích thêm về khái niệm khoảng cách một phía, thiết lập một số kết quả
mới và đưa ra các ví dụ cụ thể minh họa cho các khái niệm.
37

Chương 3
Một số ứng dụng
Chương này dành để trình bày một số ứng dụng của khoảng cách Haus-
dorff. Các kiến thức liên quan được tuyển chọn từ các tài liệu [5], [6], [7],
[8], [12], [14].
3.1 Xét đặc trưng của không gian định chuẩn hữu
hạn chiều
Trước tiên, nhắc lại định nghĩa của Birkhoff-James về tích trực giao trong
không gian định chuẩn và chứng minh một vài mệnh đề bổ trợ.
Định nghĩa 3.1.1 ([8], tr. 1) Vector x được gọi là trực giao với vector y
trong không gian định chuẩn X, nếu
x ≤ x + αy ∀α
kí hiệu là x⊥y. Một vector x được gọi là trực giao với không gian con
L ⊂ X, khi và chỉ khi
x⊥y ∀y ∈ L,
38

điều này tương đương với :
x ≤ x + y ∀y ∈ L (3.1)
Định nghĩa 3.1.2 ([8], tr. 2) Chuỗi {en}∞
n=1 được gọi là trực chuẩn trong
không gian định chẩn X, khi và chỉ khi với mọi n nguyên dương ta có,
en = 1, en+1 ⊥ L (e1, . . . , en) (3.2)
Trong đó L (e1, . . . , en) là kí hiệu bao tuyến tính của hệ vector e1, . . . , en.
Bổ đề 3.1.3 ([5], tr. 5) Cho X là một không gian hữu hạn chiều và L là
không gian con của X, L = X. Khi đó tồn tại x ∈ X sao cho x = 0 và
x⊥L.
Chứng minh. Do L = X, do đó ∃y ∈ X sao cho y /∈ L. Ta định nghĩa
hàm g như sau g : L → R, g(v) = v + y . Dễ thấy, g là liên tục và
∃R ≥ 0 : inf
v∈B(0,R) ∩ L
g(v) = inf
v∈L
g(v)
Định lí Weierstrass chỉ ra rằng tồn tại v0 ∈ L sao cho
g(v0) = inf
v∈L
g(v) (3.3)
Đặt x = y + v0. Từ (3.3) ta có
x = g(v0) ≤ g(v0 + v) = y + v0 + v = x + v
với mọi v ∈ L. Thêm nữa, x = 0 vì nếu trái lại thì y = v0 ∈ L mâu thuẫn
39

với giả thiết y /∈ L.
Bổ đề 3.1.4 ([5], tr. 5) Trong mọi không gian định chuẩn vô hạn chiều,
luôn tồn tại một chuỗi trực chuẩn.
Chứng minh. Cho X là không gian định chuẩn vô hạn chiều, ta sẽ chứng
minh qui nạp theo k. Trước tiên, ta chọn một vector đơn vị e1 ∈ X. Do
X là không gian vô hạn chiều nên tồn tại một vector f2 ∈ X sao cho
e1, f2 là độc lập tuyến tính. Vì vậy L(e1) là không gian con thực sự của
không gian hữu hạn chiều L(e1, f2). Theo Bổ đề 3.1.3, tồn tại một vectơ
e2 ∈ L (e1, f2) sao cho e2⊥e1. Giả sử các vector đơn vị e1, . . . , ek, fk+1 là
độc lập tuyến tính. Vì vậy, L (e1, . . . , ek) là một không gian con thực sự
của không gian hữu hạn chiều L (e1, . . . , ek, fk+1). Theo Bổ đề 3.1.3 tồn
tại một vector đơn vị ek+1 ∈ L (e1, . . . , ek). Bằng qui nạp, ta chứng minh
được sự tồn tại của chuỗi trực chuẩn.
Định lý 3.1.5 ([5], tr. 6) Trong không gian định chuẩn vô hạn chiều
X, luôn tồn tại những tập khác rỗng, đóng và bị chặn N và M sao cho
x − y > h (M, N) với mọi x ∈ M và y ∈ N.
Chứng minh. Ta sẽ xây dựng các tập M và N. Theo Bổ đề (3.1.4) tồn
tại chuỗi trực chuẩn {en}∞
n=1. Đặt fn =
n + 1
n
en, ta có
fn −
n−1
k=1
akfk ≥ fn = 1 +
1
n
(3.4)
Kí hiệu M là tập tất cả các vector x ∈ X có thể biểu diễn dưới dạng tổng
của một số chẵn các vector f1, f2, .... Sự biểu diễn này là duy nhất vì các
40

vector f1, f2, . . . là đôc lập tuyến tính. Với mọi x ∈ M kí hiệu m(x) là chỉ
số lớn nhất trong tổng tương ứng.
Tương tự ta kí hiệu N là tập tất cả các vector y ∈ X sao cho y có thể biểu
diễn dưới dạng tổng của một số lẻ các vector f1, f2, . . ., . Với mọi y ∈ N
kí hiệu n(y) là chỉ số lớn nhất trong tổng tương ứng.
Từ bất đẳng thức (3.4) suy ra M và N là các tập đóng. Hơn nữa, ta có
y − x ≥ 1 +
1
max {m (x) , n (y)}
> 1
với mọi x ∈ M, y ∈ N tùy ý. Giờ ta sẽ đánh giá khoảng cách Hausdorff
h(M,N). Với mọi x ∈ M, vector y = x+fk thuộc tập N với mọi k > m (x).
Hơn nữa, y − x = fk → 1 khi k → ∞. Hoàn toàn tương tự, với
mọi y ∈ N vectơ x = y + fk thuộc tập M với k > n (y). Hơn nữa
x − y = fk → 1, khi k → ∞. Do đó h (M, N) ≤ 1.
Ta đã xây dựng được các tập đóng và bị chặn M ⊂ X và N ⊂ X sao cho
h (M, N) ≤ 1 và x − y > 1 với mọi x ∈ M, y ∈ N.
Định lí (2.3.1) và (3.1.5) chỉ ra đặc điểm của không gian định chuẩn hữu
hạn chiều.
Mệnh đề 3.1.6 ([5], tr. 6) Không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều
khi và chỉ khi với mọi tập con khác rỗng, đóng và bị chặn M ⊂ X và
N ⊂ X, ta có ràng buộc sau
∀x ∈ M ∃y ∈ N : ρ (x, y) ≤ h (M, N)
41

3.2 Một số định lý điểm bất động
Sử dụng các kết quả trong các phần trước, ta hãy so sánh 2 định nghĩa
thông dụng của những ánh xạ đa trị Lipschitz, thường sử dụng trong giải
tích đa trị. Các kiến thức được đề cập trong tài liệu [5], [7], [12], [14].
Định nghĩa 3.2.1 ([7]) Ánh xạ đa trị Φ : X Y được gọi là β_ Lips-
chitz theo nghĩa Hausdorff nếu
hY (Φ(x), Φ(u)) ≤ β.ρX (x, u) ∀x, u ∈ X (3.5)
Định nghĩa 3.2.2 ([7]) Một ánh xạ đa trị Φ : X Y được gọi là β_
Lipschitz nếu
Φ(u) ⊂ BY (Φ(x), β.ρX(x, u)) ∀x, u ∈ X (3.6)
Kết quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa phía trên
Mệnh đề 3.2.3 ([5]) 1. Nếu ánh xạ đa trị Φ : X Y là β_ Lipschitz
thì nó là β_Lipschitz theo nghĩa metric Hausdorff.
2. Nếu ánh xạ đa trị Φ : X Y là β_Lipschitz theo nghĩa metric Haus-
dorff, thì với mọi ε > 0, ánh xạ này là (β + ε)_Lipschitz.
Trong mệnh đề (3.2.2), trường hợp tổng quát không thể cho ε = 0. Ta hãy
xem xét ví dụ sau
Ví dụ 3.2.4 Cho Y là một không gian vô hạn chiều, theo Định lí (3.1.5)
vừa chứng minh rằng luôn tồn tại các tập đóng và bị chặn khác rỗng
42

M, N ⊂ Y sao cho hY (M, N) ≤ 1 và ρY (y, v) > 1 với mọi y ∈ M và
v ∈ N. Cho X là một không gian metric chứa 2 điểm phân biệt x1, x2 sao
cho ρX (x1, x2) = 1. Ta hãy định nghĩa Φ : X Y như sau
Φ(x1) := M, Φ(x2) := N.
Do đó hY (M, N) ≤ 1, Φ là 1_Lipschitz theo nghĩa metric Hausdorff, đồng
thời bất đẳng thức (3.5) được thỏa mãn. Tuy nhiên, ρY (y, v) > 1 với mọi
y ∈ M, v ∈ N. Vì vậy Φ không là 1_Lipschitz, đồng thời ràng buộc (3.6)
không được thỏa mãn với β = 1.
Ví dụ (3.2.4) cho thấy rằng một ánh xạ β_Lipschitz theo nghĩa metric
Hausdorff có thể không phải là β_Lipschitz, có nghĩa là tính chất (3.5)
không kéo theo (3.6).
Chú ý rằng thông thường các kết quả về sự tồn tại của điểm bất động
hoặc điểm trùng hợp sử dụng Định nghĩa (3.2.1), tuy nhiên đôi khi để
thuận tiện người ta sử dụng Định nghĩa (3.2.2) thay cho (3.2.1). Ta sẽ giải
thích lí do này khi sử dụng định lí điểm bất động của Nabler.
Định lý 3.2.5 ([5]) Cho x là không gian metric đầy đủ, ánh xạ đa trị
Φ : X X là β_Lipschitz theo nghĩa metric Hausdorff với β ∈ [0, 1).
Khi đó với mỗi x ∈ X và mỗi y ∈ Φ(x)
∀ε > 0 ∃ξ ∈ X : ξ ∈ Φ(ξ) , ρX (x, ξ) ≤
ρX (x, y) + ε
1 − β
Đây là kết quả của định lí điểm bất động của Nabler ( xem vd trong [7])
mệnh đề sau là hệ quả trực tiếp của Định lí 2 trong [14].
43

Định lý 3.2.6 ([5], [14]) Giả sử rằng X là không gian metric đầy đủ, ánh
xạ đa trị Φ : X X là β_Lipschitz với β ∈ [0, 1). Khi đó với mỗi x ∈ X
và với mỗi y ∈ Φ(x).
∃ξ ∈ X : ξ ∈ Φ(ξ), ρX (x, ξ) ≤
ρX (x, y)
1 − β
Không khó để chỉ ra rằng Định lí (3.2.5) là hệ quả trực tiếp của định
lí (3.2.6). Hơn nữa, nếu ánh xạ Φ là ánh xạ co đơn trị với hằng số co
0 ≤ β < 1, thì khi đó Φ là β_Lipschitz vừa là β_Lipschitz theo nghĩa
metric Hausdorff, đồng thời (3.5), (3.6) được thỏa mãn. Tuy nhiên trong
trường hợp đó, Định lí (3.2.5) được biểu diễn như sau
∀ε > 0 ∃ξ ∈ X : ξ = Φ(ξ), ρX (x, ξ) ≤
ρX (x, Φ(x)) + ε
1 − β
Nhưng trái lại Định lí (3.2.6) biểu diễn tính chất này với ε = 0 là một
mệnh đề mạnh hơn Định lí ánh xạ co của Banach.
Kết luận: Ứng dụng của khoảng cách Hausdorff là rất rộng lớn. Trong
khuôn khổ có hạn, Chương 3 đã trình bày một số ứng dụng của khoảng
cách Hausdorff trong không gian định chuẩn và giải tích đa trị.
44

Kết luận
Luận văn tập trung nghiên cứu khái niệm và một số tính chất của
khoảng cách Hausdorff. Đã trình bày được các nội dung:
1) Khoảng cách Hausdorff.
2) Với hai tập con đóng, khác rỗng bất kì của không gian metric, thỏa
mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass, khi đó tồn tại một điểm thuộc mỗi
tập hợp sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách
Hausdorff giữa hai tập.Trong không gian định chuẩn vô hạn chiều tồn tại
hai tập hợp đóng và bị chặn sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì
thuộc hai tập lớn hơn khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đó.
3) Một không gian định chuẩn là hữu hạn chiều khi và chỉ khi với hai
tập con bất kì của không gian đó tồn tại một điểm trong mỗi tập sao cho
khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách Hausdorff giữa
hai tập.
4) Ứng dụng trong lí thuyết giải tích đa trị, so sánh một số ánh xạ đa
trị Lipschitz.
5) Một số kết quả mới đơn giản đã được thiết lập.

Tài liệu tham khảo
Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Giáo tình giải tích hàm, NXB Đại
học Quốc Gia (2010)
[2] Hoàng Tụy, Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia (2003)
[3] Nguyễn Đông Yên, Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên
và Công nghệ (2007)
Tài liệu tiếng Anh
[4] A.V. Arutyunov"Covering mappings in metric spaces and fixed
points" Dokl, Math, 76, 665-668 (2007)
[5] A.V. Arutyunov, S.A.Vartapetov, S.E.Zhukovskiy: "Some properties
and Appplications of Hausdorff distance", Springer Science+Business
Media New York (2015)
[6] G. Birkhoff, "Orthogonality in linear metric spaces", Duke Math, J.1,
169-172 (1935)
[7] Yu.G. Borisovich, B.D. Gelman, , A.D. Myshkis, V.V. Obukhovski,
Introduction to the Theory of Multivalued mapping and differential
inclusions, 2nd end, Librokom, Moscow (2011)
[8] J. Chmielinski, "on an ε-Birkhoff orthogonality", JIPAM6, 1-7(2005)
[9] , V.F. Dem’yanov, A.M. Rubinov, The Fundamentals of Nonsmooth
Analysis and Quasidifferetial calculus, Nauka, Moscow (1990)
[10] V.F. Dem’yanov, Extrenum condition and the calculus of variations,
Vishaya shkola, Moscow (2015)
[11] F. Hausdorff, "Grundzuge der Mengenlehre", Von Veit Leipzig (1914)
[12] B.S. Mordukhovich, Variatinal Analysis and Generalized Differenti-
ation I : Basic Theory Springer, Berlin (2006)
46

[13] S.B. Nabler, "Multi-valued contraction mappings", Pac.J.Math 30,
475-488 (1969)
[14] J. Henrikson, "Completness and total boundedness of the Hausdorff
metric", MIT Undergraduate Jounal of the mathematic, 69-80, (1999)
[15] S. Zhukowskiy, "On covering properties in variational analysis and
optimization", Set-valued var. Anal(2015)
47

Luanvan

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Luanvan

Similar a Luanvan (20)

Luanvan