Modul ini membahas tentang integral lipat tiga, baik bentuk tak tentu maupun bentuk tentu. Integral lipat tiga merupakan integral biasa yang diintegralkan sebanyak tiga kali. Penyelesaian integral lipat tiga tak tentu dilakukan dengan mengintegralkan fungsi terhadap variabel satu per satu, sementara bentuk tentu menggunakan batas atas dan bawah. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penyelesaiannya.

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
Matematika 2
Integral Lipat Tiga
Beny Nugraha, MT, M.Sc
05FAKULTAS
TEKNIK
TEKNIK
ELEKTRO

2. Definisi
• Integral lipat tiga (triple integrals) merupakan
integral biasa/tunggal yang hasilnya
diintegralkan dan kemudian diintegralkan
kembali (lakukan iterasi integral sebanyak 3x).
• Notasi dari integral lipat tiga adalah sebagai
berikut:

3. Definisi
• Bentuk di atas adalah bentuk tak tentu dari
integral lipat tiga, di mana bisa dilihat bahwa
integeral tersebut tidak memiliki batas atas
dan batas bawah

4. Definisi
• Bentuk tentu dari integral lipat tiga dapat
dinotasikan sebagai berikut:
• Bentuk di atas mempunyai tiga buah batas
bawah (x1, y1, dan z1) dan tiga buah batas atas
(x2, y2, z2).

5. Bentuk Tak Tentu
• Apabila terdapat integral lipat tiga tak tentu:
• Maka penyelesaiannya:
1. Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap x dengan menggangap
variabel y dan z konstan.
2. Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap y dengan
menggangap variabel x dan z konstan.
3. Hasil pada langkah 2 kemudian diintegralkan terhadap z
dengan menggangap variabel x dan y konstan.
4. setiap hasil pengintegralan ditambah dengan konstanta
sembarang c (c1, c2, dan c3).

6. Bentuk Tak Tentu
• Ilustrasi dari langkah penyeselaian di atas adalah sebagai
berikut:
• Dapat disimpulkan bahwa penyelesaian integral lipat tiga sama
dengan penyelesaian integral lipat dua, dimulai dari bagian
dalam, ke bagian luar.

7. Bentuk Tak Tentu
• Contoh:
1. Selesaikan
Jawab:

8. Bentuk Tak Tentu
• Contoh:
2. Selesaikan
Jawab:

9. Bentuk Tentu
• Apabila terdapat integral lipat tiga bentuk
tentu berikut:
• Langkah penyelesaiannya:
1. Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap z
(dengan menggangap x dan y konstan),
dihitung nilainya dengan mensubstitusikan
batas atas z = z2 dan batas bawah z = z1.

10. Bentuk Tentu
2. Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap x,
kemudian dihitung nilainya dengan batas atas
x = x2 dan batas bawah x = x1.
3. Dari hasil langkah 2 diintegralkan kembali ke y
kemudian dihitung nilainya dengan batas atas
y = y2 dan batas bawah y = y1.

11. Bentuk Tentu
• Ilustrasi dari langkah penyelesaian di atas
adalah:
• Dapat disimpulkan bahwa langkah
penyelesaian bentuk tentu dengan tak tentu
hampir sama, bedanya hanya di bentuk tentu
ada batas bawah dan batas atas.

12. Bentuk Tentu
• Contoh:
1. Selesaikan
Jawab:

13. Bentuk Tentu
• Contoh:
2. Selesaikan
Jawab:

14. Bentuk Tentu
Jawab:

15. Bentuk Tentu
• Contoh:
3. Jika diketahui sebuah bidang yang dibatasi oleh y ≤ z ≤ x + 2 ,
0 ≤ y ≤ 3x , dan − 2 ≤ x ≤ 5, tentukan volume bidang tersebut.
Jawab:

16. Bentuk Tentu
• Contoh:
4. Hitung Integral lipat tiga f (x, y, z) = 2xyz dalam daerah pejal R
yang dibatasi oleh tabung z = 2 – ½ x2 dan bidang-bidang z =
0, y = x dan y = 0 !
Jawab:
Ilustrasi dari batas-batas di atas adalah sebagai berikut:
Sehingga batas-batasnya adalah:

17. Bentuk Tentu
Dari batas-batas tersebut, maka bentuk
integral lipat tiga tentu-nya adalah sebagai
berikut:
Penyelesaian:

18. Bentuk Tentu

19. PR!!!!
Hitung:
1.
2.

20. Terima Kasih
Beny Nugraha, MT, M.Sc