JOI summer seminor

1. グレブナー基底
@okuraofvegetable

2. 剰余類(1)
 𝑆 = 𝑓1 = 0, … , 𝑓 𝑛 = 0 に付随するイ
デアル𝐼 𝑆 = 𝑓1, … , 𝑓 𝑛 とそのグレブ
ナー基底𝐺 = 𝑔1, … , 𝑔 𝑛 を考える(項順
序はなんでもよい)
 𝐿 𝐺 = {𝑡 ∈ 𝑇|∀𝑔 𝑘 ∈ 𝐺で𝐻𝑇(𝑔 𝑘)∤𝑡}
という集合を考える

3. 具体例
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 4
𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 1
 全次数順序x<yでグレブナー基底を計
算すると
 𝐺 = 𝑦𝑥 − 1, 𝑥2 + 𝑦2 − 4, 𝑥3 − 4𝑥 + 𝑦
 HT(G) = 𝑦𝑥, 𝑦2, 𝑥3
 𝐿 𝐺 = {1, 𝑥, 𝑥2, 𝑦}

4. 剰余類(2)
 任意の多項式hの正規形NFG(h)は
𝑁𝐹 𝐺 ℎ = 𝑎𝑖 𝑡𝑖 (𝑎𝑖 ∈ 𝐶)
𝑡𝑖
∈𝐿(𝐺)
と表される
𝐿𝑆 𝐺 = 𝑎𝑖 𝑡𝑖 |𝑎𝑖 ∈ 𝐶
𝑡𝑖∈𝐿 𝐺
という集合を考える

5. 剰余類(3)
𝐿𝑆 𝐺 = 𝑎𝑖 𝑡𝑖 |𝑎𝑖 ∈ 𝐶
𝑡𝑖
∈𝐿 𝐺
 LS(G)はGに関して正規形である多項
式全体の集合でありL(G)を基底とす
る線形空間となる

6. 正規形計算(1)
 正規形計算を多項式全体RからLS(G)
への写像と考えると
 𝑁𝐹 𝐺: ℎ ∈ 𝑅 → 𝑁𝐹𝐺 ℎ ∈ 𝐿𝑆 𝐺
 これは上への線形写像

7. 正規形計算(2)
 ℎ = {ℎ + 𝑎|𝑎 ∈ 𝐼(𝑆)}という集合を定
義すると ℎ = 𝑁𝐹 𝐺 ℎ であり、逆に
𝑘 ∈ 𝐿𝑆 𝐺 を正規形にとる任意の多項
式全体の集合は[k]に一致
 ∀𝑘, 𝑙 ∈ 𝐿𝑆 𝐺 , 𝑘 ≠ 𝑙について
𝑘 ∩ 𝑙 = Ø

8. 正規形計算(3)
 正規形がLS(G)のどれになるかで分類
できる!!
 ✌('ω'✌ )三✌('ω')✌三( ✌'ω')✌

9. 剰余類環(1)
 さっき定義した[h]にはもっとうれし
い性質がある
 ℎ + 𝑘 = ℎ + 𝑘
 ℎ 𝑘 = ℎ𝑘
 この性質を満たすということは…?

10. 剰余類環(1)
 さっき定義した[h]にはもっとうれし
い性質がある
 ℎ + 𝑘 = ℎ + 𝑘
 ℎ 𝑘 = ℎ𝑘
 この性質を満たすということは…?
 環
 これを剰余類環R/I(S)と呼ぶ

11. 何がうれしいか
 グレブナー基底がわかれば剰余類に
分類して剰余類環を計算することが
できた
 剰余類環は果たして何の役に立つの
か?

12. 何がうれしいか
 零点、すなわち連立方程式の解の
様々な性質がわかる!
 その一例として零点の個数、つまり
解の個数に関する評価を線形空間の
次元を考えることで評価できる

13. ヒルベルトの零点定理
 弱零点定理
 IがC[X]全体と一致していないならば
V(I)≠∅
 強零点定理
 多項式f(X)がIのすべての零点上で零
になるならば、ある正の整数kが存在
して𝑓 𝑋 𝑘 ∈ 𝐼

14. 補題1
(1) L(G)が有限集合となること
⇔
(2) 各変数xiに対し𝐻𝑇 𝑔 = 𝑥𝑖
𝑚𝑖となる
𝑔 ∈ 𝐺が存在すること

15. 補題2
(1) イデアルI(S)の異なる零点の個数が
有限である
⇔
(2) L(G)が有限集合である

16. 補題3
 相異なる有限個の点α1...αrに対して
f(α1)=1,f(αi)=0(i=2…r)となる多項式f
が存在する

17. 解の個数
 これらの補題が示され、これを用い
て次の定理が示せる
 イデアルIの零点集合VC(I)は有限集合
とする.このとき#𝑉 𝐶(𝐼) ≤ #𝐿(𝐺)
(ただし#SはSの要素数)

18. 解の個数
 #L(G)=kとおくと、零点の数はk以下
である

19. 解の個数
 #L(G)=kとおくと、零点の数はk以下
である
 ✌('ω'✌ )三✌('ω')✌三( ✌'ω')✌

20. 解の個数
 #L(G)=kとおくと、零点の数はk以下
である
 ✌('ω'✌ )三✌('ω')✌三( ✌'ω')✌

21.  ここまでがグレブナー基底に関する
基礎事項です.
 いままでグレブナー基底の定義や性
質を述べてきましたが肝心の存在な
どは示していません.

22.  存在の証明や、実際にグレブナー基
底を求めるアルゴリズムとその妥当
性などについては残りの2人が発表し
てくれる(はず)です
 とりあえずグレブナー基底はすごい
んじゃ

23. Thank you for listening !!