Elemente de statistica matematica și probabilitatea

1. Elemente de statistica matematica
Cum am putea prevedea rezultatele
alegerilor parlamentare?

2. •Cum am putea folosi un studiu
pe un numar finit de cazuri
(esantion) pentru a anticipa un
rezultat?

3. Ce e statistica matematica?
• Satistica este disciplina care se ocupa cu
culegerea, inregistrarea, gruparea, analiza si
interpretarea datelor referitoare la un anumit
fenomen precum si cu formularea unor
previziuni privind comportarea viitoare a
acestuia
• Activitatea de grupare, analiza si interpretare
a datelor precum si formularea unor
previziuni privind comportarea viitoare a
unui fenomen reprezinta obiectul statisticii
matematice

4. Elemente de limbaj in statistica
matematica
Populaţie statistică
• Pentru a face o cercetare statistică este necesar în
primul rând a avea o populaţie.
• Prin populaţie înţelegem de fapt o mulţime (finită)
oarecare P.
• De regulă se consideră mulţimile definite drept
totalitatea unor elemente cu o proprietate şi nu
printr-o enumerare.

5. Exemple de populaţie:
• muncitorii dintr-o interprindere;
• elevii unei unităţi şcolare;
• populaţia unei localităţi.
• Este nevoie ca elementele populaţiei să aibă o
caracteristică sau mai multe. Fiecare individ trebuie
să aiba caracteristicile bine determinate. Deci
trebuie să avem o mulţime C de caracteristici si o
funcţie
CPf →:

6. Ce sunt caracteristicile calitative
sau cantitative?
• Există doua feluri de caracteristici: cantitative şi
calitative. În cazul în care caracteristicile sunt
numere, caracteristica se numeşte cantiativă. În cazul
în care caracteristicile nu apar ca numere,
caracteristica se numeşte calitativă.

7. • De obicei se face un sondaj adica, se alege din populaţia statistică
o submulţime şi pe această submulţime se realizeaza un studiu
restrâns.
• O asemenea submulţime a unei populaţii statistice este numită
eşantion sau selecţie.

8. Gruparea datelor statistice
• Datele statistice, la început sunt o masă dezordonată
de date.
• Ele pot fi obţinute prin anailza în timp. Rezultatele
obţinute de elevii unei clase de matematică pot fi
prezentate intr-un tabel ca cel de mai jos:

9. Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr.
elevi
1 1 2 6 4 7 2 1 1
• Din acest tabel putem trage concluzii referitoare la nivelul la
• care s-a prezentat clasa respectivă la teza.

10. Diametrul in
mm 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr. de
şuruburi
1 4 6 8 5 3 2 10 2
Din tabelele 1 şi 2 rezultă ca analiza statistică a unui fenomen, în
raport cu o singură caracteristică, ne conduce la o serie
de perechi de valori, pe care o vom numi serie statistică

11. 2.Frecvenţă absolută şi frecvenţă relativă
• Definitie:
• Numărul tuturor elementelor unei populaţii statistice se numeşte
efectivul total al acelei populaţii şi se notează cu N.
• Definiţie:
• Se numeşte frecvenţă absolută a unei valori a caracteristicii
• numărul de unităţi ale populaţiei corespunzătoare acelei valori.
• Definiţie:
• Se numeşte frecvenţă relativă a unei valori x a caracteristicii raportul
dintre frecvenţa absolută a valorii şi efectul total al populaţiei şi se
scrie : f(x) =n/N, unde f(x) este frecvenţa relativă a valorii x, n este
frecvenţa absolută a acestei valori iar N efectul total al populaţiei.
Deseori frecvenţa relativă este dată în proporţii.

12. Exemplu:
• Un număr de 30 de elevi de la o unitate şcolară au fost
întrebaţi la câte meciuri de fotbal au participat. Elevii au dat
următoarele răspunsuri:
• 4,6,6,5,9,3,2,4,3,3,2,4,7,1,5,8,6,1,12,6,9,9,10,8,2,12,5,1,5,8.
• Împărţim intervalul de variaţie al datelor obţinute într-un
număr de subintervale pe care le numim clase.
• [1,3), [3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13). Fiecare clasă are limite
şi un centru. Un interval se va nota cu [xi,xi+1) , centrul
clasei cu xi şi frecvenţa cu ni.
• Evident N=
∑
=
k
n
1j

13. Definiţie:
Frecvenţa relativă a intervalului i este ni/N.
Frecvenţa cumulată corespunzătoare clasei i este
Se întocmeşte un tabel în care se ilustrează repartiţia frecvenţelor pe diferite clase.
Acest tip de tabel se numeşte tabel de frecvenţa.Pentru exemplul nostru tabelul
arată astfel:
Numarul
Clasei
Limitele
clasei
Mijlocul
clasei
Frecventa ni Frecventa
cumulata
Frecventa
Relativa a clasei
Frecv
Rel cumul
a clasei
1
[1,3)
2 6 6 1/5 1/6
2 [3,5) 4 6 12 1/5 2/5
3 [5,7) 4 8 20 4/15 2/3
4 [7,9) 8 4 24 2/15 4/5
5 [9,11) 10 4 28 2/15 14/15
6 [11,13) 12 2 30 1/5 1

14. 3.Cum reprezentam grafic datele
statistice cu o singură caracteristică?
• Reprezentarea grafică a unei serii este
uneori foarte sugestivă, ea contribuind la
o primă interpretare intuitivă, pe cale
vizuală a datelor.Deseori reprezentarea
grafică sugerează insăşi legea pe care o
urmează fenomenul studiat
• Graficul corespunzător unei serii
statistice poartă numele de diagramă.

15. Să considerăm de exemplu distribuţia mediilor de pe
primul semestru la o şcoală generală.
1 Sub 5 12
2 Intre 5 si 6 89
3 Intre 5 si 6 149
4 Intre 5 si 6 356
5 Intre 5 si 6 137
6 Intre 5 si 6 28

16. Reprezentare prin coloane
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Sub 5 Între 5
şi 6
Între 6
şi 7
Între 7
şi 8
Între 8
şi 9
Între 9
şi 10
1 2 3 4 5 6
Series1

17. Reprezentare prin benzi
0 100 200 300 400
Sub 5
Între 5 şi 6
Între 6 şi 7
Între 7 şi 8
Între 8 şi 9
Între 9 şi 10
123456
Series1

18. Reprezentare prin sectoare de cerc
1 Sub 5
2 Între 5 şi 6
3 Între 6 şi 7
4 Între 7 şi 8
5 Între 8 şi 9
6 Între 9 şi 10

19. Poligonul frecventelor
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Sub 5 Între
5 şi 6
Între
6 şi 7
Între
7 şi 8
Între
8 şi 9
Între
9 şi
10
1 2 3 4 5 6
Series1

20. 4.Elemente caracteristice ale unei serii
statistice
• Valoarea centrală a unei clase de variaţie
• Definiţie:
• Se numeşte valoare centrală a unei clase de variaţie
media aritmetică a extremităţilor acestei clase.
• Exemplu:
• Valuarea centrală a clasei 180-185 din tabelul 4 este 182,5.
• Mărimi medii
• Dacă în cadrul unei selecţii am obţinut n valori distincte
x,x2,x3,...,xn, se ştie că media lor aritmetică este:
Am
n
xxx
arit
n
==
+++ ...21

21. • Dacă valorile variabilei x=(x1,x2,…,xn)apar respectiv cu
frecvenţele y1,y2,...,yn, atunci valuarea medie a variabilei x este:
• = (1)
• Formula (1) se numeşte media aritmetică ponderată a
numerelor x1,x2,...,xn, iar numerele y1,y2,...yn, ponderile
respective ale acestor valori.
• Elemente de date statistice
• O mare importanţă în realizarea unor prognoze cât mai exacte îl
constituie studierea valorilor caracteristice analizate în jurul
mediilor. Modul de a analiza nu este unic, iar semnificaţiile care
se desprind depind de modul de organizare şi de metodologia
de calcul.
x
n
nn
yyy
yxyxyx
+++
+++
...
...
21
2211

22. • 1)Amplitudinea se defineşte ca diferenţa dintre cea mai mare valuare şi cea mai
mică valuare caracteristică, adică A=nmax-nmin.
• 2)Abaterea medie liniară se defineşte prin
=
• 3)Dispersia se defineşte prin expresia
• 4)Abaterea medie se defineşte ca rădăcină pătrată a dispersiei,adică
• 5)Coeficientul de variaţie care se defineşte ca .
d
d
n
xx
n
i
i∑=
−
1
2
σ ( )
2
1
2 1
∑=
−=
n
i
i xx
n
σ
2
σσ =
x
σ
ν =

23. Teoria probabilităţilor studiază legile după care evoluează
fenomenele aleatoare.
Principalele noţiuni matematice care modelează fenomenele
aleatoare sunt:
*CÂMPUL DE PROBABILITATE ASOCIAT UNUI
EXPERIMENT ALEATOR
*EVENIMENTELE
*VARIABILELE ALEATOARE

24. Prin experienţa în teoria probabilităţilor se
înţelege orice act care poate fi repetat în
condiţii date.
Toate situaţiile legate de experienţă şi despre
care putem spune, cu certitudine, că s-au
produs sau nu, după efectuarea experienţei,
poartă numele de eveniment.

25. Un experiment aleator este o acţiune ale cărei rezultate nu pot fi
pronosticate cu certitudine.
O efectuare a unui experiment,se numeşte probă.
Prin eveniment se înţelege rezultatul unei probe. Evenimentele
pot fi clasificate in trei mari categorii:
*evenimente sigure;
* evenimente imposibile;
* evenimente întâmplătoare.

26. UNIVERSUL PROBELOR
Definiţie : Se numeşte universul
probelor mulţimea Ω a tuturor
rezultatelor posibile, incompatibile
două câte două, care pot avea loc în
cazul unei probe a unui experiment
aleatoriu.

27. EXEMPLE
1.La aruncarea monedei omogene avem
Ω={b,s}, unde b este banul iar s este stema.
2.La aruncarea unui zar omogen avem
Ω={1,2,3,4,5,6} .

28. 3.O urnă conţine trei bile numerotate 1,2,3.Se extrag
succesiv două bile din urnă:
*cu repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a
doua extragere; Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),
(3,2),(3,3) }
*fără repunerea primei bile extrase în urnă înainte de a
doua extragere;
Ω={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) }

29. EVENIMENTE
Definiţie : Fie Ω un univers. Orice
submulţime a lui Ω se numeşte eveniment.
EXEMPLE
1. Extragerea unei bile albe dintr-o urnă
care conţine numai bile albe, este un
eveniment sigur.
2. Apariţia unui număr de 7 puncte la o
probă a aruncării unui zar este un
eveniment imposibil.
3 Apariţia feţei 1 la aruncarea unui zar este
un eveniment întâmplător.

30. Evenimentele întâmplătoare se supun unor legităţi, numite legităţi
statistice. În acest sens, nu se poate prevedea dacă într-o singură
aruncare a unui zar se obţine faţa 1; dacă însă se efectuează un
număr suficient de mare de aruncări se poate prevedea cu
suficientă precizie numărul de apariţii ale acestei feţe.
Evenimentele întâmplătoare pot fi compatibile şi incompatibile.
Două evenimente se numesc incompatibile, dacă realizarea unuia
exclude realizarea celuilalt.

31. EXEMPLE
1.Evenimentele : apariţia feţei 1 la
aruncarea unui zar şi respectiv apariţia feţei
2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.
2. Evenimentele : apariţia feţei 1 la
aruncarea unui zar şi respectiv apariţia unei
feţe cu un număr impar de puncte la
aruncarea unui zar, sunt compatibile.

32. EXEMPLU
La aruncarea zarului dacă A ={1,2,3} (care înseamnă că A se
realizează dacă la o probă apare una din feţele cu 1, 2 sau 3
puncte), atunci Ā = {4,5,6} (care se realizează dacă nu se
realizează A, adică dacă într-o probă apare una din feţele care
conţin 4, 5 sau 6 puncte).

33. EXEMPLU
La aruncarea zarului fie evenimentele : A={1,2,3}, B={4,5},
C={1,3}, D={2,3,5}. Atunci A B= {1,2,3,4,5} şi C D=∪ ∪
{1,2,3,5}.Se observă că A B∪ este format din două evenimente
pentru care A∩B=Ø, ceea ce înseamnă că A B are loc dacă are∪
loc fie A , fie B. În cazul C D∪ avem C∩D= {3}, adică apariţia
feţei care conţine trei puncte realizează atât evenimentul C cât şi
evenimentul D.

34. EXEMPLU
La aruncarea zarului fie evenimentele
A= {1,2,3,4}, B= {2,4,6}. Atunci
A∩B= {2,4} şi se realizează dacă la
aruncarea zarului apare faţa cu două puncte
sau faţa cu patru puncte.

35. EVENIMENTE INCOMPATIBILE
Definiţie : Două evenimente A, B se
numesc incompatibile dacă şi numai dacă
A∩B=Ø.
EXEMPLU
Evenimentele: apariţia feţei 1 la aruncarea
unui zar şi respectiv apariţia feţei 2 la
aruncarea unui zar, sunt incompatibile.

36. EVENIMENTE ELEMENTARE
Definiţie : Fie Ω un univers finit Ω={ω1, ω2,...,ωn}.
Evenimentele {ω1},{ω2},…, {ωn} se numesc evenimente
elementare.
EXEMPLE
1)La aruncarea monedei Ω= {s,b} când avem evenimentele
elementare {s} (apariţia stemei), {b} (apariţia banului).
2)La aruncarea zarului Ω= {1,2,3,4,5,6}, evenimentele elementare
sunt : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

37. FUNCŢIA PROBABILITATE
Definiţie : Fie Ω un univers . Se numeşte probabilitate pe P(Ω)
,aplicaţia P: P(Ω)R, dacă au loc axiomele:
A1) P(A) ≥ 0 , (∀) A ∈ P(Ω) (Probabilitatea oricărui eveniment
este un nr pozitiv).
A2) P(Ω)=1 (Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu
unu).
A3) P(A∪B) = P(A) + P(B), dacă A∩B =Ø (Probabilitatea
reuniunii a două evenimente incompatibile este egală cu suma
probabilităţilor lor).

38. CÂMP DE PROBABILITATE
Definiţie : Fie F un fenomen aleatoriu.
Se numeşte câmp de probabilitate
asociat fenomenului F , tripletul (Ω,
P(Ω), P).
Mulţimea tuturor evenimentelor legate de
o experienţă împreună cu probabilităţile
respective, formează un câmp de
probabilitate.

39. EXEMPLU
La aruncarea monedei Ω={s,b},
P(Ω)={ Ø, {s}, {b}, {s,b} } iar
P : P(Ω)  [0,∞) , unde P(Ø)=0
P({s})=P({b})=1/2 , P({s,b})=1.

40. DEFINIŢIA GENERALĂ A
PROBABILITĂŢII
Definiţie : Se numeşte probabilitate o funcţie
P : P(E)  ℝ cu următoarele proprietăţi:
1) P(A)≥0, ∀ A ∈ P(E) ;
2) P(E)=1;
3) P(A B)= P(A) + P(B)∪ , dacă
A∩B= Ø.

41. OPERAŢII CU PROBABILITĂŢI
TEOREMĂ : Fie A, B ∈ P(Ω) , atunci
P(B∩Ā) = P(B) – P(B∩A).

42. COROLAR
1) P(Ø) =0 ;
2) P(Ā)=1 – P(A) ;
3) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) ;
4) Dacă A⊂B, atunci P(A) ≤ P(B) ;
5) 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; (∀) A⊂Ω .

43. REMARCĂ IMPORTANTĂ !
Axiomele din definiţia probabilităţii şi
rezultatele precedente sunt insuficiente
pentru a preciza probabilităţile diferitelor
evenimente ale unui univers Ω . Alte
consideraţii sau experienţe practice sunt
indispensabile pentru a da aceste
probabilităţi sau cel puţin o parte dintre ele.

44. EVENIMENTE ELEMENTARE
ECHIPROBABILEDefiniţie : Fie Ω ={ω1, ω2,…., ωn}. Evenimentele elementare
{ω1},{ω2},…,{ωn} se numesc echiprobabile dacă au aceeaşi
probabilitate P({ω1})=P({ω2})=…=P({ωn}).
TEOREMĂ : Dacă Ω este un univers format din n evenimente
elementare echiprobabile ,iar A este un eveniment format din
reuniunea a k evenimente elementare, atunci
P(A)=k/n=card(A)/card(Ω ) .

45. PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE
Definiţie : Fie A,B ⊂Ω. Numărul notat PB(A) definit
prin : PB(A)=P(A∩B)/P(B)
P(B) ≠ 0, se numeşte probabilitate a evenimentului A
condiţionată de evenimentul B.
TEOREMĂ : Fie A,B,C…evenimente ale unui
univers Ω. Atunci:
1) P(A∩B)= P(A) PA(B)
2) P(A∩B∩C)= P(A) PA(B) PA∩B(C)

46. EVENIMENTE INDEPENDENTE
Definiţie :
1)Fie A, B⊂Ω . Evenimentele A, B sunt
independente dacă P(A∩B) =P(A) P(B) .
În caz contrar, evenimentele sunt dependente.
2)Fie A,B,C⊂Ω. Evenimentele A,B,C sunt
independente dacă:
P(A∩B) = P(A) P(B) , P(A∩C) = P(A) P(C) ,
P(B∩C) = P(B) P(C) , P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C) .

47. VARIABILE ALEATOARE
Definiţie : Fie (Ω, P(Ω), P) un câmp de probabilitate. Orice
aplicaţie X : Ω  ℝ ,
se numeşte variabilă aleatoare relativă la probabilitatea P.
Definiţie : O variabilă aleatoare se numeşte discretă dacă are o
mulţime finită , sau numărabilă de valori. O variabilă aleatoare se
numeşte continuă dacă are ca mulţime de valori un interval
mărginit al dreptei reale.

48. Variabilele aleatoare întâlnite în practică sunt de două tipuri:
calitative sau cantitative.
Variabilele aleatoare calitative au, de obicei, un număr mic de
valori distincte.
Variabilele aleatoare cantitative sunt mărimi măsurabile, cum ar fi
numărul de defecţiuni care se identifică la controlul unui aparat
electronic, înălţimea unor plante, greutatea corporală a unor
oameni, sumele depuse de clienţi la o bancă etc.

49. A. Caracteristici de poziţie ale unei variabile aleatoare X,
pentru care P(X=xi)=pi, i=1,…,r .
*MEDIA este valoarea numerică asociată variabilei X
care se calculează după formula :
M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xrpr .
*MEDIANA este o valoare numerică notată Me(X) ,
care împarte valorile lui X în două grupe de probabilităţi
aproximativ egale. Ea se defineşte astfel : Se consideră
valorile variabilei ordonate crescător ,
x1 ≤ x2 ≤ ...≤ xr. Mediana este acea valoare a variabile X
care satisface proprietăţile P(X<Me(X)) ≤ 1/2 ,
P(X ≤ Me(X)) ≥ 1/2.
*MOD-UL (sau dominanta), notat Mo(X) , este
valoarea (unică sau nu) care are probabilitatea cea mai
mare de apariţie.

50. B. Caracteristici de împrăştiere ale unei variabile aleatoare X,
pentru care P(X=xi)=pi, i=1,...,r.
*DISPERSIA este valoarea numerică asociată variabilei X
care se calculează după formula
DxD(X)=(x1 – M(X))(x1 – M(X))p1 + … + (xr – M(X))(xr –
M(X))pr
*ABATEREA MEDIE STANDARD este egală cu
rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei.
*AMPLITUDINEA este egală cu diferenţa dintre cea mai
mare şi cea mai mică dintre valorile variabilei X
A(X) = max{x1,...,xr} - min{x1,...,xr}
)(XDxD )(XDxD )(XDxD )(XDxD

51. SCHEME CLASICE DE PROBABILITATE
1. SCHEMA LUI POISSON
P(x) = (p1x + q1)(p2x + q2)…(pnx + qn)
2. SCHEMA LUI BERNOULLI

52. * PROIECT REALIZAT DE
STANCIU RALUCA
clasa a X a A
*LICEUL “ION NECULCE”
*Profesor coordonator:
CARMEN TAFLARU

53. bibliografie
• www.epsilon.ro
• www.didactic.ro
• http://google.ro
• http://office.microsoft.com/ro-ro/clipart/results
• 1.Burtea M., Matematica. Manual pentru clasa a X-a.
Editura Carminis,Pitesti, 2005.
• 2.Cingu P. Duncea M. Constantinescu M. , Matematica.
Manual pentru clasa a X-a. Editura Carminis,Pitesti, 2000
• 3.Cheasca I , Constantinescu D., Statistica Matematica si
calculul probabilitatilor pentru gimnaziu si liceu, Editura
Teora 1998

54. Echipa de proiect: