dịch sách

1. 1
CLASSICAL SETS AND FUZZY SETS

2. CHƯƠNG
2
CỔ ĐIỂN
BỘ VÀ
TẬP MỜ
Những phản đối triết học có thể được nêu ra bởi những hàm ý logic của việc xây dựng một cấu
trúc toán học dựa trên tiền đề của tính mờ, vì dường như (ít nhất là bề ngoài) cần thiết để yêu
cầu một đối tượng phải hoặc không phải là một phần tử của một tập hợp nhất định. Từ quan điểm
thẩm mỹ, đây có thể là trạng thái thỏa mãn nhất, nhưng trong phạm vi các cấu trúc toán học
được sử dụng để mô hình hóa các thực tế vật lý, nó thường là một yêu cầu phi thực tế. ... Tập mờ
có cơ sở triết học hợp lý về mặt trực giác. Một khi điều này được chấp nhận, những xem xét mang
tính phân tích và thực tế liên quan đến các tập mờ trong hầu hết các khía cạnh là hoàn toàn chính
thống.
JamesBezdek
Giáo sư, Khoa học Máy tính, 1981
Như đã đề cập trong Chương 1, vũ trụ của diễn ngôn là vũ trụ của tất cả các thông tin sẵn có
về một vấn đề nhất định. Khi vũ trụ này được xác định, chúng ta có thể xác định các sự kiện
nhất định trên không gian thông tin này. Chúng ta sẽ mô tả các tập hợp dưới dạng trừu tượng
toán học của những sự kiện này và của chính vũ trụ. Hình 2.1a cho thấy một sự trừu tượng
hóa của một vũ trụ diễn ngôn, chẳng hạn như X, và một tập A rõ ràng (cổ điển) ở đâu đó trong
vũ trụ này. Một tập hợp cổ điển được xác định bởi các ranh giới rõ ràng , nghĩa là không có
sự không chắc chắn về quy định hoặc vị trí của các ranh giới của tập hợp, như trong Hình 2.1a
trong đó ranh giới của tập hợp rõ ràng A là một đường rõ ràng. Mặt khác, một tập hợp mờ
được quy định bởi các thuộc tính mơ hồ hoặc không rõ ràng; do đó các ranh giới của nó được
xác định một cách mơ hồ, như thể hiện bởi ranh giới mờ của tập hợp A trong Hình 2.1 b .
∼
Trong Chương 1, chúng ta đã giới thiệu khái niệm về tập thành viên, từ quan điểm một
chiều. Hình 2.1 một lần nữa giúp giải thích ý tưởng này, nhưng từ góc độ hai chiều . Điểm a

3. BỘ CỔ ĐIỂN 3
trong Hình 2.1a rõ ràng là một phần tử của tập xác định A; điểm b rõ ràng không phải là phần
tử của tập A. Hình 2.1b cho thấy ranh giới mơ hồ, không rõ ràng của một tập mờ
A trên cùng một vũ trụ X: ranh giới được tô đậm biểu thị vùng biên của A. Trong
∼ ∼
vùng trung tâm (không bóng mờ) của tập mờ, điểm a rõ ràng là một thành viên đầy đủ của tập
hợp.
Logic mờ với các ứng dụng kỹ thuật, Ấn bản thứ hai TJ Ross
2004 John Wiley & Sons, Ltd ISBN: 0-470-86074-X (HB); 0-470-86075-8 (PB)
HÌNH 2.1
Sơ đồ cho (a) ranh giới tập rõ và (b) ranh giới tập mờ.
Bên ngoài vùng biên của tập mờ, điểm b rõ ràng không phải là thành viên của tập mờ. Tuy
nhiên, tư cách thành viên của điểm c, nằm trên vùng biên, là không rõ ràng. Nếu tư cách thành
viên đầy đủ trong một tập hợp (chẳng hạn như điểm a trong Hình 2.1b) được biểu thị bằng số
1 và không có tư cách thành viên nào trong một tập hợp (chẳng hạn như điểm b trong Hình
2.1b) được biểu thị bằng 0, thì điểm c trong hình 2.1b phải có một giá trị thuộc trung gian nào
đó (thuộc một phần trong tập mờ A) trên khoảng [0,1]. Có lẽ tư cách thành viên của điểm c
trong A tiếp cận
∼ ∼
giá trị 1 khi nó tiến gần đến vùng trung tâm (không tô bóng) trong Hình 2.1b của A, và tư
cách thành viên của điểm c trong A tiến dần đến giá trị 0 khi nó tiến gần hơn đến việc rời khỏi
∼ vùng biên của A. ∼
Trong chương này, các nguyên tắc và hoạt động của tập mờ được so sánh với ∼ bộ cổ
điển. Có nhiều cuốn sách hay để xem xét tài liệu cơ bản này [xem ví dụ, Dubois và Prade,
1980; Klir và Folger, 1988; Zimmermann, 1991; Klir và Yuan, 1995]. Các tập mờ bao hàm
gần như tất cả (với một ngoại lệ, như sẽ thấy) các định nghĩa, giới luật và tiên đề xác định các
tập hợp cổ điển. Như đã nêu trong Chương 1, tập rõ là một dạng đặc biệt của tập mờ; chúng
là những tập hợp không có sự mơ hồ về tư cách thành viên của chúng (nghĩa là chúng là những
tập hợp có ranh giới rõ ràng). Nó sẽ chỉ ra rằng lý thuyết tập mờ là một lý thuyết tập hợp chặt
chẽ và toàn diện về mặt toán học, hữu ích trong việc mô tả các khái niệm (tập hợp) với sự mơ
hồ tự nhiên. Việc giới thiệu các tập mờ bằng cách xem xét các phần tử của lý thuyết tập cổ
điển (sắc nét) cổ điển là rất hữu ích.

4. BỘ CỔ ĐIỂN 4
BỘ CỔ ĐIỂN
Định nghĩa một vũ trụ diễn ngôn, X, như một tập hợp các đối tượng có cùng đặc điểm. Các
phần tử riêng lẻ trong vũ trụ X sẽ được ký hiệu là x. Đặc trưng của các phần tử trong X có thể
là các số nguyên rời rạc, đếm được hoặc các đại lượng có giá trị liên tục trên đường thực. Ví
dụ về các yếu tố của các vũ trụ khác nhau có thể như sau:
Tốc độ xung nhịp của CPU máy tính
Dòng điện hoạt động của động cơ điện tử
Nhiệt độ hoạt động của máy bơm nhiệt (tính bằng độ C)
Độ Richter của một trận động đất
Các số nguyên từ 1 đến 10
Hầu hết các quy trình nhập môn trong thế giới thực đều chứa các yếu tố điều đó là thực và
không âm. Bốn mục đầu tiên vừa được đặt tên là ví dụ về các yếu tố đó. Tuy nhiên, với mục
đích mô hình hóa, hầu hết các vấn đề kỹ thuật được đơn giản hóa để chỉ xem xét các giá trị
nguyên của các phần tử trong một vũ trụ diễn ngôn. Vì vậy, ví dụ, tốc độ đồng hồ máy tính
có thể được đo bằng giá trị nguyên của megahertz và nhiệt độ bơm nhiệt có thể được đo
bằng giá trị nguyên của độ C. Hơn nữa, hầu hết các quy trình kỹ thuật được đơn giản hóa để
chỉ xem xét các vũ trụ có kích thước hữu hạn. Mặc dù cường độ Richter có thể không có
giới hạn lý thuyết, nhưng trong lịch sử chúng ta không đo được cường độ động đất trên 9;
giá trị này có thể là giới hạn trên trong một vấn đề thiết kế kỹ thuật kết cấu. Một ví dụ khác,
giả sử bạn quan tâm đến lực căng dưới một chân của chiếc ghế mà bạn đang ngồi. Bạn có
thể lập luận rằng có thể tạo ra một ứng suất vô hạn trên một chân ghế bằng cách ngồi trên
ghế theo cách chỉ có một chân đỡ bạn và bằng cách để cho diện tích của đầu chân đó tiệm
cận bằng không. Mặc dù điều này về mặt lý thuyết là có thể, nhưng trên thực tế, chân ghế sẽ
bị khóa đàn hồi khi diện tích đầu ghế trở nên rất nhỏ hoặc bị biến dạng dẻo và hỏng do vật
liệu có độ bền vô hạn chưa được phát triển. Do đó, việc chọn một vũ trụ rời rạc và hữu hạn
hoặc một vũ trụ liên tục và vô hạn là một lựa chọn mô hình hóa; sự lựa chọn không làm thay
đổi đặc tính của các tập hợp được xác định trên vũ trụ. Nếu các phần tử của vũ trụ là liên
tục, thì các tập hợp được xác định trên vũ trụ sẽ bao gồm các phần tử liên tục. Ví dụ: nếu vũ
trụ của diễn ngôn được định nghĩa là tất cả các cường độ Richter lên đến giá trị 9, thì chúng
ta có thể định nghĩa một tập hợp ''cường độ hủy diệt'', có thể bao gồm (1) tất cả các cường
độ lớn hơn hoặc bằng giá trị 6 trong trường hợp sắc nét hoặc (2) của tất cả các cường độ
''xấp xỉ 6 và cao hơn'' trong trường hợp mờ.
Một thuộc tính hữu ích của các tập hợp và vũ trụ mà chúng được xác định trên đó là
một số liệu được gọi là lực lượng, hoặc số lượng chính. Tổng số phần tử trong một vũ trụ X
được gọi là số chính của nó, ký hiệu là n x , trong đó x lại là nhãn cho các phần tử riêng lẻ
trong vũ trụ. Các vũ trụ rời rạc bao gồm một tập hợp hữu hạn đếm được các phần tử sẽ có một
số hồng y hữu hạn; các vũ trụ liên tục bao gồm một tập hợp vô hạn các phần tử sẽ có một lực
lượng vô hạn. Tập hợp các phần tử trong một vũ trụ được gọi là tập hợp và tập hợp các phần
tử bên trong tập hợp được gọi là tập hợp con. Tập hợp và tập hợp con là những thuật ngữ
thường được sử dụng đồng nghĩa, vì bất kỳ tập hợp nào cũng là tập con của tập phổ biến X.
Tập hợp tất cả các tập hợp có thể có trong vũ trụ được gọi là tập hợp toàn bộ .
Đối với các tập rõ A và B gồm các tập gồm một số phần tử trong X, ký hiệu sau được
xác định:

5. BỘ CỔ ĐIỂN 5
x ∈ X ⇒ x thuộc về X x ∈ Một ⇒ x thuộc A
x ∈ Một ⇒ x không thuộc A
Đối với các tập hợp A và B trên X, ta cũng có
Một ⊂ B ⇒ A chứa đầy trong B (nếu x ∈ A thì x ∈ b)
Một ⊆ B ⇒ A nằm trong hoặc tương đương với B
(A ↔ B) ⇒ A ⊆ B và B ⊆ A (A tương đương với B)
Chúng ta định nghĩa tập rỗng, ∅ , là tập không chứa phần tử nào, và tập hợp nguyên X,
là tập gồm tất cả các phần tử trong vũ trụ. Tập hợp rỗng tương tự như một sự kiện không thể
xảy ra và toàn bộ tập hợp tương tự như một sự kiện nhất định. Tất cả các tập X có thể tạo
thành một tập đặc biệt gọi là tập lũy thừa, P(X). Đối với một vũ trụ X cụ thể, tập hợp sức
mạnh P(X) được liệt kê trong ví dụ sau.
Ví dụ 2.1. Chúng ta có một vũ trụ bao gồm ba phần tử, X = { a, b, c } , vì vậy số chính là n x = 3.
Tập hợp lũy thừa là
P(X) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a, b } , { a, c } , { b, c } , { a, b, c }}
Bản số của bộ sức mạnh, ký hiệu là n P(X) , được tìm thấy là
n P(X) = 2 n X = 2 3 = 8
Chú ý rằng nếu lực lượng của vũ trụ là vô hạn thì lực lượng của tập lũy thừa cũng là vô hạn,
nghĩa là n X = ∞ ⇒ n P(X) = ∞ .
Hoạt động trên bộ cổ điển
Cho A và B là hai tập hợp trên vũ trụ X. Hợp giữa hai tập hợp, ký hiệu A ∪ B, đại diện cho
tất cả các phần tử trong vũ trụ cư trú trong (hoặc thuộc về) tập hợp A, tập hợp B hoặc cả hai
tập hợp A và B. (Hoạt động này còn được gọi là logic hoặc ; một dạng khác của phép hợp là
loại trừ hoặc phép toán Loại trừ hoặc sẽ được mô tả trong Chương 5.) Giao của hai tập hợp,
ký hiệu là A ∩ B, đại diện cho tất cả các phần tử trong vũ trụ X đồng thời nằm trong (hoặc
thuộc về) cả hai tập hợp A và B. bổ sung của một
tập hợp A, ký hiệu A, được định nghĩa là tập hợp tất cả các phần tử trong vũ trụ không nằm
trong tập hợp A. Hiệu của tập hợp A đối với B, ký hiệu A | B, được định nghĩa là tập hợp tất

6. BỘ CỔ ĐIỂN 6
cả các phần tử trong vũ trụ cư trú tại A và không cư trú tại B đồng thời. Các hoạt động này
được hiển thị dưới đây trong thuật ngữ lý thuyết tập hợp.
Liên minh A ∪ B = { x | x ∈ A hoặc x ∈ B } (2.1)
Giao điểm A A và x ∈ B } (2.2)
Bổ sung A (2.3)
Chênh lệch A | B = { x | x ∈ A và (2.4)
Bốn hoạt động này được thể hiện dưới dạng biểu đồ Venn trong Hình. 2.2–2.5.
HÌNH 2.2
Hợp của tập hợp A và B (logic hoặc).
HÌNH 2.3
Giao của hai tập hợp A và B.
Một
HÌNH 2.4
Phần bù của tập hợp A.
A
B
A
B

7. BỘ CỔ ĐIỂN 7
HÌNH 2.5
Phép toán chênh lệch A | b.
Thuộc tính của Bộ Cổ điển (Crisp)
Một số tính chất của tập hợp rất quan trọng vì ảnh hưởng của chúng đối với thao tác toán học
của tập hợp. Các thuộc tính thích hợp nhất để xác định các tập cổ điển và chỉ ra sự giống nhau
của chúng với các tập mờ như sau:
Tính giao hoán A ∪ B = B ∪ Một
A ∩ B = B ∩ A (2.5)
A
B

8. BỘ CỔ ĐIỂN 8
Quy nạp A = A (2.11)
Khu vực gạch chéo kép trong Hình 2.6 là một ví dụ về sơ đồ Venn của thuộc tính asso
- ciativity cho giao lộ, và các khu vực gạch chéo kép trong Hình. 2.7 và 2.8
( a ) ( b )
HÌNH 2.6
Sơ đồ Venn cho (a) (A ∩ B) ∩ C và (b) A ∩ (B ∩ C).
( a ) ( b )
HÌNH 2.7
Sơ đồ Venn cho (a) (A ∪ B) ∩ C và (b) (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
= AC = BC
tính liên kết Một ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (2.6)
phân phối Một ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (2.7)
bình thường Một ∪ một = một
A ∩ A = A (2.8)
Xác thực Một ∪ ∅ = A
Một ∩ X = A
Một
∩ ∅ =
∅ Một ∪ X =
X
(2.9)
chuyển tiếp Nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C (2.10)
A B
C
B
C
A
A B
C
B
C
A

9. BỘ CỔ ĐIỂN 9
( a ) ( b )
HÌNH 2.8
Sơ đồ Venn cho (a) (A ∩ B) ∪ C và (b) (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
là các ví dụ biểu đồ Venn của thuộc tính phân phối cho các kết hợp khác nhau của thuộc tính
giao và thuộc tính hợp.
Hai tính chất đặc biệt của phép toán tập hợp được gọi là tiên đề giữa bị loại trừ và
nguyên lý De Morgan . Các thuộc tính này được liệt kê ở đây cho hai tập hợp A và B. Các
tiên đề ở giữa bị loại trừ là rất quan trọng vì đây là các phép toán tập hợp duy nhất được mô
tả ở đây không hợp lệ cho cả tập hợp cổ điển và tập hợp mờ. Có hai tiên đề ở giữa bị loại trừ
(được cho trong phương trình (2.12)). Đầu tiên, được gọi là tiên đề của khoảng giữa bị loại
trừ, đề cập đến sự hợp nhất của một tập hợp A và phần bù của nó; tiên đề thứ hai, được gọi là
tiên đề mâu thuẫn , biểu diễn giao của tập hợp A và phần bù của nó.
Tiên đề của trung gian loại trừ A X (2.12a)
Tiên đề của mâu thuẫn
A
∩
A
= ∅ (2.12b)
Các nguyên tắc của De Morgan rất quan trọng vì tính hữu ích của chúng trong việc
chứng minh các phép lặp và mâu thuẫn trong logic, cũng như trong một loạt các phép toán và
chứng minh tập hợp khác. Các nguyên tắc của De Morgan được hiển thị trong các khu vực
bóng mờ của biểu đồ Venn trong Hình. 2.9 và 2.10 và được mô tả bằng toán học trong biểu
thức. (2.13).
AB (2.13 a )
Một ∪ B = A ∩ B (2,13 b )
Nói chung, các nguyên tắc của De Morgan có thể được phát biểu cho n tập hợp, như
được cung cấp ở đây cho các sự kiện, E i :
A B
C
B A

10. BỘ CỔ ĐIỂN 10
Đ
(2.14 a )
E
E n (2.14 b )
Từ các phương trình chung, phương trình. (2.14), đối với các nguyên lý của De Morgan, chúng
ta có một mối quan hệ đối ngẫu: phần bù của một phép hợp hoặc một phép giao tương ứng
bằng với phép giao hoặc phép hợp của các phần bù tương ứng. Kết quả này là rất mạnh mẽ
trong việc đối phó với
HÌNH 2.9
Nguyên lý De Morgan .
HÌNH 2.10
Nguyên lý De Morgan .
HÌNH 2.11 Một vòm
hai thành viên.
A
B
A
B
Load
Arch members
1 E2 En E1 E2 E
1 E2 En E1 E2

11. BỘ CỔ ĐIỂN 11
cấu trúc tập hợp vì chúng ta thường có thông tin về phần bù của một tập hợp (hoặc sự kiện)
hoặc phần bù của sự kết hợp của các tập hợp (hoặc sự kiện), hơn là thông tin về chính các
tập hợp đó.
Ví dụ 2.2. Một vòm nông bao gồm hai cấu kiện mảnh như trong Hình 2.11. Nếu một trong hai
thành viên không thành công, thì vòm sẽ sụp đổ. Nếu E 1 = sự tồn tại của thành viên 1 và E 2 = sự
tồn tại của thành viên 2, thì sự tồn tại của cung = E 1 ∩ E 2 , và ngược lại, sự sụp đổ của cung
. Về mặt logic, sự sụp đổ của cung sẽ xảy ra nếu một trong hai phần tử bị hỏng, tức là
khi E 1 ∪ E 2 . Vì vậy,
e
đó là một minh họa cho nguyên tắc của De Morgan.
HÌNH 2.12
Hệ thống ống thủy lực.
Như phương trình. (2.14) gợi ý, các nguyên lý của De Morgan rất hữu ích cho các biến
cố phức hợp, như được minh họa trong ví dụ sau.
Ví dụ 2.3. Vì mục đích an toàn, nguồn cung cấp chất lỏng cho bơm thủy lực C trên máy bay đến
từ hai đường nguồn dự phòng, A và B. Chất lỏng được vận chuyển bằng các ống áp suất cao bao
gồm các nhánh 1, 2 và 3, như thể hiện trong Hình .2.12. Thông số kỹ thuật vận hành của máy
bơm chỉ ra rằng một trong hai đường nguồn có khả năng cung cấp áp suất chất lỏng cần thiết cho
máy bơm. Biểu thị E 1 = hỏng nhánh 1, E 2 = hỏng nhánh 2 và E 3 = hỏng nhánh 3. Khi đó, không
đủ áp suất để vận hành máy bơm là do
(E 1 ∩ E 2 ) ∪ E 3 , và đủ áp lực sẽ là phần bổ sung cho sự kiện này. Sử dụng De
Morgan, ta có thể tính được điều kiện đủ áp suất để
trong đó có nghĩa là có áp suất tại điểm nối và E 3 có nghĩa là không có sự cố ở
nhánh 3.
Ánh xạ của các tập hợp cổ điển tới các hàm
Ánh xạ là một khái niệm quan trọng trong việc liên hệ các dạng lý thuyết tập hợp với các biểu
diễn thông tin theo lý thuyết chức năng. Ở dạng tổng quát nhất, nó có thể được sử dụng để
1 E2 E1 E2
Source line A
Source line B
Pump
1
2
3
Junction
C

12. BỘ CỔ ĐIỂN 12
ánh xạ các phần tử hoặc tập hợp con trên một vũ trụ diễn ngôn tới các phần tử hoặc tập hợp
trong một vũ trụ khác. Giả sử X và Y là hai vũ trụ diễn ngôn (thông tin) khác nhau. Nếu một
phần tử x chứa trong X và tương ứng với một phần tử y chứa trong Y, nó thường được gọi là
ánh xạ từ X đến Y, hoặc f : X → Y. Là một ánh xạ, hàm đặc trưng (chỉ số) χ A được xác định
qua
Một
(2,15)
Một
0, x / ∈ Một
trong đó χ A thể hiện ''tư cách thành viên'' trong tập hợp A của phần tử x trong vũ trụ. Ý tưởng
về tư cách thành viên này là một ánh xạ từ một phần tử x trong vũ trụ X tới một trong hai
phần tử trong vũ trụ Y, tức là tới các phần tử 0 hoặc 1, như trong Hình 2.13.
Đối với bất kỳ tập hợp A nào được xác định trên vũ trụ X, tồn tại một tập hợp lý thuyết
hàm, được gọi là tập giá trị, ký hiệu là V(A), dưới ánh xạ của hàm đặc trưng, χ. Theo quy ước,
tập rỗng ∅ được gán giá trị thuộc 0 và toàn bộ tập X được gán giá trị thuộc 1.
HÌNH 2.13
Hàm thành viên là một ánh xạ cho tập rõ A.
Ví dụ 2.4. Tiếp tục với ví dụ (Ví dụ 2.1) về một vũ trụ có ba phần tử, chỉ gồm hai phần tử (hàm
đặc trưng),X = { a,b,c } , ta mong muốn ánh xạ các phần tử của tập lũy thừa của X, tức là , P(X),
đến một vũ trụ, Y,
Y = { 0,1 }
Như trước đây, các phần tử của tập hợp sức mạnh được liệt kê.
P(X) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a,b } , { b,c } , { a,c } , { a,b,c }}
Do đó, các phần tử trong tập giá trị V(A) được xác định từ ánh xạ là
V { P(X) } = {{ 0,0,0 } , { 1,0,0 } , { 0,1,0 } , { 0,0,1 } , { 1,1,0 } , { 0,1,1 } , { 1,0,1 } , { 1,1,1 }}
Ví dụ, tập con thứ ba trong tập lũy thừa P(X) là phần tử b. Đối với tập hợp con này không có a,
vì vậy giá trị 0 nằm ở vị trí đầu tiên của bộ ba dữ liệu; có ab, vì vậy giá trị 1 nằm ở vị trí thứ hai
1
χ
x
A
0

13. BỘ CỔ ĐIỂN 13
của bộ ba dữ liệu; và không có c, vì vậy giá trị 0 nằm ở vị trí thứ ba được nhìn thấy. Bộ giá trị có
đồ họa tương tự được mô tả trong Chương 1 trong phần ''Bộ của bộ ba dữ liệu. Do đó, tập hợp
con thứ ba của tập hợp giá trị là bộ ba dữ liệu, { 0,1,0 } , giống như Điểm trong Hypercubes.''
Bây giờ, hãy xác định hai tập hợp A và B trên vũ trụ X. Hợp của hai tập hợp này dưới
dạng các thuật ngữ lý thuyết hàm số được cho như sau (ký hiệu ∨ là toán tử cực đại và ∧ là
toán tử tối thiểu):
Liên minh A ∪ B −→ χ A ∪ B (x) = χ A (x) ∨ χ B (x) = max(χ A (x),χ B (x))
Giao của hai tập hợp này theo thuật ngữ lý thuyết hàm được cho bởi
(2.16)
Giao điểm A ∩ B −→ χ A ∩ B (x) = χ A (x) ∧ χ B (x) = min(χ A (x),χ B (x)) (2.17)
Phần bù của một tập hợp duy nhất trên vũ trụ X, giả sử A, được cho bởi
Bổ sung A
Đối với hai tập hợp trên cùng một vũ trụ, giả sử A và B, nếu một tập hợp (A) được chứa trong
một tập hợp khác (B), thì
Ngăn chặn A ⊆ B −→ χ A (x) ≤ χ B (x) (2.19)
Các toán tử lý thuyết hàm cho hợp và giao (không tính cực đại và cực tiểu tương ứng)
được thảo luận trong tài liệu [Gupta và Qi, 1991].
TẬP MỜ
Trong cổ điển, hoặc rõ ràng, thiết lập quá trình chuyển đổi cho một phần tử trong vũ trụ giữa
tư cách thành viên và không phải là thành viên trong một tập hợp nhất định là đột ngột và
được xác định rõ ràng (được cho là '' rõ ràng ''). Đối với một phần tử trong vũ trụ chứa các tập
mờ, quá trình chuyển đổi này có thể diễn ra dần dần. Sự chuyển đổi này giữa các mức độ
thành viên khác nhau có thể được coi là phù hợp với thực tế là ranh giới của các tập mờ là mơ
hồ và mơ hồ. Do đó, tư cách thành viên của một phần tử từ vũ trụ trong tập hợp này được đo
bằng một hàm cố gắng mô tả sự mơ hồ và không rõ ràng.
Một mờ đặt, sau đó, là một tập hợp chứa các phần tử có mức độ thành viên khác nhau
trong bộ. Ý tưởng này trái ngược với các tập hợp cổ điển hoặc rõ ràng vì các thành viên của
một tập hợp rõ ràng sẽ không phải là thành viên trừ khi tư cách thành viên của họ là đầy đủ
hoặc đầy đủ trong tập hợp đó (nghĩa là tư cách thành viên của họ được gán giá trị là 1). Các
phần tử trong một tập mờ, vì thuộc tính của chúng không nhất thiết phải đầy đủ, nên cũng có
thể là phần tử của các tập mờ khác trong cùng một vũ trụ.
Các phần tử của tập mờ được ánh xạ tới một tập hợp các giá trị thành viên sử dụng dạng
lý thuyết hàm. Như đã đề cập trong Chương 1 (Eq. (1.2)), các tập mờ được biểu thị trong văn
bản này bằng một ký hiệu tập hợp với dấu gạch dưới; vì vậy, chẳng hạn, A sẽ là tập mờ A . ∼
Hàm này ánh xạ các phần tử của tập mờ A thành một giá trị thực được đánh số trên khoảng
từ 0 đến 1. ∼

14. BỘ CỔ ĐIỂN 14
Nếu một phần tử trong vũ trụ, giả sử x, là một phần tử của tập mờ A, thì ánh xạ này được cho
bởi biểu thức. (1.2), hay µ A (x) ∈ [0,1]. Ánh xạ này được chỉ ra trong Hình 2.14 cho một tập
mờ điển hình. ∼
∼
Một quy ước ký hiệu cho các tập mờ khi vũ trụ của diễn ngôn, X, là rời rạc
và hữu hạn, như sau đối với tập mờ A:
∼
(2.20)
Khi vũ trụ, X, liên tục và vô hạn, tập mờ A được ký hiệu là
∼
(2.21)
Trong cả hai ký hiệu, thanh ngang không phải là thương số mà là dấu phân cách. Tử số
trong mỗi số hạng là giá trị thuộc của tập hợp A gắn với phần tử của vũ trụ ∼
HÌNH 2.14
Chức năng thành viên cho tập mờ A.
1
µ
x
A
~
0

15. BỘ Mờ 15
chỉ ra ở mẫu số. Trong ký hiệu thứ nhất, ký hiệu tổng không phải để biểu thị tổng đại số mà
là biểu thị tập hợp hoặc tập hợp của từng phần tử; do đó các dấu '' + '' trong ký hiệu đầu tiên
không phải là ''thêm'' đại số mà là một toán tử tập hợp hoặc tập hợp. Trong ký hiệu thứ hai,
dấu tích phân không phải là tích phân đại số mà là toán tử tập hợp lý thuyết hàm liên tục cho
các biến liên tục. Cả hai ký hiệu đều do Zadeh [1965].
Phép toán tập mờ
Định nghĩa ba tập mờ A, B và C trên vũ trụ X. Với một phần tử x cho trước của vũ trụ, lý
thuyết hàm sau các phép toán cho các phép toán lý thuyết tập hợp của phép hợp, phép giao
và phép bù được xác định cho A, B và C trên X:
∼ ∼ ∼
Hợp µ A ∪ B ∼ (x) = µ A ∼ (x) ∨ µ B ∼ (x) (2.22)
∼
Giao điểm µ A ∩ B ∼ (x) = µ A ∼ (x) ∧ µ B ∼ (x) (2.23)
∼
bù µ A (x) = 1 − µ A (x) (2.24)
∼ ∼
Sơ đồ Venn cho các phép toán này, được mở rộng để xem xét các tập mờ, được thể hiện trong
Hình. 2.15–2.17. Các hoạt động được đưa ra trong các phương trình. (2.22)–(2.24) được gọi
là các phép toán mờ chuẩn . Có nhiều phép toán mờ khác, và một cuộc thảo luận về chúng sẽ
được đưa ra sau trong chương này.
Mọi tập mờ A xác định trên vũ trụ X đều là tập con của vũ trụ đó. Cũng theo định nghĩa,
giống như với các tập hợp cổ điển, giá trị thành viên của bất kỳ phần tử nào ∼ x trong tập hợp
rỗng ∅ là 0,
HÌNH 2.15
Hợp của các tập mờ A và B.
∼ ∼
1
x
A
~
B
~
µ
0

16. BỘ Mờ 16
HÌNH 2.16
Giao của hai tập mờ A và B.
∼ ∼
HÌNH 2.17
Phần bù của tập mờ A.
và giá trị thành viên của bất kỳ phần tử x nào trong toàn bộ X là 1. Lưu ý rằng tập rỗng và
toàn bộ không phải là tập mờ trong ngữ cảnh này (không có dấu ngã gạch dưới). Ký hiệu
thích hợp cho những ý tưởng này như sau:
Một
⊆ X ⇒ µ A (x) ≤ µ X (x)
∼ ∼
(2,25
một )
Với mọi x ∈ X, µ ∅ (x) = 0 (2,25
b )
Với mọi x ∈ X, µX ( x ) = 1 (2,25
c )
Tập hợp tất cả các tập mờ và tập con mờ trên X được ký hiệu là tập lũy thừa mờ P(X).
Rõ ràng, dựa trên thực tế là tất cả các tập hợp mờ có thể trùng nhau, rằng lực lượng, ∼ n P(X) ,
của tập mờ là vô hạn; nghĩa là n P(X) = ∞ .
Các nguyên lý của De Morgan cho các tập hợp cổ điển cũng đúng cho các tập hợp mờ,
như được biểu thị bằng các biểu thức sau:
A ∩ B = A ∪ B (2,26 a ) ∼ ∼ ∼ ∼
Một ∪ B = A ∩ B (2,26 b ) ∼ ∼ ∼ ∼
Như đã liệt kê trước đây, tất cả các phép toán khác trên các tập cổ điển cũng đúng cho
các tập mờ, ngoại trừ các tiên đề ở giữa bị loại trừ. Hai tiên đề này không đúng cho tập mờ vì
chúng không tạo thành một phần của cấu trúc tiên đề cơ bản của tập mờ (xem Phụ lục A); vì
các tập mờ có thể chồng lên nhau nên một tập hợp và phần bù của nó cũng có thể chồng lên
nhau. Các tiên đề ở giữa bị loại trừ, mở rộng cho tập mờ, được thể hiện bởi
1
µ
x
A
~
B
~
0
1
x
A
~
A
~
0
µ

17. BỘ Mờ 17
(2.27 a )
(2.27 b )
Biểu đồ Venn mở rộng so sánh các tiên đề ở giữa bị loại trừ đối với tập cổ điển (sắc nét) và
tập mờ được thể hiện trong Hình. lần lượt là 2,18 và 2,19.
Tính chất của tập hợp mờ
Các tập mờ tuân theo các thuộc tính giống như các tập rõ. Vì thực tế này và vì các giá trị
thành viên của một tập rõ nét là một tập con của khoảng [0,1], nên các tập cổ điển có thể là
HÌNH 2.18
Đã loại trừ các tiên đề ở giữa cho các tập rõ nét. (a) Tập sắc nét A và phần bù của
nó; (b) AX sắc nét
(tiên đề loại trừ giữa); ( c ) giòn A ∩ A = ∅ (tiên đề mâu thuẫn).
0 x
( c )
1
χ
x
A A
(a)
1
χ
x
0
(b)
0
1
χ
x
0
(c)
1
µ
x
A
~
A
~
(a)
1
µ
x
(b)
0
0
1
µ

18. BỘ Mờ 18
HÌNH 2.19
Đã loại trừ tiên đề giữa cho tập mờ. ( và phần bù của nó; (b) mờ A =
X
(tiên đề loại trừ giữa); ( c ) mờ A ∩ A = ∅ (tiên đề mâu thuẫn).
coi là trường hợp đặc biệt của tập mờ. Các thuộc tính thường dùng của tập mờ được liệt kê
dưới đây.
tính giao hoán
(2.28)
tính liên kết
(2.29)
phân phối
(2.30)
bình thường Một ∪ Một ∼ = Một ∼ và A ∼ ∩ Một ∼ = Một ∼
∼
(2.31)
Xác thực Một ∪ ∅ = A ∼ và A ∼ ∩ X = A ∼
∼
A ∩ ∅ = ∅ và A ∼ ∪ X
= X ∼
(2.32)
chuyển tiếp Nếu A ⊆ B ∼ và B ∼ ⊆ C ∼ , thì A ∼
⊆ C ∼ ∼
(2.33)
Tiến hóa (2.34)
Ví dụ 2.5. Xét một trục rỗng đơn giản có bán kính xấp xỉ 1 m và độ dày thành 1/(2π) m. Trục
được chế tạo bằng cách xếp một tiết diện dẻo, D, có tiết diện thích hợp lên trên tiết diện giòn, B,
như trong Hình 2.20. Một lực hướng xuống P và một mômen quay T được tác dụng đồng thời lên
trục. Do kích thước được chọn, ứng suất cắt danh nghĩa trên bất kỳ phần tử nào trong trục là T
(pascal) và thành phần thẳng đứng danh nghĩa của ứng suất trong trục là P (pascal). Chúng tôi
cũng giả định rằng các thuộc tính lỗi của cả B và D đều không được biết một cách chắc chắn.
Chúng ta định nghĩa tập mờ A là vùng trong không gian (P,T ) mà vật liệu D là ''an toàn''
bằng cách sử dụng hàm sai số ∼ µ A = f([P 2
+ 4T 2
] 1/2
). Tương tự, chúng ta định nghĩa tập hợp B
là vùng trong không gian (P,T ) mà vật liệu B là ''an toàn'', sử dụng làm thước đo là độ hỏng ∼
hàm µ B = g(P − β | T | ), trong đó β là tham số vật liệu giả định. Tất nhiên, các hàm f và g sẽ là
các hàm liên thuộc trên khoảng [0, 1]. Đặc điểm kỹ thuật chính xác của họ không quan trọng vào
thời điểm này. Tuy nhiên, điều hữu ích trước khi xác định f và g là thảo luận về các phép toán tập
cơ bản trong ngữ cảnh của bài toán này. Cuộc thảo luận này được tóm tắt dưới đây:
1. Một ∪ B là tập hợp các tải trọng mà người ta kỳ vọng rằng vật liệu B hoặc vật liệu D sẽ ''an
toàn'' ∼ ∼
2. A ∩ B là tập hợp các tải trọng mà người ta kỳ vọng rằng cả vật liệu B và vật liệu D đều

19. BỘ Mờ 19
''an toàn.'' ∼ ∼
3. là các tập hợp tải trọng mà vật liệu D và vật liệu B không an toàn tương ứng.
P
t
Bán kính R = 1m
1
Độ dày của tường = m
2 π
( a ) ( b )
HÌNH 2.20
(a) Chế độ xem dọc trục và (b) chế độ xem mặt cắt ngang của trục rỗng ví dụ.
4. Một | B là tập hợp các tải trọng mà vật liệu dẻo an toàn nhưng vật liệu giòn nằm trong
∼ ∼
nguy cơ.
5. B | A là tập hợp các tải trọng mà vật liệu giòn được an toàn nhưng vật liệu dẻo gặp nguy hiểm.
∼ ∼
6. Nguyên tắc của De Morgan khẳng định rằng tải trọng không an toàn đối với
cả hai vật liệu là sự kết hợp của tải trọng không an toàn đối với vật liệu giòn và tải trọng không
an toàn đối với vật liệu dẻo.
7. Nguyên tắc của De Morgan khẳng định rằng tải trọng không an toàn cho cả
vật liệu D và vật liệu B là giao điểm của tải trọng không an toàn cho vật liệu D với tải trọng
không an toàn cho vật liệu B.
Để minh họa những ý tưởng này bằng số, giả sử chúng ta có hai tập mờ rời rạc, cụ thể là,
và B
Bây giờ chúng ta có thể tính toán một số thao tác vừa được thảo luận (tư cách thành viên của phần
tử 1 trong cả A và B hoàn toàn bằng 0):
∼ ∼
D
B

20. BỘ Mờ 20
Bổ sung
liên hiệp
Ngã tư
Sự khác biệt
Nguyên tắc De
Morgans
Ví dụ 2.6. Tiếp tục từ trường hợp kỹ thuật hóa học được mô tả trong Vấn đề 1.13 của Chương 1,
giả sử việc lựa chọn một máy phân tích thích hợp để giám sát nồng độ khí chua ''khí bán hàng'' là
rất quan trọng. Quá trình lựa chọn này có thể phức tạp bởi thực tế là một loại máy phân tích,
chẳng hạn như A, không cung cấp dải áp suất trung bình phù hợp nhưng nó lại đưa ra giá trị giới
hạn của thời gian chết của thiết bị; ngược lại, một máy phân tích khác, chẳng hạn như B, có thể
cho giá trị tốt về thời gian chết của quá trình nhưng phạm vi áp suất kém. Giả sử đối với vấn đề
này, chúng tôi xem xét ba máy phân tích: A, B và C. Hãy để
đại diện cho tập mờ thể hiện mức độ phù hợp của dải áp suất của máy phân tích A, B và C (tỷ lệ
thành viên 0 là không phù hợp, giá trị 1 là tuyệt vời). Cũng để cho
OT
đại diện cho tập mờ thể hiện sự phù hợp về thời gian chết của thiết bị của máy phân tích A, B và
C (một lần nữa, 0 là không phù hợp và 1 là tuyệt vời).
P và OT sẽ hiển thị các máy phân tích không phù hợp với dải áp suất và thiết bị
∼ ∼
thời gian chết lần lượt là:
,
vì thế
P ∪ OT sẽ chỉ ra máy phân tích nào phù hợp nhất trong cả hai loại:
∼ ∼

21. BỘ Mờ 21
P ∩ OT sẽ hiển thị máy phân tích nào phù hợp trong cả hai loại:
∼ ∼
Ví dụ 2.7. Một trong những hoạt động sản xuất quan trọng liên quan đến việc chế tạo thùng nhiên
liệu bên ngoài cho Tàu con thoi liên quan đến quy trình cách nhiệt bằng bọt phun (SOFI), kết hợp
hai hóa chất thành phần quan trọng trong súng phun dưới áp suất cao và nhiệt độ cũng như tốc
độ dòng chảy chính xác. Việc kiểm soát các tham số này để đạt gần giá trị điểm đặt là rất quan
trọng để đáp ứng một số yêu cầu thông số kỹ thuật quan trọng. Các yêu cầu đặc điểm kỹ thuật
bao gồm các đặc tính khí động học, cơ học, hóa học và nhiệt động lực học.
Các kỹ thuật mô tả đặc tính mờ có thể được sử dụng để tăng cường các thí nghiệm sàng
lọc ban đầu; ví dụ, để xác định các giá trị tới hạn của cả lưu lượng và nhiệt độ. Các cấp độ thực
chỉ có thể được ước tính trong thế giới thực. Nếu chúng tôi nhắm mục tiêu tốc độ dòng chảy thấp
là 48 lb/phút, thì tốc độ đó có thể là 38 đến 58 lb/phút. Ngoài ra, nếu chúng ta đặt mục tiêu nhiệt
độ cao là 135 ◦ F, thì có thể là 133 đến 137 ◦ F.
Sự thiếu chính xác của thiết lập thử nghiệm ảnh hưởng như thế nào đến tính biến thiên của
các kết quả cuối cùng của quá trình chính có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng các phương
pháp tập mờ, ví dụ: lưu lượng cao với nhiệt độ cao, lưu lượng thấp với nhiệt độ thấp, v.v. Các ví
dụ được thể hiện trong Hình 2.21, đối với lưu lượng thấp suất và nhiệt độ cao.
Giả sử chúng ta có một tập mờ cho dòng chảy, được chuẩn hóa trên một tập hợp các số
nguyên [1, 2, 3, 4, 5] và một tập mờ cho nhiệt độ, được chuẩn hóa trên một tập hợp các số nguyên
[1, 2, 3, 4], như sau:
và D
Hơn nữa, giả sử rằng chúng ta quan tâm đến việc dòng chảy và nhiệt độ có liên quan như thế nào
theo nghĩa từng cặp; chúng ta có thể lấy giao điểm của hai tập hợp này. Một hình ảnh ba chiều
nên được xây dựng khi chúng ta lấy hợp hoặc giao của các tập hợp từ hai vũ trụ khác nhau. Ví
dụ, giao điểm của F và D được cho trong Hình 2.22. Ý tưởng kết hợp các hàm thành viên từ hai
vũ trụ khác nhau ở dạng trực giao, như được chỉ ra trong Hình 2.22, là ∼ ∼ kết hợp với cái được
gọi là tập mờ không tương tác , và điều này sẽ được mô tả dưới đây.
( a ) ( b )
HÌNH 2.21
1
µ
Flow rate (lb/min)
Low flow rate
38 48 58
1
µ
Temperature (°F)
High temperature
133 135 137

22. BỘ Mờ 22
Chức năng thành viên cách nhiệt bọt cho (a) tốc độ dòng chảy thấp và (b) nhiệt độ cao.
HÌNH 2.22
Ảnh ba chiều của giao của hai tập mờ, nghĩa là F ∩ D.
∼ ∼
Tập mờ không tương tác
Ở phần sau của nội dung này, trong Chương 8 về mô phỏng, chúng ta sẽ đề cập đến các tập
mờ không tương tác. Các tập không tương tác trong lý thuyết tập mờ có thể được coi là tương
tự như các sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất. Chúng luôn phát sinh trong ngữ cảnh của
các quan hệ hoặc trong các ánh xạ n chiều [Zadeh, 1975; Bandemer và Nather, 1992]. Một
tập mờ¨ không tương tác có thể được định nghĩa như sau. Giả sử chúng ta định nghĩa một tập
mờ A trên Cartesian ∼
không gian X = X 1 × X 2 . Tập A có thể tách thành hai
tập mờ không tương tác, được gọi
là
phép chiếu trực giao, nếu và chỉ nếu ∼
A
= Pr X 1 (A) × Pr X 2 (A) (2,35 a )
∼ ∼ ∼
ở đâu
µ Pr X (2,35 b ) µ Pr X
(2,35 c )
là các hàm liên thuộc của các hình chiếu của A trên các vũ trụ X 1 và X 2 , tương ứng ∼
tích cực. Do đó, nếu phương trình. (2.35a) đúng với tập mờ, các hàm thuộc µ Pr X 1 ( A) (x 1 )
∼
x 1 x 1
( a ) ( b )
HÌNH 2.23
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
f
d
1
( f, d)
µ

23. BỘ Mờ 23
Tập mờ: (a) tương tác và (b) không tương tác. và µ Pr X 2 ( A) (x 2 ) mô tả các tập mờ không tương
tác, nghĩa là các phép chiếu không tương tác
∼
tập mờ.
Tính tách biệt hoặc không tương tác của tập mờ A mô tả một dạng độc lập của các thành
phần (x 1 và x 2 ): A có thể được tái tạo duy nhất bởi ∼ hình chiếu của nó; các thành phần của
tập mờ A có thể thay đổi mà không xét đến các thành phần khác. Ví dụ, ∼ tập mờ phẳng hai
chiều như trong Hình 2.22 bao gồm mờ không tương tác ∼ bộ (F và D), bởi vì nó được xây
dựng bởi tích Descartes (giao điểm trong này
∼ ∼
trường hợp) của hai tập mờ F và D, trong khi một tập mờ hai chiều bao gồm các mặt cong sẽ
không thể tách rời, nghĩa là các thành phần của nó sẽ là ∼ ∼ tương tác . Các thành phần tương
tác được đặc trưng bởi thực tế là sự thay đổi của một thành phần phụ thuộc vào giá trị của các
thành phần khác. Xem hình 2.23.
Các phép toán tập mờ thay thế
Các phép toán trên các tập mờ được liệt kê dưới dạng các phương trình. (2.22–2.24) được gọi
là các phép toán mờ tiêu chuẩn . Các phép toán này giống như các phép toán đối với các tập
hợp cổ điển, khi phạm vi giá trị thành viên bị giới hạn trong khoảng đơn vị. Tuy nhiên, các
phép toán mờ tiêu chuẩn này không phải là phép toán duy nhất có thể áp dụng cho các tập
mờ. Đối với mỗi một trong ba phép toán tiêu chuẩn, tồn tại một lớp rộng các hàm mà các
phần tử của chúng có thể được coi là các tổng quát hóa mờ của các phép toán tiêu chuẩn. Các
hàm đủ điều kiện là giao mờ và hợp mờ thường được gọi trong tài liệu là t-norms và t-conorms
(hoặc s-norms ), tương ứng [ví dụ, Klir và Yuan, 1995; Klement và cộng sự, 2000]. Các chuẩn
t và t-conorm này được đặt tên như vậy bởi vì ban đầu chúng được giới thiệu lần lượt là chuẩn
tam giác và chuẩn tam giác bởi Menger [1942] trong nghiên cứu của ông về không gian
metric thống kê.
Các hoạt động mờ tiêu chuẩn có ý nghĩa đặc biệt khi so sánh với tất cả các tiêu chuẩn t
và t-conorm khác . Giao mờ tiêu chuẩn, toán tử min, khi được áp dụng cho một tập mờ sẽ tạo
µ
1
x2 µ
1
A1
×A2
x2

24. BỘ Mờ 24
ra giá trị thành viên lớn nhất trong tất cả các chuẩn t, và phép hợp mờ tiêu chuẩn, toán tử max,
khi được áp dụng cho một tập mờ sẽ tạo ra giá trị thành viên nhỏ nhất trong tất cả các t -quy
tắc. Các tính năng này của giao điểm mờ tiêu chuẩn và hợp nhất là

25. 25
NGƯỜI GIỚI THIỆU
có ý nghĩa bởi vì cả hai đều ngăn ngừa lỗi gộp trong toán hạng [Klir và Yuan, 1995]. Hầu hết
các tiêu chuẩn thay thế thiếu ý nghĩa này.
Các phép toán tập hợp trên các tập mờ là các phép toán trong đó một số tập mờ được
kết hợp theo cách mong muốn để tạo ra một tập mờ duy nhất. Ví dụ: giả sử hiệu suất của máy
tính trong ba lần thử nghiệm được mô tả là xuất sắc, rất tốt và danh nghĩa, và mỗi nhãn ngôn
ngữ này được biểu diễn bằng một tập mờ trên vũ trụ [0, 100]. Sau đó, một phép toán tổng hợp
hữu ích sẽ tạo ra một biểu thức có ý nghĩa, dưới dạng một tập mờ duy nhất, về hiệu suất tổng
thể của máy tính. Các giao và hợp mờ tiêu chuẩn đủ điều kiện là các phép toán tổng hợp trên
các tập mờ và mặc dù chúng chỉ được xác định cho hai đối số, nhưng thực tế là chúng có
thuộc tính kết hợp cung cấp một cơ chế để mở rộng định nghĩa của chúng thành ba hoặc nhiều
đối số. Các hoạt động tổng hợp phổ biến khác, chẳng hạn như hoạt động tính trung bình và
hoạt động tính trung bình có trọng số theo thứ tự , có thể được tìm thấy trong tài liệu [xem
Klir và Yuan, 1995]. Các hoạt động lấy trung bình có phạm vi riêng của chúng xảy ra để lấp
đầy khoảng cách giữa giao điểm lớn nhất (toán tử tối thiểu) và liên kết nhỏ nhất (toán tử tối
đa). Các phép tính trung bình trên các tập mờ này không có đối trọng trong lý thuyết tập hợp
cổ điển và do đó, việc mở rộng các tập mờ thành logic mờ cho phép cái sau biểu cảm hơn
nhiều trong các phạm trù tự nhiên được tiết lộ bởi dữ liệu thực nghiệm hoặc do trực giác yêu
cầu [Belohlavek et al ., 2002].
TÓM LƯỢC
Trong chương này, chúng ta đã phát triển các định nghĩa cơ bản, tính chất và phép toán trên
tập rõ và tập mờ. Người ta đã chỉ ra rằng các tiên đề cơ bản duy nhất không chung cho cả tập
rõ và tập mờ là hai tiên đề ở giữa bị loại trừ; tuy nhiên, những tiên đề này không phải là một
phần của cấu trúc tiên đề của lý thuyết tập mờ (xem Phụ lục A). Tất cả các thao tác khác được
nêu chi tiết ở đây là chung cho cả tập rõ và tập mờ; tuy nhiên, các phép toán khác như tập
hợp và toán tử trung bình được phép trong các tập mờ không có bản sao nào trong lý thuyết
tập hợp cổ điển. Đối với nhiều tình huống trong lập luận, các tiên đề ở giữa bị loại trừ đưa ra
những hạn chế đối với lập luận (xem Chương 5 và 15). Ngoài sự khác biệt về tư cách thành
viên của tập hợp là một ý tưởng có giá trị vô hạn trái ngược với đại lượng có giá trị nhị phân,
các tập mờ được xử lý và xử lý ở dạng toán học giống như các tập rõ nét. Nguyên tắc không
tương tác giữa các tập hợp đã được giới thiệu và tương tự như giả định về tính độc lập trong
mô hình xác suất. Các tập mờ không tương tác sẽ trở thành một ý tưởng cần thiết trong mô
phỏng hệ mờ khi các đầu vào từ nhiều vũ trụ khác nhau được tổng hợp theo nghĩa tập thể để
truyền một đầu ra; Chương 5 và 8 sẽ thảo luận chi tiết hơn về quá trình lan truyền này. Cuối
cùng, người ta chỉ ra rằng có nhiều phép toán khác, được gọi là các chuẩn mực , có thể được
sử dụng để mở rộng các giao, hợp và phần bù mờ, nhưng những mở rộng như vậy nằm ngoài
phạm vi của văn bản này.
NGƯỜI GIỚI THIỆU
Bandemer, H. và Nather, W. (1992).¨ Phân tích dữ liệu mờ , Kluwer Academic, Dordrecht.
Belohlavek, R., Klir, G., Lewis, H., và Way, E. (2002). ''Về khả năng biểu diễn các khái niệm của lý
thuyết tập mờ'', Int. J. Tướng Syst. , tập. 31, trang 569–585.

26. VẤN ĐỀ 26
Bezdek, J. (1981). Nhận dạng mẫu với thuật toán hàm mục tiêu mờ , Plenum Press, New York.
Dubois, D. và Prade, H. (1980). Tập mờ và hệ, lý thuyết và ứng dụng , Academic Press, New York.
Gupta, M. và Qi, J. (1991). ''Lý thuyết về định mức T và các phương pháp suy luận mờ'' Fuzzy Sets
Syst. , tập. 40, trang 431–450.
Klement, E., Mesiar, R. và Pap, E. (2000). Định mức tam giác , Kluwer Academy, Boston.
Klir, G. và Folger, T. (1988). Tập mờ, sự bất định và thông tin , Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.
Klir, G. và Yuan, B. (1995). Tập mờ và logic mờ: lý thuyết và ứng dụng , Prentice Hall, Upper Saddle
River, NJ.
Kosko, B. (1992). Mạng lưới thần kinh và hệ thống mờ , Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.
Menger, K. (1942). ''Số liệu thống kê,'' Proc. tự nhiên. học viện. Khoa học. , tập. 28, trang 535–537.
Zadeh, L. (1965). ''Các tập mờ'', Inf. Kiểm soát , tập. 8, trang 338–353.
Zadeh, L. (1975). ''Khái niệm về biến ngôn ngữ và ứng dụng của nó vào lập luận gần đúng, Phần 1, 2
và 3,'' Inf. Khoa học. , tập. 8, trang 199–249, 301–357; tập 9, trang 43–80.
Zimmermann, H. (1991). Lý thuyết tập mờ và các ứng dụng của nó , tái bản lần 2, Kluwer Academic,
Dordrecht, Đức.
CÁC VẤN ĐỀ
2.1. Các hàm liên thuộc điển hình đối với dòng chảy tầng và chảy rối đối với một tấm phẳng có cạnh
dẫn sắc nét trong luồng không khí điển hình được thể hiện trong Hình P2.1. Sự chuyển đổi giữa
dòng chảy tầng và chảy rối thường diễn ra giữa các số Reynolds 2 × 10 5
và 3 × 10 6
. Re = 5 × 10
5
thường được coi là điểm của dòng chảy rối trong tình huống này. Tìm giao điểm và hợp nhất
của hai dòng chảy.
HÌNH P2.1
2.2. Trong các khu vực lân cận, có thể có một số ao chứa nước mưa chảy vào một cống thoát nước duy
nhất ở hạ lưu. Trong khu phố này, thành phố giám sát tất cả các ao để biết mực nước dâng cao do
bão gây ra. Đối với hai cơn bão (được dán nhãn A và B) được xác định là đáng kể dựa trên dữ
liệu lượng mưa được thu thập tại sân bay, hãy xác định hiệu suất tương ứng của các ao chứa nước
mưa lân cận.
Giả sử vùng lân cận có năm ao, tức là X = [1, 2, 3, 4, 5] và giả sử rằng tư cách thành viên lưu trữ
đáng kể của ao là 1,0 đối với bất kỳ ao nào có độ sâu từ 70% trở lên. Đối với cơn bão A, bộ hiệu
suất của ao là ∼

27. VẤN ĐỀ 27
Đối với cơn bão B, bộ hiệu suất của ao là ∼
(a) Để đánh giá các tác động đến hiệu suất của ao, giả sử chỉ có thể giám sát hai ao do hạn chế về
ngân sách. Ngoài ra, dữ liệu từ các cơn bão chỉ ra rằng có thể có sự khác biệt về vị trí sấm sét
xung quanh khu vực lân cận này. Hai trong số năm ao nào nên được giám sát? (b) Xác định ước
tính thận trọng nhất về hiệu suất của ao (nghĩa là tìm A ∪ B).
∼ ∼
2.3. Bộ lọc sinh học khí mê-tan có thể được sử dụng để oxy hóa khí mê-tan bằng các hoạt động sinh
học. Cần phải so sánh hiệu suất của hai cột thử nghiệm, A và B. Mức khí mêtan thoát ra trên bề
mặt, tính theo đơn vị không thứ nguyên của X = { 50.100.150.200], đã được phát hiện và được lập
bảng dưới đây dựa trên lượng khí mêtan tương ứng đi vào từng cột thử nghiệm. Các tập mờ sau
đại diện cho các cột kiểm tra:
Tính hợp, giao và hiệu cho các cột kiểm tra.
2.4. Đưa ra một tập hợp các phép đo từ trường gần bề mặt đầu của một người, chúng tôi muốn xác
định hoạt động điện trong não của người đó sẽ tạo ra từ trường đo được. Đây được gọi là bài toán
nghịch đảo, và nó không có nghiệm duy nhất. Một cách tiếp cận là lập mô hình hoạt động điện
dưới dạng các lưỡng cực và cố gắng tìm một đến bốn lưỡng cực sẽ tạo ra từ trường gần giống với
trường đo được. Đối với vấn đề này, chúng tôi sẽ lập mô hình quy trình mà một nhà thần kinh
học sẽ sử dụng để cố gắng điều chỉnh từ trường đo được bằng cách sử dụng một hoặc hai lưỡng
cực. Nhà khoa học sử dụng thống kê chi bình phương giảm để xác định mức độ phù hợp. Nếu R
= 1,0, sự phù hợp là chính xác. Nếu R ≥ 3, sự phù hợp là xấu. Ngoài ra, mô hình hai lưỡng cực
phải có R thấp hơn mô hình một lưỡng cực để mang lại độ tin cậy như nhau cho mô hình. Phạm
vi của R sẽ được lấy là R = { 1.0,1.5,2.0,2.5,3.0 } và chúng tôi xác định các tập mờ sau cho D 1 =
mô hình một lưỡng cực và D 2 = mô hình hai lưỡng cực:
Đối với hai tập mờ này, tìm như sau:
(a) D 1 ∪ D 2
∼ ∼
(b) D 1 ∩ D 2
∼ ∼
(c) D 1 ∼
(d) D 2
∼
2.5. Khi xác định lợi nhuận của công ty, nhiều công ty xây dựng phải đưa ra quyết định dựa trên thói
quen chi tiêu của khách hàng cụ thể, chẳng hạn như số tiền khách hàng chi tiêu và khả năng chi
tiêu của họ. Nhiều thuộc tính trong số này là mờ. Một khách hàng chi tiêu ''số tiền lớn'' được coi

28. VẤN ĐỀ 28
là ''có lợi'' cho công ty xây dựng. Số tiền chi tiêu ''lớn'' là một biến số mờ, cũng như lợi nhuận ''có
lãi''. Hai tập mờ này phải có một số trùng lặp, nhưng chúng không được xác định trên một phạm
vi giống hệt nhau.
A = { ''chi tiêu lớn'' }
∼
B = { khách hàng ''sinh lợi'' }
∼
Đối với hai tập mờ được chỉ ra trong Hình P2.5, hãy tìm các thuộc tính sau bằng đồ thị:
HÌNH P2.5
: tất cả các khách hàng được coi là có lợi nhuận hoặc là những người chi tiêu lớn.
: tất cả các khách hàng được coi là có lợi nhuận và chi tiêu lớn.
: những khách hàng đó (i) được coi là không sinh lời và (ii) được coi là những người chi
tiêu không nhiều
(riêng biệt).
: các thực thể được coi là khách hàng có lợi nhuận, nhưng không phải là người chi tiêu
lớn.
(Nguyên lý De Morgan).
2.6. Giả sử bạn là một kỹ sư đất. Bạn muốn theo dõi chuyển động của các hạt đất dưới sức căng trong
một thiết bị thí nghiệm cho phép quan sát chuyển động của đất. Bạn đang xây dựng phần mềm
nhận dạng mẫu để cho phép máy tính giám sát và phát hiện các chuyển động. Tuy nhiên, có hai
khó khăn trong việc ''dạy'' phần mềm của bạn để xem chuyển động: (1) hạt được theo dõi có thể
bị che bởi một hạt khác; (2) thuật toán phân đoạn của bạn có thể không đầy đủ. Một cách để giải
quyết hiện tượng tắc là giả sử rằng diện tích của hạt bị tắc nhỏ hơn diện tích của hạt không bị tắc.
Do đó, khi khu vực thay đổi, bạn biết rằng hạt bị chặn. Tuy nhiên, thuật toán phân đoạn cũng làm
cho diện tích của hạt bị thu hẹp nếu sơ đồ phát hiện cạnh trong thuật toán không thể thực hiện tốt
do ánh sáng kém trong thiết bị thí nghiệm. Nói cách khác, diện tích của hạt trở nên nhỏ do tắc
nghẽn hoặc phân đoạn xấu. Bạn định nghĩa hai tập mờ trên một vũ trụ gồm các vùng hạt không
thứ nguyên, X = [0, 1, 2, 3, 4]: A là một tập mờ có các phần tử thuộc ∼
tắc và B là một tập mờ có các phần tử thuộc về phân đoạn không đầy đủ. để ∼
Tìm theo dưới đây:
(a) Một
∪ b
1.0
0
5,000 10,000 50,000 100,000
Dollars
µ
B
~
A
~
(Not to scale)

29. VẤN ĐỀ
29
∼ ∼
(b) Một
∩ B
∼ ∼
(c) Một
∼
(d) B ∼
(e) Một
∩ B
∼ ∼
∼ ∪ ∼
(f) Một
B

30. VẤN ĐỀ 30
2.7. Bạn được yêu cầu chọn một công nghệ triển khai cho bộ xử lý số. Thông lượng tính toán có liên quan trực tiếp đến tốc
độ xung nhịp. Giả sử rằng tất cả các triển khai sẽ thuộc cùng một họ (ví dụ: CMOS). Bạn đang xem xét liệu thiết kế có
nên được triển khai bằng cách sử dụng tích hợp quy mô trung bình (MSI) với các bộ phận riêng biệt, bộ phận mảng có
thể lập trình trường (FPGA) hay mô-đun đa chip (MCM) hay không. Xác định vũ trụ của các tần số đồng hồ tiềm năng
là X = { 1,10,20,40,80,100 } MHz; và xác định MSI, FPGA và MCM là các tập hợp tần số xung nhịp mờ nên được triển
khai trong từng công nghệ này, trong đó bảng sau xác định các giá trị thành viên của chúng:
Đại diện cho ba tập hợp là MSI = M, FPGA = F và MCM = C, hãy tìm như sau:
(a) M
∪ F ∼
∼ ∼
(b) M
∼ ∩ F ∼
∼ ∼
(c) M
∼
(d) F
(e) C ∩ F
∼
∼ ∼
(f) M C
∼ ∩ ∼
2.8. Chúng tôi muốn so sánh hai cảm biến dựa trên mức độ phát hiện và cài đặt khuếch đại của chúng. Đối với vô số diễn
ngôn về cài đặt khuếch đại, X = { 0,20,40,60,80,100 } , các mức phát hiện của cảm biến để giám sát một mục tiêu chuẩn
cung cấp các hàm thành viên điển hình để biểu thị các mức phát hiện cho từng cảm biến; chúng được đưa ra dưới đây ở
dạng rời rạc tiêu chuẩn:
Tìm các hàm liên thuộc sau sử dụng các phép toán mờ tiêu chuẩn:
(a) µ S 1 ∪ ∼ S 2 (x) ∼
(b) µ S 1 ∩ ∼ S 2 (x)
∼
(c) µ S 1 (x)
∼
(d) µ S 2 (x)
∼
(e) µ S 1 ∪ ∼ S 1 (x) ∼
(f) µ S ∼ 1 ∩ ∼ S 1 (x)
2.9. Đối với dữ liệu mô phỏng chuyến bay, việc xác định các thay đổi nhất định trong điều kiện hoạt động của máy bay được
thực hiện trên cơ sở các điểm dừng cứng trong vùng Mach. Chúng ta hãy định nghĩa một tập mờ để biểu diễn điều kiện
''gần'' số Mach là 0,74. Hơn nữa, xác định tập mờ thứ hai để biểu diễn điều kiện ''trong vùng'' số Mach là 0,74. Trong
dữ liệu mô phỏng điển hình, số Mach là 0,74 là điểm dừng cứng.
A = gần Mach 0.
∼
B = trong vùng Mach 0.
∼
Đối với hai tập mờ này, hãy tìm như sau:
(a) Một ∪ b
(b) Một ∼ ∩ B ∼
∼ ∼
(c) Một (đ) Một ∼ | b
∼ ∼
(e) Một ∪ b
Tần số xung nhịp, MHz MSI FPGA MCM
1 1 0,3 0
10 0,7 1 0
20 0,4 1 0,5
40 0 0,5 0,7
80 0 0,2 1
100 0 0 1

31. VẤN ĐỀ 31
∼ ∼
(f) Một ∩ B
2.10. Một thành phần hệ thống được kiểm tra trên một bảng thả xuống trong miền thời gian, ∼ ∼ t, để sốc tải các xung
haversine có biên độ gia tốc khác nhau, x ¨ , như trong Hình P2.10a. Sau khi thử nghiệm, thành phần được đánh giá thiệt
hại. Định nghĩa hai tập mờ, ''Đạt'' = P và ''Không đạt'' = F. Tất nhiên, không đạt và đạt là các khái niệm mờ, vì lỗi đối
với thành phần có thể là một số ∼ ∼ mức độ một phần giữa các thái cực đạt và không đạt. Các tập hợp này được xác định
trên thang gia tốc tuyến tính, |¨ x | , là độ lớn của xung đầu vào (xem Hình P2.10b). Chúng tôi xác định các hoạt động
thiết lập sau:
HÌNH P2.10 a
| x¨ |
(b)
HÌNH P2.10 b
: vũ trụ của kết quả mức sốc đầu vào. ( ) F ∩ P: phần của vũ trụ nơi thành phần có thể
hỏng và vượt qua.
∼ ∼
: phần của vũ trụ chắc chắn đã vượt qua.
: phần của vũ trụ chắc chắn thất bại.
| : phần của bộ thất bại chắc chắn thất bại. Xác định các hàm liên thuộc phù hợp cho hai tập mờ F và P và xác
định
∼ ∼ thao tác vừa mô tả.
2.11. Giả sử một kỹ sư đang giải quyết một vấn đề trong việc kiểm soát năng lượng của một tế bào di động
điện thoại truyền đến trạm cơ sở của nó. Đặt MP là tập mờ công suất trung bình và HP là
∼ ∼
bộ công suất cao. Giả sử vũ trụ của diễn ngôn bao gồm các đơn vị rời rạc của dB · m, tức là, X = { 0,1,2,...,10 } . Các
hàm thuộc của hai tập mờ này được thể hiện trong Hình. P2.11. Đối với hai tập mờ này, hãy chứng minh hợp, giao, bù
và hiệu.
HÌNH P2.11
x
¨
||
t
Amplitude
(a)
P
F
~
~
0 5 10
1
0 5 10
1
0
0
x x
MP
~
HP
~
µ
µ

32. VẤN ĐỀ 32
2.12. Hãy xem xét mạng cục bộ (LAN) gồm các máy trạm được kết nối với nhau giao tiếp bằng giao thức Ethernet với tốc độ
tối đa là 10 Mbit/s. Tốc độ lưu lượng trên mạng có thể được biểu thị bằng giá trị cực đại của tổng băng thông (BW)
được sử dụng; và hai biến mờ, ''Yên lặng'' và ''Tắc nghẽn'', có thể được sử dụng để mô tả tải trọng cảm nhận được của
mạng LAN. Nếu tập phổ biến rời rạc X = { 0,1,2,5,7,9,10 } biểu thị mức sử dụng băng thông, tính bằng Mbit/s, thì các
hàm thuộc của tập mờ Q yên tĩnh và C tắc nghẽn như trong Hình. P2.12.
∼ ∼
HÌNH P2.12
Đối với hai tập mờ này, xác định bằng đồ thị hợp, giao, phần bù của mỗi tập, hiệu Q | C, và cả hai nguyên tắc của De
Morgan.
∼ ∼
2.13. Một kỹ sư được yêu cầu phát triển một thiết bị phát hiện/phân biệt kính vỡ để sử dụng với các hệ thống báo động dân cư.
Máy dò sẽ có thể phân biệt giữa việc phá vỡ một ô của một
ly (cửa sổ) và ly uống nước. Từ phân tích, người ta đã xác định rằng âm thanh của một ô cửa sổ vỡ chứa hầu hết năng
lượng của nó ở tần số trung tâm khoảng 4 kHz trong khi âm thanh của ly uống nước vỡ chứa phần lớn năng lượng của
nó ở tần số trung tâm khoảng 8 kHz. Quang phổ của hai âm thanh vỡ chồng lên nhau. Các chức năng thành viên cho
ô cửa sổ và kính lần lượt là µ A (x) và µ B (x). Minh họa cơ bản
∼ ∼
phép toán hợp, giao, bù, hiệu cho các hàm liên thuộc sau:
2.14. Các mẫu chip IC bộ vi xử lý mới sẽ được gửi tới một số khách hàng để thử nghiệm beta. Các chip được sắp xếp để đáp
ứng các đặc tính điện tối đa nhất định, chẳng hạn như xếp hạng tần số và nhiệt độ, sao cho các chip ''tốt nhất'' được phân
phối cho khách hàng ưu tiên 1. Giả sử rằng mỗi chip mẫu được sàng lọc và tất cả các chip được tìm thấy có hiệu suất
hoạt động tối đa. tần số trong phạm vi 7–15 MHz ở 20 ◦ C. Ngoài ra, phạm vi nhiệt độ hoạt động tối đa
) ở 8 MHz được xác định. Giả sử có tám chip mẫu với những điều sau đây
Đặc điểm điện từ:
số chip
1 2 3 4 5 6 7 số
8
f tối đa , MHz 678910111213
Các tập mờ sau được định nghĩa:
A = bộ chip ''nhanh'' = chip có f max ≥ 12 MHz ∼
µ (x)
1.0
0
x, Mbit/s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Quiet
Congested

33. VẤN ĐỀ 33
B = bộ chip ''chậm'' = chip có f max ≥ 8 MHz ∼
C = bộ chip ''lạnh'' = chip có ◦ C ∼
D = ◦ C
∼
Người ta thấy rằng các đơn vị cho tần số hoạt động và nhiệt độ là khác nhau; do đó, các tập mờ tương ứng có thể được xem
xét từ các vũ trụ khác nhau và các phép toán trên các tổ hợp của chúng sẽ liên quan đến tích Descartes. Tuy nhiên, cả hai tập
vũ trụ đã được chuyển đổi thành một vũ trụ khác, chỉ đơn giản là vũ trụ của các số nguyên đếm được từ 1 đến 8. Dựa trên một
vũ trụ duy nhất, hãy sử dụng bốn tập mờ này để minh họa các phép toán tập hợp khác nhau. Ví dụ: các hoạt động sau đây liên
quan đến các bộ chip ''nhanh'' và ''nóng'':
(a) Một ∪ Đ.
(b) Một ∼ ∩ D ∼
∼ ∼
(c) Một (đ) Một ∼ | Đ.
∼ ∼
(e) Một ∪ Đ.
∼ ∼
(f) Một ∩ D
∼ ∼