Theorie des graphes_EMSI 2023.pptx

1. Théorie des graphes Pr. Cheikh Noufissa cheikh.noufissa@gmail.com

2. Contenu Représentation graphique • Définitions (graphe, sommet, arête…) • Graphes orientés/ non orienté • Degrés (Sommet, Graphes) Matrice d’adjacence Cheminement et connexité • Chemin, chaine, cycle et circuit • Graphe eulérien • Graphe hamiltonien Arbre & Arborescence

3. Introduction • Dans ce chapitre nous introduisons un concept, celui de graphe, qui permet de modéliser et de résoudre de nombreux problèmes. • L'utilisation des graphes est courante en tant qu'outil de représentation : par exemple, le plan schématisé de rues, un arbre généalogique, la représentation d'un réseau informatique sont des exemples de graphes

4. Optimisation • L’optimisation est une branche des mathématiques cherchant à analyser et à résoudre analytiquement ou numériquement les problèmes qui consistent à déterminer le meilleur élément (l’optimal) d'un ensemble, au sens d'un critère quantitatif donné (le coût).

5. Optimisation • L'optimisation est essentiellement un outil d'aide à la décision au sein des entreprises, mais aussi pour des individus. • Le terme « optimal » est souvent trompeur. Ce n'est pas un jugement de valeur absolu. C'est plutôt une information sur l'approche méthodologique utilisée

6. Optimisation Les problème de flux : minimiser les coûts / le nombre de véhicules utilisés Problèmes d’affectation : l’affectation des activités au personnel d’une entreprise en maximisant la rentabilité de personnes; L’investissement : maximiser le rendement, sans dépasser la somme disponible. File d’attente : l’objet de l’optimisation est de déterminer le nombre de guichets qu’il convient de mettre en place afin de limiter au maximum l’attente des clients. Problème d’ordonnancement : établir l’ordre d’exécution des tâches afin de produire le maximum de produits en un temps donné et de réduire le temps total de production d’un nombre donné de produits.

7. Théorie des graphes

8. Historique • La théorie des graphes est née en 1736 avec la communication d'Euler (1707-1783) dans laquelle il proposait une solution au célèbre problème des ponts de Königsberg (Euler, 1736). Le problème posé était le suivant:

9. Historique • Deux îles A et D sur la rivière Pregel (la Pregolia) à Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad en Russie) étaient reliées entre elles ainsi qu'aux rivages B et C à l'aide de sept ponts (a, b, c, d, e, f et g) comme le montre la figure.

10. Problématique • A partir d'une terre quelconque A, B, C, ou D, traverser chacun des ponts une fois et une seule et à revenir à son point de départ (sans traverser la rivière à la nage !). • Problème identique à celui consistant à tracer une Figure géométrique sans lever le crayon et sans repasser plusieurs fois sur un même trait.

11. Historique • En 1847, Kirchhoff (1824-1887) découvrit la notion d'arbre (qui est un type particulier de graphe n'ayant pas de cycle, i.e. dans lequel il est impossible de revenir à un point de départ sans faire le chemin inverse) pour l'appliquer à l'analyse de circuits électriques. • Dix ans plus tard, Cayley (1821-1895) développa la théorie des arbres

12. Définition Les graphes ont été apparus dans différentes situations concrètes où interviennent des objets en interaction: • Le trafic routier, ferroviaire, aérien • Réseau de télécommunication • Circuit électronique Problème d’optimisation

13. Optimisation Etude du problème d’optimisation Résolution Modélisation Graphiquement Mathématiquement

14. Définition: un graphe Un graphe G est un couple (X,U) qui décrit un ensemble d'objets X et l’ensemble des liens entre eux U • X est appelé l’ensemble des nœuds, ou des sommets du graphe. • Un élément de U est un lien entre deux objets et appelé une arête ou arc

15. Exemples A = { 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} U = { 𝑎, 𝑏 , 𝑏, 𝑐 , 𝑏, 𝑒 , 𝑎, 𝑒 , 𝑑, 𝑒 , 𝑎, ℎ , 𝑑, ℎ , 𝑔, ℎ , 𝑑, 𝑔 , 𝑔, ℎ , (𝑓, 𝑔), (𝑒, 𝑓)}

16. Graphe orienté On dit que le graphe G est orienté si les éléments de U (les connexions entre les sommets) sont orientés et dans ce cas , les éléments de U sont appelés des arcs.

17. Graphe non orienté On dit que le graphe G est non orienté si les éléments de U (les connexions entre les sommets) sont non orientés et dans ce cas , les éléments de U sont appelés des arêtes.

18. Exemple

19. Exemple Le graphe G = (S, A) est représenté par: • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et • A = {(1, 2),(2, 4),(2, 5),(4, 1),(4, 4),(4, 5),(5, 4),(6, 3)}.

20. Exemple Le graphe G = (S, A) est représenté par: • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et • A = {(1, 2),(1, 5),(5, 2),(3, 6)}

21. Remarque: On note un arc par (i,j) ou 𝒊𝒋

22. Graphe

23. Remarque: Soit A={𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝑛 } un ensemble de sommets On peut définir un graphe par la relation binaire R: 𝑥𝑖 R 𝑥𝑗 (𝑥𝑖, 𝑥𝑗) est un arc du graphe 𝑥1 R 𝑥2 , 𝑥2 R 𝑥1 , 𝑥2 R 𝑥3 et 𝑥3 R 𝑥1

24. Vocabulaire de la théorie des graphes • On dit qu'un graphe est sans boucle si A ne contient pas d'arête de la forme (x, x), c'est à dire joignant un sommet à lui même. • Une boucle est un arc ou une arête reliant un sommet à lui-même • Le nombre de sommets du graphe est appelé ordre du graphe.

25. Exemples de boucles dans un graphe • Boucle dans un graphe non orienté: • Boucle dans un graphe orienté:

26. Vocabulaire de la théorie des graphes • Antécédents et successeurs: Dans un graphe orienté, on distingue les sommets successeurs des sommets prédécesseurs :

27. Vocabulaire de la théorie des graphes Antécédents et successeurs: Un graphe peut être définit par l’ensemble de ses sommets et des antécédents et de successeurs de chaque sommet

28. Vocabulaire de la théorie des graphes Définition: degré d’un graphe • Dans un graphe non orienté, Le degré d’un sommet est égal au nombre d’arêtes qui le relient aux autres sommets. • Les boucles sont comptées 2 fois (une fois par extrémité)

29. Vocabulaire de la théorie des graphes Propriété: • La somme des degrés de tous les sommets d’un graphe est égal au double du nombre total d’arêtes. Graphe 1 Pour le graphe 1, le degré de chaque sommet est A(2), B(2), C(1), D(0), E(2), F(1), la somme vaut 2 + 2 + 1 + 0 + 2 + 1 = 8. Le nombre d’arêtes étant 4, la somme est bien le double du nombre total d’arêtes.

30. Vocabulaire de la théorie des graphes Propriété: • La somme des degrés de tous les sommets d’un graphe est égal au double du nombre total d’arêtes.. Graphe 2 Pour le graphe 2, le degré de chaque sommet est A(2), B(2), C(3) car la boucle correspond à deux liaisons, D(0), E(2), F(1), la somme vaut 2 + 2 + 3 + 0 + 2 + 1 = 10.

31. Vocabulaire de la théorie des graphes Définition: degré d’un sommet Dans un graphe non orienté, le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes incidentes à ce sommet

32. Définition: demi degré d ’un graphe • Dans un graphe orienté, le demi-degré extérieur d’un sommet 𝒔𝒊 noté: et il définit le nombre d’arcs partant de 𝒔𝒊 • Le demi-degré intérieur d’un sommet 𝒔𝒊 est noté et il définit le nombre d’arcs arrivant à 𝒔𝒊 Vocabulaire de la théorie des graphes

33. Définitions Exemples: Dessiner le graphe correspondant des sommets suivants

34. Définitions • Le cardinal de l’ensemble des sommets X (nombre de sommets de G) est appelé ordre de G et est noté |X|

35. Vocabulaire de la théorie des graphes Définition: Sommets adjacents • 𝑥𝑖 R 𝑥𝑗, on dit que les sommets 𝑥𝑖 et 𝑥𝑗 sont adjacents • 𝑥𝑖 et 𝑥𝑗 sont adjacents s’il y a un arc qui les relis Remarque • Si le graphe est non orienté, la relation binaire définie est symétrique : 𝑥𝑖 R 𝑥𝑗 alors 𝑥𝑗 R 𝑥𝑖

36. Vocabulaire de la théorie des graphes Exemple Sommets adjacents A et B sont adjacents, A et E ne le sont pas

37. Définitions Si on indique un nombre sur chaque arc du graphe, on dit qu’on a un graphe valué Exemple:

38. Terminologie de graphes • Un graphe non orienté est dit simple s’il ne comporte pas de boucle, et que dont chaque couple de sommets est relié par au plus une arête c’est-à-dire il ne comporte jamais plus d’une arête entre deux sommets. • Un graphe non orienté qui n’est pas simple est un multigraphe. • Exemple multigraphe

39. Exemples de graphes • Un graphe complet est un graphe simple dont tout couple de sommet est connecté (tous les sommets sont adjacents / tous les sommets sont de degré n-1) • Un graphe partiel d’un graphe orienté ou non est le graphe obtenu en supprimant certains arcs ou arêtes. • Un sous-graphe d’un graphe orienté ou non est le graphe obtenu en supprimant certains sommets et tous les arcs ou arêtes incidents aux sommets supprimés. • Un graphe orienté est dit élémentaire s’il ne contient pas de boucle

40. Exemples de graphes Exemple graphe partiel • G’ est le graphe partiel de G

41. Exemples de graphes Exemple sous graphe • G’ est le sous graphe de G

42. Vocabulaire de la théorie des graphes Application • Dessiner un graphe non orienté complet à 4 sommets. Quel est le degré des sommets de ce graphe ? Combien d’arêtes possède-t-il ? Généralisez ces résultats à un graphe simple complet ayant n sommets.  Ce graphe possède 6 arêtes et chaque sommet du graphe est de degré 3.  De façon plus générale, étant donné un graphe simple complet ayant n sommets, chaque sommet étant relié aux n − 1 autres sommets, le degré de chaque sommet est n − 1.

43. Exercice On considère le graphe orienté G = (S, A) tel que  S = {1, 2, 3, 4, 5}  A = {(1, 2),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 5),(4, 3),(5, 3)} 1. Représenter graphiquement ce graphe, 2. Donner le demi-degré extérieur de 2 et le demi-degré intérieur de 4, 3. Donner les sommets prédécesseurs de 4 et les sommets successeurs de 2, 4. Donner un graphe partiel et un sous-graphe de ce graphe.

44. Exercice Correction:

45. Représentation des graphes Sagittale Matricielle A l’aide des dictionnaires

46. • Les sommets d'un graphe seront représentés par des points de l'espace et les arcs par des flèches allant d'un point à un autre, c'est ce qu'on appelle la représentation sagittale du graphe Sagittale

47. • Il s’agit d’une table à simple entrée où chaque ligne correspond à un sommet et comporte la liste des successeurs (ou des prédécesseurs) de ce sommet. A l’aide des dictionnaires

48. Matricielle

49. Matricielle

50. Exercice

51. Correction 1) 2)

52. Exercice • Représenter graphiquement le graphe associé à la matrice d’adjacence sommets-sommets suivante

53. Correction a b c d e f

54. Cheminement & connexité

55. Définitions Chemin

56. Définitions Chemin La longeur du chemin a,b,c,d est 3

57. Définitions Chemin élémentaire Un chemin est élémentaire si les sommets qu’il contient sont tous distincts.

58. Définitions Chemin hamiltonien

59. Définitions Chemin eulérien

60. Exemple

61. Définitions Chemin d'origine x et d'extrémité y: On appelle "chemin d'origine x et d'extrémité y" une séquence d'arcs telle que : - Le premier arc a pour origine x - L'origine de tous les autres coïncide avec l'extrémité de l'arc qui le précède dans la séquence - Le dernier arc a pour extrémité y.

62. Exemple La séquence u1, u5, u4 représente un chemin d'origine 1 et d'extrémité 3. Ce chemin peut être décrit par la suite des sommets 1, 2, 4, 3.

63. Définitions Circuit

64. Définitions Circuit hamiltonien:

65. Définitions

66. Définitions On retrouve ces différentes notions de cheminement dans les graphes non orientés. Dans ce cas, on parlera de:  Chaîne au lieu de chemin,  Cycle au lieu de circuit. Un graphe sans cycle est dit acyclique. Chaîne, Cycle

67. Définitions Une chaîne est une suite d’arêtes dont chacune a une extrémité commune avec l’arête précédente Chaîne:

68. Définitions Chaîne hamiltonien

69. Définitions Cycle: Un cycle est une chaine simple se fermant sur elle-même

70. Résumé Graphe

71. Application

72. Application

73. Connexité

74. Un graphe non orienté est connexe si chaque sommet est accessible à partir de n’importe quel autre. Le graphe ci-haut n’est pas connexe, car il n’existe pas de chaîne entre a et e. En revanche, le sous-graphe défini par les sommets {a, b, c, d} est connexe. Connexité: Graphes Non Orientés

75. Exemple Connexité: Graphes Non Orientés

76.  Un graphe orienté est fortement connexe s'il existe un chemin du sommet a au sommet b et du sommet b au sommet a, quels que soient les sommets représentés par a et b dans le graphe.  Un graphe orienté est faiblement connexe s'il y a un chemin entre n'importe quelle paire de sommets dans le graphe si l'on ne considère plus l'orientation des arcs. Connexité: Graphes Orientés

77. Exemple Les graphes G et H présentés ci-contre Sont-ils fortement connexes ? Sont-ils faiblement connexes ? Connexité: Graphes Orientés

78. Connexité: Graphes Orientés

79. Exercice

80. Exercice

81. Arbre & Arborescence

82. Arbre Définition: Soit un graphe non orienté G=(S,A). G est un "arbre" si il existe une et une seule chaîne reliant deux sommets distincts de S.

83. Arbre Exemples: Des Arbre Non Arbre

84. Arbre Exemples:

85. Arbre Exemples: Des Arbre Non Arbre

86. Arbre Conséquences: Un arbre G vérifie une des conditions équivalentes suivantes :  G est connexe et acyclique  G est sans cycle et possède n − 1 arêtes  G est connexe et admet n − 1 arêtes  G est sans cycle, et en ajoutant une arête, on crée un et un seul cycle élémentaire,  G est connexe, et en supprimant une arête quelconque, il n'est plus connexe,  Il existe une chaîne et une seule entre 2 sommets quelconques de G.

87. Définitions Feuille: Dans un arbre, une feuille est un sommet de degré 1. Exemple: Feuilles: 1, 3, 5, 7 Feuilles: 1, 3, 7, 8, 9

88. Définitions Forêt: On appelle forêt un graphe dont chaque composante connexe est un arbre Exemple:

89. Arborescence Définition: Soit un graphe orienté G=(S,A). G est une "arborescence" si :  G n'a qu'un seul point d'entrée (i.e. sommet n'ayant pas de prédécesseur), nommée "racine" de l'arborescence ;  il existe un chemin, et un seul, de la racine à tout autre sommet du graphe.

90. Arborescence Exemples: Arborescence Non Arborescence

91. Arborescence Conséquences: G ne peut pas contenir de circuit. • Si x est un sommet appartenant à un circuit, alors : • puisqu'il doit exister un chemin de la racine à x, il en existe donc une infinité (en passant autant de fois que l'on veut dans le circuit) ; et donc puisqu'il y en a plusieurs, ce n'est pas une arborescence. Chaque sommet a un et un seul prédécesseur (sauf la racine qui n'en a aucun).

92. Arborescence Exemples: Arborescence Non Arborescence

94. exemple Forêt: On appelle forêt un graphe dont chaque composante connexe est un arbre Exemple:

95. Exemples problèmes modélisables Par des graphes

96. Arbre Couvrant

97. Définition Arbre Couvrant Un arbre couvrant d’un graphe G(V, E) est un graphe partiel, sans cycle (acyclique)

98. Définition graphe pondéré • Un graphe pondéré G( V, E, ꙍ), est un graphe ou un entier positif est affecté à chaque arête. • On appelle cet entier poids de l’arête

99. Définition graphe pondéré • Le poids ou coût d’un graphe est la somme des poids des arêtes du graphe • On le note ꙍ (G)

100. Arbre Couvrant de Poids Minimum (ACPM) Minimum Spanning Tree (MST)

101. Exemple: Arbre Couvrant de Poids Minimum (ACPM) Minimum Spanning Tree (MST)

102. Exemple: Arbre Couvrant de Poids Minimum (ACPM) Minimum Spanning Tree (MST) ꙍ(G’) = 37

103. Application 1

104. Application 1 Solution 1

105. Application 1 Solution 2 ꙍ(G’) = 43

106. Application 1 Solution 3 ꙍ(G’) = 40

107. Algorithme de Kruskal

119. Algorithme de Prim

132. ꙍ(G’) = 400

Theorie des graphes_EMSI 2023.pptx

Theorie des graphes_EMSI 2023.pptx

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Theorie des graphes_EMSI 2023.pptx

Similar a Theorie des graphes_EMSI 2023.pptx(7)

Theorie des graphes_EMSI 2023.pptx

Notas del editor