Theorie des graphes_EMSI 2023.pptx

Théorie des graphes
Pr. Cheikh Noufissa
cheikh.noufissa@gmail.com

Contenu
Représentation graphique
• Définitions (graphe, sommet, arête…)
• Graphes orientés/ non orienté
• Degrés (Sommet, Graphes)
Matrice d’adjacence
Cheminement et connexité
• Chemin, chaine, cycle et circuit
• Graphe eulérien
• Graphe hamiltonien
Arbre & Arborescence

Introduction
• Dans ce chapitre nous introduisons un concept, celui de graphe, qui permet de
modéliser et de résoudre de nombreux problèmes.
• L'utilisation des graphes est courante en tant qu'outil de représentation : par
exemple, le plan schématisé de rues, un arbre généalogique, la représentation
d'un réseau informatique sont des exemples de graphes

Optimisation
• L’optimisation est une branche des mathématiques cherchant à
analyser et à résoudre analytiquement ou numériquement les
problèmes qui consistent à déterminer le meilleur élément
(l’optimal) d'un ensemble, au sens d'un critère quantitatif donné (le
coût).

Optimisation
• L'optimisation est essentiellement un outil d'aide à la décision au sein
des entreprises, mais aussi pour des individus.
• Le terme « optimal » est souvent trompeur. Ce n'est pas un jugement
de valeur absolu. C'est plutôt une information sur l'approche
méthodologique utilisée

Optimisation
Les problème de flux : minimiser les coûts / le nombre de véhicules utilisés
Problèmes d’affectation : l’affectation des activités au personnel d’une entreprise en maximisant la
rentabilité de personnes;
L’investissement : maximiser le rendement, sans dépasser la somme disponible.
File d’attente : l’objet de l’optimisation est de déterminer le nombre de guichets qu’il convient de mettre
en place afin de limiter au maximum l’attente des clients.
Problème d’ordonnancement : établir l’ordre d’exécution des tâches afin de produire le maximum de
produits en un temps donné et de réduire le temps total de production d’un nombre donné de produits.

Historique
• La théorie des graphes est née en 1736 avec la communication
d'Euler (1707-1783) dans laquelle il proposait une solution au célèbre
problème des ponts de Königsberg (Euler, 1736). Le problème posé
était le suivant:

Historique
• Deux îles A et D sur la rivière Pregel (la Pregolia) à Königsberg (aujourd'hui
Kaliningrad en Russie) étaient reliées entre elles ainsi qu'aux rivages B et C à
l'aide de sept ponts (a, b, c, d, e, f et g) comme le montre la figure.

Problématique
• A partir d'une terre quelconque A, B, C, ou D, traverser chacun des ponts une fois et
une seule et à revenir à son point de départ (sans traverser la rivière à la nage !).
• Problème identique à celui consistant à tracer une Figure géométrique sans lever le
crayon et sans repasser plusieurs fois sur un même trait.

Historique
• En 1847, Kirchhoff (1824-1887) découvrit la notion d'arbre (qui est un type
particulier de graphe n'ayant pas de cycle, i.e. dans lequel il est impossible
de revenir à un point de départ sans faire le chemin inverse) pour
l'appliquer à l'analyse de circuits électriques.
• Dix ans plus tard, Cayley (1821-1895) développa la théorie des arbres

Définition
Les graphes ont été apparus dans différentes situations concrètes où
interviennent des objets en interaction:
• Le trafic routier, ferroviaire, aérien
• Réseau de télécommunication
• Circuit électronique
Problème d’optimisation

Optimisation
Etude du problème
d’optimisation
Résolution Modélisation
Graphiquement Mathématiquement

Définition: un graphe
Un graphe G est un couple (X,U) qui décrit un ensemble d'objets X et
l’ensemble des liens entre eux U
• X est appelé l’ensemble des nœuds, ou des sommets du graphe.
• Un élément de U est un lien entre deux objets et appelé une arête ou arc

Exemples
A = { 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ}
U = { 𝑎, 𝑏 , 𝑏, 𝑐 , 𝑏, 𝑒 , 𝑎, 𝑒 , 𝑑, 𝑒 , 𝑎, ℎ , 𝑑, ℎ , 𝑔, ℎ , 𝑑, 𝑔 , 𝑔, ℎ , (𝑓, 𝑔), (𝑒, 𝑓)}

Graphe orienté
On dit que le graphe G est orienté si les éléments de U (les connexions entre les
sommets) sont orientés et dans ce cas , les éléments de U sont appelés des arcs.

Graphe non orienté
On dit que le graphe G est non orienté si les éléments de U (les connexions entre
les sommets) sont non orientés et dans ce cas , les éléments de U sont appelés
des arêtes.

Exemple
Le graphe G = (S, A) est représenté par:
• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et
• A = {(1, 2),(2, 4),(2, 5),(4, 1),(4, 4),(4, 5),(5, 4),(6, 3)}.

Exemple
Le graphe G = (S, A) est représenté par:
• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et
• A = {(1, 2),(1, 5),(5, 2),(3, 6)}

Remarque:
On note un arc par (i,j) ou 𝒊𝒋

Remarque:
Soit A={𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝑛 } un ensemble de sommets On peut définir un
graphe par la relation binaire R:
𝑥𝑖 R 𝑥𝑗 (𝑥𝑖, 𝑥𝑗) est un arc du graphe
𝑥1 R 𝑥2 , 𝑥2 R 𝑥1 , 𝑥2 R 𝑥3 et 𝑥3 R 𝑥1

Vocabulaire de la théorie des graphes
• On dit qu'un graphe est sans boucle si A ne contient pas d'arête de la
forme (x, x), c'est à dire joignant un sommet à lui même.
• Une boucle est un arc ou une arête reliant un sommet à lui-même
• Le nombre de sommets du graphe est appelé ordre du graphe.

Exemples de boucles dans un graphe
• Boucle dans un graphe non orienté:
• Boucle dans un graphe orienté:

• Antécédents et successeurs:
Dans un graphe orienté, on distingue les sommets successeurs des sommets prédécesseurs :

Antécédents et successeurs:
Un graphe peut être définit par l’ensemble de ses sommets et des
antécédents et de successeurs de chaque sommet

Définition: degré d’un graphe
• Dans un graphe non orienté, Le degré d’un sommet est égal au nombre d’arêtes qui le
relient aux autres sommets.
• Les boucles sont comptées 2 fois (une fois par extrémité)

Propriété:
• La somme des degrés de tous les sommets d’un
graphe est égal au double du nombre total d’arêtes.
Graphe 1
Pour le graphe 1, le degré de chaque sommet est A(2), B(2), C(1), D(0), E(2), F(1), la
somme vaut 2 + 2 + 1 + 0 + 2 + 1 = 8.
Le nombre d’arêtes étant 4, la somme est bien le double du nombre total d’arêtes.

Propriété:
• La somme des degrés de tous les sommets d’un
graphe est égal au double du nombre total d’arêtes..
Graphe 2
Pour le graphe 2, le degré de chaque sommet est A(2), B(2), C(3) car la boucle
correspond à deux liaisons, D(0), E(2), F(1), la somme vaut 2 + 2 + 3 + 0 + 2 +
1 = 10.

Définition: degré d’un sommet
Dans un graphe non orienté, le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes
incidentes à ce sommet

Définition: demi degré d ’un graphe
• Dans un graphe orienté, le demi-degré extérieur d’un sommet 𝒔𝒊 noté:
et il définit le nombre d’arcs partant de 𝒔𝒊
• Le demi-degré intérieur d’un sommet 𝒔𝒊 est noté
et il définit le nombre d’arcs arrivant à 𝒔𝒊

Définitions
Exemples:
Dessiner le graphe correspondant des sommets suivants

Définitions
• Le cardinal de l’ensemble des sommets X (nombre de sommets de G)
est appelé ordre de G et est noté |X|

Définition: Sommets adjacents
• 𝑥𝑖 R 𝑥𝑗, on dit que les sommets 𝑥𝑖 et 𝑥𝑗 sont adjacents
• 𝑥𝑖 et 𝑥𝑗 sont adjacents s’il y a un arc qui les relis
Remarque
• Si le graphe est non orienté, la relation binaire définie est symétrique :
𝑥𝑖 R 𝑥𝑗 alors 𝑥𝑗 R 𝑥𝑖

Exemple Sommets adjacents
A et B sont adjacents,
A et E ne le sont pas

Définitions
Si on indique un nombre sur chaque arc du graphe, on dit qu’on a un
graphe valué
Exemple:

Terminologie de graphes
• Un graphe non orienté est dit simple s’il ne comporte pas de boucle, et que dont
chaque couple de sommets est relié par au plus une arête c’est-à-dire il ne comporte
jamais plus d’une arête entre deux sommets.
• Un graphe non orienté qui n’est pas simple est un multigraphe.
• Exemple multigraphe

Exemples de graphes
• Un graphe complet est un graphe simple dont tout couple
de sommet est connecté (tous les sommets sont adjacents /
tous les sommets sont de degré n-1)
• Un graphe partiel d’un graphe orienté ou non est le graphe
obtenu en supprimant certains arcs ou arêtes.
• Un sous-graphe d’un graphe orienté ou non est le graphe
obtenu en supprimant certains sommets et tous les arcs ou
arêtes incidents aux sommets supprimés.
• Un graphe orienté est dit élémentaire s’il ne contient pas de
boucle

Exemples de graphes
Exemple graphe partiel
• G’ est le graphe partiel de G

Exemples de graphes
Exemple sous graphe
• G’ est le sous graphe de G

Application
• Dessiner un graphe non orienté complet à 4 sommets. Quel est le degré
des sommets de ce graphe ? Combien d’arêtes possède-t-il ?
Généralisez ces résultats à un graphe simple complet ayant n sommets.
 Ce graphe possède 6 arêtes et chaque sommet du graphe est de degré 3.
 De façon plus générale, étant donné un graphe simple complet ayant n sommets, chaque
sommet étant relié aux n − 1 autres sommets, le degré de chaque sommet est n − 1.

Exercice
On considère le graphe orienté G = (S, A) tel que
 S = {1, 2, 3, 4, 5}
 A = {(1, 2),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4),(3, 5),(4, 3),(5, 3)}
1. Représenter graphiquement ce graphe,
2. Donner le demi-degré extérieur de 2 et le demi-degré intérieur de 4,
3. Donner les sommets prédécesseurs de 4 et les sommets successeurs de 2,
4. Donner un graphe partiel et un sous-graphe de ce graphe.

Représentation des graphes
Sagittale
Matricielle
A l’aide des
dictionnaires

• Les sommets d'un graphe seront représentés par des points de l'espace et
les arcs par des flèches allant d'un point à un autre, c'est ce qu'on appelle
la représentation sagittale du graphe
Sagittale

• Il s’agit d’une table à simple entrée où chaque ligne correspond à un sommet et
comporte la liste des successeurs (ou des prédécesseurs) de ce sommet.
A l’aide des
dictionnaires

Exercice
• Représenter graphiquement le graphe associé à la matrice d’adjacence
sommets-sommets suivante

Définitions
Chemin
La longeur du chemin a,b,c,d est 3

Définitions
Chemin élémentaire
Un chemin est élémentaire si les sommets qu’il contient sont tous distincts.

Définitions
Chemin hamiltonien

Définitions
Chemin d'origine x et d'extrémité y:
On appelle "chemin d'origine x et d'extrémité y" une séquence d'arcs telle que :
- Le premier arc a pour origine x
- L'origine de tous les autres coïncide avec l'extrémité de l'arc qui le précède dans la
séquence
- Le dernier arc a pour extrémité y.

Exemple
La séquence u1, u5, u4 représente un chemin d'origine 1 et d'extrémité 3.
Ce chemin peut être décrit par la suite des sommets 1, 2, 4, 3.

Définitions
Circuit hamiltonien:

Définitions
On retrouve ces différentes notions de cheminement dans les
graphes non orientés. Dans ce cas, on parlera de:
 Chaîne au lieu de chemin,
 Cycle au lieu de circuit.
Un graphe sans cycle est dit acyclique.
Chaîne, Cycle

Définitions
Une chaîne est une suite d’arêtes
dont chacune a une extrémité
commune avec l’arête précédente
Chaîne:

Définitions
Chaîne hamiltonien

Définitions
Cycle:
Un cycle est une chaine simple
se fermant sur elle-même

Un graphe non orienté est connexe si
chaque sommet est accessible à partir de
n’importe quel autre.
Le graphe ci-haut n’est pas connexe, car il n’existe pas de chaîne entre a et e.
En revanche, le sous-graphe défini par les sommets {a, b, c, d} est connexe.
Connexité:
Graphes Non Orientés

Exemple
Connexité:
Graphes Non Orientés

 Un graphe orienté est fortement connexe s'il existe un chemin du sommet a au
sommet b et du sommet b au sommet a, quels que soient les sommets
représentés par a et b dans le graphe.
 Un graphe orienté est faiblement connexe s'il y a un chemin entre n'importe
quelle paire de sommets dans le graphe si l'on ne considère plus l'orientation
des arcs.
Connexité:
Graphes Orientés

Exemple
Les graphes G et H présentés ci-contre
Sont-ils fortement connexes ?
Sont-ils faiblement connexes ?
Connexité:
Graphes Orientés

Arbre
Définition:
Soit un graphe non orienté G=(S,A).
G est un "arbre" si il existe une et une seule chaîne reliant deux sommets distincts de S.

Arbre
Exemples:
Des Arbre Non Arbre

Arbre
Conséquences: Un arbre G vérifie une des conditions équivalentes suivantes :
 G est connexe et acyclique
 G est sans cycle et possède n − 1 arêtes
 G est connexe et admet n − 1 arêtes
 G est sans cycle, et en ajoutant une arête, on crée un et un seul cycle élémentaire,
 G est connexe, et en supprimant une arête quelconque, il n'est plus connexe,
 Il existe une chaîne et une seule entre 2 sommets quelconques de G.

Définitions
Feuille:
Dans un arbre, une feuille est un sommet de degré 1.
Exemple:
Feuilles: 1, 3, 5, 7 Feuilles: 1, 3, 7, 8, 9

Définitions
Forêt:
On appelle forêt un graphe dont chaque composante connexe est un arbre
Exemple:

Arborescence
Définition:
Soit un graphe orienté G=(S,A). G est une "arborescence" si :
 G n'a qu'un seul point d'entrée (i.e. sommet n'ayant pas de prédécesseur), nommée
"racine" de l'arborescence ;
 il existe un chemin, et un seul, de la racine à tout autre sommet du graphe.

Arborescence
Exemples:
Arborescence Non Arborescence

Arborescence
Conséquences:
G ne peut pas contenir de circuit.
• Si x est un sommet appartenant à un circuit, alors :
• puisqu'il doit exister un chemin de la racine à x, il en existe donc une infinité (en passant
autant de fois que l'on veut dans le circuit) ; et donc puisqu'il y en a plusieurs, ce n'est pas
une arborescence.
Chaque sommet a un et un seul prédécesseur (sauf la racine qui n'en a aucun).

exemple
Forêt:
On appelle forêt un graphe dont chaque composante connexe est un arbre
Exemple:

Exemples problèmes modélisables
Par des graphes

Définition Arbre Couvrant
Un arbre couvrant d’un graphe G(V, E) est un graphe partiel, sans cycle (acyclique)

Définition graphe pondéré
• Un graphe pondéré G( V, E, ꙍ), est un graphe ou un entier positif est affecté
à chaque arête.
• On appelle cet entier poids de l’arête

Définition graphe pondéré
• Le poids ou coût d’un graphe est la somme des poids des arêtes du graphe
• On le note ꙍ (G)

Arbre Couvrant de Poids Minimum (ACPM)
Minimum Spanning Tree (MST)

Exemple:

Exemple:
ꙍ(G’) = 37

Application 1
Solution 2
ꙍ(G’) = 43

Application 1
Solution 3
ꙍ(G’) = 40

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Notas del editor