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Greed is Good: 劣モジュラ関数最大化とその発展
- 12. アンテナ配置問題の劣モジュラ性
• V = アンテナの集合
• f(S) =アンテナ集合Sが被覆する人数
新たにアンテナを配置するときに被覆できる人数は、既に
選んだアンテナが少なければ少ないほど多い。
→ 限界効用逓減性=劣モジュラ性を満たす
- 13. 劣モジュラ関数最大化
入力:単調劣モジュラ関数f: 2V → ℝ, 整数B
目的:大きさBの集合S ⊆ Vで、f(S)を最大にするものを計算
貪欲法: 「現段階で値が最も上がる要素を集合に加える」
ことをB回繰り返す。
貪欲法は1-1/e近似を与える
=最適な集合S*と比べて
1-1/e ≈ 63%の値を達成できる
※1-1/e+ε近似はNP困難
- 24. ほぼ線形時間アルゴリズム
[相馬-𠮷田’15a]
(1 − 1/e − ε) 近似解を求めるほぼ線形時間アルゴリズム
正確な計算時間O(n/ε ∙ log B/ε)時間で得る
アイデア: 閾値を徐々に下げながら貪欲法 [Badanidiyuru-Vondrák’14]
• 満足度の上がり方が閾値以上なら一気に強度を上げる
• どこまで上げるかは限界効用逓減性を利用した二分探索
- 25. (関連問題の)実験の設定 [相馬-𠮷田’15b]
Σxv ≤ Bのもとでf(x)を最大化 ⇔ f(x) ≥ αのもとで Σxvを最小化
Battle of the Water Sensor Networks (BWSN)を用いて実験
• 水の汚染をセンサーで検出
• 汚染を発見するまでにかかる
時間を最小化
• センサー強度
=汚染を検出する確率に対応
http://www.water-simulation.com/wsp/blog/page/9/
- 32. k劣モジュラ性
単調k劣モジュラ ⇔ 単調 & 象限劣モジュラ
象限劣モジュラ:
各アンテナの使える色を一つに限定することで得られる
関数f: 2V → ℝが劣モジュラ
使わない or 黄色 使わない or 緑色 使わない or 赤色