ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
Teoria dos jogos
1. Sum´rio
a
Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Um Minicurso sobre Teoria dos Jogos
Pedro Aladar Tonelli
Departamento de Matem´tica Aplicada
a
Instituto de Matem´tica e Estat´
a ıstica USP
Semana de Matem´tica Aplicada FFCLRP-USP setembro de
a
2006
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
2. Sum´rio
a
Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Sum´rio
a
1 Jogos de Soma Zero
Introdu¸˜o
ca
O Conceito de equil´ıbrio de Nash
Os jogos de soma zero e dois jogadores
Elementos de Sela e Valor do Jogo
e e ´
Estrat´gias Mistas e Estrat´gias Otimas
Estrat´gias dominantes
e
2 Jogos n˜o soma zero
a
Defini¸˜es
co
Exemplos com matrizes de dimens˜o 2a
Equil´
ıbrios evolucionariamente est´veis
a
Bibliografia
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
3. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
4. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
5. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
6. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
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7. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O que ´?
e
Teoria dos Jogos ´ conjunto de ferramentas matem´ticas para
e a
estudo e modelagem de problemas que envolvem conflito de
interesses por parte dos agentes que tomam decis˜o.
a
Exemplos:
Jogo de xadrez
Conflito diplom´tico ou pol´
a ıtico
Concorrˆncia na Economia
e
Teoria da Evolu¸˜o em Sistemas biol´gicos
ca o
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8. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
9. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
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10. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
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11. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
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12. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Hist´rico
o
Cournot (1840) Walras (1890)
Borel (1915)
von Neumann e Morgenstern (1940)
Nash, Shapley, Aumann (1950 + 1960)
Maynard-Smith (1970)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
13. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Divis˜es Comuns
o
Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos
e o
Jogos Cooperativos
Jogos n˜o Cooperativos
a
Forma Extensiva
Forma Estrat´gica (Normal)
e
Jogos de Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores.
Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
14. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Divis˜es Comuns
o
Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos
e o
Jogos Cooperativos
Jogos n˜o Cooperativos
a
Forma Extensiva
Forma Estrat´gica (Normal)
e
Jogos de Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores.
Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
15. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Divis˜es Comuns
o
Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos
e o
Jogos Cooperativos
Jogos n˜o Cooperativos
a
Forma Extensiva
Forma Estrat´gica (Normal)
e
Jogos de Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores.
Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores.
a
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16. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Divis˜es Comuns
o
Tradicionalmente a teoria ´ dividida em t´picos
e o
Jogos Cooperativos
Jogos n˜o Cooperativos
a
Forma Extensiva
Forma Estrat´gica (Normal)
e
Jogos de Soma Zero
Jogos sem Soma Zero
Jogos com 2 jogadores ou jogos com n jogadores.
Estudaremos os jogos n˜o cooperativos com dois jogadores.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
17. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Primeiras defini¸˜es
co
Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos
a e
seguintes elementos:
Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito).
Estrat´gias: Σi (quase sempre finito).
e
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento)
Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma
e e
vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias.
e
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18. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Primeiras defini¸˜es
co
Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos
a e
seguintes elementos:
Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito).
Estrat´gias: Σi (quase sempre finito).
e
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento)
Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma
e e
vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias.
e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
19. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Primeiras defini¸˜es
co
Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos
a e
seguintes elementos:
Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito).
Estrat´gias: Σi (quase sempre finito).
e
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento)
Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma
e e
vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias.
e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
20. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Primeiras defini¸˜es
co
Um jogo n˜o cooperativo na forma normal ´ composto dos
a e
seguintes elementos:
Jogadores: P = {p1 , . . . , pn } (finito).
Estrat´gias: Σi (quase sempre finito).
e
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn (pagamento)
Πi (u1 , . . . , un ) ´ o pagamento que recebe o i-´simo jogador uma
e e
vez que todos os jogadores se decidiram por suas estrat´gias.
e
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
21. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Dilema dos Prisioneiros
O Jogo: Dois prisioneiros s˜o mantidos em escrit´rios separados e
a o
o promotor do caso oferece a cada um o seguinte: caso ele
testemunhe contra o comparsa e este n˜o testemunhar contra ele,
a
sua pena ser´ de 1 ano de pris˜o cabendo a seu colega cumprir 10
a a
anos. Caso o comparsa tamb´m testemunhe contra ele sua pena
e
ser´ de 5 anos. Se, todavia, ambos se recusarem a testemunhar
a
um contra o outro, ambos passar˜o dois anos na cadeia.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
22. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Tabela de pagamentos do dilema dos prisioneiros
N T
N (−2, −2) (−10, −1)
T (−1, −10) (−5, −5)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
23. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Melhor Resposta
Temos um jogo na forma normal:
Π : Σ1 × · · · × Σn → Rn
Um ponto u = (u1 , . . . , un )) ∈ Σ1 × · · · × Σn vamos chamar de um
perfil de estrat´gias.
e
Fixado o perfil u e o jogador i definimos o conjunto melhor
resposta de i Mi (u) ∈ Σi como
Mi (u) = {vi ∈ Σi : Πi (u1 , . . . , ui−1 , vi , ui+1 , . . . , un ) =
max Πi (u1 , . . . , ui−1 , v , ui+1 , . . . , un )} (1)
v ∈Σi
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
24. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
O equil´
ıbrio como ponto fixo
Note que na defini¸˜o acima n˜o ´ necess´rio que ui ∈ Mi (u).
ca a e a
Definimos
M(u) = M1 (u) × · · · Mn (u) ⊂ Σ1 × · · · × Σn (2)
e diremos que um perfil u ´ um Equil´
e ıbrio de Nash quando:
u ∈ M(u)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
25. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Interpreta¸˜o do equil´
ca ıbrio
Se u ∈ M(u), para o jogador pi :
ui ∈ Mi (u) ⊂ Σi , ou seja, ui ´ a melhor resposta do jogador para o
e
perfil u.
Assim para um perfil de equil´ ıbrio, se um jogador mudar sozinho de
estrat´gia ele n˜o pode aumentar, e corre o risco de rebaixar o
e a
ganho individual Πi .
Obs: Pode existir um perfil em que todos os jogadores ganham
mais que num perfil de equil´ ıbrio, mas a´ cada jogador precisaria do
ı
aux´ dos outros.
ılio
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
26. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Equil´
ıbrio do dilema dos prisioneiros
N T
N (−2, −2) (−10, −1)
T (−1, −10) (−5, −5)
O perfil u = (T , T ) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
27. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
M´todo dos perf´ racionais
e ıs
Diremos que um perfil u ∈ Σ satisfaz a propriedade da
racionalidade individual para o jogador i quando
Πi (u) = max Πi (u1 , . . . , v , . . . , un ) (3)
v ∈Σi
Definimos o conjunto de perfis racionais de i como sendo:
Ri = {u ∈ Σ : u tem a prop. de racionalidade individual } ⊂ Σ
(4)
N = ∩n Ri ´ o conjunto de todos os perf´ de equil´
i=1 e ıs ıbrio do jogo.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
28. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
defini¸˜o dos jogos de soma zero
ca
Num jogo com dois Jogadores (Luiza e Carlos) com as estrat´gias
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } e Σ2 = {f1 , . . . , fm }
O jogo tem soma zero se Π1 (ei , fj ) + Π2 (ei , fj ) = 0.
Π(ei , fj ) = (Π1 (ei , fj ), −Π1 (ei , fj )) = (aij , bij ) (5)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
29. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: Pedra, papel, tesoura
Luiza e Carlos est˜o jogando Pedra, Papel e Tesoura, eles tem o
a
mesmo conjunto de estrat´gias Σ = {R, P, T }
e
0 −1 1
A= 1 0 −1 (6)
−1 1 0
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
30. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Elementos de sela
Se (ei , fj ) for um par de equil´
ıbrio ent˜o:
a
aij ≥ akj ∀k ∈ {1, . . . , n} (7)
− aij ≥ −ail ∀l ∈ {1, . . . , m} (8)
Dada uma matriz A ∈ Mn×m um elemento aij ´ chamado elemento
e
de sela da matriz A quando satisfaz as duas rela¸˜es
co
simultaneamente:
aij = max akj para k ∈ {1, . . . , n} (9)
k
aij = min ail para l ∈ {1, . . . , m} (10)
l
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31. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
exemplo
Vejamos um exemplo, a matriz
4 0 −1
A= 2 1 3 (11)
−2 0 4
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
32. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Propriedades dos elementos de sela
Proposi¸˜o
ca
Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A,
ent˜o apj e aiq tamb´m s˜o elementos de sela e aij = apq
a e a
No caso de haver muitos elementos de sela seus valores s˜o
a
iguais.
Pode n˜o haver elementos de sela.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
33. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Propriedades dos elementos de sela
Proposi¸˜o
ca
Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A,
ent˜o apj e aiq tamb´m s˜o elementos de sela e aij = apq
a e a
No caso de haver muitos elementos de sela seus valores s˜o
a
iguais.
Pode n˜o haver elementos de sela.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
34. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Propriedades dos elementos de sela
Proposi¸˜o
ca
Se aij e apq forem diferentes elementos de sela de uma matriz A,
ent˜o apj e aiq tamb´m s˜o elementos de sela e aij = apq
a e a
No caso de haver muitos elementos de sela seus valores s˜o
a
iguais.
Pode n˜o haver elementos de sela.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
35. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
36. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
37. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
38. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
39. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
40. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
41. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias Mistas
e
´
E comum uma matriz de um jogo n˜o ter pontos de sela.
a
Definimos ent˜o uma distribui¸˜o de probabilidades sobre as
a ca
estrat´gias puras.
e
Σ1 = {e1 , . . . , en } : estrat´gias de Luiza.
e
Σ2 = {f1 , . . . , fn } : estrat´gias de Carlos.
e
M1 = {(p1 , . . . , pn ) ∈ Rn : pi = 1 e pi ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Luiza.
M2 = {(q1 , . . . , qm ) ∈ Rm : qj = 1 e qj ≥ 0} estrat´gias
e
mistas de Carlos.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
42. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
43. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
44. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
45. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
46. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Exemplo: estrat´gia mista
e
Digamos que a matriz do jogo seja:
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
Esta matriz n˜o tem ponto de Sela.
a
Luiza tem duas estrat´gias puras e Carlos trˆs.
e e
(0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
(0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
Qual seria o pagamento dos jogadores neste jogo?
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
47. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Extens˜o Mista do Jogo
a
Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn )
Carlos: q = (q1 , . . . , qm )
Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
(M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
48. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Extens˜o Mista do Jogo
a
Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn )
Carlos: q = (q1 , . . . , qm )
Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
(M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
49. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Extens˜o Mista do Jogo
a
Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn )
Carlos: q = (q1 , . . . , qm )
Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
(M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
50. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Extens˜o Mista do Jogo
a
Luiza escolhe: p = (p1 , . . . , pn )p = (p1 , . . . , pn )
Carlos: q = (q1 , . . . , qm )
Pagamento: E (p, q) = i,j aij pi qj = pt Aq
(M1 , M2 , E ) Extens˜o mista do jogo.
a
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
51. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
52. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
53. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
54. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
55. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
No exemplo anterior
0.8 0.2 0.5
A=
0.1 0.5 0.2
p = (0.6, 0.4) ´ uma estrat´gia mista de Luiza.
e e
q = (0.5, 0.3, 0.2) uma estrat´gia mista de Carlos.
e
E (p, q) = 0.60.50.8 + 0.60.30.2 + 0.60.20.5 + 0.40.50.1 +
0.40.30.5 + 0.40.20.2
E (p, q) = 0.43200
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
56. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
57. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
58. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
59. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
60. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
61. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Valor de Linha e Valor de Coluna de uma matriz
Valor de Linha, Valor do Jogo para Luiza
vL (A) = maxp minq E (p, q)
Valor de Coluna. Valor do jogo para Carlos.
vC (A) = minq maxp E (p, q)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
62. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
63. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
64. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
65. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
66. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
´
Estrat´gias Otimas
e
Estrat´gias ´timas, ou estrat´gias maxmin e minmax.
e o e
r ´ uma estrat´gia ´tima para Luiza
e e o
vL (A) = minq E (r, q)
s ´ uma estrat´gia ´tima para Carlos se
e e o
vC (A) = maxp E (p, s)
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
67. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Teorema Minmax
Teorema
Dada uma matriz A temos que existem estrat´gias mistas ´timas
e o
para o jogador das linhas e das colunas e vC (A) = vL (A).
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
68. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
69. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
70. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
71. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
72. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
73. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
74. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Estrat´gias ´timas e perfil de equil´
e o ıbrio
r e s estrat´gias ´timas.
e o
vL (A) = E (r, s) = vC (A)
Se Luiza troca a estrat´gia e Carlos mant´m:
e e
E (r, s) = vC (A) ≥ E (p, s)
Luiza n˜o ganha nada desviando da estrat´gia.
a e
Nem Carlos com racioc´ an´logo.
ınio a
O perfil (r, s) ´ um equil´
e ıbrio de Nash.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
75. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Um resultado para o C´lculo das estrat´gias ´timas
a e o
Proposi¸˜o
ca
m n
Definindo: E (i, q) = j=1 aij qj e E (p, j) = i=1 aij pi ent˜o:
a
vC (A) = min max E (i, q) (12)
q i
vL (A) = max min E (p, j) (13)
p j
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
76. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Caso de matrizes 2 × 2
Quando cada jogador tem s´ duas estrat´gias puras temos:
o e
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]}
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]
Neste caso podemos calcular facilmente os equil´
ıbrios.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos
77. Introdu¸˜o
ca
Equil´
ıbrio de Nash
Sum´rio
a
Jogos de Soma Zero
Soma Zero
Sela e Valor do Jogo
Jogos sem Soma Zero
Estrat´gias Mistas
e
Dominˆncia e Redu¸˜o do Jogo
a ca
Caso de matrizes 2 × 2
Quando cada jogador tem s´ duas estrat´gias puras temos:
o e
M1 = {(x, 1 − x) : x ∈ [0, 1]}
M2 = {(y , 1 − y ) : y ∈ [0, 1]
Neste caso podemos calcular facilmente os equil´
ıbrios.
Pedro A Tonelli Teoria dos Jogos