2. P 2
JOSEPCASTELLS
El moviment periòdic és aquell moviment que es repeteix a intervals regulars de temps, de manera que el
mòbil descriu la mateixa trajectòria al llarg del temps.
Un moviment oscil·latori és aquell moviment periòdic en el qual el mòbil es mou al voltant d’una posició
d’equilibri passant una vegada i una altra per aquesta posició d’equilibri de manera que descriu la mateixa
trajectòria contínuament.
Moviment de la Terra al voltant del Sol.
El moviment d’una pilota elàstica quan cau.
El moviment d’oscil·lació d’una molla.
El moviment d’un pèndol.
El moviment del cor.
1. Moviments periòdics
3. P 3
JOSEPCASTELLS
Els moviments oscil·latoris es poden estudiar a partir del moviment oscil·latori més senzill que es dóna a la
natura: moviment harmònic simple.
Tots els moviments oscil·latoris es poden reduir a
combinacions de moviments harmònics simples.
El moviment harmònic simple es verifica en una sola
dimensió. A la pràctica sempre cal considerar un cert
fregament, per petit que sigui, de manera que l’amplitud de
les oscil·lacions van disminuint, i el mòbil acaba parant-se:
oscil·lacions amortides.
El moviment harmònic simple és aquell moviment que resulta de projectar un moviment circular uniforme
sobre un eix que passi pel centre de la circumferència i que estigui contingut en el pla que la defineix.
2. El moviment harmònic simple
4. P 4
JOSEPCASTELLS
Per trobar l’equació del moviment harmònic simple ho podem fer
a partir de la comparació amb en moviment circular uniforme que
el podria originar.
Si considerem la projecció del moviment circular sobre l’eix x,
trobem:
)··cos(·cos tAAx
)··sin(·sin tAAy
Si considerem la projecció del moviment circular sobre l’eix y,
aleshores:
En forma més general, sigui quina sigui la posició inicial del cos:
)··sin( 0 tAy
y = A·sinq
3. Equació del moviment harmònic simple
6. P 6
JOSEPCASTELLS
Elongació, y: magnitud que oscil·la, que
varia. [m]
El gràfic que obtenim per al desplaçament del cos és una corba sinusoïdal en funció del temps.
Les diferents magnituds que carateritzen aquest moviment:
Amplitud, A: màxima elongació. [m]
Període, T: temps per fer una oscil·lació
completa. [s]
Freqüència, f = 1/T: nombre d’oscil·lacions
per unitat de temps. [Hz]
Fase, ·t+0: funció del temps. [rad]
Pulsació, = 2·p/T = 2·p· f: velocitat de
variació de la fase. [rad/s] )··sin( 0 tAy
4. Magnituds del MHS
7. P 7
JOSEPCASTELLS
Equació del moviment:
Per obtenir la velocitat i l'acceleració del moviment harmònic simple, hem de fer la primera i la segona
derivada de l'equació del moviment y(t). Així doncs:
Equació de la velocitat:
Equació de l'acceleració:
y(t)= A·sin(w·t +j0 )
v(t) =
dy
dt
= A·w·cos(w·t +j0 )
a(t) =
dv
dt
=
d2
y
dt2
= -A·w2
·sin(w·t +j0 )Þ a(t)= -w2
·y(t)
8. P 8
JOSEPCASTELLS
x
y
π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π 9π/2 5π
-1
1
y=sin(x)y=cos(x)
Per veure els desfasaments entre posició, velocitat i acceleració recordarem les relacions trigonomètriques
entre sinus i cosinus:
cosa = sin(a +
p
2
)
sina = -sin(a +p)
5. Desfasaments en el MHS
9. P 9
JOSEPCASTELLS
Si suposem, per simplificar, que el mòbil passa en el temps inicial per l'elongació màxima:
y(t) = A·sin(w·t +
p
2
)
v(t) = A·w·cos(w·t +
p
2
) = A·w·sin(w·t +p)
a(t) = -A·w2
·sin(w·t +
p
2
) = A·w2
·sin(w·t +
3p
2
)
Si observem aquestes expressions, veiem que, en un instant de temps
t, la fase de l'elongació y(t) és ·t, mentre que la fase de la velocitat és
·t+p/2; per tant, la diferència de fase o desfasament és:
Dj = w·t +p( )- w·t +
p
2
æ
è
ç
ö
ø
÷=
p
2
rad
Amb l'acceleració el desfasament és:
Dj = w·t +
3p
2
æ
è
ç
ö
ø
÷- w·t +
p
2
æ
è
ç
ö
ø
÷= p rad
10. P 10
JOSEPCASTELLS
vmàx = A·w
Si ens fixem bé en els gràfics veurem que en el moviment harmònic simple:
El mòdul de la velocitat és màxim quan el mòbil passa per la
posició d'equilibri (y=0); per contra, s'anul·la quan el mòbil passa
pels punts extrems (y=±A). El valor màxim de la velocitat serà:
v(t) = A·w·sin(w·t +p)
a(t) = A·w2
·sin(w·t +
3p
2
)
El mòdul de l'acceleració és màxim quan el mòbil passa pels
punts extrems (y = ±A) i s'anul·la quan y = 0. El valor màxim de
l'acceleració serà:
amàx = A·w2
6. Velocitat i acceleració màximes del MHS
11. P 11
JOSEPCASTELLS
Podem comprovar aquesta hipòtesi si recordem que la força elàstica F verifica la llei de Hooke:
amF ·
Una força recuperadora proporcional a l’elongació provoca un moviment harmònic simple.
Þ -k·y = m·
d2
y
dt2
0)(·· 2
2
tyk
dt
yd
m
Les úniques funcions que compleixen aquesta equació diferencial
són les funcions sinus i cosinus:
yA
dt
yd
tA
dt
dy
tAty
·)··sin(·
)··cos(·
)··sin()(
2
0
2
2
2
0
0
m
k
0··· 2
ykym
Quan l’acceleració d’un objecte és proporcional al seu
desplaçament i de sentit contrari a aquest, l’objecte es mourà
amb moviment harmònic simple
Condicions en termes d’acceleració per al MHS
7. Dinàmica del MHS
12. P 12
JOSEPCASTELLS
El pèndol simple consisteix en una massa m (de grandària negligible) suspesa d’una corda de longitud L i
massa negligible.
L’angle que forma amb la vertical varia com una funció sinus o cosinus del temps.
8. El pèndol simple
13. P 13
JOSEPCASTELLS
La força restauradora és proporcional al sinus de l’angle (sin ), i de signe contrari al desplaçament,
mentre que en una molla era proporcional al desplaçament ( en aquest cas):
g
L
T
L
g
p
2
2
2
···sin·
dt
d
Lmgm
y
dt
yd
a ·2
2
2
··sin2
2
L
g
L
g
dt
d
Lmgm ···sin·
tT amF ·
14. P 14
JOSEPCASTELLS
En el cas d’una molla que oscil·la les energies que cal tenir present són l’energia potencial elàstica i
l’energia cinètica. Quan la massa es troba en qualsevol dels extrems d’oscil·lació la velocitat és zero i
tota l’energia és potencial. En absència de forces dissipatives es conserva l’energia mecànica del
sistema. En la posició d’equilibri la velocitat és màxima i l’energia potencial zero:
22
)··(·
2
1
··
2
1
AmvmE màxmàxc
22
·
2
1
··
2
1
AkxkE màxmàxp
Com es compleix el principi de conservació de l’energia mecànica
(absència forces dissipatives), aquesta energia és la mateixa en
qualsevol posició:
222
)··(·
2
1
·
2
1
·
2
1
Amvmxk
9. Estudi energètic del MHS
15. P 15
JOSEPCASTELLS
10. El moviment ondulatori harmònic (MOH)
Ona és qualsevol tipus de pertorbació que es propaga per l’espai sense transport de matèria.
Ones transversals: si la direcció de vibració és perpendicular
a la direcció de propagació (ones sísmiques S, ones
electromagnètiques, ones d’una corda,...)
Ones longitudinals: si la direcció de vibració és
la mateixa que la de propagació (ones sísmiques
P, el so,...).
Tipus d’ones segons la forma de vibració:
16. P 16
JOSEPCASTELLS
IR B
0 5 10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
log f (Hz)
X
UV extrem
UV A
UV B
UV C
11
12
13
14
15
16
17
IR
Visible
IR C
MW
RF
Durs
Tous
EHF
SHF
UHF
VHF
HF
MF
LF
VLF
ELF
Ones electromagnètiques: es poden transmetre tant en
medis materials com en el buit i són produïdes per camps
electromagnètics. Exemples: llum visible, ones ràdio,
microones,...
Ones mecàniques: necessiten un medi material per propagar-
se i són causades per pertorbacions mecàniques
(desplaçaments, canvis de pressió,...). Exemples: ones
sísmiques, el so,...
11. Tipus d’ones segons el tipus de pertorbació
17. P 17
JOSEPCASTELLS
En una dimensió, ones unidimensionals: per exemple el so per
un fil metàl·lic, la llum laser,...
En dues dimensions, ones 2D o bidimensionals: per exemple
ones circulars damunt l’aigua, ones de so damunt una placa
metàl·lica,...
En tres dimensions, ones 3D o tridimensionals: per exemple:
les ones sísmiques, les ones del so dins l’aire, les ones de
telefonia mòbil, la llum d’una làmpada, etc.
12. Tipus d’ones segons nombre dimensions propagació
18. P 18
JOSEPCASTELLS
La velocitat de fase d’una ona és la velocitat amb què es transmet la pertorbació des del focus fins a un punt
determinat del medi, és a dir, la velocitat de fase no és sinó la velocitat amb què es transmeten la quantitat de
moviment i l’energia des del focus emissor fins als diferent punts del medi.
13. Velocitat de fase, front d’ona i raig.
El front d’ona és el conjunt de punts del medi als quals arriba la pertorbació en un instant de temps
determinat.
Anomenem raig qualsevol línia recta que sigui perpendicular a un front d’ona determinat. Els diferents raigs
corresponen a diferents direccions de propagació de l’ona.
COMPTE! No confondre amb la velocitat de la vibració de l’ona.
19. P 19
JOSEPCASTELLS
Les ones que trobem a la natura són molt
complexes, com per exemple les ones sonores
produïdes pels instruments musicals.
Però el físic francès Joseph Fourier (1768-1830) va
descobrir que qualsevol ona, per complicada que
sigui, es pot obtenir sumant ones harmòniques, és
el teorema de Fourier.
14. Les ones harmòniques.
20. P 20
JOSEPCASTELLS
La molla situada a una distància x del focus oscil·la igual
que ho fa el focus, però més tard. Necessita que passi un
temps (t’) per a que li arribi la informació d’on està
oscil·lant el focus. Quina és l’equació del seu moviment?
0··2·sin),(
p
x
T
t
Axty
Equació de d’Alembert o de les
ones harmòniques
unidimensionals
Pot anar amb sinus o amb cosinus. Si avança cap
a la dreta els signes de les dues fraccions del
parèntesi són diferents. Si avança cap a
l’esquerra són iguals.
Representa el moviment MVHS
d’una partícula a una distància x
del focus.
15. Equació d’ona.
0'··sin),( ttAxty
0··sin
onav
x
tA
0·
·2
·sin
p
onav
x
t
T
A
0
·
··2·sin p
onavT
x
T
t
A
21. P 21
JOSEPCASTELLS
Magnituds que depenen del MVHS del focus:
Magnituds que depenen del medi de propagació:
16. Magnituds del MOH
Elongació, y: magnitud que oscil·la, que varia.
Amplitud, A: màxima elongació.
Període, T: temps per fer una oscil·lació completa.
Freqüència, f = 1/T : nombre d’oscil·lacions per unitat de temps.
Fase, : funció del temps.
Pulsació, = 2·p/T = 2· · f: velocitat de variació de la fase.
Desplaçament, x: distància al focus.
Longitud d’ona, : mínima distància entre dos punts amb el
mateix estat d’oscil·lació.
Velocitat d’ona, vona = / T = · f: velocitat de propagació de
l’ona en la direcció x.
22. P 22
JOSEPCASTELLS
Equació d’ona:
En general es comença a comptar el temps sense fase inicial, però de vegades pot haver-hi una certa fase 0 a
l’equació.
A voltes es fa servir el nombre d’ona (k), que és el nombre de vegades que es repeteix l’ona en una longitud
de 2·p m (rad/m).
p ·2
k
v
k
Es desplaça d’esquerra a dreta
Es desplaça de dreta a esquerra
p
x
T
t
Axty ··2·sin),(
xktAxty ···sin),(
p
x
T
t
Axty ··2·cos),(
xktAxty ···cos),(
p
x
T
t
Axty ··2·sin),(
xktAxty ···sin),(
p
x
T
t
Axty ··2·cos),(
xktAxty ···cos),(
23. P 23
JOSEPCASTELLS
msTHzfmA
330
1
305
p
Problema: Determina del següent MOH (SI):
1. L’amplitud, la freqüència, el període, la longitud d’ona, la velocitat de propagació.
2. La fase als 0,1 s a 1,0 m del focus.
3. La velocitat de vibració als 0,1 s del MVHS d’un punt a 2 m del focus.
xty ··106·sin5 p
p
p
pp
p
pp
p
p x
t
xt
xty
·3
·302·sin5
2
6
2
60
2·sin5660
2
2
·sin5
rady 87,1211,0··106)1,1,0( p
s
mv
xtxt
dt
xtd
dt
xtd
dt
dy
v
v
v
796566,0cos3002·61,060cos3002,1,0
660cos30060·660·cos5
660·sin5106·sin5
ppp
pppp
pp
smf
T
vona /1030·
3
· p
p
24. P 24
JOSEPCASTELLS
ms2T p
Problema: Determina del següent MOH (SI):
1. La fase inicial.
2. La diferència de fase, Δ, entre dos punts consecutius separats 0,5 m.
3. L’interval de temps entre dos punts la qual diferència de fase és de p rad.
2
·2··sin2,0
p
p xty
22
2·sin2,0
22
·2
2
·
2·sin2,0
2
·2·
2
2
·sin2,0
p
p
p
p
pp
p
p
p
p
p
p xtxt
xty
rad
xt
22
0·20·0,0
2
·2·
0
pp
p
p
p
rad
m
rad
m 1
·2
·5,0
p
p
s
rad
s
radt 1
·2
2
·
p
p
