1. Fantasia e Libertà:
Dal mondo piatto alle ipersuperfici
Liceo “N. Machiavelli” Firenze
23 Febbraio 2011
Antonella Fatai
Liceo Classico “F. Petrarca” Arezzo
GREMS UNISI
SISUS

2. Flatland, a Romance of Many Dimensions,(1882)
di Edwin Abbott Abbott.
Flatlandia, è strutturata secondo regole matematiche una piramide
basata sulla complessità di configurazione degli individui: alla base c'è
il Segmento-Donna, al gradino successivo ci sono i Triangoli Isosceli,
quindi i Triangoli Equilateri, i Quadrati, i Poligoni regolari, e poi la
nobiltà, il cui prestigio aumenta in misura proporzionale all'aumento
del numero dei lati, salendo nella scala sociale. Al vertice
dell'organizzazione sociale ci sono i Cerchi, Sommi Sacerdoti e
organizzatori di tutte le Arti e le Scienze. Questi detengono il potere e
impongono leggi durissime e irrevocabili che garantiscono a Flatland
un governo oligarchico al riparo da ogni pericolo di rivoluzione;
misure, queste, precauzionali e dittatoriali che mantengono la società
in una condizione di immobilismo politico. Ai margini della società vi
sono le Figure Irregolari, caratterizzate da irrazionalità di forme e di
comportamento.

3. Lo Spazio e la Matematica
Parmi di scorgere ferma credenza, che nel filosofare sia necessario
appoggiarsi all’opinioni di qualche celebre autore, si che la mente
nostra, quando non si maritasse col discorso d’un altro, ne dovesse in
tutto rimanere sterile ed infeconda; e forse stima che la filosofia sia
un libro e una fantasia d’un uomo, come l’Iliade e l’Orlando
Furioso, libri ne’ quali la meno importante cosa è che quello che vi è
scritto sia vero. Signor Sarsi, la cosa non istà cosí. La filosofia è scritta
in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a
gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non
s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.
Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son
triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è
impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un
aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.
G. Galilei, La prosa, Sansoni, Firenze, 1978, pag. 261

4. Lo Spazio e la Matematica

5. La montagna Sainte-Victoire, 1905
Paul Cézanne
Tecnica olio su tela
Dimensioni 63×83 cm
Ubicazione Kunsthaus, Zurigo

6. Le Cabanon de Jourdan 1906
Oil on canvas 25 5/8 x 31 7/8 in (65 X 81 cm)
Collection Riccardo Jucker, Milan

7. Lo Spazio e la Matematica

8. Def. XXXIII ed il postulato V del I° libro
degli Elementi di Euclide:

9. IL V Postulato

10. Lobacevskij, Bolyai
Geometria iperbolica.
(P5') Per un punto che
giace al di fuori di una
retta si possono
tracciare più rette che
non incontrino la retta
data.

11. "Limite del cerchio III" (1959)

12. 1854 Riemann Geometria
ellittica
(P5") Tutte le rette passanti
per un punto che giace al
di fuori di una retta data
incontrano tale retta.

13. In pratica, la geometria costruita su una
superficie sferica è sicuramente ellittica, mentre
quella costruita su di un piano è inevitabilmente
euclidea, e quella realizzata su di una superficie
"a sella" è certamente iperbolica, come mostra
lo schema seguente:

14. Andreas Speiser
L'universo di Dante non è uno spazio euclideo, bensì una varietà
di Riemann! ("Klassiche stücke der Mathematik", 1925)

15. Un'indiscutibile conferma di questa straordinaria visione
quadridimensionale dell'universo ci è offerta dallo stesso Dante
quando, appena entrato nell'Empireo oltrepassando il Primo
Mobile, l'ultima frontiera dell'universo materiale, afferma:
« Non altrimenti il trïunfo che lude sempre dintorno al
punto che mi vinse, parendo inchiuso da quel ch'elli
'nchiude, a poco a poco al mio veder si stinse » (Par.
XXX, 10-13)

16. Lucio Lombardo Radice
Ciò che colpisce in Lobacevskij (e in Bolyai, che poco dopo
Lobacevskij raggiunse risultati equivalenti) è il fatto che, dal
punto di vista matematico, la lettura delle loro opere non
richiede conoscenze che vadano al di là di quelle "euclidee". E ciò
che colpisce forse ancora di più è il fatto che alcuni dei principali
teoremi della nuova "geometria generale" siano antecedenti alla
sua fondazione: si trovino nell'opera, ad esempio, di Gerolamo
Saccheri, "euclideo" convinto, un secolo prima che non nei
Principi della geometria di Lobacevskij o nel Tentamen di
Bolyai, che non nelle opere cioè dei fondatori della nuova
geometria. Il paragone che viene alla mente (e che da altri è
stato già fatto) è piuttosto quello con la rivoluzione copernicana.
Nella rivoluzione non-euclidea come in quella copernicana il fatto
nuovo non consiste tanto e soltanto nell'apporto di nuovo
materiale, di nuove scoperte, quanto in un capovolgimento del
"punto di vista".

17. Nel 1872 Felix Klein (1849-1925)
Professore ad Erlangen, nel discorso inaugurale,
noto con il nome Programma di Erlangen,
descriveva la geometria come lo studio delle
proprietà delle figure aventi carattere invariante
rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni.
Di conseguenza ogni classificazione dei gruppi di
trasformazioni diventava una codificazione delle
diverse geometrie. Ad esempio la geometria
Euclidea del piano è lo studio delle proprietà delle
figure invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni
rigide del piano formato dalle traslazioni e dalle
rotazioni.

18. Poincaré affermava che:
“…gli assiomi geometrici non sono né giudizi
sintetici a priori, né fatti sperimentali. Sono
convenzioni; la nostra scelta, tra tutte le
convenzioni possibili, è guidata dai fatti
sperimentali, ma resta libera e non è limitata dalla
necessità di evitare ogni contraddizione. È così che i
postulati possono restare rigorosamente veri, anche
se le leggi sperimentali che hanno determinato la
loro adozione non sono che approssimative.

19. Scriveva Mondrian
Il neoplasticismo ha le sue radici nel cubismo. Può
essere chiamato anche pittura astratto-reale perchè
l'astratto (come le scienze matematiche ma senza
raggiungere come loro l'assoluto) può essere
espresso da una realtà plastica nella pittura. Essa è
una composizione di piani rettangolari colorati che
esprime la realtà più profonda, cui perviene
attraverso l'espressione plastica dei rapporti e non
attraverso l'apparenza naturale. .... La nuova
plastica pone i suoi problemi in equilibrio estetico
ed esprime in tal modo la nuova armonia.

20. Salvador Dalí 1954
"Corpus Hypercubus”

21. Si deve sempre a Poincaré la nascita ufficiale di quel settore della
matematica che oggi si chiama Topologia con il volume Analysis
Sitûs (Analisi della posizione), traduzione latina del nome greco,
pubblicato nel 1895. Poincaré definiva la topologia come la scienza
che fa conoscere le proprietà qualitative delle figure geometriche
non solo nello spazio ordinario ma anche nello spazio a più di tre
dimensioni.

22. Se a tutto questo si aggiunge la geometria dei
sistemi complessi, la geometria dei frattali, la
teoria del caos e tutte le immagini
“matematiche” scoperte (o inventate) dai
matematici negli ultimi trenta anni utilizzando la
computer graphic, si comprende come la
matematica abbia contribuito a fare cambiare
più volte la nostra idea di spazio, dello spazio in
cui viviamo e dell’idea stessa di spazio.

23. New York il progetto di Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Manhattan

24. New York il progetto di Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Bilbao

25. Il primo elemento è lo spazio
Il primo elemento è lo spazio delineato da Euclide, con le
definizioni, gli assiomi, le proprietà degli oggetti che in
questo spazio devono trovare posto. Spazio che sarà
quello della perfezione, lo spazio platonico l’uomo come
matrice e misura dell’universo, idea che attraversa i
secoli. La matematica, la geometria che devono spiegare
tutto, anche la forma degli esseri viventi: Le curve della
natura, titolo di un famoso libro del Novecento di Cook
che certo non si immaginava quanto potesse essere vero
ritrovare in forme della natura, addirittura in quelle che
sono all’origine della vita, alcune curve matematiche.

26. Il secondo elemento è la libertà
Il secondo elemento è la libertà; la matematica, la
geometria sembrano essere il regno dell’aridità. Chi non si
è mai occupato di matematica o non ha mai studiato con
interesse la matematica a scuola, non riesce a capire la
profonda emozione che essa può suscitare. Né costoro
possono capire che la matematica sia un’attività
altamente creativa. Né che sia il regno della libertà dove
non solo si inventano (o si scoprono) nuovi oggetti, nuove
teorie, nuovi campi di attività di ricerca, ma si inventano
anche i problemi. Non avendo inoltre il matematico
bisogno in molti casi di ingenti risorse finanziarie, si può
affermare che la matematica sia il regno della libertà e
della fantasia. E certo del rigore e del corretto ragionare.

27. Il terzo elemento su cui riflettere …
• Il terzo elemento su cui riflettere è come tutte queste idee vengono trasmesse e
assimilate, magari non comprese a fondo e solo orecchiate dai diversi settori della
società.
• Ha scritto l’architetto Alice Imperiale nel libro Nuove Bidimensionalità al capitolo
Tecnologie digitali e nuove superfici: “gli architetti si appropriano liberamente di
metodologie specifiche di altre discipline. Ciò può essere attribuito al fatto che
ampi cambiamenti culturali si verificano più velocemente in altri contesti che in
architettura” “l’architettura riflette i cambiamenti che avvengono nella cultura, e
secondo molti, con un ritmo dolorosamente lento.”
• Gli architetti cercano costantemente di occupare un ruolo di avanguardia, pensano
che le informazioni prese a prestito da altre discipline possano essere rapidamente
assimilate all’interno delle progettazioni architettoniche. Tuttavia la traducibilità, il
trasferimento da un linguaggio ad un altro, rimane un problema.
• Gli architetti guardano sempre più spesso ad altre discipline e ad altri processi
industriali per ispirarsi, facendo un uso sempre maggiore nella progettazione del
computer.

28. Il quarto elemento è il computer
Il quarto elemento è il computer, il computer
grafico, la macchina logica e geometrica per
eccellenza. L’idea geniale di un matematico, Alan
Turing, portata a termine sotto lo stimolo di una
guerra. Una macchina costruita dall’uomo, in cui
è stata inserita una logica, costruita sempre
dall’uomo, pensata dall’uomo. Uno strumento
molto sofisticato, insostituibile, non solo in
architettura. Uno strumento appunto.

29. Il quinto elemento il progresso, la
parola progresso.
• Il quinto elemento il progresso, la parola progresso.
Se consideriamo le geometrie non euclidee, le nuove
dimensioni, la topologia, l’esplosione della geometria e
della matematica nel Ventesimo secolo, si può parlare
di progresso?
• Delle conoscenze senz’altro, ma non nel senso che i
nuovi risultati cancellano i precedenti. I matematici
usano volentieri un vecchi detto ricalibrato sulla
matematica. “la Matematica è come il maiale, non si
butta via nulla, prima o poi anche le cose che
sembrano più astratte ed anche insensate possono
venire utili”.

30. Il sesto elemento sono le parole.
• Il sesto elemento sono le parole. Una delle
grandi capacità dell’umanità è di dare un nome
alle cose (sto pensando che già in Platone…)
molte volte nel nominare si usano parole già
nell’uso corrente. In matematica in particolare
negli ultimi anni questa abitudine ha creato dei
problemi come è successo con parole come
frattali, catastrofi, complessità iperspazio. Parole
simboliche, metaforiche. Anche topologia e
dimensionalità e serialità fanno parte del
linguaggio comune o almeno degli architetti.

31. il ruolo dellaTopologia, così come lo
vede un architetto
Lo topologia è lo studio del comportamento di una
struttura di superficie sottoposta a deformazione. La
superficie registra i cambiamenti degli slittamenti spazio-
temporali differenziali in una deformazione continua. Ciò
comporta ulteriori potenzialità per la deformazione
architettonica. La deformazione continua di una
superficie può condurre all'intersezioni di piani esterni e
interni in un continuo mutamento morfologico,
esattamente come nel nastro di Moebius. Gli architetti
usano questa forma topologica nel progetto di casa,
inserendo campi differenziali di spazio e tempo in una
struttura altrimenti statica.

32. La casa di Van Berkel ispirata al nastro
di Moebius (Moebius House)

33. OSSERVAZIONI FINALI
Ho cercato di raccontare alcuni momenti importanti che
hanno portato ad un mutamento nella nostra concezione di
percepire lo spazio, cercando di far cogliere oltre agli aspetti
tecnici e formali che pure sono essenziali nella matematica,
l'aspetto culturale parlando dell'idea di spazio in relazione ad
alcuni aspetti dell'architettura contemporanea. Vorrei solo
ricordare due parole che hanno una grande importanza:
fantasia e libertà. Sono forse queste le due parole magiche
che hanno permesso all'architettura contemporanea di
arricchire di molto il patrimonio progettuale. Fantasia e libertà
che derivano dal confluire nel corso degli anni di tanti
elementi: la logica dei computer, le nuove geometrie, la
topologia, la computer graphics.

34. OSSERVAZIONI FINALI

35. GRAZIE
Vi auguro tanta fantasia e tanta libertà
Antonella.fatai@istruzione.it