Este documento apresenta um resumo sobre elipses realizado por dois alunos da 10a classe para a disciplina de Matemática. O texto começa com uma breve introdução sobre secções cónicas e a importância histórica do estudo das elipses, incluindo as descobertas de Apolónio de Perga e Kepler. Posteriormente define a elipse, descreve métodos de construção e apresenta a equação da elipse e os seus elementos principais. Por fim, exemplifica algumas aplicações da elipse no quotidiano.

1. Agrupamento de Escolas Finisterra
Escola Secundária de Cantanhede
Trabalho realizado no âmbito da disciplina de Matemática
Secções cónicas: a ELIPSE
A matemática é a mais alta das ciências, o dom mais alto que os deuses deram aos
homens. Ela é mais poesia que a própria poesia.
Arquimedes
Turma: 10CT4
Docente: Profª Marília Zorrinho
Trabalho realizado por:
Luís André P. Alves de Oliveira | Nº 15720
Pedro Miguel N. Oliveira | Nº 15737

2. Ano Letivo: 2013 / 2014
Índice
Introdução ....................................................................................................................................... 3
Breve referência histórica sobre a elipse .............................................................................. 4
Definição de elipse ....................................................................................................................... 5
Métodos de construção da elipse ........................................................................................... 5
Equação da elipse e os seus elementos ................................................................................ 5
Aplicações da elipse ..................................................................................................................... 8
Conclusão......................................................................................................................................... 9
Bibliografia ..................................................................................................................................... 10
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3. Introdução
Secções cónicas são as curvas que resultam da intersecção de um plano
com uma superfície cónica.
As secções cónicas representam uma parte muito importante no estudo
da Matemática. As suas equações e os seus gráficos são muitoutilizados em
vários ramos da Matemática, como por exemplo o Cálculo Integral, para além
de serem muitas as aplicações das cónicas na história da sociedade. Desde que
o matemático grego Apolónio de Perga escreveu o primeiro trabalho sobre as
secções cónicas, diversos matemáticos de renome contribuíram, de maneira
significativa, para o conhecimento desta curvas e suas aplicações nos diversos
assuntos.
Das várias cónicas destacam-se duas: a circunferência e a elipse.
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4. Breve referência histórica sobre a
elipse
Apolónio de Perga, foi um matemático que se dedicou principalmente ao
estudo de curvas, denominadas por cónicas.
As civilizações antigas dedicaram-se ao estudo da astronomia
principalmente com fins práticos. Utilizavam-na, por exemplo, para realizar
previsões acerca de acontecimentos importantes, ou para determinar as
estações do ano a fim de procederem às atividades agrícolas nas alturas
corretas. Mais tarde, as razões vieram a alterar-se, mas o interesse pela
astronomia manteve-se sempre.
Os primeiros modelos de que há registo consideravam que as órbitas
planetárias eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes
Kepler, chegando à discordância entre os resultados teóricos e as observações
do astrónomo dinamarquês TychoBrahe, em que se apoiou.
Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas
planetárias eram elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita
de Marte em torno do Sol é uma elipse.
A partir daí as cónicas revelaram a sua restrita ligação com a Natureza, em
particular com as trajetórias dos planetas no Sistema Solar. Esta descoberta,
associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (em 1680) Isaac Newton
a formular a sua lei gravitacional.
O matemático Apolónio nasceu em Perga, Pamphylia. Na época de
Apolónio, Perga era um centro de cultura e o local de devoção da deusa
Artemis.
Apolónio de Perga ficou conhecido como "O Grande Geómetra", tendo
deixado uma vasta obra, que em muito contribuiu para o desenvolvimento da
Matemática, apesar de se terem perdido vários dos seus trabalhos ao longo dos
anos.
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5. Definição
elipse
de
Uma elipse é um conjunto de pontos
do plano cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos (focos) é constante e
maior que a distância entre eles.
Métodos de construção da elipse
Existem vários métodos de construção da elipse entre os quais se destaca
o método do jardineiro e o método do alongamento da circunferência.
O método do jardineiro consiste em
espetar duas hastes verticais no chão, atar as
extremidades de uma corda a cada uma das
hastes e com um pau encostado à corda ir
traçando a elipse no chão, mantendo sempre a
corda esticada. O comprimento da corda deve,
obviamente, ser superior à distância entre as
hastes.
O
método
do
alongamento
da
circunferência consiste em, partindo de uma
circunferência de um determinado diâmetro, com
centro na origem de referencial, multiplicar as
abcissas de todos os pontos da circunferência por
um fator de alongamento. O diâmetro deve ser igual ao eixo menor da elipse
que se pretende traçar. O fator de alongamento deve ser escolhido por forma a
que quando multiplicado pelo diâmetro da circunferência dê a medida do eixo
maior da elipse.
Equação da elipse e os
seus elementos
Da equação da circunferência para a equação da elipse
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6. Uma elipse pode ser imaginada como uma circunferência que foi “alongada” ou
“achatada”.
Será possível, a partir da equação de uma circunferência obter a equação de
uma elipse?
Considere-se a circunferência de centro (0,0) e raio 4.
A equação desta circunferência é:
Ou, dividindo ambos os membros por
,
A equação da elipse aparece, normalmente, sob a forma de:
Na circunferência tem-se a = b = raio. Na elipse tem-se a>b ou a<b.
Através de um alongamento da circunferência de equação
, obtémse uma elipse em que o eixo menor é igual ao diâmetro da circunferência:
Cada ponto A (x,y) da circunferência é transformado no ponto
X
2x
Y
A’ (X,Y) da elipse, sendo:
y
X
x
2
y
Y
Substituindo, na equação da circunferência, por e por Y, obtém-se:
X
2
Y
2
2
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2
X
4
2
Y
2
16
X
2
64
Y
2
16
1
X
8
2
2
Y
1
4
6

7. Assim,
Elipse de centro na origem
Semieixo maior:
Semieixo menor:
2
y
2
8
Equação:
x
2
4
2
1
Se uma vez de um alongamento se tivesse procedido a um achatamento da
circunferência de equação x 2 y 2 4 2 , a elipse obtida teria o eixo maior
igual ao diâmetro da circunferência.
Cada ponto A (x,y) da circunferência é
transformado no ponto A’ (X,Y) da elipse, sendo:
x
X
x
Y
y
, y)
2X
Y
2
y)
y
x
Substituindo, na equação da circunferência, x por
2X e y por Y, obtém-se:
2
(2 X )
Y
2
4
2
2
4X
2
Y
16
4X
16
Assim, a equação
X
2
2
2
Y
2
4
2
1 define
2
Y
2
16
1
X
2
2
2
Y
2
4
2
1
uma elipse de centro na
origem, sendo:
Semieixo menor:
Semieixo maior:
Assim tem-se:
Considere-se uma elipse de centro na origem e vértices (
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); (
;(
e
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8. x
2
y
2
a
A equação da elipse é
2
b
2
1.
Aplicações da elipse
Suponhamos
que
temos
uma
lanterna
direcionada para uma parede, o feixe de luz emitido
desenhará nessa parede uma curva cónica. Este facto
acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna
forma um cone, e também porque a parede funciona
como um plano que corta o cone formado.
Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à
parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma
hipérbole.
O som emitido por um avião a jacto supersónico tem a forma de um
cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim,
dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses,
parábolas ou hipérboles. A audiometria usa este
facto, entre outros, para saber a que distância da
Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som.
Certos candeeiros de cabeceira, cujo abat-jour
é aberto segundo uma circunferência, desenham na
parede uma hipérbole e no tecto uma elipse.
Os Engenheiros da área da iluminação usam
este facto, entre outros, para construírem candeeiros,
lanternas, etc...
As extremidades das asas do famoso avião britânico
Spitfire, usado com grande sucesso na II Guerra
Mundial, eram arcos de elipses. Embora a razão da
sua escolha se prenda com o facto de se obter mais
espaço para transportar munições, pois este tipo de
asa diminuía a resistência do ar, favorecendo
melhores performances ao avião em voo.
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9. Conclusão
Neste trabalho concluímos que Apolónio de Perga teve uma grande
influência no conhecimento mais aprofundado das cónicas (elipse, parábola,
hipérbole).
Aprendemos que a elipse tem váriosmétodos de construção, que pode
ser formada, por exemplo, pelo alargamento ou por achatar uma circunferência.
Passamos ainda a conhecer a equação da elipse, que é formada a partir da
equação da circunferência e ainda seus elementos.
Aprendemos ainda que a elipse tem várias aplicações no nosso dia a dia,
e são em coisas que nós nunca reparamos, como por exemplo quando a luz de
uma lanterna bate na parede, foi utilizada numas asas de um dos aviões mais
famosos, entre outras coisas.
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10. Bibliografia
Gomes, F., Viegas, C., & Lima, Y. (2013). xeqmat. In F. Gomes, C. Viegas, & Y.
Lima, xeqmat. Lisboa: O livro.
Neves, M., & Guerreiro, L. (s.d.). Matemática A - 10º ano - Geometris.
Ovigli, D., de Jesus e Silva, L., Valéria da Silva, S., & Ribeiro Garcia Malheiros, C.
(21 de 12 de 2013). Elipse. Obtido de Elipse: http://estatisticandoelipse.blogspot.pt/
Varandas, J. M. (21 de 12 de 2013). Elipse. Obtido de Website de U.Lisboa:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/elipse.htm
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