Correlation Function and Power Spectrum Density of a Signal Wiener-Khinchin theorem

1. Correlation Function and Power
Spectrum Density of a Signal
Jay Chang
1

2. 2
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數
週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性
相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質
輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數
信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度
相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用

3. 3
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數
週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性
相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質
輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數
信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度
相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用

4. 4
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數
: (
( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) ,
( )
( ) ( ) ( )
) ( ) ( )( ) ( )
, ,
( ) ( ( )
.
)
xy
xy
x
n
xy
y
n
x n y n m y n m x n y
r m x n y n
n m
x
r m x n y n m
r m x n y n
r m m
y m
m
n n
∞
=−∞
∞
=−∞
≡ −
−
−
−
≡ +∑
∑
將 保持
也可定義成 兩者本質相同 但上式便於借用卷積和程式算法進
信號 和 的
不動 將 右移 個採樣週期得到 再將
行運算
反映了
與 相乘並求和
則得到 在 時刻互相關
互相關函數
與 兩個波形的
函數的值
相似程度
: ,
( ) ( ), , .
.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
xy
xy
n m
k
k
x n y n x k y n k
x n y n x k y k n r n
x n y
r m x n y n x m
y n y
y
n n
m
∞
=−
=−∞
=
∞
∞
∗ = −
∴ ∗
= ∗ − = ∗
= − =
−
−
−
∑
∑
∵
相關函數與卷積的運算關係 相關運算缺少了反摺動作 其他與卷積相同
將 翻轉變成 再調用卷積程式計
因此
算 則得到 和 的互相
程式計算
關函數
上

5. 5
2
2
( )
(0) ( ) , (0) ( ) , :
, .
, , .
1
lim
: ( ) ( )( )
.
:
( )
2 1
, .
( )
:
x x x x
n
x
x
x
n
N
x
N
n N
x
x n m
r x n E r x n
x r m x n x n m
E
E
E
P x n
n
N
P
∞
=
∞
=−∞
∞
∞
=−
−
→
−
= ≡
< ∞
= ∞
=
+
< ∞
≡ −∑
∑
∑
表示 的能量 記為
能量信號
能量
信號
自相關函數表示了信號與其自身
自相關函數
移位後的 的相似程
無限
度
信號 主要
能量信號、
研究其平
功
均功率
率信號
信號的平均功率
功率信號
功 .( )率信號 如週期信號 是工程實際和理論研究中的常用信號
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數

6. 6
有限長序列的相關有限長序列的相關有限長序列的相關有限長序列的相關函數函數函數函數
當輸入序列是有限長序列, 或只能獲得無限長序列的有限個序列值時,通常將互相關和自相關函
數表示成有限和的形式.
特別是當x(n)和y(n)是長度為N的因果序列時.
1
1
0
1
1
0
( ) ( ), 0
( ) ( ) ( ), 0
0, other
( ) ( ), 0
( ) ( ) ( ), 0
0, other
( ), ( )
N
n m
N m
xy
n
N
n m
N m
x
n
x n y n m m N
r m x n y n m N m
m
x n x n m m N
r m x n x n m N m
m
x n y n
−
=
− −
=
−
=
− −
=

− ≤ <


= − − < <





− ≤ <


= − − < <




∈
∑
∑
∑
∑
ℝ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ,
( ), (
( )
)
xy
n
xx
n
r m x n y n m
r m
x n y n
x n y n
x n x n m
∞
∗
=−∞
∞
∗
=−∞
= −
= −
∈
∑
∑
ℂ
複信號的相關函數
如果 和 是複信號 其相關函數也是複信號

7. 7
2
2
2
2
0 0 0
, , . 0 0
0
( ) ( ), 0 1,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
:
0:
(
1
0 ,
)
n
x
m
n n m m n
x
n m n m n m
m
n n m m n
x
n n n
x n a u n a
x n r m
a
r m x n x n m a a a a
a
a
r m x n x n
m
m a a
m
a a
m
m
a
a
m
∞ ∞ ∞
− −
= = =
−∞ ∞ ∞
− −
= = =
−
= <
≥ <
≥
<
<
= − = = =
−
= − = =
−
<
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∵
設信號為 求其自相關函數
由於 是無限時寬的 所以 也是無限時寬的 分 與 求解
時
2
: ( ) , .
1
( ) )
.
, ( ) (
mm
m
x
x x x
a
a
r m m
a
r m r m r m
=
∴ = − ∞ < < ∞
−
⇒ − =
⇒
合併
自相關函數都是
寫為
為偶函數
偶函數
Ex:

8. 8
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數
週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性
相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質
輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數
信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度
相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用

9. 9
週期信號的週期信號的週期信號的週期信號的相關性相關性相關性相關性
按照能量信號的相關函式定義, 功率信號的相關函數不存在！但在工程實際中, 常常涉及功率信
號的相關性, 特別是週期信號的相關性. 所以, 對其重新定義相關函數計算公式:
1
( ) lim ( ) ( )
2 1
( ) ( )
( ) ( ) , :
, :
1
( ) lim ( ) ( )
2 1
(
,
( ) ) , ,
N
xy
N
n N
N
x
N
n N
r m x n y n m
N
x n y n
r
x n
m
y
x n x n m
N
x n n
N
y
n
→∞
=−
→∞
=−
= −
+
=
= −
+
∑
∑
功率信號的互相關函數
設 和 是兩個功率信號 其互相關函數定義為
時 功率信號的自相關函數定義為
對週期信號 功率信號相關函數定義中有限區間上的平均值極限就等於一個週期上的平均值
和 週期信號 週期為 互
當
相關函數
1 1
0
1
0
0
1
0
1 1
(
1
: ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) :
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
( ) ( )
:
, .
)
,
N
xy
n
N
x
n
N N
x x
n n
r m x n y n m
N
x n y n r m x n x n m
r m N x n x n m
N
N N
N x n x n m r m
N N
− −
−
=
−
=
=
=
+ =
= −
= = −
− − = − =
∑
∑
∑ ∑
週期為 的週期信號的自相關函數也是以 為週期
如果一個週期信號週期未知 可根據自相關函數的週期性質 估計一個週期信號
自相關函數
的週期

10. 10
Ex:
1 1
0 0
1 1
2
0 0
1
0
2
( ) sin( ), ( )
1 1
( ) sin( )sin( ( )) sin( )[sin( )cos( ) cos( )sin( )]
1
[cos( ) sin ( ) sin( ) sin( )cos( )]
sin( )cos( ) 0
,
N N
x
n n
N N
n n
N
n
x n n x n
N
r m n n m n n m n m
N N
m n m n n
N
n n
N
π
ω ω
ω ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
ω ω
− −
= =
− −
= =
−
=
= =
= − = −
= −
=
∑ ∑
∑ ∑
∑
已知 其週期為 即 求 的自相關函數
1 1
2
0 0
1
, sin ( ) [1 cos(2 )]
2 2
1
( ) cos( ).
2
,
N N
n n
x
N
n n
r m m
ω ω
ω
− −
= =
= − =
⇒ =
∑ ∑
正弦序列的自相關函數是同頻率的余弦序列 顯然自相關函數與原週期序列週期相同.

11. 11
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數
週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性
相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質
輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數
信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度
相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用

12. 12
1. 互相互相互相互相關函數性質關函數性質關函數性質關函數性質
( ) ( ) ( ),
: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ).
( ) ( ) (0) (0) .
( ) ( )
: Cauchy-Schwarz inequal
: ,
2:
ity
( ) ( ) (
xy xy yx
xy
xy y
yx
n k k
xy
x
xy xy x y x y
r m r m r m
pf r m x n y n m x k m y k y k x k m r m
pf
r m x n
r m r m
r m r m r r
y
E E
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
≠
= − = +
= −
≤ =
= + = −
=
∑ ∑ ∑
性質 不是偶函數 而且 但有
性質 足
由
滿
2 2
) ( ) ( ), ( ) (0) (0)xy x y x y
n n n
n m x n y n r m r r E E
∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
− ≤ ≤ =∑ ∑ ∑ 即
如果互相關函數中任一信號或兩個信號的幅度增大或縮小, 其互相關函數的形狀不會改變, 只是其幅度
隨之發生變化.
由於相關函數幅度並不重要, 所以為了檢測判決方便,
實際中通常把互相關函數和自相關函數歸一化到[-1,1]上. 因此, 定義歸一化互相關函數為:
( ) ( )
( )
(0) (0)
xy xy
xy
x y x y
r m r m
m
r r E E
ρ = =
3:
,
, , , .
, ( )li ( ) , 0 .m ( ) 0xy
m
y n x
m
r m n
→∞
∞
→
=
∞
性質
因為
將 相對 移至 處
一般能量信號都是有限非零時寬的
所以 當 時 和的非零區不重疊 所以該
兩者 關
性質成立
相

13. 13
2. 自自自自相關相關相關相關函數性質函數性質函數性質函數性質
*
, ( ) ( ).
, ( ) ( ).
(
1: ( ) ( )
( ) ( )
2: ( ) 0 ,
: ( ) (0) (0) , (
0) ( ).
) ( ) ( ) (0) (0) (0).
:
,
,
x x
x x
x
x
x
xy x y x y x
x
x x x
x
x
r m r mx n r m
x n r m
r m m
pf r m r r E E x n y n r m r
r m r m
r r m
r r
ρ
= −
= −
=
≤ ⇒
≥
= = ≤ =
性質 在 時取得
實信號 實偶函數
最大值
在
性質 若 是 則
式中 令
同理可定
即
義
複信號 共軛對稱函數
歸一化自相
是
若 是 則
關函數
是 即
( ) ( )
( ) .
(0)
3: ,( lim ( ) 0., ( ,) ) x
m
x x
x x
r m r m
m
r E
x n x n r m
→∞
=
= =
對能量信號 將 相對自身移至無窮遠處 則二者不相關性質

14. 14
時域離散時域離散時域離散時域離散信號信號信號信號Fourier變換變換變換變換的性質的性質的性質的性質: 4. FT對稱性對稱性對稱性對稱性
*
*
*
( ) : ( ) ( ), ( ) .
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( )
: , .
( ) (
( ) : ( ) ( ), ( )
)
er er
e
e e e e
n n
e er ei e er ei
o o
i e
o
i
e
x n x n x n x n
x n x n jx n x n
x n x n
x n x
x n jx
n
n
x n x n x n x n
→−
= −
= −
= + ⇒ − = − − −
= − −


= − −
再取共軛
設複序列 滿足 稱 為共軛對稱序列
性質
兩式相等
設複序列 滿足 稱
共軛對稱序列 實部偶函數 虛
為共
部奇函數
軛反對稱
1
*
* * *
.
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
(
( ) ( )
: , .
) ( ) ( )
( ) (
( ) ( ) ( ) (
)
n n
o or oi o or oi
e o
n n
e o
or
e
or
oi oi
x n x n
x n x n
x n x n jx n x n x n jx n
x n x n x n
x n x n x n x
→− −
→−
= + ⇒ − − = − − + −
+ ⇒ = +
⇒ − =
= − −

= −
− + − =
取共軛 再同乘
再取共軛
序列
性質
兩式相等
一般序列可用共軛對稱 共軛反對稱
共軛反對稱序列 實部奇函數 虛部偶函
示
數
之和表
*
*
1
( ) [ ( ) ( )]
2
, ( ) & .
1
( ) [ ( ) ( )]
) )
2
(o
e
o
x n x n x n
x n
x n x n
n
x n
x n

= + −
=

−

 − −

可用 求出共軛對稱 共軛反對稱分量
Review…

15. 15
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列 絕對可
變
和
正 換
逆變換
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ).
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ).
( ) [ (
:
:
)]
r i r i
j j j j j j
e e er er ei ei
j j j j j j
o o or or oi oi
j
e r
x n x n jx n x x
X e X e X e X e X e X e
X e X e X e X e X e X e
X e FT x n x
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω
∗ − − −
∗ − − −
= + ∈
= ⇒ = = −
= − ⇒ = − =
= =
ℝ
實偶虛奇
實奇虛偶
頻域共軛對稱性
頻域共軛反對稱
序
性
設序列 列
Fourier .
Fourier .
( ) (
( )
( ) [ ( )]
) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
: ( ) ( ) ( )
)
(
(
j n
r
n
j j n
o i i i
n
j j n j n
e r
FT
j j j
r i e
r e
n
o
n
x n x n
n e
X e FT j
jx n X e X e X e
x n jx n e jx n
pf X e x n e x n e X e
ω ω ω
ω
ω ω
ω ω ω
∞
−
=−∞
∞
−
=−∞
∗∞ ∞
− ∗
=−∞ =−∞
⇒
= = ⇒
 
= =
= + → = +
= 
 
∑
∑
∑ ∑
實序列的 變換具有共軛對稱性
序列的 變換具有共軛反對稱性
),
( ) ( ) ( ) ( ).
j
j j n j n j
o i i o
n n
X e jx n e jx n e X e
ω
ω ω ω ω
−
∗∞ ∞
− ∗ −
=−∞ =−∞
 
= = − = − 
 
∑ ∑
序列的對稱性與其序列的對稱性與其序列的對稱性與其序列的對稱性與其Fourier變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係？？？？
(1) 將序列將序列將序列將序列x(n)分成實部分成實部分成實部分成實部xr(n)與虛部與虛部與虛部與虛部xi(n):
Review…

16. 16
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列 絕對可
變
和
正 換
逆變換
序列的對稱性與其序列的對稱性與其序列的對稱性與其序列的對稱性與其Fourier變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係？？？？
(2) 將序列將序列將序列將序列x(n)分成分成分成分成共軛對稱共軛對稱共軛對稱共軛對稱xe(n)與共軛反對稱與共軛反對稱與共軛反對稱與共軛反對稱xo(n):
* *
* *
( ) ( ) ( )
1 1
( ) [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( ) ( )] Re[ ( )] ( )
2 2
1 1
( ) [ ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )] [ ( )] [ ( ) ( )] Im[ ( )] ( )
2 2
( ) (
FT
j j j
e o
e o
j j j j
e e R
j j j j
o o
R
I
I
x n x n x n
x n x n x n FT x n X e X e X e X e
x n x n x n FT x n X
x n x n x n
e X e
X e X e j
j X e j e
X
X
eω ω
ω ω ω ω
ω
ω
ω ω ω
= + →
= +
= + − → = + = =
= − − → =
+
− = =
=
設序列
: [ ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
[ ( ) ( )] [ ( ) (
)
)] ( )
j n
r i r i
n
m n
j m j m j
r i r i
m m
pf FT x n FT x n jx n x n jx n e
x m jx m e x m jx m e X e
ω
ω ω ω
∞
∗ −
=−∞
∗∞ ∞=−
− ∗
=−∞ =−∞
− = − − − = − − −
 
= − = + = 
 
∑
∑ ∑
Review…

17. *
2 2 2 1
( ) , ( ), 0.
( ) ( ) ( )
,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) , arg[ ( )] tan [ ( ) / ( )] .
( )
j
e
j j j
e
j j
R R
j j
I I
j j j j j j
R I I R
h n FT H e
H e H e H e
FT
H e H e
H e H e
H e H e H e H e H e H e
h n
ω
ω ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω ω ω ω
−
−
−
−
=
= =
=
= −
= + =
設序列 是實序列 後只有共軛對稱部分 共軛反對稱
實序列 後是共軛對稱函數 實偶虛奇
模 偶函數 相位 奇函數
設序列 是實因果序列, ( ) ( ) ( )
(0), 0
1 1
( ) [ ( ) ( )] ( ), 0
2 2
1
( ), 0
2
0, 0
1 1
( ) [ ( ) ( )] ( ), 0
2 2
1
( ), 0
2
e o
e
o
h n h n h n
h n
h n h n h n h n n
h n n
n
h n h n h n h n n
h n n
= +

 =


= + − = >


− <

 =


= − − = >

−
− <
17
: ( ) [ ( )] ( )
1
: ( ) [ ( )] ( )
2
( )( )
j j n
n
j j j n
n
X e FT x n x n e
x n IFT X e X e e d
x n x n
ω ω
π
ω ω ω
π
ω
π
∞
−
=−∞
−
∞
=−∞
= =
=
⇒
=
< ∞
∑
∫
∑序列 絕對可
變
和
正 換
逆變換
序列的對稱性與其序列的對稱性與其序列的對稱性與其序列的對稱性與其Fourier變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係變換的對稱性之間的關係？？？？
(3) 分析實序列分析實序列分析實序列分析實序列h(n)的對稱性的對稱性的對稱性的對稱性:
2 ( ( ) ( ) & ( ) ):
2, 0
( ) ( ) ( )
, where ( ) 1, 0
( ) ( ) ( ) (0) ( )
0, 0
e o
e
o
h n h n h n
n
h n h n u n
u n n
h n h n u n h n
n
δ
+
+
+
>
= 
= = 
= +  <
按照上 式可寫為 分別用 表示
Review…

18. 18
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數
週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性
相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質
輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數
信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度
相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用

19. 19
輸入輸出信號的相關輸入輸出信號的相關輸入輸出信號的相關輸入輸出信號的相關函數函數函數函數: 時時時時域離散線性時不變系統輸出信號與輸入信號的互相關函數域離散線性時不變系統輸出信號與輸入信號的互相關函數域離散線性時不變系統輸出信號與輸入信號的互相關函數域離散線性時不變系統輸出信號與輸入信號的互相關函數
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
( ), ( ) , (
)( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )
(
.
)
)
, ( )
yx x
y
x
k
x x
y n h n x n h k x n k
y m x m h m x m x m h
x n r
m x m x mr m h m r
m h n
hm m
m
mr r
∞
=−∞
= ∗ = −
= ∗ − = ∗ ∗ − = ∗ ∗∗ − =
∑
假設系統輸入信號 自相關函數 已知 系統單位脈衝響應
系統輸出信號
輸出信號與輸入信號的互相關函數
所以 可以看成線性時不變系統 對輸入序列 的響應輸出
LTI系統 h(n)( )xr m ( )yxr m
系統輸出信號的自相關函數系統輸出信號的自相關函數系統輸出信號的自相關函數系統輸出信號的自相關函數
,
0
0
( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
, ( ) , ( )
( ) ,
(
( ) , , 0
(0) (
) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( )
h
x y
x
y h x h xm
n m
y h xy m y m h m x m h m x m h m h m x m x m
h n r m
r m
r m r m m
r r m r m r n r m n
r m r m
∞ ∈
=
=−∞ =
= ∗ − = ∗ ∗ − ∗ − = ∗ − ∗ ∗ − =
=
⇒
∗
= ∗ = − =∑
ℝ
如果系統穩定 則 為能量信號 存在
如果 存在 存在 即輸出信號也是能量信號 令 可得輸出信號能量
( ) ( )
0
: , , .
, .
( ) ( ) ( ) ( )
x xr m r m
h x h x
n nm
r n r n m r n r n
∞ ∞= −
=−∞ =−∞=
− =∑ ∑
結論 穩定系統 如果輸入是能量信號 則輸出也是能量信號
實際上 上述輸入輸出信號的相關函數關係式對於功率信號也都適用

20. 20
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
: ( ) ( ) ( ),
, ( ) ( )
( ) ( )
:
(
,
xy
n
xy
xy
n
k
xy
k
r m x n y n m
x n y n x k y n k
x n y n x k y
r m x n y n m
r m x n
x n y
n
n
y
k n r n
∞
=−∞
∞
=−∞
∞
∞
=−
=−∞
∞
≡ +
∗ = −
∴ ∗ − =
≡ −
−
=
=
∗ −
∑
∑
∑
∑∵
信號 和 的
相關函數與卷積的運算關係 相關運算缺少了反
也可定義成 兩者本質相同.
摺動作 其他與卷積
因
相
互相關函數
程式計算此 上
同
) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, ( ), ( )
( ) ( ) (
( ) (
)
) ,
n m
xy
n
xx
n
x m y m
r m x n y n m
x n y n
r m x n
x n y n
x n m
=
∞
∗
=−∞
∞
∗
=−∞
= ∗ −

= −

∈
 = −

∑
∑
ℂ
如果 和 是複信號 其相關函數也是複信號
Review…

21. 21
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數
週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性
相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質
輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數
信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度
相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用

22. 22
信號的能量譜信號的能量譜信號的能量譜信號的能量譜
2*
2
( ) , ( )
[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
Fourier ( ): ( )
j m j m j m
x x
j n j k j j j
j
x
m m n n m
k n m
n k
x n x n FT
FT r m r m e e e
e e e e e
r m I
x n x n m x n x n m
x n x k
F
X
T
X
e
X
X
ω ω ω
ω ω ω ω ω
ω
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞ =−∞ =−∞
∞ ∞= −
− −
=−∞ =
−
−∞
−
= = − −
=
= = =

=∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
假設 是實能量信號 對 的自相關函數進行
變換唯一性
2
2
2 2
2
2
1 1
, (0)
2 2
where (0) ( ) , ( )
( ) [ ( )]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0.
( )
( )
( )
1
( ) ( ) ( )
:
2
j j m j
x
j
j
x x
j j j m
x
x x
e e d r e d
r x n e x n G
x n x n F
G FT r m X e
r m IFT X e X e
T
e
X X
X
d
π π
ω ω ω
π π
ω
ω
π
ω ω ω
π
ω
π π
ω
ω
π
ω ω
− −
−
= =
 = =  
 = =  
≥
∫ ∫
是信號 的能量 是信號 的能量譜密度 簡稱能量譜 記
的自相關函數與 的能量譜構成一對
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
: ACF , ,
( ) ,
[ ( )]
( ) or ( ) ( ).
.
( ) ( )
.
FT
j
y h x y
x
y x
x
j
H
r m r m r m G FT r m H e
G r m x n
e
Gω
ω
ω ω
ω
⇒





= ∗ → = =
⇒
∫
結論 保留了信號的幅頻信息 而丟失了相位信息 所以不能從
對穩定系
回復原信號
能量信號通過統 存在 穩定系統
可得
後
輸出能量譜與輸入能量譜之間的
輸出響應仍是
係
能量信號
關

23. 23
信號的功率譜信號的功率譜信號的功率譜信號的功率譜
[ ]
( ) , ( ) [ ], [ ] .
(
( ) ( )
1
( ) lim ( ) ( ).
2 1
Wiener-Khinchin th
( ) [ ( )] ( )
1
( ) ( )
2
eore
)
m : ACF PSD Fourier
,
j m
x x x
m
x
N
x
x
N
x
n N
x n x n m
r
P FT r m r m
x n r m E E
x n m x
e
r
n x n m
T
N
m IF P P
ω
ω
ω
π
→∞
=−
∞
−
=−∞
= =
= =
= −
= −
+
∑
∑
i是平穩隨機信號 自相關函數為 表示統計平均
是確定性功率信號 自相關函數
是一對
為
與 變換
1
where (0) ( ) ( ) , ( ) ( ) PSD.
2
( ) ( ) i.e. ( ) ( )
, ( ) 0,
( )
)
.
(
x x x
x x x x
x
j m
x
r P d x n P x n
r m
e
P
P
x
d
n P P
π
π
π
ω
π
ω ω ω
π
ω ω ω
ω ω
ω
−
−
= =
∈ ⇒



⇒

=
≥

−

∫
∫
ℝ若
平均功率 就是 的
實偶函數 實偶函數
與能量譜一樣 功率譜 不包含相位信息

24. 24
互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數互相關函數和自相關函數
週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性週期信號的相關性
相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質相關函數的性質
輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數輸入輸出信號的相關函數
信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度信號的能量譜密度和功率譜密度
相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用相關函數的應用

25. 25
相關函數的相關函數的相關函數的相關函數的應用應用應用應用
雷達、聲納、數位通信、地質和其他科學和工程領域, 信號的相關性分析都有廣泛的應用.
信號處理中的實例:
• 噪聲中信號的檢測
• 信號中隱含週期性的檢測
• 信號相關性的檢測
• 信號延時時間的測量等.

26. 26
1. 在在在在雷達和主動聲納系統中的的雷達和主動聲納系統中的的雷達和主動聲納系統中的的雷達和主動聲納系統中的的應用應用應用應用
( ) : .
( ) : A/D , .
( ) ( ) ( )
where ,
RFFE
( ),
( ) .
x n
y n
y n ax n D w n
a D
w n
= − +
發射信號採樣
接收端 輸出信號採樣 發射信號被目標反射經加性躁聲汙染延遲信號
衰減因子 延遲 假設為採樣間格整數
天線接收到的加性雜訊、接收機 電子器件或放大器產生的雜訊
倍
雷達探測目的:
• 通過比較x(n)和y(n), 判斷目標是否存在.
• 如果存在, 則通過求延遲D來確定目標的距離.
問題:
• 工程實際中, 受加性噪聲的嚴重污染, 不可能從y(n)的波
形判斷目標是否存在.
解決方法:
• 相關檢測方法.

27. 27
( ): .
( ) : A/D , .
( ) ( ) ( )
where , ( ),
( )
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] (
RFFE .
) ( ) ( )yx
n n
x n
y n
y n ax n D w n
a D
w n
r m y n x n m ax n D w n x n m ax n D x n m
∞ ∞
=−∞ =−∞
= − +
= − = − + − = − −∑ ∑
發射信號採樣
接收端 輸出信號採樣 發射信號被目
天線接收到的加性雜訊、接收機 電子器件或放大器產生的雜
標反射經加性躁聲汙染延遲信號
衰減因子 延遲 假設為採樣間格整數倍
訊
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0;
( ) ( ) : , ( ) Ma
,
,
x, ( ) (0) .
n n
x wx
wx
x yx wx
yx x yx yx x x
w n x n m
ar m D r m
x n w n r m
ar m D r m r m
r m ar m D m D r m r D ar a
D
E
∞ ∞
=−∞ =−∞
+ −
= − +
⇒ ↓↓
− ⇒ = ≈
⇒ ≈ − = ≈ =
∑ ∑
信號 與噪聲 相關性
當目標不存在時 無反射信號
當目標存在時
雷達檢測到目標 並根據所檢測的
很
反射延時 值
小
有
換算出目標 .距離

28. 28
2. 使用使用使用使用相關函數檢測實體信號隱含的週期性相關函數檢測實體信號隱含的週期性相關函數檢測實體信號隱含的週期性相關函數檢測實體信號隱含的週期性
問題:
• 在實際應用中, 需要檢測被隨機噪聲污染的觀測實體信號隱含的週期性.
問題描述:
• 觀測信號: y(n) = x(n) + w(n)
• x(n): 週期信號, 但週期N未知, 要求檢測其週期N.
• w(n): 表示加性隨機干擾噪聲, 近似白色噪聲.
檢測條件:
• 觀測到y(n)的M個採樣值, 觀測區間為
• 將y(n)看作是一個因果序列, 長度為M, 引入歸一化因子
• x(n)與w(n)不相關, 或相關性很小
0 1,n M M N≤ ≤ − ≫

29. 29
用自相關法求用自相關法求用自相關法求用自相關法求y(n)中隱含週期信號的週期中隱含週期信號的週期中隱含週期信號的週期中隱含週期信號的週期
1 1
0 0
1 1 1 1
0 0 0 0
1 1
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )]
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0, (
M M
y
n n
M M M M
n n n n
x xw wx w
xw wx
r m y n y n m x n w n x n m w n m
M M
x n x n m x n w n m w n x n m w n w n m
M M M M
r m r m r m r m
r m r
− −
= =
− − − −
= = = =
= − = + − + −
= − + − + − + −
= + + +
≈
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
) 0, ( ) ( )
0 , ( ) ( )
( ) ( ) , ( ) .
0, ,2 ..., ( ) .
w
y x
x
x
m r m k n
m r m ar m
x n r m x n
m N N r m
δ≈ ≈
∴ > ≈
⇒
=
當 時
是周期序列 周期序列 且周期與 相同
在 會周期性地出現較大峰值
結論: 根據ry(m)從干擾噪聲中檢測出y(n)中是否存在週期信號, 並確定其週期N.

30. 30
( )
( )
2
2 2
0.1
0.5
( ) sin( / 5), 0 199
: ( ) ( ) ( )
: ( ) , [ , ]
( ), ( )
( ) /12
( ) 1/ 2
1/ 2 6
:
/12
10lg / 1 , 6 /10
10lg / 5 , 6 /10
y
w
x
x
w
x w
x w
x n n n
y n x n w n
w n A A
r m x n
w n P A
x n P
P
SNR
P A A
SNR P P dB A
SNR P P dB A
π= ≤ ≤
= +
−
=
=
= =
= = =
= = =
觀測信號
干擾噪聲 是白噪聲 在 均勻分布
求 並確定信號 週期
的功率
的功率
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
0
2
n
w(n)
(a)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
0
2
n
y(n)
(b)
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
0
1
m
ry(m)
(c)
1 dB ( )wSNR n= 時的噪聲Ex:
1
2 2
0
2
1
[ ( ) ]
: ( )
rand ( ) 1/12, 0.5.
N
a
n
a
a
w n m
N
m w n
w n m
σ
σ
−
=
= −
= =
∑
均值
函數產生的 功率
randn函數可產生均值為0, 方差(功率)為1,
服從高斯分布的白噪聲.

31. 31
5 dB ( )wSNR n= 時的噪聲
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
0
2
n
w(n)
(a)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
0
2
n
y(n)
(b)
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
0
1
m
ry(m)
(c)
結論:
1. 從圖可看出, 即使噪聲功率較小, 觀測信噪比達到5 dB, 我們也很難直接從觀測信號y(n)確定x(n)
的週期.
2. 但很容易從y(n)的自相關函數很容易確定x(n)的週期N = 10.

32. 32
10 dB ( )wSNR n= 時的噪聲0.01 dB ( )SNR w n= 時的噪聲
極端情況比較極端情況比較極端情況比較極端情況比較

33. 33
%Octave code
clear all;
N=200;M=50; %設置信號和噪聲序列長度N, y(n)自相關函數單邊長度M
A1=sqrt(6/10^0.1); %SNR=1dB時, 計算噪聲分佈參數A
A2=sqrt(6/10^0.5); %SNR=5dB時, 計算噪聲分佈參數A
A3=sqrt(6/10^1); %SNR=10dB時, 計算噪聲分佈參數A
n=0:N-1;
w=A3*(rand(1,N)-0.5); %產生200個白噪聲, 均值為零, 在[-A1/2,A1/2]上均勻分佈
x=sin(pi*n/5); %產生信號x(n)的200個值
y=x+w; %y(n)=x(n)+w(n)
ry=xcorr(y,M,'biased'); %計算y(n)自相關函數的2M+1個值
m=-M:M; %自相關函數的2M+1個值對應的引數m=-M,...,0,...M
figure(1)
subplot(3,1,1);stem(n,w,'.');axis([0,100,-2,2]);
xlabel('n');ylabel('w(n)');title('(a)')
subplot(3,1,2);stem(n,y,'.');axis([0,100,-2,2]);
xlabel('n');ylabel('y(n)');title('(b)')
subplot(3,1,3);stem(m,ry,'.'); axis([-50,50,-1,1]);
xlabel('m');ylabel('ry(m)');title('(c)')
用MATLAB函數rand, 產生的白噪聲均值為q/2, 幅度在[0,q]上均勻分佈

34. 34
Ex:
( ) sin( ) ( ), / 6, ( )x n A n w n w nω ω π= + = 是均勻分佈的白噪聲
用MATLAB函數rand, 產生的白噪聲均值為q/2, 幅度在[0,q]上均勻分佈
%Octave code
clear all;
N=120;M=60; %設置信號和噪聲序列長度N, 自相關函數單邊長度M
q=sqrt(1.2); %噪聲功率=0.1時, 計算噪聲分佈參數q
A=sqrt(2); %SNR=10 dB時, 計算正弦信號幅度A
n=0:N-1;
w=q*(rand(1,N)-0.5); %產生白噪聲, 均值為零, 在[-q/2,q/2]上均勻分佈
s=A*sin(pi*n/6); %產生正弦信號的120個值
x=s+w; %x(n)=s(n)+w(n)
rw=xcorr(w,M,'biased'); %計算w(n)自相關函數的2M+1個值
rx=xcorr(x,M,'biased'); %計算x(n)自相關函數的2M+1個值
m=-M:M; %自相關函數的2M+1個值對應的m=-M,...,0,...M
figure(1)
subplot(2,1,1);stem(n,w,'.');xlabel('n');ylabel('w(n)');title('(a)')
subplot(2,1,2);stem(m,rw,'.');xlabel('m');ylabel('r_w(m)');title('(b)')
figure(2)
subplot(2,1,1);stem(n,x,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');title('(c)')
subplot(2,1,2);stem(m,rx,'.');xlabel('m');ylabel('r_x(m)');title('(d)')

35. 35

36. 36
Barker code(巴巴巴巴克克克克碼碼碼碼): 常用常用常用常用的一種群同步的一種群同步的一種群同步的一種群同步碼碼碼碼.
定義：設一個N位的巴克碼組為{x1, x2, …, xN}, 則其自相關函數可以用下式表示:
上式表明, 巴克碼的R(0) = N, 而在其他處的自相關函數R(j)的絕對值均不大於1. 也就是說, 凡是
滿足上式的碼組, 就稱為巴克碼.
表中各碼組的反碼(即正負號相反的碼)和反序碼(即時間順序相反的碼)也是巴克碼.
1
, 0
( ) 0 or 1, 0
0,
N j
i i j
i
N j
R j x x j N
j N
−
+
=
=

= = ± < <
 ≥
∑
N Barker code
1 ＋
2 ＋＋, ＋―
3 ＋＋―
4 ＋＋＋―, ＋＋―＋
5 ＋＋＋―＋
7 ＋＋＋――＋―
11 ＋＋＋―――＋――＋―
13 ＋＋＋＋＋――＋＋―＋―＋

37. 37
5
2
1
4
1
1
3
2
1
2
3
1
1
4
1
Ex : 5 Baker code
5, 0 ~ 4
0, (0) 1 1 1 1 1 5
1, (1) 1 1 1 1 0
2, (2) 1 1 1 1
3, (3) 1 1 0
4, (4)
:
1
i
i
i i
i
i i
i
i i
i
i i
i
N
N j
j R x
j R x x
j R x x
j R x x
j R x x
=
+
=
+
=
+
=
+
=
=
= ∴ =
= = = + + + + =
= = = + − − =
= = = − + =
= = = − + =
= = =
∑
∑
∑
∑
∑
∵
求其自相關函數值
1
, 0
( ) 0 or 1, 0
0,
N j
i i j
i
N j
R j x x j N
j N
−
+
=
=

= = ± < <
 ≥
∑
由以上計算結果可見, 其自相關函數絕對值除R(0)外, 均不大於1. 滿足定義
1
, 0
( ) 0 or 1, 0
0,
N j
i i j
i
N j
R j x x j N
j N
−
+
=
=

= = ± < <
 ≥
∑

38. 38
巴克碼的自相關巴克碼的自相關巴克碼的自相關巴克碼的自相關函數曲線函數曲線函數曲線函數曲線
自相關函數是偶函數, 所以其自相關函數值畫成曲線如上圖所示.
將j = 0時的R(j)值稱為主瓣, 其他處的值稱為旁瓣.
實際通信情況中, 在巴克碼前後有其他碼元存在. 但是, 若假設信號碼元的出現是等機率的, 則
相當於在巴克碼前後的碼元取值平均為0.
• 所以平均而言, 計算巴克碼的局部自相關函數的結果, 近似地符合在實際通信情況中計算
全部自相關函數的結果.
• 自相關函數在j = 0時具有尖銳的單峰特性.
• 這一特性正是集中插入群同步碼組的主要要求之一；
也是接收端尋找同步頭的線索.
41 2 3-4 -1-3 -2
R(j)
1
-1
••• •
5
j
•
•• • •
3
2
0
5
2
1
4
1
1
3
2
1
2
3
1
1
4
1
5, 0 ~ 4
0, (0) 1 1 1 1 1 5
1, (1) 1 1 1 1 0
2, (2) 1 1 1 1
3, (3) 1 1 0
4, (4) 1
i
i
i i
i
i i
i
i i
i
i i
i
N j
j R x
j R x x
j R x x
j R x x
j R x x
=
+
=
+
=
+
=
+
=
= ∴ =
= = = + + + + =
= = = + − − =
= = = − + =
= = = − + =
= = =
∑
∑
∑
∑
∑
∵
P.S. 自相關函數是偶函數

39. 39
Ex:
N=200;M=60; %設信號序列長度N, (13個巴克碼)互相關函數單邊長度M
A=sqrt(0.01); %噪聲功率=0.01時, 計算噪聲幅度因數A
n=0:N-1;
x=[1,1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,1,zeros(1,180-13)]; %x為13位巴克碼, 後面補零, 總長度N=180
w=A*randn(1,N); %產生高斯白噪聲, 均值為零, 噪聲功率=0.01, 長度為200, 為xd=x(n-20)的長度
xd=[zeros(1,20),x]; %xd=x(n-20), 長度為200
y=0.9*xd+w; %y(n)=0.9x(n-20)+w(n)
xn=[x,zeros(1,20)]; %x(n)長度為200
[ryx,m]=xcorr(y,xn,M,'biased'); %計算y(n)和x(n)互相關函數的2M+1個值
figure(1)
subplot(3,1,1);stem(n,xn,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');title('(a)');axis([0,100,-1,1])
subplot(3,1,2);stem(n,y,'.');xlabel('n');ylabel('y(n)');title('(b)');axis([0,100,-2,2])
subplot(3,1,3);stem(m,ryx,'.');xlabel('m');ylabel('ryx(m)');title('(c)');axis([-60,60])

40. 40
2
( ), ( ) ( ) ( 0.01)yxx n y n r m σ =和 波形圖

41. 41
2
( ), ( ) ( ) ( 0.1)yxx n y n r m σ =和 波形圖

42. 42
2
( ), ( ) ( ) ( 1)yxx n y n r m σ =和 波形圖

43. 43
Thank you for your attention

44. 44
• Taiwan is a country.
• Taiwan is Taiwan, NOT Chinese Taipei or ROC…
• Taiwan No. 1.
• Thank you.