4. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Συνέπεια του ορισμού (για τις ασκήσεις)
Μια συνάρτηση f : A → R είναι συνάρτηση
1−1, αν και μόνο αν
για οποιαδήποτε x1 , x2 Aϵ
ισχύει η συνεπαγωγή:
αν f(x1) = f(x2) , τότε x1 = x2.
5. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Η συνάρτηση f(x) = αx + β, με α ≠0 είναι
συνάρτηση 1−1.
Η συνάρτηση f(x) = β δεν είναι συνάρτηση 1-1 , αφού
f(x1) = f(x2) = β για οποιαδήποτε x1 , x2 ϵ R,
7. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Αν η f είναι 1-1 , τότε:
• Δεν υπάρχουν
σημεία της γραφικής
της παράστασης με
την ίδια τεταγμένη.
• Αυτό σημαίνει ότι
κάθε οριζόντια
ευθεία τέμνει τη
γραφική παράσταση
της f το πολύ σε
ένα σημείο .
13. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Πως δείχνω ότι μια συνάρτηση
είναι 1-1:
• Παίρνω δύο τυχαία x1 , x2 ÎΑ και αποδεικνύω ότι
αν f(x1) = f(x2) , τότε x1 = x2.
• Αποδεικνύω ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
• Δείχνω ότι η εξίσωση y=f(x) με άγνωστο το x και
παράμετρο το y έχει ακριβώς μία λύση στο Α.
20. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 6
Έστω η συνάρτηση f: A R για την οποία
ισχύει:
• f(x)>0 για κάθε xÎA
• f(x)=x-lnf(x) για κάθε xÎA
Να δείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα.
Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
22. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 7
• Συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει:(f°f)(x)=x
για κάθε xÎR
• Συνάρτηση g με: g(x)=ex
+ ef(x)
για κάθε xÎR
• Η g είναι 1-1
Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
Να δείξετε ότι (g°f)(x)=g(x).
Βρείτε την συνάρτηση f.
23. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Εξίσωση της μορφής f(x) = α , αЄR, με f “1-1”.
Η εξίσωση θα έχει το πολύ μία ρίζα
Περιπτώσεις:
Το α δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f.
Η εξίσωση f(x) = α δεν έχει ρίζα.
Το α ανήκει στο σύνολο τιμών της f.
Η εξίσωση f(x) = α έχει ακριβώς μία ρίζα.
26. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 8
Δίνεται η συνάρτηση
– Να βρείτε το f(1)
– Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
– Να λύσετε την εξίσωση
( ) 2015 2017
f x x x= +
2015 2017
2x x =+
27. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 9
Δίνεται η συνάρτηση
– Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
– Να λύσετε την εξίσωση
– Να λύσετε την εξίσωση
( ) 1x
xf x e + +=
1
1x
e x ee +
+ × + =
2 1 2 2
3x x
e x xe − +
− = − +