1. Đoàn Hoài Hận Hàm số bậc nhất – bậc hai
CHƯƠNG II
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
I. HÀM SỐ
Trang 1
1. Định nghĩa
 Cho D  R, D  . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một
và chỉ một số y  R.
 x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x).
 D đgl tập xác định của hàm số.
 T = y  f (x) xD đgl tập giá trị của hàm số.
2. Cách cho hàm số
 Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng công thức y = f(x).
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm Mx; f (x) trên mặt phẳng
toạ độ với mọi x  D.
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói y = f(x) là phương
trình của đường đó.
4. Sư biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2 K : x1  x2  f (x1)  f (x2 )
 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2 K : x1  x2  f (x1)  f (x2 )
5. Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
 Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x).
 Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x).
Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số
 Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức
f(x) có nghĩa: D = xR f (x) coù nghóa .
 Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:
1) Hàm số y =
( )
( )
P x
Q x
: Điều kiện xác định: Q(x)  0.
2) Hàm số y = R(x) : Điều kiện xác định: R(x)  0.
Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.
+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A  D.
+ A.B  0  A
B
0
0
 
  
.
Baøi 1. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) f (x)  5x . Tính f(0), f(2), f(–2), f(3).

2. Hàm số bậc nhất – bậc hai Đoàn Hoài Hận
3
1

2 
1
1
( 2) 1

, : 0
    
Trang 2
b)
( ) 1
f x x

x2 x
2 3 1

 
. Tính f(2), f(0), f(3), f(–2).
c) f (x)  2 x 1  3 x  2 . Tính f(2), f(–2), f(0), f(1).
d)
2 khi x
0
1
x
( ) 1 0 2
f x x khi x
x2 khi x
1 2

 

     
  
. Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3).
e)
1 khi x
0
 
  
 
( ) 0 0
f x khi x
1 khi x
0
. Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5).
Baøi 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
2 1
3 2
y x
x



b)
y x
x

5 2


c) y
x
4
4


d)
y x
x2 3x 2

 
e)
y x
x2 x
2 5 2

 
f)
3
y x
x2 x
1

 
g)
y x
x3
1
1



h)
y x
x x2 x
( 2)( 4 3)

  
i) y
1
2 3
x4 x2

 
Baøi 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y  2x  3 b) y  2x  3 c) y  4  x  x 1
d) y x
1 1
x
3
  

e) y
x x

 
f) y  x  3 2 x  2
g)
5 2
y 
x
( x 2) x
1

 
h) y x
x
2 1 1
3
  

i) y x
3 1
x2
4
  

Baøi 4. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra:
a)
2 1
6 2
y x

x2 x a

  
; K = R. ĐS: a > 11
b)
3 1
2 4
y x

x2 ax

 
; K = R. ĐS: –2 < a < 2
c) y  x  a  2x  a 1 ; K = (0; +). ĐS: a  1
d)
y x a x a
x a
2 3 4
1

   
 
; K = (0; +). ĐS: 1 a 4
3
 
e)
2
1
y x 
a
x a

 
; K = (–1; 0). ĐS: a  0 hoặc a  1
 1    2  6
f) y x a
x a

; K = (–1; 0). ĐS: –3  a  –1
 2  1  1
e) y x a
x a

; K = (1; +). ĐS: –1  a  1
VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
 y = f(x) đồng biến trên K  x1, x2 K : x1  x2  f (x1)  f (x2 )

( ) ( )
f x f x
x x K x x
2 1
x x
1 2 1 2

2 1

3. Đoàn Hoài Hận Hàm số bậc nhất – bậc hai
 y = f(x) nghịch biến trên K  x1, x2 K : x1  x2  f (x1)  f (x2 )

, : 0
    
1 1
1 1
  
II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Trang 3

( ) ( )
f x f x
x x K x x
2 1
x x
1 2 1 2

2 1
Baøi 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:
a) y  2x  3 ; R. b) y  x  5; R.
c) y  x2  4x ; (–; 2), (2; +). d) y  2x2  4x 1; (–; 1), (1; +).
e) y
x
4
1


; (–; –1), (–1; +). f) y
x
3
2


; (–; 2), (2; +).
Baøi 2. Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên
từng khoảng xác định):
a) y  (m  2)x  5 b) y  (m1)x  m 2
c)
y m
x 2


d)
y m
1
x

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:
 Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.
 Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ.
Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D.
+ Nếu x  D mà f(–x)   f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.
Baøi 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y  x4  4x2  2 b) y  2x3  3x c) y  x  2  x  2
d) y  2x 1  2x 1 e) y  (x 1)2 f) y  x2  x
g)
y x
2
4
x
 4
 h)
y x x
x x

  
i) y  2x2  x
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0)
 Tập xác định: D = R.
 Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R.
+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R.
 Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b).
Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d): y = ax + b:
+ (d) song song với (d)  a = a và b  b.
+ (d) trùng với (d )  a = a và b = b.
+ (d) cắt (d)  a  a.
2. Hàm số y  ax  b (a  0)

4. Hàm số bậc nhất – bậc hai Đoàn Hoài Hận
 
 
 và đi qua giao điểm của hai đường thẳng y x 1 1
Trang 4
ax b khi x b
y ax b a
ax b khi x b
a
( )

   
  
   

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y  ax  b ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax
– b, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.
Baøi 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y  2x  7 b) y  3x  5 c)
y x 
3
 d)
2
y 5 
x
3

Baøi 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:
a) y  3x  2; y  2x  3 b) y  3x  2; y  4(x  3)
c) y  2x; y  x 3 d)
y x 3; y 5 x
2 3
Baøi 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y  2x  k(x 1) :
a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2 ; 3)
c) Song song với đường thẳng y  2.x
Baøi 4. Xác định a và b để đồ thị của hàm số y  ax  b :
a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8).
b) Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d: y x 2 1
   .
3
c) Cắt đường thẳng d1: y  2x  5 tại điểm có hoành độ bằng –2 và cắt đường thẳng d2: y  –3x  4
tại điểm có tung độ bằng –2.
d) Song song với đường thẳng y x 1
2
   và
2
y  3x  5.
Baøi 5. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân biệt và đồng
qui:
a) y  2x; y  x 3; y  mx  5
b) y  –5(x 1); y  mx  3; y  3x m
c) y  2x 1; y  8 x; y  (3  2m)x  2
d) y  (53m)x  m 2; y  x 11; y  x  3
e) y  x  5; y  2x  7; y  (m  2)x  m2  4
Baøi 6. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào:
a) y  2mx 1m b) y  mx 3 x
c) y  (2m 5)x  m 3 d) y  m(x  2)
e) y  (2m  3)x  2 f) y  (m1)x  2m
Baøi 7. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?
a) y  (2m  3)x m1 b) y  (2m 5)x  m 3
c) y  mx  3 x d) y  m(x  2)
Baøi 8. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây:
a) 3y  6x 1  0 b) y  0,5x  4 c)
y 3 x
  d) 2y  x  6
2
e) 2x  y 1 f) y  0,5x 1

5. Đoàn Hoài Hận Hàm số bậc nhất – bậc hai
B aøi 9. Với giá trị nào của m thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau:
 
   
1 1 3 1 3 1
2 2 1
0 1 2

   
      2 
2
III. HÀM SỐ BẬC HAI
  ;
 
  2 4


  và hướng bề lõm của parabol.
    e) y  x2  4x  4 f) y  x2  4x 1
Trang 5
a) y  (3m1)x m  3; y  2x 1 b)
2( 2) ; 3 5 4
y m x m y m x m
m m m m
   
c) y  m(x  2); y  (2m  3)x m1
Baøi 10. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
x khi x
  
    
  
y khi x
x khi x
1
1 1 2
1 2
b)
x khi x
y khi x
x khi x
3x 5 2 1 5
c) y   d) y  x 1 e) y   2 x  3 
2 2
f) y  x  2  1 x g) y  x  x 1 h) y  x  x 1  x 1
y  ax2  bx  c (a  0)
 Tập xác định: D = R
 Sự biến thiên:
 Đồ thị là một parabol có đỉnh
I b
a a
, nhận đường thẳng
x b
  làm trục đối xứng,
2a
hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0.
Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau:
– Xác định toạ độ đỉnh
I b
  
 ;
 
 2 a 4
a

.
– Xác định trục đối xứng
x b
2a
– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ
và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.
Baøi 1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y  x2  2x b) y  x2  2x  3 c) y  x2  2x  2
d) y x2 x 1 2 2
2
Baøi 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau:
a) y  x 1; y  x2  2x 1 b) y  x  3; y  x2  4x 1
c) y  2x  5; y  x2  4x  4 d) y  x2  2x 1; y  x2  4x  4
e) y  3x2  4x 1; y  3x2  2x 1 f) y  2x2  x 1; y  x2  x 1
Baøi 3. Xác định parabol (P) biết:

6. Hàm số bậc nhất – bậc hai Đoàn Hoài Hận
a) (P): y  ax2  bx  2 đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x 3
    b) y  x2  2mx  m2 1
2 1 0
  
 
   
1  1
 c)
2 3 2
  
1
2
   là hàm số chẵn xác định trên D.
   là hàm số lẻ xác định trên D.
Trang 6
 .
2
b) (P): y  ax2  bx  3 đi qua điểm A(–1; 9) và có trục đối xứng x  2 .
c) (P): y  ax2  bx  c đi qua điểm A(0; 5) và có đỉnh I(3; –4).
d) (P): y  ax2  bx  c đi qua điểm A(2; –3) và có đỉnh I(1; –4).
e) (P): y  ax2  bx  c đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0).
f) (P): y  x2  bx  c đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng –1.
Baøi 4. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
và đỉnh I của đồ thị luôn chạy trên một đường thẳng cố định:
a)
m
y x mx
2
2 1
4
Baøi 5. Vẽ đồ thị của hàm số y  x2  5x  6 . Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m, số điểm
chung của parabol y  x2  5x  6 và đường thẳng y  m .
Baøi 6. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y  x2  2 x 1 b) y  x  x  2 c) y  x2  2 x 1
d) y x neáu x
2
2
2 1
2 x 2 x 3 neáu x
1

    
   
e)
x neáu x
y
x2 x neáu x
4 1 0
f)
2 x khi x
0
y
x2 x khi x
0
 
 
  
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2 4
a) y x
x
4
  

b) x x
y
x
2
3
y x x
2
x x x
1


  
2 2 3
2 5
d) x x
y
 
x

 
e) y x x
x
1


2 1
f) y x
x x
4



Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
a) y  x2  4x 1 trên (; 2) b)
y x
x
1
1



trên (1; +) c) y
1
1
x


d) y  3 2x e) y
x


f)
y x
x
3
2



trên (2; +∞)
Bài 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a)
4 2
y x x
x
2
2
1
 


b) y  3 x  3 x c) y  x(x2+ 2 x )
1 1
1 1
d) y x x
  
x x

  
e) y x x
x
3
2 1


f) y  x  2
Bài 4. Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng D. Chứng minh rằng:
a) Hàm số F x  f x f x  ( ) 1 ( ) ( )
2
b) Hàm số G x  f x f x  ( ) 1 ( ) ( )
2
c) Hàm số f(x) có thể phân tích thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.

7. Đoàn Hoài Hận Hàm số bậc nhất – bậc hai
B ài 5. Cho hàm số y  ax2  bx  c (P). Tìm a, b, c
 Tìm a, b, c thoả điều kiện được chỉ ra.
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm được.
 Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Xác định toạ độ trung điểm I của
y x
 x  
y x
x x 2). 2
y x x
x x
x x b). 2 1 4 3 y  x    x
Trang 7
đoạn AB.
a) (P) có đỉnh S 1 ; 3
 
 
 
2 4
và đi qua điểm A(1; 1); d: y  mx .
b) (P) có đỉnh S(1; 1) và đi qua điểm A(0; 2); d: y  2x  m.
MỘT VÀI ĐỀ THI
Đề 1: Cho (P): y  ax2  bx  2
1). Tìm a và b biết (P) qua điểm C(1; -1) và có trục đối xứng là x =2.
2). Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng y  x .
Đề 2: Cho (P): y  x2  2x  3
1). Lập bảng biến thiên và vẽ parabol (P).
2). Đường thẳng d: y = 2x – 1 cắt (P) tại 2 điểm A và B. Tìm tọa độ A, B và tính độ dài đoạn AB.
Đề 3: Cho hàm số y  x2  (2m1)x  m2 1 có đồ thị (Pm). CMR với mọi m, (Pm) luôn cắt đường phân
giác của góc phần tư thứ nhất tại hai điểm phân biệt và khoảng cách hai điểm này bằng một hằng số.
Đề 4: Tìm hàm số bậc hai y  x2  bx  c biết rằng đồ thị của nó có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm
M(1;-2). Dùng đồ thị tìm x sao cho y  1 , y >1.
Đề 5: Cho haìm säú : y = ( x - 2 ) 2 - 1. Dæûa vaìo (P) , xaïc âënh k âãø âæåìng thàóng d : y = k +2 càõt
(P) taûi 2 âiãøm phán biãût coï hoaình âäü dæång .
Đề 6: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y= x2 +15
Đê 7:
Câu 1: Tìm tập xác định các hám số sau: 2

1
3 2

 
2 2
x x
2 2

 
Câu 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
f (x)  1  2010  1  2010
x x
Câu 3: Xét tính đồng biến và ngịch biến của hàm số
1
2



y x
x trên   2;
Đề 8: Tìm phương trình (P) : y = ax2 + bx + c biết (P) qua điểm A(4 ; – 3) và có đỉnh I(2 ; 1).
Đề 9: Tìm tập xác định của hàm số 2
2 3
1 1
 
 
Đê 10: Cho 2 đường thẳng : 1 (Δ ) : y = (-2m +1)x - 3m + 2 và 2
2 (Δ ) : y = (m - 2)x +m - 2
Định m để hai đường thẳng trên song song với nhau.
Đề 11: Cho (P): y  ax2  6x  c
a). Xác định (P) biết (P) có đỉnh I(3;2).
b). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi a = 1; c = 7.
c). Tìm giao điểm (P) ở câu b/ và đường thẳng d: y = x + 3.
Đề 12: Cho (P) : y  x2  2x 1 và d : y  x 1 .
a). Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d.
b). Viết phương trình đường thẳng  qua A(-3; 2) và vuông góc với d.
Đề 13: Tìm tập xác định các hàm số sau:
y x
a). 2
2 
5
3 4

 

8. Hàm số bậc nhất – bậc hai Đoàn Hoài Hận
x b. 2

y x
x x
x  y 2  2 -
x
x x
x

x x
y x x
2 3
1 1
 
x x
4 2
y x x
– 2  3
x x x
x x
 2   2
y x x
  a y x x b y x
x x x
y x
Trang 8
Đề 14: Tìm tập xác định của hs a.
y x
2 
4
3


1
2 5

 
y
x x
Đề 15: Tìm TXĐ
a) y  2x  3 b)
2 5
(3 ) 5

 

Đề 16: Xét tính chẵn lẻ của hàm số : 3

Đề 17: Tìm tập xác định của hàm số y =
2 2
( 2) 1
 
Đề 18: Tìm tập xác định của hàm số 2
 
Đề 19: Xét tính chẵn , lẻ của hàm số sau :  3



Đề 20: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
 y x
a) 2
8 - 3
- - 6
x x b) 2
- 5
- - 2 1

 
y x
x x x c)
3 1 1
1 3
  

y x
x

y
Đề 21: Xét tính chẵn lẻ hàm số 3
x
Đề 22: Xác định tính chẵn lẻ của hàm số
2 2
| | 1
  


x
Đề 23: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

2
) -1 - 3 - 2 ) 1
-1 -
Đề 24: Tìm tập xác định của hs
a.
2 
1
3


y x
x b.
1 4
2
  

x
Đề 25: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: y  3x  2  3x  2