Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu adalah operasi antiturunan dari suatu fungsi, sedangkan integral tertentu mengintegralkan suatu fungsi pada batas tertentu. Dokumen ini juga menjelaskan berbagai teorema dan metode penyelesaian masalah integral seperti substitusi, integral parsial, dan integral fungsi rasional.

1. Integral Tak Tentu
dan
Integral Tertentu

2. Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang
bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau
integral dari f(x).

3. Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x
dinotasikan sebagai berikut :
 f xdx  Fx c

• notasi integral (yang diperkenalkan oleh
Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f(x) fungsi integran
• F(x) fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) f(x)
• c konstanta pengintegralan

4.   x c
f x  n 1

• Jika f ‘(x) = xn, maka n

1
, n
≠ -1, dengan c sebagai konstanta
1

5. Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat
didiferensialkan pada interval sedemikian
hingga maka antiturunan dari f(x) adalah
F(x) + c
• Secara matematis, ditulis
 f xdx  Fx c

6. • di mana
• Lambang integral yang
menyatakan operasi antiturunan
 dx
• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang
dicari antiturunannya
• c Konstanta

7. Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
x c , c adalah konstanta.
x dx n n 
   1
n

1
1

8. Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k
suatu konstanta, maka
 kf xdx  k f xdx

9. Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
  f x gxdx   f xdx   gxdx

10. Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terintegralkan, maka
  f x gxdx   f xdx   gxdx

11. Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat
didiferensialkan dan r suatu bilangan
rasional tak nol maka
u x u x dx r t 1
  u x c
        
, dimana c adalah konstanta dan r
≠ -1.

r
1
1
'

12. Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka
udv  uv  vdu

13. Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
xdx x c
cos sin
 
xdx x c
sin cos
  
x c
x
 



tan
1
2
cos
• dimana c adalah konstanta.

14. METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita
mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar
dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
1. 2 (  4)  ... 2 5x x dx
Jawab :
u = x2 + 4 du = 2x dx
 
du
x
dx
2

1
1
du
  u du  u  c  x   c 5 5 6 2 6 ( 4)
6
6
2x
u 2x
 
...( )
x dx
1
2
2.
2
3
buat latihan
x


15. INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
u.dv   d(u.v)  v.du
u.dv  u.v  v.du
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :
(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
 v du harus lebih mudah dari
u.dv
(2).

16.  dxx ln dvu.
1

ln x u dx du
x
 ln x dx  dx
Contoh :
=
Jawab :
dv = dx v = x
Jadi :
= xln x -
= x ln x – x + c

17. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
n n n a x  a x  a x   a x  a 
n n
 
1
2
2
1
0 1 ......
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
P x
( )
( )
( )
Q x
H x 
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom
Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x)
disebut “Rasional Sejati”
Contoh :
2
x x
2  
2
( ) 3 2
  
2 2

x x x
H x

18. Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
x
3 23
4
4 2
x x x
  
( ) 6
2
10 3 1
4
2
2


  


x
x
x
H x
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
P x
( )
Q x
( )
: ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :

19. 1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
( ) ( )( ).....( ) 1 2 n Q x  x  a x  a x  a
A
( )
.....
P x
( )
A
A
( ) ( ) ( )
2
2
1
1
n
n
x a
x a
x a
Q x

 




n Q(x)  (x  a)
n
A
n
x a
A
x a
A
x a
P x
( )
Q x
( )
.....
( ) ( ) ( )
2
1 2

 




( ) ( )( ) 2 2 Q x  ax  bx  c dx  ex  f
P x
( )
Cx D
Ax B


2 2 dx ex f
( ) ( ax bx c
) ( )
Q x
 

 

, maka :
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
, maka :
3. Q(x) adalah kuadratis,
, maka :

20. 
x
 
 
....
2
( 1)
1. 2 dx
x x
A x B x
(  1)  ( 
2)
( 2)( 1)
1

x
( 2)( 1) 2 1
 





 
x x
x
B
x
A
x x
( 
1)
2  3  2
x
 
 
dx
x x
2
1
x
dx
2
dx
 3 x
1
2
1
 x   ln | x 1| c
3
ln | 2 |
3
contoh :
jawab :
x = 2  2 – 1 = A(2+1)
1 = 3A  A = 1/3
x = -1  -1 – 1 = B(-1-2)
-2= -3B  B = 2/3
Jadi,
+
=

21. ( 
1)
2. 2 dx
 
x x
 
....
2 1
x
A ( x  1)

B
2 2 2 ( 1)
1

x
( 1) 1 ( 1)







x
x
B
x
A
x
x = 1  1 + 1 = B  B = 2
mis, x = 0  0 +1 = A(0 – 1) + B
x
2 1
1 = - A + 2  A = 1
( 
1)
2  x 1
 
 
dx
x x
dx
  2 ( 1)
2
x
dx
c
2
x 
x

  
( 1)
ln | 1|
Jadi,
+

22. SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :
2 2 2 , a b x a b x ,atau 2 2 2  2 2 2 b x  a
a
x  sin a b x a cosz 2 2 2  
2 2 2 a b x z
b
2 2 2 a  b x
a
x  a b x a secz 2 2 2  
tg z
b
a
x  sec b x a a tg z 2 2 2  
2 2 2 b x a z
b
,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat
ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan
menggunakan variabel baru :
Bentuk Subtitusi Memperoleh

23. 
 
....
9 4
1.
2
dx
x
x
3
 9 4 3 cos 2  x  z
3
 dx coszdz
x sin z
2
2
9 
4 2 3cos z
2
3
(
    
dz
z
z
z dz
z
dx
x
x
cos
sin
cos ) 3
2
3
sin
2
3 cosec z dz  3sin z dz
x c
3 9 4
x
x
2
| 9 4
  
 

 2
2
3ln |
contoh :
jawab :

,
Jadi,
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
1 
sin
 dz
z
z
sin
3
2

24. dx
 

....
4
2.
2 2 x x
x  2 tg z dx zdz 2  2sec 4 2sec 2  x  z
dx
 
 2 2 x 4 x
z
2sec
2
2
 dz 
tg z z
(4 )(2sec )
 dz
z
cos
z
4sin
2 d z
(sin )
  sin
2 z
1
4
c
 
4sin
z
1
c
4 2
x
x


 
4
jawab :

,
Jadi,

25. Integral TerTentu
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :
• Dimana :
b

a
f (x)dx
• f(x) : integran
a : batas bawah
b : batas atas

26. KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
b
1
1
5


x
 f (x)dx  F(x)  F(b)  F(a)
   
a
b
a
  x


1
5 5 5
2
   
5 2
5
5
5
5
2

3125 32 618,6
5
5
2
5
4
  
x dx
a
 
a
1
1


x
f (x)dx 0    
  x


1
   

32 32 0
5
2 2
5
5
5
2 5 5
2
5
2
2
2
2
5
4
  
x dx
b
1
1


x
f (x)dx f (x)dx    
  
a
a
b
    x
1
     

32 3125 618,6
5
2 5
5
5
5
2 5 5
5
5
2
5
2
5
5
4
x dx
   

27. KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
b
1


x
kf (x)dx k f (x)dx  
  
a
b
a
  x
5
5.
5
5 5
 



3125 32 3093
5
2
5
5
2
5
2
5
4
  
x dx
b
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx  
      
a
b
a
b
a
4 4 4 4
 x  5 x dx   x dx   5
x dx
618,6 3093 3.7111,6
5
2
5
2
5
2
  
c
4 4 4  x dx   x dx   x dx 
f (x)dx f (x)dx f (x)dx 618,6
    
a
b
c
b
a
3
2
5
3
5
2