1) O documento descreve métodos para determinar a latitude e declinação a partir de observações astronômicas.
2) Inclui definições de latitude, longitude, hemisférios, tipos de meridianos e como calcular latitude e declinação usando passagens meridianas.
3) Também mostra como determinar o centro e raio de uma circunferência a partir de três pontos e aplicar isso para calcular os elementos astronômicos.
9. Tipos de Meridianos Z N S E W Ñ Nadir Horizonte NZS Meridiano zenital Meridiano nadiral NÑS PS N S E W Ñ Nadir Horizonte PN Z PN-Z-PS Meridiano Superior Meridiano Inferior PN-Ñ-PS
10. Tipos de Meridianos Horizonte Zênite Ñ Nadir N S Meridiano Zenital NZS Meridiano Nadiral N Ñ S Z Ñ Horizonte PV PI Meridiano Superior PZP Meridiano Inferior P Ñ P Z N S E W Nadir Horizonte
11. Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método geométrico)
12. Latitude e declinação no HN N Leste Oeste PN CS CI h s h p h i p h p = (h s + h i ) / 2 h p p = (h s - h i ) / 2 = 90 0 - p Se a culminação superior se der ao sul do zênite: h s = 180 0 - h CS N S Z h s h CS PN Equador PN p
13. Latitude e declinação no HS S Oeste Leste PS CS CI h s h p h i r h p = (h s + h i ) / 2 = - h p r = (h s - h i ) / 2 = - (90 0 - r) Equador PN r PS Se a culminação superior se der ao norte do zênite: h s = 180 0 - h CS S N Z h s h CS PS
14. Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de passagens meridianas P CS CI No Verão, quando a noite é curta, o processo não funciona pois não se pode ver as 2 culminações meridianas num mesmo dia.
16. Polo visível N S Z Horizonte Culminação superior Culminação inferior N S Z Horizonte Culminação superior Culminação inferior PS Equador PN Equador Norte Leste Oeste Pólo Norte Pólo Sul Sul Oeste Leste
17. Obtenção do polo norte com Culminações S N Z Horizonte CS CI Equador M PN
18. Obtenção do polo sul com Culminações N S Z Horizonte CS CI Equador M PS
19. Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método algébrico)
21. Culminação ou passagem meridiana PN Horizonte Equador W L Z S PS M Na passagem meridiana inferior: H 180 o . Na passagem meridiana superior: H 0.
22. Passagens meridianas no HN PN Horizonte Equador W L Na passagem meridiana inferior: H 180 o . PS Observador no Hemisfério Norte N S Na passagem meridiana superior: H 0. M Z
23. Passagens meridianas no HS PS Horizonte Equador W L Na passagem meridiana inferior: H 180 o . PN S Observador no Hemisfério Sul Z N Na passagem meridiana superior: H 0. M
24. Convenção de sinais na passagem meridiana N S Z Horizonte Z: positivo ao norte do zênite Z: negativo ao sul do zênite Z < 0 Z > 0 Z N S E W Nadir Horizonte
25. Culminações no HN S N Z Horizonte Z i -Z s PN Equador Culminação superior -z s = – z s = - Culminação inferior + z i + = 180 o z i = 180 o - -
26. Latitude e declinação no HN z s = - z i = 180 o - - Somando membro a membro z i + z s = 180 o - 2 = +90 o – (z i + z s ) / 2 Subtraindo membro a membro z i - z s = 180 o - 2 = +90 o – (z i - z s ) / 2 Obtenção da latitude local Obtenção da declinação do astro
27. Culminações no HS N S Z Horizonte -Z i +Z s PS Equador - - - - Culminação superior z s = (- ) – (- ) z s = - Culminação inferior (- ) + (-z i ) + (- ) = 180 o z i = -180 o - -
28. Latitude e declinação no HS z s = - z i = -180 o - - Somando membro a membro z i + z s = -180 o - 2 = -90 o – (z i + z s ) / 2 Subtraindo membro a membro z i - z s = -180 o - 2 = -90 o – (z i - z s ) / 2 Obtenção da latitude local Obtenção da declinação do astro
30. Latitude e declinação = + 90 o – (z i + z s ) / 2 = + 90 o – (z i - z s ) / 2 Hemisfério Norte Fórmulas gerais = 90 o – (z i + z s ) / 2 = 90 o – (z i - z s ) / 2 + : observador no HN - : observador no HS + : astro no HN - : astro no HS Hemisfério Sul = - 90 o – (z i + z s ) / 2 = - 90 o – (z i - z s ) / 2
31. Latitude e declinação Enunciado: Um observador vê uma estrela X girando em torno de um ponto no sentido horário. Na culminação superior X está a 20 o ao norte do zênite; na passagem inferior, X se encontra a 70 o ao sul do zênite. Determine [a] o hemisfério do observador [b] a latitude astronômica do observador [c] a latitude geográfica do local [d] a declinação da estrela X. z s = +20 o z i = -70 o Pólo Sul Sul Oeste Leste Sentido horário Hemisfério Sul = 90 o – (z i + z s ) / 2 + : observador no HN - : observador no HS = - 90 o – (z i + z s ) / 2 = - 90 o – ([-70] + [+20]) / 2 = - 90 o – (- 50) / 2 = - 90 o + 25 Ast = Geo = - 65 o = 90 o – (z i - z s ) / 2 + : astro no HN - : astro no HS = - 90 o – (z i - z s ) / 2 = - 90 o – ([-70] - [+20]) / 2 = - 90 o – (- 90) / 2 = - 90 o + 45 = - 45 o
36. Como obter o x c e y c do centro da circunferência (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2 (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = R 2 (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 = R 2 (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = R 2 Igualar: (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 k (x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 ) / 2 y c = [k - (x 1 - x 2 ) x c ] / (y 1 - y 2 ) (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 q (x 3 2 - x 2 2 + y 3 2 - y 2 2 ) / 2 y c = [q - (x 3 - x 2 ) x c ] / (y 3 - y 2 ) Igualar: [k - (x 1 - x 2 ) x c ] / (y 1 - y 2 ) = [q - (x 3 - x 2 ) x c ] / (y 3 - y 2 ) x c = [ q (y 1 - y 2 ) - k (y 3 - y 2 ) ] / D D (x 3 - x 2 ) (y 1 - y 2 ) - (x 1 - x 2 ) (y 3 - y 2 ) x c = [k - (y 1 - y 2 ) y c ] / (x 1 - x 2 ) x c = [q - (y 3 - y 2 ) y c ] / (x 3 - x 2 ) [k - (y 1 - y 2 ) y c ] / (x 1 - x 2 ) = [q - (y 3 - y 2 ) y c ] / (x 3 - x 2 ) y c = [ k (x 3 - x 2 ) - q (x 1 - x 2 ) ] / D
37. Obter o centro e o raio da circunferência (x - x c ) 2 + (y - y c ) 2 = R 2 (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2 = R 2 (x 2 - x c ) 2 + (y 2 - y c ) 2 = R 2 (x 3 - x c ) 2 + (y 3 - y c ) 2 = R 2 Sejam: k = (x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 ) / 2 q = (x 3 2 - x 2 2 + y 3 2 - y 2 2 ) / 2 x c = [ q (y 1 - y 2 ) - k (y 3 - y 2 ) ] / D D = (x 3 - x 2 ) (y 1 - y 2 ) - (x 1 - x 2 ) (y 3 - y 2 ) y c = [ k (x 3 - x 2 ) - q (x 1 - x 2 ) ] / D R 2 = (x 1 - x c ) 2 + (y 1 - y c ) 2
38. Meridiano Local, Latitude local e Declinação da estrela através de 3 observações
39. Meridiano, Latitude e Declinação no HS Oeste Leste PS h 3 h p h 1 r h 2 a 1 a 2 a p a 3 S Mira
40. Meridiano, Declinação e Latitude y 1 y 2 y p y 3 P x 1 x 2 x p x 3 Do céu para o papel G C a i x i G C h i y i r’ Do papel para o céu C G x p a p C G y p h p = - h p C G r’ r = - (90 - r) C (cm) G (graus) Escala Equador PN r PS
41. Posição do Ponto Cardeal Norte Oeste Leste PS h 3 h p h 1 r h 2 a 1 a 2 a p a 3 S Mira N Hemisfério sul a N a N =a p +180 0
42. Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de 3 medidas P A estrela não pode estar muito afastada do polo O local não pode estar muito afastado do equador
44. Ângulo entre o equador e o horizonte N S Ângulo entre o equador e o plano do horizonte: 90 o - Z PS W Equador E Nascer 90- 90- 90- 90- 90- Ocaso
45. Nascer do Sol Horizonte N S Visto por um observador no Hemisfério Sul L Horizonte N S Visto por um observador no Hemisfério Norte L Observador no Hemisfério Norte Oeste Leste Sul Norte Oeste Leste Sul Norte Observador no Hemisfério Sul
46. Ocaso do Sol Horizonte S N Visto por um observador no Hemisfério Sul W Horizonte S N Visto por um observador no Hemisfério Norte W Observador no Hemisfério Norte Oeste Leste Sul Norte Observador no Hemisfério Sul Oeste Leste Sul Norte
50. Ascensão reta com passagem meridiana PN TS = H TS = + H Na passagem meridiana superior: H = 0. Logo: = TS PMS Horizonte Equador W H S M Z PS