1. Departamento de Educación Plástica e Visual IES A Basella
XEOMETRÍA NO ESPACIO
Notacións empregadas na representación xeométricas.
Os puntos, indícanse por medio de letras maiúsculas, podendo ser calquera do alfabeto, A, B,
C...eta.
Ás proxeccións destes, engádeselle un subíndice ou comiñas, A1, B2, C3,...eta, ou A’, B’’, C’’’...eta.
Pódese combinar os subíndices e as comiñas.
As rectas, indícanse por medio de letras minúsculas, podendo ser calquera do alfabeto, a, b,
c...eta.
Ás proxeccións destas, engádeselle un subíndice ou comiñas, a1, b2, c3...eta, ou a’, b’’, c’’’...eta.
Pódese combinar os subíndices e as comiñas.
Os planos, indícanse por medio de letras gregas minúsculas, podendo ser calquera do alfabeto
grego,
α, (alfa) β, (beta) γ, (gamma) δ, (delta) ε, (épsilon) ζ, (dzeta) η, (eta) θ, (theta) ϕ, (fi) λ, (lambda) μ,
(mi) π, (pi) ω, (omega) ψ, (psi) ....
Ás trazas destes, engádeselle un subíndice ou comiñas, α1, β1, γ1...eta, ou α’, β’’, γ’’’...eta.
Cando nos referimos ós planos horizontal e vertical, pódese empregar o H, maiúscula e o V,
maiúscula para indicalos.
Xeometría do Espacio 1

2. Departamento de Educación Plástica e Visual IES A Basella
TIPOS DE PROXECCIÓNS
Sistema Central: As proxección pasan por un punto V.
• Sistema cónico. Perspectiva cónica ou lineal. De un punto, dous e tres puntos de fuga.
Sistema Cilíndrico
• Cilíndrica ortogonal: As proxeccións son perpendiculares ó plano de proxección.
De unha soa vista: Axonométrico. De varias vistas Diédrico ou de Monge.
• Oblicua: As proxeccións veñen condicionadas por unha dirección de proxección.
Cabaleira.
Representación do punto e da recta nos diferentes sistemas
Xeometría do Espacio 2

3. Departamento de Educación Plástica e Visual IES A Basella
PRINCIPIOS XEOMÉTRICOS
Un punto no espacio indica unha posición ou lugar.
Dúas rectas no espacio poden:
• Ser paralelas, se todos os puntos de unha das rectas equidistan da outra.
• Cortarse, se teñen un punto en común.
• Cruzarse, se non son paralelas nin se cortan.
Un plano queda definido no espacio por:
• Tres puntos non aliñados.
• Dúas rectas que se cortan.
• Dúas rectas paralelas.
Xeometría do Espacio 3

4. Departamento de Educación Plástica e Visual IES A Basella
Unha recta é paralela a un plano, cando todos os seus puntos equidistan del.
Dous planos son paralelos se todos os seus puntos equidistan entre si.
A intersección de tres planos, non paralelos entre si, da un punto.
O lugar xeométrico de todos os puntos do espacio, que equidistan de
dous fixos A e B, é un plano perpendicular ó segmento
AB polo seu punto medio M.
Se unha recta é perpendicular a un plano, é perpendicular a todas as
rectas do plano.
Xeometría do Espacio 4

5. Departamento de Educación Plástica e Visual IES A Basella
Se dous planos paralelos α e β, son cortados por outro plano δ, as rectas de
intersección r e s, son paralelas.
O ángulo δ que forma unha recta r, con un plano α, é o que forma dita
recta coa súa proxección r1, sobre o plano.
Planos perpendiculares: Para comprobar que dous planos son
perpendiculares, temos que ver que un deles conteña unha recta
perpendicular ao outro.
Simetría especular.
No espacio, ademais da simetría central e axial, aparece outra que é a
simetría especular con respecto a un plano. Chamase así por que
semella o efecto de reflexo que producen os obxectos nun espello.
Xeometría do Espacio 5

6. Departamento de Educación Plástica e Visual IES A Basella
HOMOLOXÍA
Antes de estudiar a homoloxía, temos que definir homografía como a relación que se establece
entre dúas figuras planas de tal xeito que ós puntos e rectas incidentes de unha das figuras lle
corresponden puntos e rectas incidentes da outra.
Por exemplo, sexa o triángulo ABC situado no plano α, se desde un punto O, o proxectamos sobre
outro plano β, (non paralelo ó α), obtemos outro triángulo A’B’C’, que está relacionado co anterior
polas seguintes propiedades:
1. Parella de puntos homólogos (que están na mesma liña de proxección) A e A’, B e B’,....eta,
están aliñados co punto O (centro de homoloxía).
2. Parellas de rectas homólogas AB e A' B' , AC e A'C ' ,...eta, córtanse sobre a recta e (eixe
de homoloxía) de intersección dos planos α e β.
Se as dúas figuras verifican as dúas condicións anteriores, dicimos que son homolóxicas.
HOMOLOXÍAS PARTICULARES
Homotecia
Se os planos α e β son paralelos, entón o eixe de homoloxía está no infinito (eixe impropio). A esta
homoloxía chámaselle homotecia.
Por estar o eixe no infinito, as liñas homólogas teñen que ser paralelas, logo podemos establecer
unha proporcionalidade, de razón K entre triángulos:
AB AC BC
= = =K
A' B' A'C ' B'C '
No caso da figura 1, K > 0 e os vértices do triángulo ABC gardan o mesmo sentido que os do A’B’C’.
Se o centro de homoloxía está entre os dous planos (fig. 2) entón, as figuras aparecen invertidas,
resultando que K < 0.
Xeometría do Espacio 6

7. Departamento de Educación Plástica e Visual IES A Basella
Fig. 1 Fig. 2
Homoloxía afín
Se o elemento impropio é o centro de homoloxía (fig.3), entón, as liñas de proxección AA' , e BB' e
CC ' son paralelas, cortándose no infinito. Neste caso temos unha homoloxía afín ou simplificando,
unha afinidade.
Fig. 3
Fig. 4
Xeometría do Espacio 7

8. Departamento de Educación Plástica e Visual IES A Basella
Translación
Se son impropios tanto o eixe como o centro de homoloxía, o que resulta é a translación do
triángulo ABC do plano α e β. (fig. 4).
RECTAS LIMITES NUNHA HOMOLOXÍA
Analicemos a figura 5.
1. Os puntos do infinito, G∞ , da recta AC , teñen o seu homólogo G’ onde corta a liña A' C ' á
paralela á liña AC trazada por O.
Si se traza unha liña por O, que corte ás liñas A' C ' e AC nos puntos D’ e D, vese que
cando D tende cara o infinito ( G∞ ), D’ tende cara G’, sendo esta a súa posición límite.
2. Se facemos o mesmo cos puntos do infinito. H∞ , da recta CB , obtemos o seu homólogo
H’.
3. Como as rectas OG ' e OH ' son paralelas ó plano α, xa que este contén as rectas AC e CB ,
a liña G ' H ' , que se denomina recta límite L’(R.L’), é paralela ó eixe de homoloxía.
A recta L’ é o lugar xeométrico de todos os homólogos dos puntos do infinito do plano α,
e está no plano β.
Fig. 5
Elementos que definen un problema de homoloxía:
• O centro, o eixe e dous puntos homólogos. Figura 6.
• O centro O, o eixe e a recta límite da figura que se busca R.L. Figura 7.
• O centro e as dúas rectas límites. Este caso ven sendo como o anterior, sabendo que a
propiedade indicada ó obter as rectas límites, xa que o centro dista dunha delas o que o
eixe da outra.
• Dous pares de puntos homólogos e a dirección do eixe. Figura 8
Xeometría do Espacio 8

9. Departamento de Educación Plástica e Visual IES A Basella
Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8
Exercicio: Transformación dun cuadrilátero ABCD calquera nun cadrado.
Datos:
Exercicio: Transformación por afinidade dunha circunferencia nunha elipse.
Xeometría do Espacio 9