Matemática Básica I: Conceitos Fundamentais

Programa CIEE de Educação a Distância

MATEMÁTICA BÁSICA I

SUMÁRIO

Introdução ............................................................................................................ 02
Aula 1 – Números naturais ................................................................................... 03
Aula 2 – Números Primos, MMC e MDC .............................................................. 10
Aula 3 – Números inteiros e racionais .................................................................. 15
Aula 4 – Sistema de numeração decimal ............................................................. 25
Aula 5 – Medidas de comprimento e área ............................................................ 29
Aula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volume .................................. 37
Referências .......................................................................................................... 44

1


INTRODUÇÃO

Seja bem-vindo ao curso de Matemática Básica I. Nele, compartilharemos muitas
informações interessantes e fundamentais para utilização em qualquer situação,
seja em casa, na rua, no mercado, na feira, na escola, no estágio etc.

Este curso foi elaborado para que você se sinta mais preparado para resolver
situações que exigem o uso da matemática, em qualquer situação!

A ideia inicial é revisar alguns conceitos fundamentais para que você tenha um bom
embasamento e consiga acompanhar com facilidade as aulas seguintes.

2


AULA 1 – NÚMEROS NATURAIS

Muitas vezes nem percebemos, mas os números estão presentes em muitas
situações do dia a dia, na identificação da nossa casa, na placa do carro, no
telefone, em horas, no dia do mês, nos documentos, entre outros...

Esses números são conhecidos como números naturais e será o primeiro assunto
que abordaremos no curso.

Observe o bilhete abaixo:

Bom dia Matheus!

Não se esqueça do nosso encontro referente ao trabalho da Professora
Lúcia, hoje às 17 horas, em frente ao 3º portão da universidade.

Até lá!

Beijos
Mariana

Qualquer problema me ligue 234-5678

Percebeu que em um simples bilhete tivemos que utilizar por três vezes os números
naturais?

Ao fazer referência às horas, na identificação do portão e o número do telefone. E já
que estamos falando sobre números naturais devemos lembrar que a sequência
desses números é infinita, acompanhe a sequência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13,...

Com base nos números naturais podemos realizar uma série de atividades
utilizando as quatro operações básicas, para revê-las vamos acompanhar um pouco
da história de Matheus, um jovem de 20 anos, está na faculdade e estagia em uma
empresa na área de Arquitetura. Para realização do trabalho de hoje, teve de

3


comprar alguns materiais: esquadro, régua, compasso, papéis, lápis e canetas
hidrográficas e utilizou nesse processo as quatro operações básicas, observe que o
valor total da compra realizada pelo Matheus foi de R$ 27,00. Para chegar a esse
valor foi utilizada a primeira operação fundamental na Matemática: a adição.
Acompanhe o cálculo:

Esquadro R$ 2,98
Régua R$ 0,79
Compasso R$ 7,99
+
Papéis R$ 3,86
Lápis R$ 1,55
Canetas hidrográficas R$ 9,83
TOTAL R$ 27,00

Suponhamos que Matheus pensasse melhor e resolvesse não ficar com o
compasso. Por meio da subtração é possível chegar ao resultado. Veja:

Total da compra R$ 27,00
-
Compasso R$ 7,99
TOTAL R$ 19,01

Ainda utilizando o mesmo exemplo, imagine que Matheus estivesse somente com o
cartão de crédito para pagar a conta e por isso resolveu dividir em 3 vezes,
utilizando o conceito de divisão, então vamos ao cálculo:

Total da compra R$ 27,00 3 quantidade de parcelas
TOTAL R$ 9,00

O exemplo apresentado é de uma divisão exata, mas uma divisão nem sempre é
exata, é o que chamamos de divisão com resto. Acompanhe o exemplo:
118 5
18 23
resto 3

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Para que a divisão seja realizada, é preciso que o dividendo seja maior ou igual ao
divisor, além disso, fique atento, pois não existe divisão por zero.

Imagine que Matheus quisesse acrescentar à sua compra mais dois compassos e
três lápis. Nesse caso teremos de usar a multiplicação. Acompanhe:

Compasso R$ 7,99 x 2 = R$ 15,98
+
Lápis R$ 1,55 x 3 = R$ 4,65
Total das compras extras R$ 20,63

Cálculo final
Compra inicial R$ 27,00
+
Compra extra R$ 20,63
Total R$ 47,63

Continuando nosso estudo, observe que o guarda-roupa de Matheus possui 4
portas, com 4 gavetas e 4 camisetas em cada uma delas. Utilizando o conceito de
potenciação, como poderemos saber a quantidade total de camisetas que Matheus
possui.

armário fechado

5


Disposição das camisetas
em uma das gavetas.

Armário aberto

Lembrando que potenciação é a multiplicação repetida de “a” por ele mesmo um
número “n” de vezes, ou seja:

ou
2³ = 2x2x2 = 8
34 = 3x3x3x3x= 81

Relembrando que o guarda-roupa de Matheus possui 4 módulos, com 4 gavetas e 4
roupa s,
camisetas em cada uma delas, utilizando o conceito de potenciação ficaria assim:

43 = 4 x 4 x 4 = 64

módulos camisetas
gavetas

Logo, Matheus possui 64 camisetas. Simples, não?

Acompanhe algumas dicas.
• toda potência de base diferente de zero com expoente zero é igual a 1, veja:
ncia ,
-30 = 1
-60 = 1
-80 = 1

6


• toda potência com expoente 1 é igual à própria base, acompanhe:
-171 = 17
- 281 = 28
-21= 2

• para realizar a leitura de potências, acompanhe algumas regras:
62: lê-se seis elevado ao quadrado;
73: lê- se sete elevado ao cubo;
24: lê-se: dois elevado à quarta potência;
810: lê-se: oito elevado à décima potência;
1520:lê-se quinze elevado à vigésima potência, assim, com todos os demais
expoentes.

Temos também o conceito de radiciação que é bem parecido com a potenciação. A
radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, para acharmos a raiz
quadrada, cúbica, quinta potência de um número, a pergunta que se deve fazer é:
qual número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes
resulta no número que temos.

Acompanhe este exemplo: Qual número que multiplicado por ele mesmo uma
determinada quantidade de vezes resultam nos números 8 e 256?

A resposta é 2 e 4, pois 2 x 2 x 2 = 8 e 4 x 4 x 4 x 4= 256.
Então, podemos dizer que 23 = 8 e 44 = 256.

Outro conceito importante é a raiz quadrada. Para compreendê-lo melhor, vamos
utilizar algo prático. Observe esse quadro, que interessante: é um quebra-cabeça!
Se contarmos as peças na horizontal e as peças na vertical, descobrimos 13 de
cada lado, observe:

7


13 peças

13 peças

Para descobrir a quantidade de peças do quebra-cabeça, basta realizar o seguinte
cálculo:

√ ? = 13
132 = ?
132 = 169
√ 169 = 13

Logo, se contarmos o quebra-cabeça encontraremos 169 peças. O conceito
utilizado foi o da raiz quadrada. Quando descobrimos que o número 13 ao quadrado
é igual a 169, encontramos a raiz quadrada de 169.

Para saber a quantidade de peças que há em cubo mágico, devemos utilizar o
mesmo conceito utilizado para contar as peças do quebra-cabeça, porém com um
detalhe importante, ao invés de utilizarmos a raiz quadrada, utilizaremos a raiz
cúbica. Imagine que cada lado do cubo mágico possui 3 peças.

8


Quantas peças temos ao todo neste cubo mágico?

3
3 √ ? = 33 = 3 . 3 . 3 = 27

3
Logo = √27 = 3

3

Por meio do cálculo identificamos que o cubo tem 27 peças. A operação usada para
encontrar a raiz quadrada ou cúbica é a radiciação, que estudamos há pouco. Veja:

• √ 25 = 5 pois 5² = 5 X 5 = 25
• √ 36 = 6 pois 62 = 6 x 6 = 36
3
• √ 8 = 2 pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8
3
• √64 = 4 pois 43 = 4 x 4 x 4 = 64

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Aula 2 – Números Primos, MMC e MDC

Seja bem-vindo à 2ª aula do curso! Iniciaremos o estudo pelos números primos, que
nada mais são que números que possuem apenas dois divisores: o número 1 e ele
próprio. Para encontrá-los de maneira organizada e precisa utilizaremos o Crivo de
Eratóstenes.

1º) Escreva os números naturais de 1 a 50.
2º) Elimine o número 1 e os múltiplos de 2, exceto ele mesmo.
3º) Elimine os múltiplos de 3, exceto ele mesmo.
4º) Elimine os múltiplos de 5 e 7, exceto eles mesmos.
Os números que sobraram são os números primos.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...

Os números podem ser decompostos em fatores primos. Você sabe o que isso
significa?

Isso quer dizer que um número pode ser decomposto com utilização de dois ou
mais fatores e existem várias formas de se fazer isso, observe:

180 = 2 x 90
ou
180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5

O que você vê são dois modos de fatorações do número 180.
Você ainda pode escrever a multiplicação de fatores iguais em forma de potência,
veja:

180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5
180 = 22 x 32 x 5

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É isso mesmo! Com base nessas informações podemos realizar cálculos por meio
do MMC – Mínimo Múltiplo Comum e do MDC – Máximo Divisor Comum.

Exatamente, mas antes é importante saber sobre os múltiplos de um número
natural. Se um número é divisível por outro número qualquer e diferente de zero,
dizemos que ele é múltiplo desse número. Acompanhe o exemplo:

24 é um número divisível por 3, logo 24 é múltiplo de 3.
Ele também é múltiplo de 1, 2, 4, 6, 8, 12 e o próprio 24.

Importante saber que um número pode ter infinitos múltiplos e que o zero é múltiplo
de qualquer número natural.

Agora que já sabemos como calcular o múltiplo de um número ficará bem mais fácil
compreender o MMC e o MDC.

Acompanhe o exemplo: no final do ano passado, Dona Carolina colheu 15 goiabas
e 20 mangas das árvores que tem em seu quintal. Na época, ela gostaria de
organizá-las em sacos plásticos sem misturar os tipos de fruta, ocupando o mínimo
de sacos possível. Quantas frutas Dona Carolina deveria ter colocado em cada
saco?

Para que as frutas ocupem a menor quantidade de sacos plásticos, precisamos
encontrar a quantidade máxima de frutas que devem ser colocadas em cada um
deles. Existem duas maneiras de encontrarmos o resultado.

Por meio do cálculo do MDC – Máximo Divisor Comum de 15 e 20.

D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
MDC (15, 20) = 5

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O máximo divisor comum de (15, 20) é o número 5, pois é o único fator comum que
aparece no cálculo. Se existisse outro fator comum maior que o número 5, esse
fator seria o máximo divisor comum.
D é a abreviatura de divisores. No exemplo apresentado, os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15.

Por meio da decomposição em fatores primos.

15, 20 2
15, 10 2
15, 5 3
5, 5 5 fator comum
1, 1
5 é o fator comum, pois foi o único número primo que decompôs simultaneamente os números 15 e 20.

Muito bom! Por meio do MDC ou pela decomposição em fatores primos, chegamos
à resposta do problema de Dona Carolina que deveria ter colocado 5 frutas em
cada saco plástico.

Agora, acompanhe o cálculo do MDC (420, 700) pela decomposição em fatores
primos.

420, 700 2 fator comum
105, 175 3
7, 35 5
7, 7 7 fator comum
1, 1

Feita a decomposição, multiplique os fatores primos comuns: 2 . 2 . 5 . 7 = 140, logo
o MDC (420, 700) é 140.

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Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:

420 = 22 x 3 x 5 x 7
700 = 22 x 52 x 7

Continuando nosso estudo, lanço outro desafio.

Imagine que um eclipse só pode ser visto da região nordeste do Brasil a cada 9
anos e outro a cada 7 anos. Se eles foram vistos este ano, daqui a quantos anos os
veremos novamente ao mesmo tempo?

Primeiro precisamos verificar em que intervalo de tempo os dois eclipses serão
vistos simultaneamente e existem duas formas de chegarmos ao resultado.

Um dos caminhos para resolver o problema é identificando os múltiplos comuns de
9 e 7, selecionando o menor deles, com exceção do 0.

M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81...}
M (7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70...}
MMC (9, 7) = 63
M é a abreviatura de múltiplos. No exemplo apresentado, os múltiplos de 7 são 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,
63...

Outra estratégia é por meio da decomposição em fatores primos.

9, 7 3
3, 7 3
1, 7 7
1, 1
MMC (9, 7) = 3 . 3 . 7 = 63
O resultado do MMC será obtido por meio da multiplicação de todos os fatores primos.

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Nesse caso, usando o MMC ou a decomposição de fatores primos, concluímos que
o eclipse acontecerá daqui a 63 anos.

CURIOSIDADE
Existem alguns números que são primos entre si, pois o resultado do MDC é igual a
1, por exemplo os números 35 e 24. Faça o cálculo e comprove!

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Aula 3 – Números inteiros e racionais

Os números Inteiros são frequentemente utilizados em nosso dia a dia, já que são
constituídos pelos números naturais {0, 1, 2...} e seus opostos {0, - 1, - 2...}. Quer
ver um exemplo?

Toda geladeira ou freezer são controlados por temperatura que pode ser positiva ou
negativa. Determinadas câmaras frigoríficas chegam a registrar - 45º C,
dependendo do tipo de alimento armazenado.

Importante lembrar que quando a temperatura é positiva (acima de 0) não
precisamos colocar o sinal de +, já que é opcional.

Também usamos esse conceito em relação aos extratos bancários, por exemplo,
imagine que foi debitado R$ 235,00 de sua conta, esse débito é representado pelo
sinal de – (menos), aparecendo da seguinte forma em sua conta: - 235,00.

Outro dado interessante é que não utilizamos nenhum sinal para representar o
número 0 (zero) já que ele não é nem positivo nem negativo.

Por meio dos números inteiros, podemos realizar várias operações, acompanhe:

Adição de inteiros
Veja o que fazer com os sinais na adição com números Inteiros.

Sinal dos Operações entre os Sinal do
números números Resultado
+ + +
SOMA
- - -

Na adição, podemos encontrar duas situações:
• parcelas com o mesmo sinal: para somar dois números inteiros de mesmo sinal,
somamos os valores e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles:

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(+ 6) + (+ 4) = + 10
(– 4) + (– 10) = – 14

• parcelas com sinais diferentes: para somar dois números inteiros de sinais
diferentes, devemos subtrair os valores e atribuir ao resultado o sinal do número de
maior valor.
(– 16) + (+ 8) = - 8

Subtração de inteiros
Veja o que fazer com os sinais na subtração com números Inteiros.

Sinal dos Operações entre os Sinal do
números números Resultado
+ - VALE O SINAL
SUBTRAÇÃO
- + DO MAIOR

A subtração dos números inteiros acontece da seguinte forma:

• com sinais diferentes: subtraímos os números e conservamos o sinal do maior.
Acompanhe os exemplos:
- 10 + 12 = 2 Como o maior número é positivo o resultado também será.
- 34 + 12 = - 22 Como o maior número é negativo o resultado também será.

• com sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal.
Ex.: - 23 - 9= - 32
+ 7 + 4 = +11

Multiplicação de inteiros
Entenda os sinais na multiplicação de inteiros.

Sinal dos Operação entre os Sinal do
números números resultado
+ +
+
- -
MULTIPLICAÇÃO
+ -
-
- +

16


Veja os exemplos:
10 x 70 = 700 (sinais iguais → produto positivo)
10 x - 70 = - 700 (sinais diferentes → produto negativo)

Divisão de inteiros
Na divisão são usadas as mesmas regras de sinais da multiplicação.

Sinal dos Operação entre os Sinal do
números números resultado
+ +
+
- -
MULTIPLICAÇÃO
+ -
-
- +

Veja alguns exemplos:
- 50 ÷ - 2 = 25 (sinais iguais → produto positivo)
50 ÷ - 2 = - 25 (sinais diferentes → produto negativo)

É possível utilizarmos o conceito de potenciação e radiciação com números
inteiros?

Sim! A única diferença é que encontramos números negativos nas operações.
Estudamos há pouco que 53 = 5 x 5 x 5 = 125, mas qual é o resultado da potência -
53 ?

Primeiramente precisamos ter em mente duas regras:
- quando a base é positiva a potência também é positiva.
- quando a base é negativa temos duas possibilidades:

1ª) Expoente par = potência positiva
72 = 7 x 7 = 49
(-4)² = (- 4).(-4) = 16
(-2)6 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = 64

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2ª) Expoente ímpar = potência negativa
(-2)³ = (-2).(-2).(-2) = - 8
(-5)5 = (-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = - 3125
(-3)³ = (-3).(-3).(-3) = - 27

Obs.: todo número elevado a zero é igual a um.
30 = 1
(-1000) 0 = 1

Já na radiciação podemos encontrar situações como ³√-8 , onde o radicando é
negativo. Nesse caso, temos duas situações:

1) Se o índice for ímpar, teremos uma raiz negativa:

³√-8 = - 2 pois (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) =

(+4) . (-2) =

-8

5
√-243 = -3 pois (-3)5 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = -243

2) Se o índice for par, não existirá raiz, acompanhe:

√-4 = ?

Nesse caso não existe raiz, pois não existe nenhum número que elevado ao
quadrado seja igual a -4.

Você deve estar se perguntando, se o 22 é igual a 4, será que (- 2)2 não resolveria o
problema?
Vamos realizar o cálculo detalhadamente, veja: (- 2)2 = (- 2) . (- 2) = + 4. Notou? O
resultado obtido foi +4 e não -4 como o problema pede, justamente por isso, não

18


existe raiz. Outro exemplo que não possui raiz é 4√-16 , pois não existe nenhum
16
número multiplicado 4 vezes que resulta em -16.

Agora, falaremos de um assunto muito interessante que está presente em nosso dia
a dia: os números racionais!

Dona Carolina preparará um bolo, por isso alguns ingredientes estão dispostos
sobre a mesa.

A capacidade desta garrafa de leite é de 1
litro, porém neste momento há
aproximadamente 330ml.

Se dividirmos a garrafa em três partes
iguais, somente uma estará completa.
Nesse caso podemos dizer que a garrafa
tem 1/3 de leite.

Para fazer a calda do bolo Dona Carolina utilizará chocolate ao leite. Observe que
sobre a mesa há 3 barras de chocolate divididas em 4 partes.
re

Para fazer o bolo ela precisará de 10 partes dessas barras. Como podemos
representá-la por meio dos números racionais? Nesse caso, o denominador deve
la
indicar a quantidade de partes de cada barra de chocolate e o numerador o número
barra
total de partes que será utilizado, logo o resultado ficaria assim: 10
.4

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Legal! Uma coisa importante que devemos nos atentar é em relação à
nomenclatura. Observe que na fração o número de cima é chamado numerador e o
número debaixo de denominador.

Imagine uma pizza cortada em quatro pedaços. Imagine que Matheus tenha comido
1 pedaço, logo ele comeu ¼ da pizza. Se mais ninguém comer, sobrará ¾ da pizza.
Agora, imagine que a mesma pizza tenha sido cortada em 8 partes, se Matheus
comer dois pedaços, ele comerá 2/8. Se mais ninguém comer, sobrará 6/8 da pizza.

Note que apesar de apresentar valores diferentes, Matheus comeu a mesma
quantidade de pizza. Isso é o que chamamos de frações equivalentes.

Observe outros exemplos:

Logo ½ equivale a 2/4 que equivale a 3/6.

Para saber qual fração é equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o
numerador e o denominador pelo mesmo número. Acompanhe:

Multiplicação Mesmo
Fração Resultado Status
ou divisão número
2 4 4 é equivalente a 2
x 2
3 6 6 3
9 3 3 é equivalente a 9
: 3
3 1 1 3

Também podemos simplificar as frações, ou seja, dividir o seu numerador e o seu
denominador pelo mesmo número natural até que não tenha mais possibilidades de
se dividir, chega-se a uma fração chamada irredutível. Veja o exemplo:

20


12 6 3
: 2 = : 2 = Fração irredutível
16 8 4

As frações também podem ser comparadas. Para testar seus conhecimentos,
identifique a fração que julga menor.

a) b)

A alternativa “a” ¼ é menor que a alternativa “b” ¾, pois quando os denominadores
são iguais, a menor fração é a que tiver menor numerador.

Teste mais um pouco os seus conhecimentos, identificando a fração que julga
maior.

a) b)

Resposta: a alternativa “a” ¼ é maior do que a alternativa “b” 1/8, pois quando os
numeradores são iguais, a maior fração é a que tiver menor denominador.

Você acabou de comparar frações com denominadores ou numeradores iguais,
veja:

Denominadores iguais. Numeradores iguais.
1e3 O maior numerador indicará a 1e1
O menor denominador indicará
4 4 fração maior. 4 8 a fração maior.

Você sabe como funciona o sistema de comparação de frações quando os
numeradores e denominadores são diferentes, por exemplo, 2/3 e 5/7?
Nesse caso precisamos primeiramente encontrar o denominador comum entre eles,
para isso utilizaremos o MMC.

21


3, 7 3
1, 7 7
1, 1
MMC (3, 7) = 3 . 7 = 21

O resultado do MMC corresponderá aos denominadores comuns das frações
apresentadas. Agora, acompanhe passo a passo o procedimento:

1º) Divida o resultado do MMC pelo denominador das frações que se deseja
comparar:
2 5
21 / 3 = 7 21 / 7 = 3

2º) Multiplique o resultado da divisão pelo numerador e denominador:
2 14 5 15
X 7 = X 3 =
3 21 7 21

3º) Compare os resultados apresentados:

2 equivale a 14 5 equivale a 15
3 21 7 21

Logo, a fração 5 é maior que 2.
7 3

Adição e subtração de frações:
Frações com denominadores iguais: conserve o denominador e some ou subtraia
os numeradores.

1 + 2 =3 5 - 3 = 2
4 4 4 2 2 2

Frações com denominadores diferentes: primeiramente devemos encontrar as
frações equivalentes e os denominadores iguais, por meio do MMC. Após o cálculo,
seguimos utilizando o mesmo procedimento para denominadores iguais.

22


2+5=
3 2

3, 2 3
1, 2 2
1, 1
MMC (3, 2) = 3 . 2 = 6

2 5
6/3 =2 6/ 2=3

2 4 5 15
X 2 = X 3 =
3 6 2 6

4 + 15 = 19
6 6 6

Multiplicação de frações
Para multiplicar números fracionários, você deve multiplicar numerador por
numerador, e denominador por denominador, acompanhe:

6 x 5 = 30
3 2 6

Divisão de frações
Na divisão de números fracionários, você deve multiplicar a primeira fração pelo
inverso da segunda, veja:

8 : 4 = 8 x 3 = 24 = 2
3 3 3 4 12

Potência de frações
Potenciação de fração é quando se eleva a um determinado expoente o numerador
e o denominador de um número fracionário.

² ²
5 = 5² = 25 3 = 3² = 9
3 3² 9 4 4² 16

23


Radiciação de fração
É quando aplicamos a raiz quadrada ao numerador e ao denominador de um
número fracionário.

81 = 81 = 9
64 64 8

24


Aula 4 – Sistema de numeração decimal

Observe os produtos abaixo:
2 litros de amaciante para roupas 1 sabão em barra

R$ 3,90

R$ 0,80

1 litro de água sanitária 2 caixas de sabão em pó

SABÃO
R$ 2,50 R$ 10,95
EM PÓ

Note os preços desses produtos. Todos os números apresentados possuem vírgula
Todo v
e recebem o nome de decimais.

No sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos de 10 em 10
unidades. Nesse caso, quando dividimos um número inteiro:
uando

• por 10, temos o décimo desse número: 1/10 = 0,1
• por 100, temos o centésimo desse número: 1/100 = 0,01
• por 1000, temos o milésimo desse número: 1/1000 = 0,001, e assim,
000, :
sucessivamente.

Observe no quadro a representação de frações decimais através de números
decimais
decimais.

Fração 1 1 1 1 5 5 5 5 117 117 117 117
Decimal 10 100 1000 10000 10 100 1000 10000 10 100 1000 10000
Números
Decimais
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,5 0,05 0,005 0,0005 11,7 1,17 0,117 0,0117

25


Note que a quantidade de zeros da fração decimal corresponde as casas após a
vírgula (contadas da direita para a esquerda) que número decimal deverá conter.
Verifique que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Agora, acompanhe algumas transformações de decimais em frações decimais. Note
que a quantidade de “zeros”, indica a quantidade de números após a vírgula. Veja:
0,1 = 1
10

0,2 = 2
10

0,01 = 1
100

0,35 = 35
100

0,001 = 1
1000

0,425 = 425
1000

Agora, veja a operação inversa, transformar frações decimais em números
decimais. Para isso, escrevemos o numerador. A vírgula deve ser colocada da
direita para a esquerda tantas casas quanto forem os zeros do denominador.

a) 35 = 3,5 uma casa após a vírgula
10 um zero

b) 47 = 0,47 duas casas após a vírgula
100 dois zeros

c) 42 = 0,042 três casas após a vírgula
1000 três zeros

26


Adição e subtração de decimais

Para realizar a adição ou subtração de decimais, temos duas possibilidades,
acompanhe os exemplos.

Cálculo I Cálculo II
Coloque dezena embaixo de dezena, Transforme os números em frações
unidade embaixo de unidade, vírgula decimais, adicione ou subtraia os
embaixo de vírgula, e assim por valores e depois o retorne para
diante. As casas vazias podem ser decimal.
completadas com zeros.

0,45 + 2,32 = 45 + 232 =
0,45 + 2,32 = 0,45 100 100
+2,32
2,77 277 = 2,77 duas casas após a vírgula
100 dois zeros
2,3 + 12,47 = 02,30
+ 12,47

A multiplicação de decimais pode ser realizada de duas formas.

Cálculo I Cálculo II
Multiplique os fatores como se não Transforme em frações decimais,
houvesse vírgula, verifique quantas multiplique e depois volte para
casas decimais há nos fatores e as decimais.
coloque no produto.
4,2 . 2,5 = 42 . 25 = 1050 = 10,50
4,2 1 casa decimal 10 10 100
x2,5 1 casa decimal
210
_84 +
10,50 2 casas decimais

27


Divisão de decimais
Agora, acompanhe o procedimento para divisão de decimais, para isso
realizaremos a seguinte divisão: 22,5 / 0,15.

Procedimento para o cálculo:
1º) igualar as casas decimais 22,50 / 0,15
2º) eliminar a vírgula 2250 / 15
3º) dividir normalmente
2250 15
75 150
00

Quando houver resto podemos dar continuidade na divisão até a casa decimal que
nos interessar. Acompanhe o cálculo de 458/7.

Procedimento para o cálculo:
1º) calcule a parte inteira:
458 7
38 65
3

2º) Agora calcule a primeira casa decimal, para isso coloque a vírgula no quociente e
um zero no décimo do dividendo, sem alterá-lo;

458,0 7
38 65,4
30
2

3º) Acrescente a quantidade de zeros necessária para o cálculo desejado:

28


Aula 5 – Medidas de comprimento e área

Nessa aula estudaremos medidas de comprimento e área, mas antes, você sabia
que a necessidade de medir surgiu ainda na antiguidade, nas mais antigas
civilizações, e por um longo período cada região desenvolveu seu próprio sistema
de medida. Porém, com tantas maneiras diferentes de medir, o comércio entre as
cidades ficava prejudicado, pois havia imprecisão nas medidas, uma vez que uns
mediam com os pés, outros com as mãos e outros com o cúbito (medida de
distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio). Justamente por isso foi criado
um sistema único de medida para cada grandeza.

Assim, em 1791, representantes de vários países se reuniram para discutir a
adoção de um sistema único de medidas, foi então que surgiu o sistema métrico
decimal, portanto ficou determinado que o metro seria a unidade padrão para medir
comprimentos.

Matheus chegou da escola com duas atividades: descobrir a distância da sua casa
até o trabalho de seu pai e o comprimento da frente do terreno da sua casa.

Ele descobriu que há 12 km no percurso realizado pelo seu pai e que a frente da
sua casa tem 5 metros.

Observe que somente nesse exercício algumas medidas foram apresentadas, o
quilômetro (km) e o metro (m). Agora vamos estudar os múltiplos e submúltiplos do
metro.
Observe o esquema:
Unidade
Múltiplos Submúltiplos
Padrão
Unidade quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

Símbolo km hm dam m dm cm mm
Relação
1.000 m 100 m 10 m 1m 0,1m 0,01 m 0,001 m
com o metro

29


Note que o metro tem seus múltiplos e submúltiplos. O quilômetro (km),
submúltiplos
hectômetro(hm) e decâmetro (dam) são múltiplos do metro e usados para medir
grandes distâncias e correspondem a 1.000, 100 e 10 metros respectivamente. Já
1 000,
os submúltiplos compreendem o decímetro (dm), o centímetro (cm) e o milímetro
(mm) e são usados para medir pequenos comprimentos. Eles possuem 0,1; 0,01 e
0,001 metro respectivamente.

Você sabia que...
• para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utiliza-se: mícron ( ) =
utiliza
10-6 m e angstrom (Å) = 10-10 m;
• para distâncias astronômicas utiliza-se o “ano-luz” (distância percorrida por um
cias utiliza
raio de luz em um ano e equivale a, aproximadamente, nove trilhões e
io
quinhentos bilhões de quilômetros: Ano-luz = 9,5 · 1012 km;
• pé, polegada, milha e jarda são unidades não pertencentes ao sistema métrico
decimal e são utilizadas em países de língua inglesa.
inglesa

Observe no quadro as igualdades.
igualdade

1 pé 30,48 cm
1 polegada 2,54 cm
1 jarda equivale a 91,44 cm
1 milha terrestre 1.609 m
1 milha marítima 1.852 m

Observe o esquema utilizado para transformar unidades de medida de
comprimento. Note que cada unidade corresponde a 10 vezes a unidade
ada unidade
imediatamente inferior e da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer as
transformações, basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 10. Vamos praticar
um pouco!

30


Para transformar 14,284 hm (hectômetro) em metros (m) devemos multiplicar,
acompanhe.

X 10 X 10

14,284 1428,4

km hm dam m dm cm mm

Logo, 14,284 hectômetros correspondem a 1428,4 metros.
Para transformar 1,262 dam em cm devemos multiplicar.

X 10 X 10 X 10

1,262 1262


Logo, 1,262 decâmetros correspondem a 1262 centímetros.
Já para transformar 166,5m em dam devemos dividir:

16,65 166,5

: 10

Logo, 166,5 metros correspondem a 16,65 decâmetros.
E para finalizar, para transformar 866 m e km devemos dividir:
886 : 10 : 10 : 10 = 0,886

0,886 886

: 10 : 10 : 10

31


Logo, 886 metros correspondem a 0,886 quilômetro.

Agora, observe que na casa do Sr. Maurício (pai de
Matheus) foi colocada uma cerca de madeira. Qual cálculo
devemos realizar para saber quantos metros de cerca ele
precisou para fazer esse trabalho?

Para realizar esse cálculo foi preciso somar as medidas dos lados do terreno,
portanto foi realizado o cálculo do “Perímetro”.

Imagine que o terreno da casa possui as seguintes medidas:

5m

Como havia falado, devemos somar as medidas
de cada lado para encontrarmos o perímetro do
10 m 10 m terreno: 5 m + 5 m + 10 m + 10 m = 30 m. Logo,
Maurício precisou de 30 metros de cerca para
colocar em volta do terreno.

5m

Agora imagine que o terreno possui as seguintes medidas:

8,5 m
8,5 m

8,5 m 13,5 m

11,5 m

Nesse caso também somamos os lados do terreno: 8,5 m + 8,5 m + 8,5 m +11,5 m
+ 13,5 m = 50 m., portanto o perímetro do terreno é de 50 metros.

32


Importante saber que quando realizamos a soma das medidas de todos os lados,
estamos calculando o perímetro de um polígono, ou seja, uma superfície plana
limitada por linhas retas ou lados.

Nesta figura temos lados com medidas em centímetro (cm) e decâmetro (dm).
Nesse caso, como devemos calcular o perímetro?

2 cm
0,2 dm

3 cm

Em primeiro lugar, você deve transformar as medidas para a mesma unidade,
utilizando a tabela de conversão estudada há pouco, portanto 0,2 dm = (0,2 . 10) cm
= 2 cm. Agora, somamos as medidas dos lados: 2 cm + 2 cm + 3 cm = 7 cm. Logo o
perímetro desse polígono é de 7 cm.

Outro assunto interessante que estudaremos nessa aula é unidade de medida de
superfície ou unidade de área, o metro quadrado. Para estudá-la imagine que Sr.
Maurício queira pintar a parede da sala de sua casa, para determinar a quantidade
de tinta, ele precisará medir as superfícies para encontrar a área da parede.

12 m

12

6m X6
72

Logo, o Sr. Maurício terá de comprar tinta para pintar uma parede de 72m2 de área.

33


Note que vimos um novo sistema de medida, o metro quadrado (m2). Agora,
acompanhe a explicação: se dividirmos a parede do Sr. Maurício em quadrados que
medem 1 metro de cada lado, veremos que ao todo temos 72 quadrados, observe:

12 m

1m

6m

De acordo com o Sistema Internacional de Unidades o metro quadrado é a
unidade padrão de medida para superfícies. O quadrado com todos os lados
medindo 1 metro corresponde a 1 metro quadrado.

O metro quadrado também tem seus múltiplos e submúltiplos. Observe no quadro o
símbolo e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com o metro quadrado.

Unidade
Múltiplos Submúltiplos
padrão
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
Unidade
quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado
Símbolo km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Relação com
o metro 1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,00001 m2
quadrado

34


Observe que cada unidade corresponde a 100 vezes a unidade imediatamente 1
100
inferior da unidade imediatamente superior, ou seja, para fazer as transformações,
basta multiplicar ou dividir sucessivamente por 100. Vamos praticar um pouco!

Acompanhe as transformações de algumas medidas.
6 km2 em m2

X 1.000.000

2 2 2 2
km x100 hm x100 dam x100 m

6 km2 = ( 6 x 1.000.000) m2 = 6.000.000 m2
ou
6 km = ( 6 x 100 x 100 x 100) m2 = 6.000.000 m2
2

Acompanhe outro cálculo.
20 mm2 em m2

: 1.000.000

m2 : 100 dm2 : 100 cm2 : 100 mm2

20 mm2 = (20 : 0,00001) m2 = 20 x 1 m2 = 20 m2 = 0,00002 m2
1.000.000 1.000.000
ou
20 mm = (20 : 100 : 100 : 100) m2 = 0,00002 m2
2

O cálculo de áreas rurais é um pouco diferente, para esses casos utilizamos o
hectare, representado pelo símbolo ha ou 1hm2 (hectômetro), que equivale a dez
mil metros quadrados (10.000 m2). Imagine que figura representa um terreno
medindo 1hm de cada lado, logo o terreno possui 1 hectare.

35


1hm

1hm2 =
1hm 1hm
1 ha

1hm

Existe outro sistema de medida para áreas rurais?
Existe sim, o are, representado pelo símbolo a ou 1dam2 (decâmetro), que
equivale a cem metros quadrados (100 m2). Imagine que a figura representa um
terreno medindo 1dam de cada lado, logo teremos um terreno com 1 are.

1dam

1 dam2 =
1dam 1 are 1dam

1dam

Existem ainda outras unidades populares de medidas agrárias, tais como:

Alqueire paulista 24.200m2
Que equivale
Alqueire mineiro ou goiano 48.400m2
à área de...
Alqueire do norte ou baiano 27.225m2

36


Aula 6 – Medidas de tempo, massa, capacidade e volume

Bem-vindo à nossa ultima aula, um momento ideal para refletirmos sobre a
importância do tempo em nossas vidas. Você alguma vez na vida já se deparou
com frases do tipo: faz tempo que você está me esperando? Quanto demora a
viagem até lá? Já faz tempo que o jogo começou? Qual a duração do curso?

Pois bem, essas perguntas são respondidas com base em uma unidade padrão de
medida de tempo, e a unidade escolhida como padrão pelo Sistema Internacional
(SI) é o segundo.

Por falar em tempo, observe que Matheus está tomando banho para ir à escola. Ele
iniciou o banho às 6h30min e agora já são 6h45min.

Note que quando falamos de tempo, utilizamos suas unidades de medida: o
segundo(s), o minuto(min) e a hora(h). O segundo é a unidade padrão, porém,
dependendo da situação, outras unidades podem ser usadas, como por exemplo,
para fazer a indicação de 60 minutos, usamos 1 hora, ou ainda para indicar 60
segundos, usamos 1 minuto.

Mas como podemos transformar horas em minutos?

Você deve multiplicar a quantidade de horas por 60. Para transformar 5 horas em
minutos, multiplique 5 por 60 e o resultado será 300. Logo, 5 horas correspondem a
300 minutos.

Para transformar segundos em minutos devemos dividir a quantidade de segundo
por 60. Para transformar 155 segundos em minutos, divida 155 por 60 e o cálculo
será:
155 60
segundos 35 2 minutos

37


Logo, 155 segundos correspondem a 2 minutos e 35 segundos.

Atenção!
Nunca escreva 3,20min. para representar 3h20min. Lembre-se, o sistema de
medida de tempo não é decimal.

Agora, conheça outras medidas de tempo.

Mês comercial = 30 dias Bimestre = 2 meses
Ano comercial = 360 dias Trimestre = 3 meses
Ano normal = 365 dias Quadrimestre = 4 meses
Ano bissexto = 366 dias Quinquênio= 5 anos
Semana = 7 dias Década = 10 anos
Quinzena = 15 dias Século = 100 anos
Milênio = 1.000 anos

Agora que já conhece toda a família do Sr. Maurício, incluindo Dona Carolina e
Matheus, partiremos para o próximo assunto. Observe as imagens:

Sr. Maurício – 75 Kg.
Dona Carolina – 63 Kg.
Matheus – 52 Kg.

Nesse caso, estamos nos referindo às unidades de medida de massa: o
quilograma (kg), o grama(g) e o miligrama (mg).

Agora, conheça os múltiplos e submúltiplos das unidades de medida de massa com
ajuda do esquema. Observe que a unidade padrão é o grama. As unidades da
esquerda são utilizadas para medir grandes massas e as unidades da esquerda são
para medir pequenas massas.

38


quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg Hg dag g dg cg mg

As unidades de massa podem ser transformadas de quilos para gramas, por
exemplo. Observe o esquema e acompanhe os exemplos.

X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10

kg hg dag g dg cg mg

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

Observe a transformação de 2 quilogramas em gramas.

kg hg dag g

2 kg X 10 X 10 X 10 = 2.000 g

Agora acompanhe a transformação de 120.000 miligramas em hectogramas.

hg dag g dg cg mg

1,2 hg = : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 120.000 mg

Note que quando transformamos uma unidade de massa da esquerda para direita,
devemos multiplicar por 10 e quando transformamos da direita para a esquerda
dividimos por 10.

ATENÇÃO:
• cada unidade de massa é dez vezes maior que a unidade imediatamente
inferior;
• o grama pertence ao gênero masculino, portanto devemos dizer duzentos
gramas de algo e não duzentas gramas, nesse último caso estamos
relacionando grama à vegetação;
• também são usadas outras unidades de medida de massa:
- tonelada = t que equivale a 1.000kg;
- arroba =@ que equivale a aproximadamente 15kg.

39


Agora , observe os produtos e as capacidades de cada um deles.
bserve

Xampu Desinfetante

500 ml
1l

As unidades de medidas de capacidade mais utilizadas em nosso dia a dia são o
litro (l) e o mililitro (ml).

Em nosso dia a dia, as unidades de medida de capacidade são muito utilizadas, se
utilizadas
estamos fazendo uma receita, precisamos de alguns ml de leite. Ao escolhermos a
receita o
capacidade que terá a caixa d’água que vamos colocar em casa, ao comprar uma
bebida seja em lata ou garrafa, entre tantas outras situações que você com certeza
outra
deve estar se lembrando agora.

A unidade padrão de medida de capacidade é o litro. Na tabela são apresentados
seus múltiplos e submúltiplos, além do símbolo e sua relação com o litro.
, .

Múltiplos Unidade Submúltiplos
Padrão
Unidade
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
Símbolo
kl hl dal l dl cl ml
Relação
com o 1.000 l 100 l 10 l 1l 0,1 l 0,01 l 0,001 l
litro

Para transformar unidades de medida de capacidade, usa-se o mesmo critério
capacidade se
utilizado para transformar unidades de medidas de comprimento e de massa.
Acompanhe alguns exemplos.
.

40


Veja a transformação de 3,5 litros em mililitros.

l dl cl ml

3,5 l X 10 X 10 X 10 3.500 ml

Agora, veja a transformação de 200 mililitros em litro.

l dl cl ml

0,2 l : 10 : 10 : 10 200 ml

Muito bem! Até o momento estudamos as medidas de tempo, massa e capacidade.
Agora, estudaremos as medidas de volume, mas antes observe as figuras abaixo:

paralelepípedo cubo

Essas figuras correspondem a um paralelepípedo retângulo e a um cubo. O cálculo
do volume desses elementos é diferenciado e é isso que vamos conhecer a partir
de agora.

Para que se possa determinar a quantidade de cimento que um caminhão comporta
ou a quantidade de areia que se pode colocar dentro de um balde, precisamos
calcular seus respectivos volumes, ou seja medir a quantidade de espaço que o
cimento ocupa no caminhão e a quantidade de espaço que a areia ocupa no balde.
Portanto, volume é a quantidade de espaço ocupado por um corpo.

Para calcular o volume de um paralelepípedo, elegemos como unidade de volume 1
= e, depois, contamos quantos formam um paralelepípedo.

41


2

2
3

Contado os cubos, notamos que esse paralelepípedo é formado por 12 . Logo,
seu volume é 12.

Para realizar o cálculo do volume de um paralelepípedo você deve considerar as
unidades de medida volume (v), comprimento (a), largura (b) e altura (c) e o cálculo
é realizado por meio da seguinte equação: V = a . b . c

Observe o exemplo do paralelepípedo que estudamos há pouco e acompanhe o
cálculo do volume.

2 altura (c)
3 = quantidade de cubos no
comprimento
= volume
2 = quantidade de cubos na largura
2 2 = quantidade de cubos na altura
3 largura (b) V=a.b.c=?

comprimento (a)

Como havíamos falado, o volume desse paralelepípedo é 12. Para calcular o
volume do cubo utilize a equação: V = l . l . l = l 3, sendo que V indica volume e l
representa cada lado. Observe no esquema.

lado (l)

= volume

lado (l)

lado (l)

42


Outro assunto importante relacionado ao volume é o metro cúbico (m3), que nada
mais é do que a unidade padrão de medida de volume. Ela corresponde ao cubo e
aresta de medida igual a 1m. Conheça os múltiplos e os submúltiplos do metro
cúbico m3.

Múltiplos Unidade Padrão Submúltiplos

hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
Unidade quilômetro cúbico
cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico

Símbolo km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Relação com 3 3 3 3 3 3 3
1.000.000.000m 1.000.000m 1.000m 1m 0,001m 0,000001m 0,000000001m
metro cúbico

Atenção! Capacidade é um volume e pode ser medido com a unidade metro cúbico.

Como em todas as unidades de medida vistas até aqui, vamos transformar 3 metros
cúbicos em centímetro cúbico.

3 3 3
m dm cm

3 x 1000 x 1000 3.000.000

Logo 3m3 corresponde a 3.000.000 cm3.
Já para transformar 4.000 milímetros cúbicos (mm3) em metro cúbico (m3).

3 3 3 3
m dm cm mm

0,000004 : 1000 : 1000 : 1000 4.000

Logo 4.000 mm3 corresponde a 0,000004 m3.

Esperamos que a partir de agora, você não veja mais a matemática como um
monstro que só veio para atrapalhar. Assim como qualquer outra disciplina, basta
força de vontade e muita prática! Não perca mais tempo, exercite agora mesmo o
que aprendeu até aqui. Até breve!

43


Referências

BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática: ensino fundamental, -
Volumes 6 e 7 2. ed. – São Pulo : Moderna, 2007

BRASIL ESCOLA. Unidades de Medidas. http://www.brasilescola.com/química/unid
ades-medida.htm Data de acesso: 24/11/08

KLICK EDUCAÇÃO. Conceito de número Natural. Disponível em:
http://www.klickeducacao.com.br/2006/materia/20/display/0,5912,POR-20-88-95153
46,00.html Data de acesso: 17/11/08

MORI, Iracema, Dulce Satiki Onaga – Ideias e Desafios 6ª série. 11.ed. – São
Paulo: Saraiva, 2002

NG HORTA. Conjuntos Numéricos. http://www.nghorta.com/2007/02/02/conjuntosnu
mericos/ Data de acesso: 17/11/08

SERCOMTEL. Expressões Algébricas. http://pessoal.sercomtel.com.br/matemática/f
undam/expralg/expralg.htm Data de acesso: 02/12/08

SÓ MATEMÁTICA. Medidas de Comprimento. http://www.somatematica.com.br/fun
dam/comprimento/comprimento2.php Data de acesso: 5/12/08

_______________ Medidas de Superfície. http://www.somatematica.com.br/fundam
/medsup.php Data de acesso: 5/12/08

_______________ Mínimo Múltiplo Comum. http://www.somatematica.com.br/funda
m/mmc.php Data de acesso: 18/11/08

_______________ Números Primos. http://www.somatematica.com.br/fundam/prim
os.php Data de acesso: 24/11/08

_______________ Radiciação. http://www.somatematica.com.br/fundam/radiciacao.
php Data de acesso: 26/11/08

WIKIPÉDIA. Tabela de Conversão de Unidades. http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_
de_convers%C3%A3o_de_unidades Data de acesso: 18/11/08

WWW.JULIOBASTTISTI.COM.BR. Matemática para Concursos– 10ª Parte
http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos010.asp
Data de acesso: 5/12/08

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Matemática Básica I: Conceitos Fundamentais

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