บทความทางคณิตศาสตร์

1. ฉบับที่ผานมา เราไดแสดงใหเห็นถึงที่มาของสมการออยเลอร-ลากรอนจ ซึ่งเปนผลมาจากเงื่อนไขจําเปน
ที่ทําใหค าปริพั นธของฟง กชั่นนั ล เปนคาสุ ดขีด (extremal) ในฉบับนี้เราจะกลาวถึง การวิ เคราะหส มการออย
เลอร-ลากรอนจ ตามกรณีตา งๆ กันของฟงกชั่ นนัล และการใชสั ญลัก ษณ “ เดลต า (  ) ” แทนตัวดําเนินการ
ของการแปรผัน
กรณีเฉพาะของสมการออยเลอร-ลากรอนจ ( Special Cases of The Euler-Lagrange Equation )
กรณีที่ 1 F  F  x, y  ในกรณีนี้ ฟงกชั่น F ไมปรากฏตัวแปร y อยางชัดแจง
d  F  F
จะไดวา  y    0  y   const
  (8)
dx  
กรณี 2 F  F  y, y  ในกรณีนี้ ฟงกชั่น F ไมปรากฏตัวแปร x อยางชัดแจง
F d  F 
จาก สมการออยเลอร-ลากรอนจ จะได    (*)
y dx  y 
 
dF  F  dy  F  y   F  dy  F  d 2 y
พิจารณา 
   
  
  y  dx   y   dx 2
     (**)
dx  y  dx  y   x    
แทนคา สมการ (*) ลงใน (**)
dF d  F  dy  F  d 2 y d   F 
จะได   y   dx   y   dx 2  dx  y  y  
     
dx dx       
d   F  
หรือ  F  y 
 y     0

dx   
 F 
ดังนั้น F  y 
 y    const
 (9)
 
สมการ (8) และ (9) ไดมาจากการหาคาปริพันธครั้งที่หนึ่ง จึงเรียกวา “ คาปริพันธแรก (first integral) ”

2. dg
กรณี 3 F  โดยที่ g  g x , y 
dx
จากสมการ (4) กําหนดปริพันธของฟงกชั่นนัลโดย
F  x, y, y  dx
x2
I [ y]  x1
d
g  x , y  dx
x2
 x1 dx
 g  x1 , y1   g x 2 , y 2  (10)
แสดงใหเห็นวา I เปนอิสระกับฟงกชั่น y ใดๆ ที่ผานจุดปลายทั้งสองดาน x1 , y1  และ x2 , y 2 
พิจารณาอนุพันธรวมของฟงกชั่น g
dg  x , y  g g
F    y (11)
dx x y
แทนคาใน สมการออยเลอร-ลากรอนจ โดยพิจารณาอนุพันธยอยในสมการ (11) เทียบกับ y จะได
F 2g 2 g F g
  y , 
y yx y 2 y  y
=0
d  F  2 g 2g 2g
และ     y  y 
dx  y  
  xy y 2 y  2
2g 2g
เนื่องจาก  จะไดวา ฟงกชั่น g สอดคลองกับสมการออยเลอร -ลากรอนจ เมื่อ g เปนฟงกชั่น
yx xy
ที่สามารถหาอนุพันธได เทียบกับ y อยางนอยสองครั้งบนโดเมน [ x1 , x2 ] และเปรียบเทีย บกับสมการ (7) (ดู
ในตอนที่ 1) ซึ่งกลาววา Fy  Fyx  Fyy y   Fyy y   0 พบวาสมมูลกับสมการออยเลอร-ลากรอนจ เรา
จะไดคาสัมประสิทธิ์ของ y  คือ
  F  F
 y    0  y   N x , y 

y   

F   dF   N x , y  dy   N x , y  y   M x , y 
ดังนั้น F  x , y , y   M  x , y   N  x , y  y  (12)
พิจารณาสมการ (11) และ (12) พบวาเราสามารถหาฟงกชั่น g ไดจากแกสมการ

3. g 
 M x , y  
x 
g  (13)
 N x , y  
y 

F M N d  F  dN M N
นอกจากนั้น   y และ  y    dx  y  y y 
 
y y y dx  
จะได สมการออยเลอร-ลากรอนจ อยูในรูป
M N
  0 (14)
y x
สมการ (14) ไมใชสมการเชิงอนุพันธของฟงกชั่น y ซึ่งจริงๆ แลวฟงกชั่น y ไมปรากฏอยางชัดแจง
ในสมการขางตน การมีอยูของผลเฉลยของสมการขึ้นอยูกับฟงกชั่น M และ N ที่กําหนดมาให
1   y 
x2 2
ตัวอยาง กําหนดใหปริพันธของฟงกชั่นนัล I [ y  x ]   dx จงใชคาปริพันธแรกของสมการ
x1
x
ออยเลอร-ลากรอนจ หาผลเฉลยที่อยูในรูปฟงกชั่น yx 
  1   y  
2
F    y
วิธีทํา จาก  C1 แทนคา  C1
y  y   x 
x 1   y 
2
 
จะได  y  2  C1   y 
2

C1 x 2
 y  
C1 x 2

C2 x
x 2 1   y    1  C1 x 2 1  C1 x 2
2
1  C1 x 2
C2 x
 y   dx โดยเทคนิคของการหาปริพันธสมมติให u 2  1  C1 x 2  udu   C1 xdx
1  C1 x 2
C 2 u du C2u C2
เมื่อแทนคาจะได y    u   C1  C3   C1 1  C1 x  C3
2
C1
2
 C 
นั่นคือ  y  C3  2
  2
 C   
 1  C1 x  C 3  x 
2 2
x 2   y  C3   C 3
2
 1 
เปนผลเฉลยทั่วไป (general solution) ซึ่งอธิบาย วงศของสมการวงกลม (family of circles) ‡

4. ตัวอยาง จงหาคาสุดขีดของปริพันธของฟงกชั่นนัล ซึ่งกําหนดโดย
 x  
x2
I [ y]  2
 3 y 2 y   2 xy dx
x1
N
วิธีทํา เนื่องจาก N x , y   x 2  3 y 2   2x
x
M
และ M  x , y   2 xy   2x
y
เราสามารถหาฟงกชั่น g จากสมการ (13)
g
 M x , y   2 xy  g  x 2 y  Cy
x
g
 N  x , y   x 2  C  y   C  y   3 y 2  C  y   y 3  k
y
จะไดวา g x , y   x 2 y  y 3  k เมื่อ k เปนคาคงที่ใด ๆ
ดังนั้น ปริพันธของฟงกชั่นนัล I เปนอิสระกับฟงกชั่น y กําหนดโดยสมการ (10)
3 3

I [ y ]  g  x1 , y  x1   g x 2 , y  x 2   x 2 y 2  y 2  x13 y1  y13  ‡
ตัวอยาง พื้นที่นอยที่สุดที่เกิดจากการหมุนเสนโคง
พิจารณาพื้น ผิวจากการหมุนรอบแกน x ของเส นโคงที่เชื่อ มจุด คงที่ 2 จุด x1 , y1  และ x2 , y 2  ใน
ระนาบ XY ดังรูปที่ 4 ปญหานี้ตองการหาสมการเสนโคงดังกลาวซึ่งทําใหพื้นที่ผิวจากการหมุนมีคานอยที่สุด
รูปที่ 4 : พื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนเสนโคงรอบแกน X

5. วิธีที่ 1 : โดยอาศัยคาปริพันธแรก พิจารณาแถบพื้นที่เล็กๆ dA  2 y dS  2 y 1   y  dx
2
x2
จะไดวา A  2  y 1   y  dx เนื่องจากฟงกชั่นนัล F  F  y , y    y 1   y 
2 2
x1
F  
จากคาปริพันธแรก ในสมการ (9) F  y จะได y 1   y   y  y 1   y    C1
2 2
 C1
y  y  
 

y 1   y   y 
2 yy 
 C1 
 2

y 1   y   y  y 
2

y
 C1
1   y  1   y  1   y 
2 2 2
y2 dy y 2  C12 dy dx
หรือ  C12  y       C
1   y 
2
dx C1 y C
2
1
2
1
 y   x 
โดยเทคนิคการคาปริพันธ จะได cosh 1   
C 
x
 C2 หรือ y  C1 cosh   C 2 
C  เมื่อ C1 ,C2
 1 C1  1 
เปนคาคงที่ของการหาปริพันธ พิจารณาจากเงื่อนไขที่จุดปลาย x1 , y1  และ x2 , y 2  ของเสนโคง
วิธีที่ 2 : อาศัยสมการออยเลอร-ลากรอนจ โดยตรง
F d  F 
จาก     0 โดยที่ F  F  y, y   2 y 1   y 
2
y dx  y 
 
d 
 yy  
  0 d  yy 
  0
จะได 2 y 1   y   2 หรือ 1   y 
2 2

dx 1   y 2  dx  1   y2 
   
  yy  

 yy   y2 1   y2  yy  

  1   y2  
   0
1   y   
2
 
1   y 
2
 
 

 

  1   y  
2
2
 2

 1   y yy   y  y  y y 

2
  0

1   y 
2
 
{ โดยการคูณ 1   y ตลอดสมการ }
2
 1   y   1   y yy   y   y y y  0
2 2 2 2 2
{ โดยการคูณ 1   y  ตลอดสมการ }
2
 1  2 y   y  yy   y  y  y y   y  y  y y  0
2 4 2 2 4 2
 1   y  yy  0
2
เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสอง ซึ่งสามารถลดรูปเหลือสมการอันดับหนึ่งได

6. dp dp dy dp dp
โดยการสมมติตัวแปร p  y จะได y    y  p
dx dy dx dy dy
เมื่อแทนคาในสมการขางตน จะได
dp dy p
1  p 2  yp
dy
 0   y
 
1  p2
dp
 y2 
 n y 
1
2
 
n 1  p 2  C1  n 
 1  p 2   C1

 
y2  C2
หรือ 
y2  C 1  p2  เมื่อ C  eC1 ดังนั้น p 
dy
dx

C
 x 
โดยอาศัยการหาปริพันธ ก็จะไดเสนโคงที่มีสมการเปน y  C1 cosh   C 2 
C  ‡
 1 
หมายเหตุ
1. ตัวอยางขางตนทําใหเราทราบวาการใชคาปริพันธแรกจะชวยลดการคํานวณลง เนื่องจากอยูในรูปของ
สมการอันดับหนึ่ง
2. เสน โคงคําตอบนี้เรียกวา “ คาเทนนารี (catenary) ” มาจากภาษาละติน คําวา “ คาเทนนา (catena) ”
แปลวา โซ (chain) ซึ่งไลบนิซ (Leibniz) เปนผูที่ตั้งชื่อนี้ขึ้นเนื่องจากเปนเสนโคงที่มีรูปรางเหมือนโซที่มีมวล
สม่ําเสมอ แขวนปลายทั้งสองดานไว ณ ตําแหนง x1 , y1  และ x2 , y 2 
3. พื้นผิวที่ไดจากการหมุนเสนโคง คาเทนนารี เรียกวา “ คาเทนนอยด (catenoid) ”
ตัวอยาง ( The Brachistochrone Problem ) พิจารณาเสนลวดในระนาบดิ่ง ที่เชื่อมจุดกําเนิด O และจุด
P x , y  ดังรูป ลูกปดมวล m เคลื่อนที่จากจุดกําเนิดตามเสนลวดไปยังจุด P2 x 2 , y 2  ภายใตแรงโนมถวงของ
โลก และปราศจากแรงเสียดทาน จงหาสมการแสดงรูปรางของเสนลวดที่ทํ าใหลูกปดเคลื่อนที่ภายในเวลานอย
ที่สุด
X
O
P(x,y)
mg
P2
Y
รูปที่ 5 : Brachistochrone Problem

7. วิธีทํา สมมติให ลูกปดมีมวล m เคลื่อนที่จากจุด O ไปยังจุด P2 ใชเวลา t จากหลักการอนุรักษพลังงาน
กลาววา พลังงานรวม ณ ตําแหนงใดๆ ของระบบอิสระ มีคาคงที่เสมอ กลาวคือ
1 2 ds
mgy  mv หรือ v   2 gy
2 dt
1   y 
2
T x2 ds 1 x2
จะได t   dt     dx
0 0
2 gy 2g 0
y
ลูกปดจะเคลื่อนที่โดยใชเวลานอยที่สุด เมื่อปริพันธนี้ใหคาต่ําสุด
1   y 
2
สําหรับกรณีนี้ฟงกชั่นนัลมีคา F  F  y, y  โดยอาศัยคาปริพันธแรก
y
F 1   y 
2  y 
จากสมการ (9) ซึ่งกําหนด F  y  C1 จะได  y    C1
y y  1   y2 y 
 

1   y    y
2 2

1
 C1 หรือ y 1   y  
2
C2 เมื่อ C2  1
C1
y 1   y  y 1   y 
2 2
 
y 1   y   C2
2
 หรือ y 
dy
dx

C2  y
y
y
  dx   C2  y
dy
C2
โดยเทคนิคการหาปริพันธ สมมติตัวแปร y  C2 sin 2   1  cos 2 
2
จะได dy  2C2 sin  cos d  C2 sin 2 d และ   sin 1 y C 2
C 2 sin 2  sin  sin 2
 x   C 2 sin 2  d  C2  d
C 2  C 2 sin  2 cos 
 1  cos 2 
 2C2  sin 2  d  2C2    d
 2 
 sin 2  C
 C2  1  cos 2  d  C2     C3  2 2  sin 2   C3
 2  2
นั่นคือ เราจะไดสมการเสนโคงที่เปนสมการอิงตัวแปรแสริม

8. x   b  sin    C 3 และ y    b1  cos  
โดยที่   2 และ b  C2 2 เนื่องจากเสนโคงผานจุดกําเนิด จะได C3  0
ดังนั้น สมการที่ตองการคือ x   b  sin   และ y    b1  cos   ‡
หมายเหตุ
1. เสนโคงที่นิยามตามสมการ (**) เรียกวา “ ไซคลอยด ( cycloid ) ”
รูปที่ 6 : ไซคลอยด กําหนดโดยเสนทางการเคลื่อนที่บนระนาบของจุดที่อยูบนวงกลม

2. คําวา “ Branchistocrone ” ในปญหานี้ เปนคําในภาษากรีก มาจาก Branchistos หมายถึง สั้นที่สุด
(shortest) และ Chronos หมายถึง เวลา (time)
ตัวดําเนินการของการแปรผัน (The Variational Operator)
บทนิ ยาม 1 กําหนดฟงกชั่นนัล F x, y, y  เมื่อพิจารณาให x เปนคาที่ ถูกตรึงไว (fixed) สวนเปลี่ยนแปลง
(increment) ของ F กําหนดโดย
F  F  x, y *  , y *    F  x, y, y 
จากบทนิยาม เมื่อพิจารณาการกระจายอนุกรมเทยเลอร (Taylor series expansion) รอบจุด ( x, y, y ) จะได
F F
F  x, y *  , y *    F  x, y, y        (higher order terms)
y y 
ดังนั้น สวนเปลี่ยนแปลงของ F คือ
F F
F      + (higher order terms)
y y 

9. บทนิยาม 2 กําหนดฟงกชั่นนัล F x, y, y  เมื่อพิจารณาให x เปนคาที่ถูกตรึงไว การแปรผั น (variation)
ของ F กําหนดโดย
F F F F
F       y  y
y y  y y 
โดยที่  y   และ  y    
สัญลักษณ F เรียกอีกอยางวา “ การแปรผันอันดับหนึ่งของฟงกชั่นนัล F (first variation of F ) ”
ขอควรระวัง
เมื่อกําหนดให F  x, y , y   เราจะได
F F F
อนุพันธรวมของฟงกชั่นนัล F : dF  dx  dy  dy 
x y y 
F F
การแปรผันอันดับหนึ่งของฟงกชั่นนัล F : F  y  y
y y 
ดังนั้น การหาอนุพันธรวม จึงแตกตางกับ การหาคาการแปรผันของฟงกชั่นนัล
ในปญหาแคลคูลัสของการแปรผัน ตัวแปรอิสระ x ถูกตรึงไว (fixed) แตฟงกชั่น F จะขึ้นอยูกับตัวแปร
y และ y ตัวอยางเชน ลักษณะของเสนโคงที่เชื่อมระหวา งจุดสองจุด การแปรผันของเสนโคงจะมีคา ในขณะ
d
ที่  x  0 จากนิยามของการแปรผัน เรามี  y     y   d      และ  y    
dx dx
ดังนั้น จึงสรุปไดวา y   y  นั่นคือ ตัวดําเนินการ  และ d
มีสมบัติการสลับที่
dx
สมบัติพื้นฐานของตัวดําเนินการการแปรผัน
1.  F1  F2   F1  F2
2.  F1 F2   F1 F2  F2 F1
3.  cF   c F
F  F F  F F
4.  1   2 1 2 1 2
F 
 2 F2
5. F n  nF n 1 F เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก
6. y ( n )  y  เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก
(n)

10. x2 x2
ตัวอยาง จงแสดงใหเห็นวา   F  x, y, y dx =  F x, y, y dx
x1 x1
F F
วิธีทํา เนื่องจาก F  y  y
y y
     
x2 x2 x2
จึงไดวา   F  x, y, y dx    F  x, y , y  dx  y    F  x, y, y dx  y
x1
y  x1  y  x1 
 x 2 F   x 2 F 
  dx  y    dx  y
 x1 y   x1 y 
x2
 F F 
   y  y dx
x1 
y y 
x2
  F dx
x1
ดังนั้น ตัวดําเนินการเดล (  ) และปริพันธ (  ) มีสมบัติการสลับที่ ‡
x2 x2
ตัวอยาง จงแสดงใหเห็นวาเงื่อนไขจําเปนสําหรับ  F x, y, y dx มีคาสุดขีด คือ   F x, y, ydx  0
x1 x1
วิธีทํา จาก คาปริพันธของฟงกชั่นนัล ของเสนโคงขางเคียง คือ
I    F  x , y *  x    x  , y *  x     x 
x2
 x1
dI  
สําหรับคาสุดขีด กําหนดให  0 ผลที่ตามมา คือ
d  0
dI    F F 
 y   x   y    x  dx
x2
d  0
  x1
 
โดยการคูณดวย  จะไดเงื่อนไขจําเปนสําหรับคาสุดขีด คือ
 F F 
 y   x   y    x  dx  0
x2
x1
 
ซึ่งสามารถเขียนไดเปน
x2  F F  x2 x2
x1  y  y  y   y  dx 
 
x1
F dx    F dx  0
x1
x2
ดังนั้น เงื่อนไขจําเปนสําหรับคาสุดขีด คือ   F  x, y, y dx  0 ‡
x1

11. หมายเหตุ จากตัวอยางนี้แสดงใหเห็นวา เงื่อนไขจําเปนสําหรับปริพันธของฟงกชั่นนัลที่เปนคาสุดขีดนั้น
สามารถเขียนในรูปสัญลักษณของการแปรผัน และพิสูจนไดโดยใชส มการออยเลอร -ลากรอนจ ซึ่งใหผ ลลัพ ธ
เชนเดียวกัน
สําหรั บฉบั บหนา ซึ่งเปนตอนสุ ดทาย จะไดกล าวถึง ปญหาของการแปรผัน ที่เกี่ ย วกับ เงื่อนไขขอบเขต
ธรรมชาติ สมการออยเลอร -ลากรอนจในฟ งกชั่นหลายตัว แปรซึ่งประยุกต กับปญหาการสั่นของเยื่อบาง และ
สมการคลื่น เปนตน และสุดทายเปนปญหาการแปรผันโดยมีเงื่อนไขบังคับ
เอกสารอางอิง
1. Daviid J. Logan , Applied Mathematics a Contemporary Approach., John Wiley, 1987.
2. Donald A. McQuarrie, Mathematical Methods for Scientists and Engineers., 2003.
3. Leonid P. Lebedev & Michael J. Cloud, The Calculus of Variations and Functional Analysis with
Optimal Control and Applications in Mechanics., volume 12 in Series on stability, vibration and
control of systems, World Scientific Publishing, Singapore, 2003, ISBN 981-238-581-9.
4. Peter V. O' Neil, Advanced Engineering Mathematics (3rd editions)., Thomson Information
Publishing, 1991.
5. R. Weinstock, Calculus of Variations., Dover Publications, New York, 1974.
6. C. Ray Wylie and Louis C. Barrett, Advanced Engineering Mathematics (6theditions)., McGraw-
Hill, Inc., New York.
ขอมูลผูเขียน : นายอิทธิเดช มูลมั่งมี นักศึกษาปริญญาโท ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล
คณะวิศวกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีพระจอมเกลาธนบุรี
E-mail: profittidej@gmail.com
ชื่อบัญชี นายอิทธิเดช มูลมั่งมี เลขที่บัญชี 029-0-06107-5 ประเภทออมทรัพย ธนาคารกรุงไทย สาขา
ถนนสุขสวัสดิ์ ที่อยู 53/463 หมูบานสามัคคี (นวมินทร 105) ถนนนวมินทร ตําบลคลองกุม เขตบึงกุม
กทม. 10240 เบอรโทรศัพท 08-6579-4040 หรือ 02-5108103