Uso de materiales para los grados 1°, 2°, 3° y 5° en las dos primeras páginas de cada material encontrará un taller de matemáticas y en las siguientes una propuesta para abordar una o varias preguntas para potencializar así el aprendizaje de los estudiantes y la practica en el aula por parte del docente

1. Ministerio de Educaci´on Nacional - Proyecto Todos a Aprender
Grado Primero - Matem´aticas
Selecci´on de material con sugerencias para el docente.
1. Contexto probl´emico: “A la hora del recreo”
Este contexto fue tomado del Cuaderno de trabajo de Primer Grado de Proyecto S´e, p´aginas 18 y 19.
!
AA la hora del recreo
1

2. 2
3

3. 2. Sugerencias para el docente en el desarrollo de la actividad.
Ejercicio 1. La forma de colorear los cinco balones depende ´unicamente del tama˜no de los mismos. En la ilustraci´on,
algunas de estas diferencias de tama˜no son muy sutiles. Por eso se recomienda que se haga un ejercicio previo, en el cu´al
todos se pongan de acuerdo con los tama˜nos. Una vez de acuerdo, el profesor puede hacer un esquema en el tablero (donde
aparezcan los balones con sus posiciones relativas y sus caracter´ısticas propias), y hacer ah´ı, de manera m´as evidente, la
diferencia de tama˜nos:
Las dos primeras instrucciones que se dan en el Ejercicio 1 son f´aciles de seguir y no requieren de l´ogica (s´olo de
comparaci´on de tama˜nos y de asignaci´on de color): “El bal´on m´as peque˜no es blanco” y “El bal´on de color naranja con
l´ıneas negras es el m´as grande”. Quedan entonces tres balones por definir color y s´olo dos instrucciones m´as: “El bal´on
con manchas negras es m´as peque˜no que el amarillo” y “El bal´on con letras es m´as peque˜no que el bal´on con manchas”.
Ninguna de estas dos instrucciones, por aparte, sirve para asignar colores; Es la combinaci´on de estas dos instrucciones la
que desemboca en una sola posibilidad de color para esos tres balones restantes.
¿Qu´e formas hay de llegar a la conclusi´on? Una forma puede ser ensayo y error: colorear los balones y luego revisar si
se cumplen ambas condiciones. En caso de que no se cumplan, ensayar otra combinaci´on.
Otra posibilidad es plantear todas las posibilidades e ir descartando las que no cumplen alguna condici´on. Hay seis
combinaciones en total.
opci´on 1
opci´on 2
opci´on 3
opci´on 4
opci´on 5
opci´on 6
las tres que faltan
La primera condici´on dice “El bal´on con manchas negras es m´as peque˜no que el amarillo”. Eso elimina las opciones 2,
4 y 6. La segunda condici´on dice “El bal´on con letras es m´as peque˜no que el bal´on con manchas”. Eso elimina las opciones
1 y 3. Por lo tanto la ´unica v´alida es la opci´on 5.
Otra forma de pensarlo es la siguiente:
• Como “El bal´on con manchas negras es m´as peque˜no que el amarillo”, entonces el bal´on con manchas no puede ser
el m´as grande.
• Por otro lado, como “El bal´on con letras es m´as peque˜no que el bal´on con manchas”, entonces el bal´on con manchas
no puede ser el m´as peque˜no.
As´ı que el bal´on con manchas debe ser el mediano. Y a partir de ah´ı se asignan los otros dos.
Soluci´on:

4. Es de suma importancia que el profesor d´e tiempo a sus estudiantes para solucionar el ejercicio. Ver la soluci´on, sin
haber llegado a ella, no ense˜na nada. En ejercicios como estos, lo importante es el proceso mental que se lleva a cabo. El
rol de profesor es m´as el de alentar al estudiante a ensayar y revisar; el de hacer preguntas que le permitan al estudiante
evaluar la validez de sus propuestas; etc.
Ejercicio 2. Es importante corregir en el enunciado de este ejercicio los dibujos que definen los tama˜nos relativos de
los vasos agregando los signos de adici´on pertinentes:
Podr´ıa agregarse un paso m´as, y suponer que hay un vaso gigante (con cuatro rayitas), al que le cabe la misma cantidad
de l´ıquido que le cabe a dos de los vasos grandes. P´ıdale a sus estudiantes que escriban todas las equivalencias que se
les ocurra para el vaso gigante, usando los vasos grandes, medianos y peque˜nos. Crear ecuaciones de ese estilo, en vez de
completar ecuaciones dadas, demuestra un paso m´as profundo en el manejo del concepto de ecuaci´on y equivalencia.
Ejercicio 3. El tercer ejercicio presenta una buena oportunidad para introducir conectores l´ogicos, como “por lo tanto”,
“como entonces ”, “adem´as”, “en conclusi´on”, etc. As´ı, las seis frases sueltas que deben completarse, pueden unirse
(pues unas son consecuencia de las otras):
“La cifra de las decenas no es la misma que la de las unidades. Por lo tanto, no es el n´umero 22 ni el n´umero 55. Como
la cifra de las decenas no es 7, entonces no es el n´umero 75 ni el n´umero 72. Adem´as, la suma de las cifras del n´umero es
mayor que 10. Entonces no es el n´umero 81. En conclusi´on, en el receso sirvieron 86 refrescos.”
Preguntas adicionales.
Puede aprovecharse el contexto dado para hacer preguntas que desarrollen distintos tipos de pensamiento, mientras
se fomenta la creatividad, las competencias comunicativas, y se practica la resoluci´on de problemas. Ac´a se presenta un
ejemplo donde se usa el pensamiento espacial.
Ejemplo. Puede usar la ilustraci´on para ahondar en la representaci´on bidimensional de objetos o situaciones tridimen-
sionales, mientras practican conceptos de posici´on.
Para los conceptos de Detr´as - Delante, p´ıdale a sus estudiantes que armen frases en donde, usando las palabras
“detr´as” o “delante”, describan un pedazo de la ilustraci´on. Algunas posibilidades son: “La ni˜na de cola de caballo est´a de-
lante del ni˜no del bal´on de basquet.” o “La cancha de f´utbol est´a detr´as del ni˜no que va a tratar de tapar el gol.”
Para los conceptos de Adentro - Afuera - En el borde, p´ıdale a sus estudiantes que armen frases en donde, usando
las palabras “adentro”, “afuera” o “en el borde”, describan un pedazo de la ilustraci´on. Algunas posibilidades son: “La
bebida caliente est´a adentro de la taza.” o “Los ni˜nos est´an afuera del sal´on de clase.” o “Las manos de la ni˜na de camiseta
de rayas est´an en el borde del bal´on.”
Para los conceptos de Cerca - Lejos, p´ıdale a sus estudiantes que encuentren dos objetos o personas que est´en, uno
cerca y otro lejos, de la mata que se ve al fondo.
Para los conceptos de Encima de - Debajo de, p´ıdale a sus estudiantes que armen frases en donde, usando las
palabras “encima de” o “debajo de”, describan un pedazo de la ilustraci´on. Algunas posibilidades son: “La cancha de
f´utbol est´a debajo de la cancha de basquet.” o “La mano derecha del ni˜no con el bal´on de basquet est´a encima del bal´on.”
Los conceptos de Izquierda - Derecha, son m´as dif´ıciles de tratar, pues una cosa es estar “a la derecha de algo” en
la ilustraci´on, y otra es estar “a la derecha de algo” en la realidad que all´ı se representa. Puede hacer preguntas como:
De los tres ni˜nos que est´an tomando algo, ¿cu´al tiene su bebida con la mano izquierda? (Respuesta: El que est´a to-
mando algo caliente)

5. Observe a la ni˜na que va a tocar el bal´on peque˜no y blanco. ¿Va a tocarlo con su mano izquierda o derecha?
(Respuesta: derecha)
Observe a la ni˜na que tiene un bal´on en sus manos. ¿Est´a mirando hacia su derecha o hacia su izquierda? (Respuesta:
izquierda)
Nota: Una buena forma de ayudarle a sus estudiantes a entender la situaci´on es pedirles que se posicionen igual que
la persona de la ilustraci´on. Para el tercer caso por ejemplo, puede pedirle a alguno que imite a la ni˜na del bal´on, y
p´ıdale a los dem´as estudiantes que indiquen si la ni˜na de la ilustraci´on est´a en la misma posici´on que su compa˜nero.
As´ı ser´a m´as claro que la ni˜na del bal´on, en realidad, mira hacia su propia izquierda (aunque en la ilustraci´on mira
hacia la derecha).
Recomendaciones generales: Es importante tener en cuenta, que al desarrollar la actividad seleccionada, y los ejer-
cicios propuestos en este documento, el actor principal es el estudiante. El profesor, luego de plantear el problema, cede
el escenario para que sus estudiantes, solos o en grupos, se confronten con el problema, empiecen a proponer ideas, se
arrepientan de sus ideas, propongan otras nuevas, creen modelos, se convenzan unos a otros, etc. El rol del profesor es el
de aquel que espera y escucha, y con preguntas pertinentes, ayuda al estudiante a encontrar su propio camino hacia la
respuesta. M´as que un gu´ıa (que tiene un camino predeterminado por el cual quiere llevar al que es guiado), se busca que
el profesor ilumine el camino que el estudiante va abriendo por s´ı mismo.
Selecci´on de p´aginas del texto relacionadas a la actividad.
Esta selecci´on se hizo tanto para docentes que tienen acceso al material de Escuela Nueva, como para docentes que
tienen acceso al material de Proyecto S´e.
Nota importante. Estas selecciones de material previo a la realizaci´on de la actividad “A la hora del recreo”, no
pretenden ser un listado completo de pre-requisitos. Se deja a discreci´on del profesor, en conocimiento del curr´ıculo de su
instituci´on, la selecci´on de p´aginas adicionales.
Nivelemos y Escuela Nueva.
Se recomienda que antes de realizar la actividad “A la hora del recreo”, se hayan trabajado en clase las siguientes
gu´ıas.
Tema Cartilla Gu´ıa
Comparaci´on de objetos con respecto a su peso 1 17B
Medidas equivalentes 2 8A,B,C,D
Decenas y unidades 1 2A,B,C,D
3A,B,C,D
2 9A,B,C
Proyecto S´e. Libro del estudiante.
Se recomienda que antes de realizar la actividad “A la hora del recreo”, se hayan trabajado en clase las siguientes
secciones del Libro del Estudiante.
Secci´on P´aginas Ejercicios recomendados
M´as que - Menos que 16 y 17 todos
Decenas completas 34 y 35 todo (seguir recomendaciones 5.2.2)
N´umeros hasta 99 36 y 37 todos
Grande - Mediano - Peque˜no 112 y 113 todos
Nota: En la secci´on Decenas Completas, el profesor puede ayudar a aclarar por qu´e 10 + 40 = 50, usando esta idea:
10 + 40 = 1 decena + 4 decenas = 5 decenas = 50

6. Ministerio de Educaci´on Nacional - Proyecto Todos a Aprender
Grado Segundo - Matem´aticas
Selecci´on de material con sugerencias para el docente.
1. Contexto probl´emico: “Las zonas recreativas del barrio”
Este contexto fue tomado del Cuaderno de trabajo de Segundo Grado de Proyecto S´e, p´aginas 6 y 7.
! LLas zonas recreativas del barrio
1

7. 2
3
4

8. 2. Sugerencias para el docente en el desarrollo de la actividad.
Ejercicio 1. En este primer ejercicio, los estudiantes deben entender unas instrucciones, y por descarte, llegar a una
respuesta. Esto presenta una buena oportunidad para introducir conectores l´ogicos, como “por lo tanto”, “como
entonces ”, “adem´as”, “en conclusi´on”, etc. As´ı, las seis frases sueltas que deben completarse, pueden unirse (pues
unas son consecuencia de las otras):
“La suma de las cifras de las centenas y las decenas es menor que 9. Por lo tanto, no es el n´umero 570 ni el n´umero
820. Como la suma de las cifras del n´umero es mayor que 10, entonces no es el n´umero 135. En conclusi´on, viven 435
familias en el conjunto residencial.”
Luego de hacer el ejercicio, puede proponerles un ejercicio interesante: Escriba en el tablero cuatro n´umeros de tres
cifras; cada estudiante debe escoger uno de esos n´umeros (sin decirle a nadie cu´al eligi´o); y debe escribir una lista de
dos o tres instrucciones (que involucren palabras como m´as/menos/unidades/decenas/centenas/cifras/etc) para que sus
compa˜neros adivinen de cu´al de los cuatro n´umeros se trata.
Un ejercicio as´ı, creativo, es mucho m´as exigente para los estudiantes. Hay que darles tiempo de pensar y de escribir.
Dependiendo de sus competencias de escritura, el profesor deber´a ayudarlos a escribir las ideas que est´an tratando de
expresar. Luego hay que dejarlos poner en pr´actica su propuesta (con otros compa˜neros) y permitir que ellos mismos
vayan haciendo arreglos y correcciones.
Aquellas propuestas que contienen errores l´ogicos son las que permiten discusiones m´as interesantes. Por ejemplo,
puede que un estudiante de instrucciones contradictorias:
La cifra m´as grande es la que est´a en la posici´on de las centenas.
La suma de las dos primeras cifras es igual a la ´ultima cifra.
Esto le permite al docente tener una discusi´on sobre la imposibilidad de estas dos cosas sucediendo a la vez.
Ejercicio 2. Nota: Las rectas secantes son rectas que se cortan (que se intersectan).
Este ejercicio es muy interesante pues hay varias respuestas posibles. M´as a´un, todas las combinaciones pueden justi-
ficarse! Observe:
Rodadero:
paralelas
secantes ´angulo
Balanc´ın: paralelas
secantes
´angulo
Columpios:
paralelas
secantes
´angulo
Ser´ıa interesante permitir que cada estudiante respondiera en su cuaderno (de manera individual). Luego escribir en
el tablero la respuesta de alguno; y pedirle a otro (que tenga una respuesta distinta) que trate de justificar la respuesta
del tablero. Y repetir esto con varias respuestas. Nota: Los dibujos planos no son lo ideal. Ser´ıa mejor salir al parque
y permitir que los estudiantes identifiquen rectas paralelas, secantes, y ´angulos en el espacio tridimensional a partir de
objetos reales.

9. Ejercicio 3. Este ejercicio s´olo eval´ua, de lo aprendido en Segundo, la definici´on de segmento. De resto, eval´ua cosas
aprendidas en Primer Grado (orden de los n´umeros del 1 al 10 y conteo). Sin embargo, el ejercicio se presta para hacer
una pregunta interesante:
Dados los mismos puntos de la figura (pero sin n´umeros), p´ıdale a sus estudiantes que los re-numeren del 1 al 10 (que
a cada punto le asocien un n´umero), de tal manera que la figura obtenida al unirlos sea la misma.
Comentario exclusivo para el profesor: Una vez que uno define cu´al de los diez puntos ser´a el 1, s´olo le quedan dos
opciones para el 2 (cualquiera de los puntos que deben estar al lado del 1 en la figura). Y una vez escogido el 2, ya s´olo
hay una opci´on para nombrar los otros puntos. Por lo tanto, hay 20 respuestas distintas!
Ejercicio 4. Luego de responder al ejercicio 4, pueden hacerse preguntas relacionadas con pensamiento m´etrico, que
permitan hacer equivalencias de distancias a partir de formas gr´aficas. Por ejemplo,
Suponga que entre la se˜nal ubicada en (D,5) y la se˜nal ubicada en (E,4) hay tres metros.
1. ¿Qu´e distancia hay entre las se˜nales ubicadas en (A,4) y (B,3)? (Respuesta: 3 m)
2. ¿Qu´e distancia hay entre las se˜nales ubicadas en (A,4) y (C,2)? (Respuesta: 6 m)
3. ¿Qu´e distancia hay entre las se˜nales ubicadas en (C,2) y (E,4)? (Respuesta: 6 m)
Pregunta adicional.
Puede aprovecharse el contexto dado para hacer preguntas que desarrollen distintos tipos de pensamiento, mientras
se fomenta la creatividad, las competencias comunicativas, y se practica la resoluci´on de problemas. Ac´a se presenta un
ejemplo donde se mezclan pensamientos variacional y aleatorio.
Ejemplo. Considere la siguiente gr´afica de barras:
6am
7am
8am
9am
10am
11am
12m
1pm
2pm
3pm
4pm
5pm
6pm
Hora del d´ıa
N´umero de ni˜nos
en el parque
1. Describa c´omo var´ıa el n´umero de ni˜nos en el parque a lo largo del d´ıa.
2. Explique el porqu´e de esas variaciones.
3. A qu´e hora del d´ıa es m´as posible que los columpios est´en ocupados?
La falta de n´umeros en el eje vertical, obliga al estudiante a centrar su atenci´on en la variaci´on, y no en la parte num´erica.
La pregunta 1 le da importancia a la lectura de los datos y desarrolla habilidades comunicativas (y el uso de palabras
como m´as/menos/aumenta/decrece/etc); mientras que para responder a la pregunta 2 el estudiante debe demostrar una
comprensi´on m´as profunda de los datos, y usar la causalidad (por ejemplo: a las 12 del medio d´ıa y a la 1pm hay pocos
ni˜nos en el parque pues la mayor´ıa est´a almorzando). La tercera pregunta tiene por objetivo relacionar datos con nociones
muy b´asicas de probabilidad.

10. Recomendaciones generales: Es importante tener en cuenta, que al desarrollar la actividad seleccionada, y los ejer-
cicios propuestos en este documento, el actor principal es el estudiante. El profesor, luego de plantear el problema, cede
el escenario para que sus estudiantes, solos o en grupos, se confronten con el problema, empiecen a proponer ideas, se
arrepientan de sus ideas, propongan otras nuevas, creen modelos, se convenzan unos a otros, etc. El rol del profesor es el
de aquel que espera y escucha, y con preguntas pertinentes, ayuda al estudiante a encontrar su propio camino hacia la
respuesta. M´as que un gu´ıa (que tiene un camino predeterminado por el cual quiere llevar al que es guiado), se busca que
el profesor ilumine el camino que el estudiante va abriendo por s´ı mismo.
Selecci´on de p´aginas del texto relacionadas a la actividad.
Esta selecci´on se hizo tanto para docentes que tienen acceso al material de Escuela Nueva, como para docentes que
tienen acceso al material de Proyecto S´e.
Nota importante. Estas selecciones de material previo a la realizaci´on de la actividad “Las zonas recreativas del
barrio”, no pretenden ser un listado completo de pre-requisitos. Se deja a discreci´on del profesor, en conocimiento del
curr´ıculo de su instituci´on, la selecci´on de p´aginas adicionales.
Nivelemos y Escuela Nueva.
Se recomienda que antes de realizar la actividad “Las zonas recreativas del barrio”, se hayan trabajado en clase las
siguientes gu´ıas.
Tema Cartilla Gu´ıa
Decenas, centenas, unidades 1 7D
2 8A,B,C,D
Relaci´on de orden entre n´umeros 2 15B,C,D
Suma 1 1A,B,C,D
Segmentos, planos y coordenadas 1 5A,B,C,D
Proyecto S´e. Libro del estudiante.
Se recomienda que antes de realizar la actividad “Las zonas recreativas del barrio”, se hayan trabajado en clase las
siguientes secciones del Libro del Estudiante.
Secci´on P´aginas Ejercicios recomendados
Unidades y Decenas 10 y 11 1, 2, y 4
Centenas 12 y 13 todos
N´umeros de tres cifras 14 y 15 todos
Recta, Semirrecta y Segmento 88 y 89 1, 3, y 4
Rectas Paralelas 90 y 91 1 y 4
Plano cartesiano 94 y 95 1 y 3
´Angulos 100 y 101 1, 2, y 3
Nota: En la secci´on Recta, Semirrecta y Segmento, se debe aclarar que s´olo los segmentos se pueden medir (ni las
rectas ni las semirrectas pueden medirse).

11. Ministerio de Educaci´on Nacional - Proyecto Todos a Aprender
Grado Tercero - Matem´aticas
Selecci´on de material con sugerencias para el docente.
1. Contexto probl´emico: “Atractivos tur´ısticos”
Este contexto fue tomado del Cuaderno de trabajo de Tercer Grado de Proyecto S´e, p´aginas 20 y 21.
!
Atractivos turísticos
1

12. 21
2
3
4
5

13. 2. Sugerencias para el docente en el desarrollo de la actividad.
Ejercicio 3. Para llenar la tabla del tercer ejercicio, el estudiante tiene varias posibilidades: Para calcular la mitad de
11 000, aquel que ya ha desarrollado intuici´on sobre el significado de la divisi´on, puede plantear la divisi´on y llevarla a
cabo; Sin embargo, otros llegar´an a la respuesta por m´etodos m´as largos (no obstante, correctos). Por ejemplo, alg´un
estudiante puede pensar en agrupar el $11 000 en dos montones iguales y tomar s´olo uno.
mil mil mil mil mil mil mil mil mil mil mil
5000 5000
500 500mil mil mil mil mil mil mil mil mil mil
5500 5500
Para todos los estudiantes del sal´on es enriquecedor, luego de haber encontrado su propia forma de resolver el ejercicio,
ser enfrentado a diferentes posibilidades de soluci´on.
Ejercicio 5. Este ejercicio se presta para desarrollar vocabulario geom´etrico y pensamiento m´etrico. ¿Cu´antos lados
tiene el parque? ¿Cu´antos ´angulos? Puede pedirle a sus estudiantes que comprueben que los lados miden lo mismo, y que
comprueben que los ´angulos miden los mismo. Permita que ellos mismos encuentren patrones de medici´on convenientes.
Para los ´angulos, por ejemplo, no es necesario saber utilizar un transportador. Un estudiante puede, por ejemplo, calcar
la figura del libro en una hoja de papel y recortar una de sus puntas. Y luego puede poner esa punta sobre las otras
esquinas y comprobar que en cada esquina el ´angulo es el mismo (primera figura). Otro estudiante, luego de calcar la
figura y recortarla entera, puede pensar en dobleces para superponer ´angulos y comprobar que son iguales. Ya a la hora de
explicar el ejercicio, el profesor puede aprovechar la oportunidad para hablar de ejes de simetr´ıa, y ayudar a sus estudiantes
a formar un hilo conductor l´ogico. Por ejemplo, se puede empezar por colorear un s´olo ´angulo de la figura. Cada vez que
se hace un doblez por un eje de simetr´ıa, se colorea el ´angulo que se superpone al que ya est´a coloreado, pues ese ya fue
verificado. Y as´ı sucesivamente hasta colorearlos todos (segunda figura).
Preguntas adicionales.
Puede aprovecharse el contexto dado para hacer preguntas que desarrollen distintos tipos de pensamiento, mientras se
fomenta la creatividad, las competencias comunicativas, y se practica la resoluci´on de problemas. Ac´a se presentan varios
ejemplos donde se mezclan pensamientos num´erico, m´etrico, espacial y geom´etrico.
Ejemplo 1. Observa la forma del lado de la rueda de Chicago (en la figura).
¿Cu´antas parejas de segmentos paralelos tiene? Colorea los segmentos paralelos con el mismo color. (Respuesta: 4
pares)
¿Cu´antas parejas de segmentos perpendiculares tiene? Colorea los segmentos perpendiculares con el mismo color.

14. ¿Cu´antos tri´angulos ves en la figura? (Respuesta: 8)
¿Cu´antos cuadril´ateros ves en la figura? (Respuesta: 8. Esta pregunta les costar´a m´as trabajo que la anterior, pues
en el caso de los tri´angulos no hab´ıa tri´angulos superpuestos).
Carlota
Miguel
´Angela
Bibian
Carlos
Daniel
Elvira
Fabi´an
Gonzalo
H´ector
Ejemplo 2.
1. Si Carlota y Miguel est´an en la rueda (en las posiciones que se muestra arriba en la primera figura), y la rueda
gira en el sentido indicado, ¿qu´e suceder´a primero? Carlota llegar´a primero a la posici´on en la que estaba Miguel, o
Miguel llegar´a primero a la posici´on en la que estaba Carlota.
(Respuesta: Primero llegar´a Carlota a la posici´on de Miguel.) Aunque lo que hay detr´as de la respuesta es la
comparaci´on de dos ´angulos, no es necesario mencionarlo. Una respuesta intuitiva es suficiente. Una vez todo el
grupo tenga claro el porqu´e de la respuesta, puede preguntar:
Cuando Carlota llegue a la posici´on en la que estaba Miguel, ¿en qu´e posici´on estar´a Miguel?
2. En la rueda est´an ´Angela, Bibian, Carlos, Daniel, Elvira, Fabi´an, Gonzalo, y H´ector (en las posiciones que se
muestran arriba en la segunda figura), y la rueda gira en el sentido indicado. Como ya van a cerrar el parque, tienen
que bajarse de la rueda. Al pobre Fabi´an, por estar en la parte de abajo, le toca bajarse primero.
a) Si, luego de que se baja Fabi´an, la rueda da un cuarto de vuela, ¿a qui´en le tocar´ıa el turno? (Respuesta: A
H´ector)
b) Si, luego de que se baja Fabi´an, la rueda da media vuelta seguida de un cuarto de vuelta, ¿a qui´en le tocar´ıa
el turno? (Respuesta: A Daniel)
Preguntas como las anteriores no s´olo eval´uan la comprensi´on de t´erminos como “medio” o “un cuarto”, sino
que exigen visualizar movimiento a partir de algo est´atico, y predecir el resultado. Para ayudar a aquellos
estudiantes que tengan dificultades imaginando el movimiento, puede cortar un disco en una hoja de papel,
escribir los nombres (o las iniciales) de acuerdo a las posiciones mostradas en el dibujo, y pedirle al estudiante
que realice los movimientos indicados. Lo ideal es que, luego de entenderlo bas´andose en el modelo f´ısico,
vuelvan al dibujo est´atico y traten de imaginarse el movimiento.
c) ¿Con respecto a cu´al recta, ´Angela y Daniel est´an en posiciones sim´etricas? Es decir, encuentre una recta en
la que ´Angela es el reflejo de Daniel, y Daniel el de ´Angela.
d) ¿Con respecto a cu´al recta, Carlos y Elvira est´an en posiciones sim´etricas?
´Angela
Bibian
Carlos
Daniel
Elvira
Fabi´an
Gonzalo
H´ector
(c)
´Angela
Bibian
Carlos
Daniel
Elvira
Fabi´an
Gonzalo
H´ector
(d)

15. Ejemplo 3 (pensamientos num´erico y m´etrico). Milan y Diego est´an haciendo fila para subirse a la monta˜na rusa.
Calcularon que suben a 4 personas en un carrito cada 3 minutos. Delante de ellos hay 25 personas.
1. ¿Van a poder subirse al mismo carrito?
2. ¿Cu´anto tiempo tendr´an que esperar?
Hay varias formas de atacar este problema: Un estudiante que ya tiene claro el concepto de divisi´on y de residuo, puede
plantear la divisi´on (25 ÷ 4) y obtener un cociente de 6 y un resto de 1. La interpretaci´on de estos n´umeros, es que, con
esas 25 personas, puede formar 6 grupos de 4 personas, y sobra una. As´ı que en el s´eptimo carrito (luego de esperar
6 × 3 = 18 min) ir´a esa persona, Milan y Diego, y el que va detr´as de ellos en la fila. No hay necesidad, en una primera
instancia, de plantear la divisi´on y tener tan claro lo que significa. Otros estudiantes, que a´un est´an desarrollando el
concepto de divisi´on, optar´an por hacer un dibujo:
4 personas
3 minutos
4 personas
3 minutos
Milan y Diego
4 p
3 min
4 p
3 min
4 p
3 min
4 p
3 min
Ambas alternativas son enriquecerdoras para el grupo.
Ejemplo 5: Arturo, Camilo, Daniela, Leticia, y Sebasti´an quieren subirse a los avioncitos. Sin embargo, cuando se van
a montar, le piden al operario de la m´aquina que los ayude pues...
Arturo y Sebasti´an no quieren quedar al lado, porque pelean mucho.
Leticia y Daniela quieren quedar al lado, porque son mejores amigas.
Sebasti´an quiere quedar al lado de Camilo y de Leticia.
Un ejercicio como este s´olo requiere de l´ogica. Entender instrucciones y crear combinaciones que las satisfagan. Es
muy importante desarrollar esto en los estudiantes, y no s´olo enfrentarlos a problemas algor´ıtmicos. El profesor debe dar
tiempo a sus estudiantes para que resuelvan el problema, y ayudarles a que ellos mismos revisen si la soluci´on que plantean
cumple con las condiciones o no.
Ejemplo 6: Observe el carrusel de caballitos de la ilustraci´on, y responda a las siguientes preguntas:
1. Mat´ıas est´a en el carrusel que se muestra en la ilustraci´on de la actividad. Olga, su mam´a, lo espera al lado del
carrusel. Cada vez que Mat´ıas pasa al lado de ella se dicen adi´os.
a) ¿En qu´e direcci´on mueve la cabeza Olga cuando Mat´ıas pasa cerca de ella? ¿De izquierda a derecha o de derecha
a izquierda?
(Respuesta: de izquierda a derecha)
b) ¿En qu´e direcci´on mueve la cabeza Mat´ıas cuando pasa cerca de su mam´a? ¿De izquierda a derecha o de derecha
a izquierda?
(Respuesta: de izquierda a derecha)
2. Juan Pablo, el primo de Mat´ıas, empieza a correr al rededor del carrusel para estar siempre al lado de Mat´ıas.
¿Qui´en va m´as r´apido, Mat´ıas o Juan Pablo?

16. Recomendaciones generales: Es importante tener en cuenta, que al desarrollar la actividad seleccionada, y los ejer-
cicios propuestos en este documento, el actor principal es el estudiante. El profesor, luego de plantear el problema, cede
el escenario para que sus estudiantes, solos o en grupos, se confronten con el problema, empiecen a proponer ideas, se
arrepientan de sus ideas, propongan otras nuevas, creen modelos, se convenzan unos a otros, etc. El rol del profesor es el
de aquel que espera y escucha, y con preguntas pertinentes, ayuda al estudiante a encontrar su propio camino hacia la
respuesta. M´as que un gu´ıa (que tiene un camino predeterminado por el cual quiere llevar al que es guiado), se busca que
el profesor ilumine el camino que el estudiante va abriendo por s´ı mismo.
Selecci´on de p´aginas del texto relacionadas a la actividad.
Esta selecci´on se hizo tanto para docentes que tienen acceso al material de Escuela Nueva, como para docentes que
tienen acceso al material de Proyecto S´e.
Nota importante. Estas selecciones de material previo a la realizaci´on de la actividad “Atractivos tur´ısticos”, no
pretenden ser un listado completo de pre-requisitos. Se deja a discreci´on del profesor, en conocimiento del curr´ıculo de su
instituci´on, la selecci´on de p´aginas adicionales.
Nivelemos y Escuela Nueva.
Se recomienda que antes de realizar la actividad “Atractivos tur´ısticos”, se hayan trabajado en clase las siguientes
gu´ıas.
Tema Cartilla Gu´ıa P´aginas recomendadas
Lectura de la informaci´on dada en una tabla 2 10A 10
Multiplicaci´on (1 cifra por varias cifras) 1 4A,B,C
5A,B,C
6A,B,C
Fracciones unitarias 2 14C 60, 61, 62, 63
Per´ımetro 2 17A,B,C,D
Proyecto S´e. Libro del estudiante.
Se recomienda que antes de realizar la actividad “Atractivos tur´ısticos”, se hayan trabajado en clase las siguientes
secciones del Libro del Estudiante.
Secci´on P´aginas Ejercicios recomendados
Relaci´on entre adici´on y multiplicaci´on. 18 y 19 todos
T´erminos de la multiplicaci´on.
Repaso de las tablas de multiplicar (opcional) 20 y 21 2, 3, 4, y 5 (s´olo segunda y tercera)
Propiedades conmutativa y asociativa 24 y 25 S´olo la propiedad conmutativa
de la multiplicaci´on 1, 2, y 5
Multiplicaci´on por una cifra 26 y 27 1, 2, 4, y 5
Divisor de una cifra (opcional) 44 y 45 2 (s´olo algunos sin residuo) y 3
2. S´olo 856 ÷ 2; 1128 ÷ 3; y 15876 ÷ 9
Per´ımetro de pol´ıgonos 112 y 113 todos
Nota: Se asume que los estudiantes ya hicieron la secci´on “Mitad, Tercio y Cuarto” que aparece en las p´aginas 74 y
75 del libro del estudiante de Primer Grado.

17. Ministerio de Educaci´on Nacional - Proyecto Todos a Aprender
Grado Quinto - Matem´aticas
Selecci´on de material con sugerencias para el docente.
1. Contexto probl´emico: “El pa´ıs en n´umeros”
Este contexto fue tomado del Cuaderno de trabajo de Quinto Grado de Proyecto S´e, p´aginas 4 y 5.
El país en números
1

18. 2
3
4
5

19. 2. Sugerencias para el docente en el desarrollo de la actividad.
Ejercicio 4. La forma en que seguramente los estudiantes abordar´an este problema, es realizando los c´alculos. Por
ejemplo, para calcular “la cantidad de hombres de 30 a 59 a˜nos”, van a plantear y realizar la suma:
4407117
3265145
hombres de 30 a 44
hombres de 45 a 59
Y luego, entre las respuestas dadas, elegir la que corresponde. Este m´etodo es correcto, y permite practicar la suma
de n´umeros con varios d´ıgitos. Sin embargo, puede aprovechar la oportunidad para hablar de aproximaciones.
Por ejemplo, podr´ıamos decir que hay aproximadamente 4 400 000 hombres en la categor´ıa categor´ıa 15-29, y aproxi-
madamente 3 300 000 en la categor´ıa 30-44. Esto puede sumarse (en la cabeza), y se concluye que hay aproximadamente
7 700 000 hombres entre 30 y y 59 a˜nos. Ahora se observan las respuestas dadas, y se escoge la que tiene este orden de
magnitud: 7 672 262. Observe que ac´a se llevaron a cabo distintos procesos relacionados con la aproximaci´on: aproximar
un n´umero dado a la centena de mil m´as cercana; y asociar n´umeros del mismo orden de magnitud.
Miremos otro ejemplo. Para calcular de manera exacta “tres veces la cantidad de mujeres de 30 a 44 a˜nos”, se debe
plantear y realizar la multiplicaci´on:
4715649
3
Sin embargo, podemos aproximar as´ı: 4 715 649 est´a entre 4 millones y 5 millones. Ahora,
3 × 4 000 000 = 12 000 000 y 3 × 5 000 000 = 15 000 000
As´ı, 3 × 4 715 649 va a estar entre 12 millones y 15 millones. Entre las respuestas dadas, s´olo hay una que satisface
esta condici´on. Las ideas utilizadas en este caso fueron ligeramente diferentes a las del ejemplo anterior: no aproximamos
el n´umero para luego multiplicar por 3, sino que acotamos el n´umero, y luego multiplicamos cada cota por 3.
Ejercicio 5. Explorar distintas formas de solucionar un ejercicio siempre ser´a una forma de formar al estudiante, no
en un tema suelto, sino en las matem´aticas como una unidad de conceptos relacionados. Por ejemplo, para saber si “la
cantidad de mujeres de 15 a 29 a˜nos es divisible entre 3”, el estudiante puede abordar la pregunta usando distintos
m´etodos:
Un estudiante puede aplicar el criterio de divisibilidad (dos veces):
5 + 9 + 6 + 4 + 5 + 6 + 9
10 + 10 + 15 + 9
35 + 9
44
5964569
4 + 4 = 8 que no es divisible por 3
... y como 8 no es divisible por 3, entonces 5 964 569 tampoco es.
Otro estudiante puede plantear la divisi´on:

20. 5964569 3
1988189
3
29
27
26
24
24
24
05
3
26
24
29
27
2
... y concluir que como hubo un residuo distinto a cero, entonces 5 964 569 no es divisible por 3.
Un tercer estudiante, puede usar su calculadora, y obtener:
5 964 569 ÷ 3 = 1988189,667
... y concluir que como no obtuvo un n´umero entero, entonces 5 964 569 no es divisible por 3.
Comentario sobre la calculadora: No hay que pensar que el estudiante que usa la calculadora no entiende lo que hace.
Es m´as, el uso de la calculadora puede ayudar a acelerar el procedimiento rutinario, y m´as bien concentrarse en la
interpretaci´on y en los conceptos. Por ejemplo, dependiendo de la calculadora (o si se usa google), se obtienen distintos
resultados:
1988189,667 o 1988189,66667 o 1988189,666666667
¿Qu´e quiere decir esto? ¿Cu´al de esos resultados es el correcto?
Al plantear la divisi´on obtuvimos un cociente de 1 988 189 y un residuo de 2. Por lo tanto: 5 964 569 = (3×1 988 189)+2.
Entonces, dividiendo a ambos lados por 3, se obtiene:
5 964 569
3
=
(3 × 1 988 189) + 2
3
=
3 × 1 988 189
3
+
2
3
= 1 988 189 +
2
3
= 1 988 189
2
3
Y 2
3 = 0,6666666.... As´ı, 1988189,667 o 1988189,66667 o 1988189,666666667, son s´olo aproximaciones de 1988189,6666...
Aunque esta explicaci´on es muy avanzada para Quinto grado, es importante que est´e clara para el profesor. As´ı, cuando
haya preguntas sobre los diferentes resultados que se obtienen, el profesor sepa cu´al es la raz´on que hay detr´as, y pueda
responder algo como “la respuesta real es 1988189,6666..., y cada calculadora est´a haciendo aproximaciones distintas,
dependiendo de cu´antos d´ıgitos le caben”.
Preguntas adicionales.
Puede aprovecharse el contexto dado para hacer preguntas que desarrollen distintos tipos de pensamiento, mientras se
fomenta la creatividad, las competencias comunicativas, y se practica la resoluci´on de problemas. Ac´a se presentan varios
ejemplos donde se mezclan pensamientos aleatorio, variacional y num´erico.
Ejemplo 1, Agrupar o desagrupar categor´ıas:
1. Presente la informaci´on de la poblaci´on colombiana usando las siguientes tres categor´ıas: 0-29; 30-59; 60-o-m´as.
2. ¿Entre qu´e a˜no y qu´e a˜no nacieron las personas que aparecen en la categor´ıa 45-59?

21. 3. Invente una gr´afica de barras de 0 a 29 a˜nos, que mantenga la tendencia mostrada, y que tenga periodos de 5 a˜nos
de duraci´on (es decir, con categor´ıas 0-4, 5-9, 10-14, 15-19, 20-24, 25-29).
Un ejercicio as´ı, exige que el estudiante entienda la tendencia existente en los datos (la poblaci´on se va hacien-
do menos numerosa a medida que su edad avanza, y esto se refleja en una l´ınea decreciente) y habilidades num´ericas
(encontrar a, b, y c tal que a + b + c = un n´umero dado, y tal que a > b > c).
Ejemplo 2: Suponga que en los pr´oximos 15 a˜nos nacen 7 305 122 ni˜nos y 7 158 509 ni˜nas en Colombia. Suponga adem´as
que ning´un colombiano se muere en los pr´oximos 15 a˜nos. ¿C´omo ser´ıa entonces la gr´afica de barras de la poblaci´on dentro
de 15 a˜nos? Mantenga las mismas categor´ıas: 0-14, 15-29, ..., 75-o-m´as.
Este ejercicio permite pensar en la movilidad de los datos en el tiempo. En la categor´ıa 0-14, deben aparecer los valores
7 305 122 en la columna de hombres y 7 158 509 en la de mujeres. En la categor´ıa 15-29, debe aparecer lo que antes aparec´ıa
en la categor´ıa 0-14. En la categor´ıa 30-44, debe aparecer lo que antes aparec´ıa en la categor´ıa 45-59, etc. Debe tenerse
cuidado al final: en la categor´ıa 75-o-m´as, deben aparecer los de las categor´ıas 60-74 y tambi´en lo de 75-o-m´as.
Ejemplo 3: En la fiesta de cumplea˜nos de Magdalena, hab´ıa ni˜nos y ni˜nas de distintas edades. Observe:
7 5
14 15
28
20
9 − 10 11 − 12 13 − 14
1. Complete las siguientes frases:
El n´umero de ni˜nas de 9 y 10 a˜nos es la mitad que el n´umero de ni˜nas de .
El n´umero de ni˜nas de 11 y 12 a˜nos es el doble que el n´umero de ni˜nas de , y cuatro veces m´as que el
n´umero de ni˜nas de .
En total hab´ıa ni˜nas.
Las ni˜nas de 9 y 10 a˜nos s´olo formaban del total de ni˜nas. (llenar con una fracci´on)
2. Represente la poblaci´on femenina en el siguiente diagrama circular:
La misma pregunta puede hacerse para la poblaci´on masculina (partiendo el c´ırculo originalmente en 8 pedazos
iguales). Ac´a se muestran los resultados:
de 9 y 10 a˜nos
de 11 y 12 a˜nos
de 13 y 14 a˜nos
9 − 10
11 − 12
13 − 14
Ni˜nas: Ni˜nos:
Nota: Se recomienda que antes de hacer esta ´ultima pregunta, se haya trabajado el tema de fracciones, y se hayan
hecho ejemplo que los que la unidad se representa con un c´ırculo. Si el profesor quiere, puede tambi´en cambiar la
pregunta de fracciones por porcentajes. Sin embargo, s´olo en el caso de la poblaci´on masculina, obtendr´an porcentajes
exactos: 12,5 % de los ni˜nos tienen 9 y 10 a˜nos; 50 % tienen 11 y 12 a˜nos; y 37,5 % tienen 13 y 14 a˜nos.

22. Recomendaciones generales: Es importante tener en cuenta, que al desarrollar la actividad seleccionada, y los ejer-
cicios propuestos en este documento, el actor principal es el estudiante. El profesor, luego de plantear el problema, cede
el escenario para que sus estudiantes, solos o en grupos, se confronten con el problema, empiecen a proponer ideas, se
arrepientan de sus ideas, propongan otras nuevas, creen modelos, se convenzan unos a otros, etc. El rol del profesor es el
de aquel que espera y escucha, y con preguntas pertinentes, ayuda al estudiante a encontrar su propio camino hacia la
respuesta. M´as que un gu´ıa (que tiene un camino predeterminado por el cual quiere llevar al que es guiado), se busca que
el profesor ilumine el camino que el estudiante va abriendo por s´ı mismo.
Selecci´on de p´aginas del texto relacionadas a la actividad.
Esta selecci´on se hizo tanto para docentes que tienen acceso al material de Escuela Nueva, como para docentes que
tienen acceso al material de Proyecto S´e.
Nota importante. Estas selecciones de material previo a la realizaci´on de la actividad “El pa´ıs en n´umeros”, no
pretenden ser un listado completo de pre-requisitos. Se deja a discreci´on del profesor, en conocimiento del curr´ıculo de su
instituci´on, la selecci´on de p´aginas adicionales.
Nivelemos y Escuela Nueva.
Se recomienda que antes de realizar la actividad “El pa´ıs en n´umeros”, se hayan trabajado en clase las siguientes
p´aginas.
Tema Cartilla Gu´ıa P´aginas recomendadas
Suma 3 14A 11, 12, 13
14B 14, 15, 16
Resta 2 7C 18
Multiplicaci´on 2 7A 11, 12, 13
Criterios de divisibilidad 2 7C 19
Unidades de ´area 2 13A,B 73 a 84
Proyecto S´e. Libro del estudiante.
Se recomienda que antes de realizar la actividad “El pa´ıs en n´umeros”, se hayan trabajado en clase las siguientes
secciones del Libro del Estudiante.
Secci´on P´aginas Ejercicios recomendados
Adici´on y Sustracci´on de n´umeros naturales 10 y 11 todo
Multiplicaci´on de n´umeros naturales 12 y 13 2, 3, 4, y 5
Divisi´on de n´umeros naturales 14 y 15 todo
M´ultiplos de un n´umero 22 y 23 todo
Divisores de un n´umero 24 y 25 todo
Criterios de divisibilidad 26 y 27 1, 2, 3, y 4
Unidades de ´area 114 y 115 1, 2, 3, y 5