общие сведения о функциях
•Descargar como PPT, PDF•
0 recomendaciones•7,306 vistas
ОВЭМ, 1 курс
Recomendados
Más contenido relacionado
Destacado
Destacado (20)
Más de Вячеслав Пырков
Más de Вячеслав Пырков (18)
общие сведения о функциях
- 1. Общие сведения о функциях: способы задания, классификация, схема исследования элементарными средствами, построение графиков ОВЭМ, Лекция 2 к.п.н., доц. Пырков Вячеслав Евгеньевич pyrkov.professorjournal.ru pyrkov.professorjournal.ru pyrkovve@yandex.ru pyrkovve@yandex.ru
- 2. План 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Понятие функции Классификация элементарных функций Область определения и множество значений функции Способы задания функций Четные и нечетные функции Ограниченные функции Возрастание и убывание функции Периодичность функции Схема исследования функции Геометрические преобразования графика функции
- 4. 2. Классификация элементарных функций
- 5. Линейная функция у=kx+b График - прямая линия Свойства k - является тангенсом угла, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс. •при k>0, прямая образует острый угол с осью абсцисс. •при k<0, прямая образует тупой угол с осью абсцисс. •при k=0, прямая параллельна оси абсцисс. b - является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат. •при b=0, прямая проходит через начало координат. Д/з: Выписать в тетрадь подобные характеристики для остальных функций.
- 6. Тест 1 I y=0,6x-2 IV y= -3x+1 V y= -0,2x-3 VI y=4x+1 VII y=0,4x+2,5 VIII 4 y= -0,5x+4 III 2 y=2x-3 II 3 1 y= -2,5x+0,8 7 5 6 I II III IV V 8 VI VII VIII
- 8. 3. ООФ и ОЗФ
- 9. 4. Способы задания функции Д/з: Дополнить таблицу достоинствами и недостатками каждого способа
- 10. 5. Четные и нечетные функции •Функция - чётная, если •Функция - нечётная, если •Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (общего вида).
- 12. 7. Возрастание и убывание функции
- 14. 9. Схема исследования функции
- 15. 10. Преобразования графика функции Д/з: Выполнить в тетради конспект С.390-407
Notas del editor
- {"11":"Функция 𝑦=𝑓(𝑥), определенная на Х, называется ограниченной сверху/снизу, если существует такое число 𝑀/𝑚, что для любого хϵХ, ( 𝒇(𝒙)≤𝑴 )/(𝒇(𝒙)≥𝒎) \nНаименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом множества Y (обозначение sup{y}).\nНаибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом множества Y (обозначение inf{y}).\nЗадание: исследовать функцию на ограниченность 𝑦=3𝑥/(𝑥−2) при х>2\n","6":"4\n7\n2\n5\n8\n6\n3\n1\n","12":"Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными функциями. Функции возрастающие и убывающие называются строго монотонными функциями\n","13":"Число Т называется главным периодом, если оно наименьшее среди всех положительных периодов.\n","8":"При нахождении ООФ следует учитывать:\nДробь имеет смысл, если знаменатель не равен 0\nКорень четной степени определен, если подкоренное выражение ≥0\ny=tgx определена при х≠𝜋/2+𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; y=ctgx определена при 𝑥≠𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍\n𝑦=〖𝑙𝑜𝑔〗_𝑎 𝑥 (a>0; a#1) определена при х>0\ny=arcsinx, y=arccosx определена при −1≤𝑥≤1\n","14":"В ходе исследования находятся и выписываются по-порядку многие параметры функции как объекта. Здесь приведён набор, из которого они обычно выбираются:\nОбласть определения\nОбласть значений (легче находится после исследования монотонности), ограниченность сверху/снизу.\nНули (корни) функции — точки, где она обращается в ноль.\nПромежутки постоянства знаков, знаки в них.\nЧётность/нечётность, периодичность.\nНепрерывность \nЕсли есть — точки разрыва, их типы; вертикальные асимптоты.\nПервая производная, её нули (критические точки) или точки излома, если есть.\nЭкстремумы: максимумы и минимумы.\nПромежутки монотонности\nВторая производная, её нули.\nТочки перегиба, промежутки выпуклости.\nПоведение на бесконечности, горизонтальные или наклонные асимптоты.\n","3":"Классическое: Пусть задано некоторое числовое множество Х и пусть указано некоторое правило (закон) обозначаемое f, по которому каждому значению величины х из множества Х (независимая переменная) ставится в соответствие единственное значение величины у (зависимая переменная) из множества У. В этом случае говорят, что задана функция у=f(x), где Х – область определения, У – множество значений функции.\nСовременное: Пусть заданы Х и У, элементами которых могут быть любые объекты. Если каждому хϵХ ставится в соответствие, причем единственным образом уϵУ, то говорят что задана функция у=f(х).\nПо двум числам хо и уо=f(хо) на координатной плоскости можно построить точку Мо(хо; уо). Совокупность таких точек образует график функции.\nНе всякая кривая на плоскости является графиком функции. Для того, чтобы кривая была графиком функции необходимо и достаточно, чтобы прямая х=а пересекала бы кривую только в одной точке.\n","9":"Словесный способ\nФункцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.\nПримеры:\nфункция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру;\nфункция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени;\nфункция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.\nАналитический способ\nОбычно функция задаётся с помощью формулы, в которую входят переменные, операции и элементарные функции.\nВыделяют виды: явное задание у=2х+5; неявное задание ху=6, х≠0; параметрическое задание {■8(𝑦=𝑦(𝑡)@𝑥=𝑥(𝑡))┤; кусочное задание, то есть различное для различных значений аргумента.\nГрафический способ\nФункцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.\nТабличный способ\nФункцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции.\nРекурсивный способ\nФункция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.\nПримеры: факториал; числа Фибоначчи\n","4":"Функция является элементарной, если при её задании используются (и при том в конечном числе) следующие математические операции: +, -, *, :, возведение в степень, извлечение корня, logax, sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.\n","10":"Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.\nНечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).\nЧётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).\nНи чётная ни нечётная функция (функция общего вида) — функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.\nСвойства\nГрафик нечётной функции симметричен относительно начала координат .\nГрафик чётной функции симметричен относительно оси ординат .\nПроизвольная функция может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций \nФункция f(x)=0 — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной. ???\nСумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.\nПроизведение двух функций одной чётности чётно.\nПроизведение двух функций разной чётности нечётно.\nКомпозиция двух нечётных функций нечётна.\nКомпозиция чётной функции с чётной или нечётной функцией чётна.\nКомпозиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).\nПроизводная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.\nЗадание: проверить на четность функции 𝑦(𝑥)=𝑥^4−𝑥^2/3 (четная); 𝑦(𝑥)=𝑥+𝑥^3/4 (нечетная); 𝑦(𝑥)=𝑥+𝑥^2/4 (общего вида)\n"}